Enunciado - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
UNIVERSIDAD DE CATALUÑA
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE JUNIO 2012
Responda a CINCO de las siguientes seis cuestiones. En las respuestas, explique siempre
qué quiere hacer y por qué.
Cada cuestión vale 2 puntos.
Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos
que tengan información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.
Serie 3
1.- Diga para qué valor del parámetro m los planos π1: x − y + mz = 1,
π2: x – y + z = m y π3: my + 2z = 3 tienen como intersección una recta. [2 puntos]
2.- Dadas la recta y = 3x + b y la parábola y = x2,
a) Calcule la abscisa del punto en el cual la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.
b) Calcule el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola.
[1 punto por apartado]
3.- Dados el plano
π:
 x+ y+z =0
2 x − y + z = 10
x – y + 2z – 5 = 0 y la recta , r : 
a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano
y corta la recta r.
π , es perpendicular a la recta r
[1 punto por apartado].
 3 2
1 − 2 
 y B = 

−1 1
1 3 
4.- Dadas las matrices A = 
a) Compruebe que se cumple la igualdad (A + B) (A – B) = A2 – B2
b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden?
Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin
utilizar matrices A y B concretas.
[1 punto por apartado]
5.- Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Se sitúa un punto P sobre una de
las alturas del triángulo, a una distancia x de la base correspondiente.
a) Calcule la altura del triángulo de vértices A, B y C.
b) Indique la distancia del punto P a cada uno de los vértices (en función de x).
c) Determine el valor de x para el cual la suma de los cuadrados de las distancias del punto P a cada uno
de los tres vértices sea mínima.
[0,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b; 1 punto por el apartado c]
B
P
A
C
IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
6.- Dados los puntos P = (1 , 0 , 0), Q = (0 , 2 , 0), R = (0 , 0 , 3) y S = (1 , 2 , 3):
a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del plano que contiene los
puntos P, Q y R.
b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos
en un mismo plano).
[1 punto por apartado]
IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 1
1- Dados los planos π 1 : 3x + y − 2z + 15 = 0 y π 2: x + y + 2z −103= 0,
a) Compruebe que son perpendiculares.
b) Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz +D = 0) del
plano perpendicular a π 1 y π 2, que pasa por el punto P = (1 , 3 , 2).
[1 punto por cada apartado]
2.- La gráfica de la función f ( x ) = x 9 − x
2
es la siguiente:
a) Encuentre el punto de corte, (a , 0), de la función con la parte positiva del eje OX.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX en el primer cuadrante.
[0,5 puntos por el apartado a; 1,5 puntos por el apartado b]
3.- Sea A una matriz cuadrada de orden n de modo que A2 =O, siendo O la matriz nula
(la formada completamente por ceros).
a) Compruebe que (A + In) 2 = 2 A + In.
b) Compruebe que las matrices B = In – A y C = A + In son una inversa de la otra.
[1 punto por cada apartado]
4.- Un rectángulo está inscrito en el triángulo que tiene los lados en las rectas de ecuaciones
y = x, x + y = 8, y = 0, y tiene un lado sobre la recta y = 0. Encuentre sus vértices para que su superficie sea
máxima.
IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
5.- Conteste las siguientes preguntas:
a) Explique razonadamente si una matriz de orden 3 y una matriz de orden 2 pueden tener el mismo
determinante.
1
1

b) Considere las siguientes matrices: A = 1 1 − p
1
2

p
1 −1 4 



2  y B = 0 1 p
0 p 4 
p 


Calcule, si es posible, el valor del parámetro p para el cual det A = det B.
[1 punto por cada apartado]
6. Sean
parámetro m.
[2 puntos]
3x + y = 1
. Estudie su posición relativa según el valor del
2 x − y + mz = 1

π : x – 3y + 2z = 1 y r : 