0402) Moméntum Lineal y su Conservación

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0402) Moméntum Lineal y su Conservación
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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Mayor Fuerza Neta ⇒ Mayor Aceleración ⇒ Mayor Cambio de Velocidad ⇒ Mayor Cambio
de Momentum Lineal
A) Definición de Momentum Lineal
El momentum, cantidad de movimiento o
ímpetu lineal se define como el vector:
(a)
B) Definición de Impulso
(b)
Considere un cuerpo de masa m al que se le aplica una fuerza neta Fneta durante un intervalo de
p = mv
tiempo ∆t = t f − t i , lo cual provoca un cambio de moméntum lineal
∆p = pf − pi . Del análisis anterior
La dimensión del moméntum lineal es
Dim ( p ) =MLT -1
Figura 1) Moméntum lineal como vector.
Es el producto de un escalar (masa) por un
vector (velocidad), por lo que es una cantidad física vectorial (ver figura 1), por lo que rigen para él
todas las reglas operacionales para vectores vistas con anterioridad. Como depende de la velocidad,
depende del marco de referencia del observador, el cual debe ser siempre especificado.
dp ∆p
Fneta =
=
⇒ Fneta ∆t = ∆p
dt ∆t
De donde se define el vector impulso de la fuerza neta como:
J = Fneta ∆t = Fneta ( t f − t i )
Figura 2) Gráfico F v/s t
La magnitud del momentum lineal de un cuerpo está dada por p= p = m ⋅ v =m ⋅ v , donde v es
la rapidez del cuerpo. De esta expresión, se puede concluir que:
• Es grande si la masa del cuerpo es grande, su rapidez es grande, o ambas cosas.
• A rapideces iguales, el cuerpo con mayor masa tiene mayor momentum.
• Un cuerpo en reposo, por mucha masa que tenga, tiene momentum cero.
De este resultado se pueden sacar las siguientes conclusiones:
• El impulso puede ser grande si se aplica una fuerza grande, se aplica la fuerza en un
intervalo de tiempo grande, o ambas a la vez
• A fuerzas iguales, la aplicada durante más tiempo tiene más impulso.
• A tiempos iguales, la mayor fuerza es la que tiene mayor impulso.
A partir del concepto de moméntum lineal, el 2º Principio de Newton puede ser formulado de la
siguiente manera: “La rapidez con la cual cambia la cantidad de movimiento de un cuerpo es
proporcional a la fuerza neta que obra sobre el cuerpo y se encuentra en la dirección y
sentido de esa fuerza”. Es decir:
En la figura 2 se muestra un gráfico
típico de fuerza v/s tiempo sobre un
cuerpo. El área bajo la curva de ese
gráfico es la magnitud del vector
impulso recibido por el cuerpo
entre los instantes de tiempo
correspondientes.
dp
Fneta =
dt
Si la masa del cuerpo permanece constante
dp d ( mv )
dv
Fneta =
=
=m
= ma
dt
dt
dt
Lo que corresponde a la formulación del 2º Principio de Newton en función de la aceleración. De
este resultado se pueden sacar las siguientes conclusiones:
•
Cambio de momentum lineal ⇒ cambio de masa o cambio de velocidad o ambos. Si cambia
el momentum lineal y la masa permanece constante, entonces cambia la velocidad ⇒
Existe una aceleración neta ⇒ Existe una fuerza neta que produce tal aceleración.
Teorema del Impulso-Cantidad de
Movimiento
Este teorema dice que “el cambio de
la cantidad de movimiento de un
cuerpo durante un intervalo de
tiempo es igual al impulso de la
fuerza neta durante ese intervalo”.
Este resultado se deduce claramente
del desarrollo anterior.
J = pf − pi = ∆p
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3) Ejemplos del teorema de impulso y cantidad de
movimiento. (a) choque de un vehículo contra un fardo de
paja; (b) choque de un vehículo contra una pared de
concreto; (c) golpe a boxeador
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Considere el caso del un vehículo chocando contra un fardo de paja (figura 3a). Para frenar el
vehículo, el fardo le aplica un impulso que hace disminuir el moméntum hasta cero. Debido a su
naturaleza flexible y elástica, el fardo prolonga el tiempo del impacto, por lo que se prolonga el
tiempo que el momentum demora en anularse. Esto hace que la fuerza neta aplicada al vehículo sea
menor, lo que hace que el vehículo se detenga sin sufrir daño alguno. Ello explica la conveniencia de
usar superficies elásticas (colchones, resortes, air-bags, etc) para amortiguar impactos violentos. Por
ello también uno flexiona las rodillas al saltar desde una posición elevada.
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Del 2º Principio de Newton para un sistema de partículas sabemos que M ⋅ acm = Fext . Derivando el
momentum lineal del sistema de partículas:
dv
dP d ( M ⋅ v cm )
=
= M cm = Macm = Fext
dt
dt
dt
Ahora, si el vehículo choca contra una pared de concreto (figura 3b), también ésta le aplica un
impulso que hace disminuir el moméntum hasta cero. Sin embargo, como la pared es una superficie
dura, la duración del impacto será muy pequeña, por lo que el tiempo que el momentum lineal
demora en anularse se hace muy corto. Esto hace que la fuerza neta aplicada al vehículo sea muy
grande.....con las consecuencias que nos podemos imaginar.
Que constituye la expresión del 2º Principio de Newton para un sistema de partículas considerando
el moméntum lineal.
Ahora, considere al boxeador de las figura 3c y 3d, en las cuales se muestran dos maneras en que
se puede recibir un golpe en pleno rostro. Cuando el boxeador se deja ir hacia atrás mientras recibe
el golpe (figura 3c), extiende la duración del impacto, por lo que disminuye su fuerza y el potencial
daño que pudiera causarle. Si, por el contrario, el boxeador avanza hacia el guante o recibe el golpe
en una posición rigida (figura 3d), disminuye la duración del impacto, por lo que aumenta la fuerza de
éste, lo que redunda en un mayor daño.
En la expresión
C) Moméntum lineal en un sistema de partícula y su conservación
Supóngase un sistema de N partículas de masas m1, m2, m3,.... mN, donde la masa total del sistema
permanece constante (no entra ni sale masa del sistema). Las partículas pueden interactuar entre sí
y también pueden existir fuerzas externas obrando sobre ellas. La n-ésima partícula tiene asociada
una velocidad v n y un momentum lineal pn .El sistema tendrá un momentum lineal total en un cierto
marco de referencia dado por la suma vectorial de los momentums de las partículas individuales, es
decir:
N
N P = ∑ pn = ∑ mnv n
n =1
n =1
Del análisis del movimiento del centro de masa sabemos que:
N
∑ mnv n = M ⋅ v cm
n =1
Donde M es la masa total del sistema y v cm es la velocidad del movimiento del centro de masa del
sistema. Luego
P = M ⋅ v cm
Conclusión: El momentum lineal total de un sistema de partículas es igual al producto de la masa
total del sistema por la velocidad de su centro de masa.
Conservación del moméntum lineal
dP = Fext , supóngase que la fuerza externa neta es cero. Luego:
dt
dP = 0 ⇒ P = constante
dt
Esto corresponde al Principio de
Conservación del Momentum
Lineal: Cuando la fuerza externa
resultante que obra sobre un sistema
de partículas es cero, el momentum
lineal total del mismo permanece
constante. El momentum de cada
partícula puede cambiar, pero la
suma total debe ser constante, a
menos que exista una fuerza externa
neta distinta de cero.
Considere el rifle de la figura 4a.
Antes de disparar una bala desde él,
el moméntum lineal del sistema rifle
+ bala es cero. Después de disparar
el rifle, el momentum total del
sistema sigue siendo cero debido a
que el momentum del rifle (que
retrocede producto del disparo)
cancela el momentum de la bala.
(a)
(b)
(c)
Figura 4) Conservación del momentum en la práctica. (a)
retroceso de un rifle; (b) Astronautas en el espacio; (c)
patinadores
En la figura 4b, se muestran dos
astronautas se empujan mutuamente
mientras flotan libremente en el entorno de gravedad cero del espacio exterior. Como las únicas
fuerzas que actúan sobre el sistema formado por ambos astronautas son las fuerzas internas
(contacto); éstas no cambian el momentum lineal total de los dos astronautas.
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En la figura 4c, se muestran dos patinadores que se tocan mientras patinan sobre una superficie
horizontal sin fricción. Las fuerzas normales y gravitatorias son fuerzas externas, pero la suma
vectorial de ellas es cero, por loque la fuerza externa neta es cero y el momentum lineal total se
conserva.
D) Choques
Durante un choque obra una fuerza relativamente grande sobre cada
una de las partículas que chocan durante un tiempo relativamente
corto, por lo que cada una de las partículas recibe impulsos de igual
magnitud, pero direcciones y sentidos diferentes, como se muestra en
la figura 5.
Figura 5) Definición de
choque
En un choque, el movimiento de las partículas que chocan (o por lo
menos de una de ellas) cambia abruptamente.
En un choque, podemos establecer una separación relativamente precisa de tiempos que
transcurrieron “antes del choque” y de tiempos que transcurrieron “después del choque”.
El estudio de los choques busca determinar el estado
de movimiento final de las partículas implicadas,
conociendo:
• El estado de movimiento inicial de cada
partícula.
• El Principio de Conservación del Momentum
Lineal.
• El Principio de Conservación de la Energía, en
el caso de los choques elásticos
En todo choque, el momentum lineal total del sistema
formado por los cuerpos involucrados se conserva, por
lo que es el mismo antes y después. Con referencia a
la figura 6, esto significa que:
Figura 6) Conservación del
momentum lineal en un choque
mAv A1 + mBv B1 = mAv A2 + mBv B2
Los choques se pueden clasificar en:
• Elásticos, que son aquellos en los que, aparte del moméntum lineal, se conserva la energía
cinética antes y después del choque
• Inelásticos, en los cuales no se conserva la energía cinética. Dentro de esta categoría
podemos distinguir los choques parcialmente inelásticos, en los que los cuerpos siguen
caminos diferentes después del choque, y los choques totalmente inelásticos o plástico,
en los cuales los cuerpos involucrados se pegan y se mueven como uno solo después del
choque.
Choques Elásticos
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Si en un choque las fuerzas
entre los cuerpos son
conservativas, de modo que
no se pierde ni se gana
energía mecánica, la energía
cinética total del sistema es la
misma antes y después. En tal
caso, el choque sería elástico
Figura 7) Choques elásticos
(ver figura 7). En un choque
elástico, los cuerpos no sufren deformaciones permanentes ni pierden energía por calor o fricción.
Además del moméntum lineal, en un choque elástico se conserva la energía cinética. Con referencia
a la figura 6, por conservación de la energía cinética:
1
1
1
1
2
2
2
2
mAv A1
+ mBv B1
= mAv A2
+ mBv B2
2
2
2
2
Por conservación del moméntum lineal
mAv A1 + mBv B1 = mAv A2 + mBv B2
Choques Inelásticos
En la realidad son escasas las situaciones de choques
perfectamente elásticos. En la práctica siempre se genera
algo de calor en las colisiones, producto de roce o de
alguna otra fuerza no conservativa. En este caso,
estamos ante un choque inelástico.
En un choque inelástico, se pierde energía mecánica por
efecto de calor o deformaciones en las partículas
implicadas. Por lo tanto, la energía cinética total final es
menor que la energía cinética total inicial. Eso si, tal como
en todos los choques, se conserva el momentum lineal.
En referencia a la figura 6
mAv A1 + mBv B1 = mAv A2 + mBv B2
Cuando, en un choque inelástico, los cuerpos quedan
Figura 8) Choque totalmente
pegados y se mueven como uno solo después del
inelástico.
choque, se habla de choque plástico o totalmente
inelástico. Por conservación del momentum lineal, con referencia a la figura 8
mAv A1 + mBv B1 = ( mA + mB ) v 2