Descargar - Matestay Design by Carlos Estay F.

LOGICA DE PROPOSICIONES:
Ejercicios Resueltos
Prof. Carlos Estay Fuentes
01 Siendo p los precios son bajos y q los precios no suben, escribir en
lenguaje corriente las expresiones simbólicas siguientes:
a)
b)
c)
∼q
p∧q
p∧ ∼ q
d) ∼ p∧ ∼ q
e) ∼ (p∨ ∼ q)
Solución. a) ∼ q: los precios suben
b) p ∧ q: los precios son bajos y los precios no suben
c) p∧ ∼ q: los precios son bajos y los precios suben
d ) ∼ p∧ ∼ q: los precios no son bajos y los precios suben
e) ∼ (p∨ ∼ q): no es cierto que los precios son bajos o los precios suben
02
Si (∼ p ∧ q) ⇒ r es Falso, determine el valor de verdad de
(q ∨ s) ⇒∼ (r ∧ p).
at
es
ta
y
Solución. Como (∼ p ∧ q) ⇒ r es Falso entonces ∼ p ∧ q es Verdadero y r es Falso; es
decir, conseguimos ∼ p es V , q es V , r es F .
Dado que q es V entonces la proposición q ∨ s es V , además, como r es F entonces
r ∧ p es F de donde ∼ (r ∧ p) es V .
Finalmente, (q ∨ s) ⇒∼ (r ∧ p) es V .
M
03 Pruebe que:
a) (p ∧ q) ⇔∼ (p ⇒ (∼ q))
b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [p ∧ (∼ q) ⇒ r]
Solución.
La haremos mediante tablas de verdad, luego:
a)
(p
V
V
F
F
∧
V
F
F
F
Instituto Nacional
q)
V
F
V
F
⇔ ∼(
V V
V F
V F
V F
p ⇒ ∼ q)
V F
F
V V
V
F V
F
F V
V
[p
V
V
V
V
F
F
F
F
b)
1/9
⇒
V
V
V
F
V
V
V
V
(q
V
V
F
F
V
V
F
F
∨ r)] ⇔ [(p ∧ ∼ q ) ⇒
V V V V F F
V
V F V V F F
V
V V V V V V
V
F F V V V V
F
V V V F F F
V
V F V F F F
V
V V V F F V
V
F F V F F V
V
Prof. Carlos Estay Fuentes
r]
V
F
V
F
V
F
V
F
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
04 Ejercicios.
1. Reducción del ”⇔” a ”no”, ”o” e ”y”
En efecto
i) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
Es decir p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
Otra posibilidad es:
ii) p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
≡ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ p)
≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q) ∨ (p ∧ p) ∨ (q ∧ p)
≡ (p ∧ q) ∨ F ∨ F ∨ (p ∧ q)
≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
es decir
p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
2. Reducción de ”y” a ”no” y ”o” En efecto
es decir
ta
p∧q ≡p∨q
y
p∧q ≡p∧q ≡p∨q
at
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡
es
3. Reducción de ”⇔” a ”no” y ”o”: En efecto
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ p)
M
Nota Los conectivos ”y”, ”⇒”, ”⇔” pueden ser expresados a
partir de ”no” y ”o”, o bien a partir de ”no” e ”y”.
4. (Tarea.) Describa p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q a partir de los conectivos
”no” e ”y”.
05 Demuestre , usando el álgebra de proposiciones que ( p ⇒ q) ⇒ [(~ q ) ⇒ (~ p )]
es una tautología
Demostración
Debemos demostrar que {( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p)]} ⇔ I
( p ⇒ q ) ⇒ [(~ q ) ⇒ (~ p)] ⇔ ~ ( p ⇒ q ) ∨ [(~ q ) ⇒ (~ p )]
⇔ [~ ((~ p ) ∨ q )] ∨ [~ (~ q ) ∨ (~ p )]
⇔ ( p ∧ (~ q )) ∨ (q ∨ (~ p ))
⇔ [( p ∧ (~ q )) ∨ q ] ∨ (~ p )
⇔ [( p ∨ q) ∧ ((~ q ) ∨ q )] ∨ (~ p )
⇔ [( p ∨ q ) ∧ I ] ∨ (~ p )
⇔ ( p ∨ q ) ∨ (~ p )
⇔ (q ∨ p ) ∨ (~ p )
⇔ q ∨ [ p ∨ (~ p )]
⇔ q∨I ⇔ I
Instituto Nacional
2/9
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
06 Sean p tengo un loro y q tengo un gato, escribir en lenguaje corriente
y luego simplificar,
∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p)
Solución.
Notemos previamente que:
∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡∼ [(∼ p∨ ∼ (∼ q)) ∨ (∼ p)]
lo cual se puede escribir como: No es cierto que no tengo un loro o no
es cierto que no tengo un gato o bien, no tengo un loro (*)
Simplificando,
∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡ (p∧ ∼ q) ∧ p ≡ p ∧ (∼ q ∧ p) ≡
p ∧ (p∧ ∼ q) ≡ (p ∧ p)∧ ∼ q ≡ p ∧ (∼ q)
Asi, (*) es equivalente a afirmar: tengo un loro y no tengo un gato.
07 Si definimos ∇ y ∆ como p∇q = (∼ p) ∧ (∼ q), p∆q = (∼ p) ∨ (∼ q),
demuestre, sin usar tablas de verdad que
ta
y
a) p∇p ⇔∼ p.
es
b) p ∧ q ⇔∼ (p∆q).
M
Solución.
at
c) p ∨ q ⇔∼ (p∇q).
a) p∇p ⇔ (∼ p) ∧ (∼ p) ⇔∼ p.
b) ∼ (p∆q) ⇔∼ [(∼ p) ∨ (∼ q)] ⇔∼ (∼ p)∧ ∼ (∼ q) ⇔ p ∧ q.
c) ∼ (p∇q) ⇔∼ [(∼ p) ∧ (∼ q)] ⇔∼ (∼ p)∨ ∼ (∼ q) ⇔ p ∨ q.
08 Sin usar tablas de verdad, demuestre que p ∨ [(∼ p) ∧ q] ⇔ p ∨ q.
Solución.
p ∨ [(∼ p) ∧ q] ⇔ [p ∨ (∼ p)] ∧ [p ∨ q] ⇔ I ∧ [p ∨ q] ⇔ p ∨ q.
09 Siendo p y q proposiciones cualesquiera, la proposición, (p ⇒ q) ⇔
[(p ∨ q) ⇔ q],
a) ¿Es siempre verdadera?
b) ¿Es verdadera si y sólo si p lo es?
c) ¿Es verdadera si y sólo si q es falsa?
d ) ¿Es verdadera si y sólo si p y q lo son?
Solución.
Construyendo su tabla de verdad, tenemos:
Instituto Nacional
3/9
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
(p
V
V
F
F
⇒
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
⇔ [(p ∨
V V V
V V V
V F V
V F F
q)
V
F
V
F
⇔
V
F
V
V
q]
V
F
V
F
La tabla de verdad de esta proposición nos indica que siempre es
verdadera (tautologı́a).
Demuestre que p ⇒ (p ∨ q) es una tautologı́a.
10
Solución.
[p ⇒ (p ∨ q)] ⇔ [∼ p ∨ (p ∨ q)] ⇔ [(∼ p ∨ p) ∨ q] ⇔ I ∨ q ⇔ I.
11 Demuestre que [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q es una tautologı́a.
Solución.
[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q ⇔ ∼ [p ∧ (p ⇒ q)] ∨ q
y
⇔ ∼ {p ∧ [(∼ p) ∨ q]} ∨ q
ta
⇔ {(∼ p)∨ ∼ [(∼ p) ∨ q]} ∨ q
⇔ {(∼ p) ∨ [p ∧ (∼ q)]} ∨ q
es
⇔ {[(∼ p) ∨ p] ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q)]} ∨ q
at
⇔ {[I ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q)]]} ∨ q
⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)] ∨ q
M
⇔ (∼ p) ∨ [(∼ q) ∨ q]
⇔ ∼p∨I
⇔ I.
12 Demuestre, sin usar tablas {[(p ∧ q) ∨ r]∧ ∼ q} ∨ q ⇔ (r ∨ q).
Solución.
{[(p ∧ q) ∨ r]∧ ∼ q} ∨ q ⇔ {[(p ∧ q)∧ ∼ q] ∨ (r∧ ∼ q)} ∨ q
⇔ {[p ∧ (q∧ ∼ q)] ∨ (r∧ ∼ q)} ∨ q
⇔ {[p ∧ 0] ∨ (r∧ ∼ q)} ∨ q
⇔ {0 ∨ (r∧ ∼ q)} ∨ q
⇔ (r∧ ∼ q) ∨ q
⇔ (r ∨ q) ∧ (∼ q ∨ q)
⇔ (r ∨ q) ∧ I
⇔ r ∨ q.
Instituto Nacional
4/9
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
13 Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que:
a) p ∧ (∼ q)) ⇒ r ≡ (∼ p) ∨ (q ∨ r)
b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ (r ∧ (∼ q))
Solución.
a) Teniendo presente las propiedades del álgebra de proposiciones
enunciadas anteriormente, tenemos:
(p∧(∼ q)) ⇒ r ≡∼ (p∧(∼ q))∨r ≡ ((∼ p)∨q)∨r ≡ (∼ p)∨(q∨r).
b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ [(p ∧ q) ∧ (∼ q)] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡
≡ [p ∧ (q ∧ (∼ q))] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡ [p ∧ F ] ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡
≡ F ∨ (r ∧ (∼ q)) ≡ (r ∧ (∼ q)).
14 ¿Cuál es la relación que existe entre las proposiciones siguientes?:
p ⇒ [p∧ ∼ (q ∨ r)] y
∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r).
y
Solución. Transformando la primera expresión, tenemos:
ta
p ⇒ [p∧ ∼ (q ∨ r)] ≡ (∼ p) ∨ [p ∧ ((∼ q) ∧ (∼ r))] ≡
≡ (∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r).
es
≡ [(∼ p) ∨ p] ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r)] ≡ V ∧ [(∼ p) ∨ (∼ q∧ ∼ r)] ≡
M
at
Con lo que podemos afirmar que entre estas dos proposiciones hay
una relación de equivalencia.
15 Se define ∆ como la conjunción negativa, es decir, p∆q se lee ni p ni q
.
a) Construya la tabla de verdad de p∆q.
b)
i)
ii)
iii)
iv)
Pruebe que:
∼ p ≡ p∆p
p ∨ q ≡ (p∆q)∆(p∆q)
p ∧ q ≡ (p∆p)∆(q∆q)
(p ⇔ q)∧ ∼ (p ∧ q) ≡ p∆ q
b)
ii) Por i) p ∨ q ≡∼ (p∆q), por tanto,
p
V
V
F
F
a) Nótese que p∆q es verdadero si no es verdadero
p ni lo es q, luego
p q p∆q
F
V V
V F F
F V
F
F F V
Instituto Nacional
p ∼ p p∆p
F
V F
F V
V
i)
q p ∨ q p∆q ∼ (p∆q)
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
iii) Por i) es suficiente probar p ∧ q ≡∼ p∆ ∼ q
p
V
V
F
F
5/9
q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ p∆ ∼ q
V
V F
F
V
F F
V
F
F
V V
F
F
F
F V
V
F
F
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
iv) p ⇔ q∧ ∼ (p ∧ q) ≡ [p ⇒ q ∧ q ⇒ p] ∧ (∼ p∨ ∼ q)
≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
≡ (∼ p ∨ q) ∧ [∼ q ∨ (p∧ ∼ p)] ≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q)
≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q) ≡∼ p∧ ∼ q ≡∼ (p ∨ q)
≡∼ (∼ (p∆q) ≡ p∆q
16 Simplifique la siguiente expresión: [(∼ p) ∨ (∼ q ⇔ p)] ⇒ q.
Nosotros usaremos que: (∼ q ⇔ p) ≡ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q). Usted
verifı́quelo a modo de ejercicio, luego:
[(∼ p) ∨ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q)] ⇒ q; y como a ⇒ b ≡∼ a ∨ b
∼ [∼ p ∨ (q ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ [(∼ p ∨ q) ∨ p ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q
≡∼ [(q∨ ∼ p)∨p∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡∼ [q∨(∼ p∨p)∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡
≡∼ [q ∨ V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ [V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ (∼ p∨ ∼
q) ∨ q ≡
≡ (p ∧ q) ∨ q ≡ (p ∧ q) ∨ (V ∧ q) ≡ (p ∨ V ) ∧ q ≡ V ∧ q ≡ q
at
es
ta
y
17 Exprese ( p ∧ q) ∨ (r ∨ s ) usando sólo los conectivos “~” y “ ⇒ ”
Solución.
( p ∧ q) ∨ (r ∨ s) ⇔ ~ ( p ∧ q ) ⇒ (r ∨ s)
⇔ [(~ p ) ∨ (~ q )] ⇒ (r ∨ s )
⇔ [~ (~ p) ⇒ (~ q)] ⇒ [(~ r ) ⇒ s ]
⇔ [ p ⇒ (~ q )] ⇒ [(~ r ) ⇒ s ]
M
18 Teorema de Reducción al Absurdo.
p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ p
Solución.
(p ∧ q) ⇒ p ≡
≡
≡
≡
p∧q∨p
(p ∨ q) ∨ p
p∨q
p⇒q
19 Primer Teorema de Demostración por casos.
((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q
es un tautologı́a.
Solución.
((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡
≡
≡
≡
≡
≡
Instituto Nacional
6/9
(p ⇒ q ∧ p ⇒ q) ∨ q
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∨ q
(p ∧ p) ∨ q ∨ q
F ∨q∨q
q∨q
V
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
20...Demostremos que p ⇒ (p ∨ q) es una tautologı́a, es decir es
siempre verdadera.
Demostración.
(p ⇒ (p ∨ q)) ≡
≡
≡
≡
21 Demostremos que (
Demostración.
(p ∨ (p ∨ q))
((p ∨ p) ∨ q)
V ∨q
V
p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q.
(p ∧ (p ∨ q)) ∨ q
(p ∨ (p ∨ q)) ∨ q
(p ∨ q) ∨ (p ∨ q)
V
y
p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡
≡
≡
≡
M
at
es
ta
22 Teorema (contrarecı́proco): ( p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p).
Demostración.
p⇒q ≡ p∨q
≡ q∨p
≡ q∨p
≡ q⇒p
23 Simplifique las siguientes expresiones:
a) (p ∨ q) ⇒ (∼ p ∧ q)
b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q)
c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q)
Solución.
a) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡∼ p ∧ (∼
q ∨ q) ≡∼ p ∧ V ≡∼ p.
b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ (p ∧ q) ∧ (∼ q) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ p ∧ (q∧ ∼
q) ∨ (r∧ ∼ q)
≡ (p ∧ F ) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ F ∨ (r∧ ∼ q) ≡ (r∧ ∼ q).
c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q) ≡∼ [(p ⇒ q) ⇒ q] ∨ (p ∨ q) ≡
≡∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡∼ [(p∧ ∼ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡
≡ [∼ (p∧ ∼ q) ∧ (∼ q)] ∨ (p ∨ q) ≡ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q)] ∨ (p ∨ q) ≡
≡ [(∼ p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q)] ∨ (p ∨ q) ≡ [(∼ p∧ ∼ q) ∨ F ] ∨ (p ∨ q) ≡
≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (p ∨ q) ≡∼ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q) ≡ V ,
esto quiere decir que la proposición es una tautologı́a.
Instituto Nacional
7/9
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
24 Se sabe que:
Si Pedro no es alumno de la U.C. o Juan es alumno de la U.C., entonces
Juan es alumno de la U. Ch.
Si Pedro es alumno de la U.C. y Juan no es alumno de la U. Ch.,
entonces Juan es alumno de la U.C.
Se desea saber en que universidad estudia Juan.
Solución.
Sabemos que:
Sean p: Pedro es alumno de la U.C.
q: Juan es alumno de la U.Ch.
r: Juan es alumno de la U.C.
{[(∼ p ∨ r) ⇒ q] ∧ [(p∧ ∼ q) ⇒ r]} ≡ V
{[∼ (∼ p ∨ r) ∨ q] ∧ [∼ (p∧ ∼ q) ∨ r]} ≡ V
{[∼ (∼ p ∨ r) ∨ q] ∧ [(∼ p ∨ q) ∨ r]} ≡ V
{[∼ (∼ p ∨ r) ∧ (∼ p ∨ r)] ∨ q} ≡ V
[F ∨ q] ≡ V ⇔ q ≡ V
Luego, Juan es alumno de la U.Ch.
25 A partir del álgebra proposicional, demostrar la validez del siguiente
argumento:
y
Si 2 es par, entonces 5 no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo
ó 5 es divisor de 9. Además, 11 es primo. Por tanto, 2 es impar.
ta
Solución.
M
at
es
Sean:
p : 2 es par
q : 5 es dividor de 9
r : 11 es primo
y el argumento se expresa por:
{[(p ⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q)] ∧ r} ⇒∼ p
lo que es verdadero, pues:
{[(p ⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q)] ∧ r}
⇔ {[[∼ (∼ q) ⇒ (∼ p)] ∧ (r ⇒ q)] ∧ r} contrarecı́proco
⇔ {(q ⇒∼ p) ∧ [(r ⇒ q) ∧ r]}
⇔ {r ∧ (r ⇒ q) ∧ (q ⇒∼ p)} conmutatividad
pero como r ∧ (r ⇒ q) ⇒ q, (*) se tiene que:
⇒ {q ∧ (q ⇒∼ p} ⇒∼ p (hemos aplicado nuevamente (*))
26 Segundo Teorema de Reducción al Absurdo.
Solución.
Instituto Nacional
(p ∧ q) ⇒ q ≡
≡
≡
≡
(p ∧ q) ∨ q
(p ∨ q) ∨ q
p∨q
p⇒q
8/9
p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ q
Prof. Carlos Estay Fuentes
Ejerccios Resueltos de Lógica Simbólica
27 Demuestre:
a) p∨q ≡ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
b) ∼ [p ⇒∼ (q∨ ∼ p)] ⇔ (p ∧ q)
Demostración.
a) Es simple, verificar mediante tablas.
b) Tenemos que:
∼ [p ⇒∼ (q∨ ∼ p)] ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
[p ∧ (q∨ ∼ p)∧ ∼ (q∧ ∼ p)]
[p ∧ (q∨ ∼ p) ∧ (∼ q ∨ p)]
{[(p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ p)] ∧ (∼ q ∨ p)}
(p ∧ q) ∧ (∼ q ∨ p) ⇔ p ∧ [q ∧ (∼ q ∨ p)]
p ∧ [(q∧ ∼ q) ∨ (q ∧ p)] ⇔ p ∧ (q ∧ p) ⇔ p ∧ q
28 (( p ∨ q) ∧ q) ⇒ p
Solución.
y
ta
at
29 ( p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p
Solución.
((p ∨ q) ∧ q) ∨ p
(p ∨ q) ∨ q ∨ p
(p ∨ q) ∨ (p ∨ q)
V
es
((p ∨ q) ∧ q) ⇒p ≡
≡
≡
≡
M
(p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p ≡
≡
≡
≡
≡
(p ⇒ F ) ⇒ p
(p ∨ F ) ∨ p
(p ∧ V ) ∨ p
p∨p
V
En palabras, si una proposición induce una contradicción, entonces uno concluye que la proposición verdadera es la negación
de la proposición inicial.
p ∧ q ⇒ p.
30 Ley de simplificación:
Solución.
(p ∧ q) ⇒p ≡ p ∧ q ∨ p
≡ (p ∨ q) ∨ p
≡ (p ∨ p) ∨ q
≡ V ∨q
≡ V
Nota Si tenemos dos proposiciones verdaderas unidas por un
”y”, ¡obvio! que cada una de ellas es también verdadera.
Instituto Nacional
9/9
Prof. Carlos Estay Fuentes