1 - Universidad de Santiago

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE FISICA
PROF: CECILIA TOLEDO V
1º SEMESTRE -2011
PROBLEMAS DE MOMENTUN RESUELTOS
1. Un proyectil se dispara con un cañón que forma un ángulo de 45º con la horizontal y con una rapidez
de salida de 400 m/seg. En el punto más alto de su trayectoria, el proyectil explota en dos
fragmentos de igual masa, un fragmento cae verticalmente ¿A qué distancia del cañón cae el otro
fragmento?
Solución:
Este movimiento es uniforme variado, con aceleración de gravedad

g  10 ˆj m seg . La componente
vertical de la ecuación itinerario y de la velocidad son:
y  y 0  v0 y t 
1 2
gt
2
v y  v0 y  gt
;
En la altura máxima la componente vy de la velocidad es cero:
0  400 sin 45  10t
t ymax 
;
La componente horizontal de la posición de este proyectil es:
283
 28, 3seg.
10
x  x0  v0 xt
el valor de esta componente para t = 28,3 seg. Es:
x  0   400 cos 45o  28, 3  8, 00  10 3 m
en esta posición impacta el primer fragmento en tierra, podríamos calcular usando la conservación del
momentum lineal con qué velocidad sale disparado el segundo fragmento después de la explosión, sin
embargo sabiendo que la única fuerza externa que actúa sobre el sistema es la fuerza peso, después de
la explosión el centro de masa del sistema sigue la misma trayectoria como si el sistema no hubiese
explotado por lo tanto la posición del centro de masa al impactar en tierra o alcance viene dada por:
v02 sen2 4002 sen90
R

 1,60  104 m
g
10
Por otro lado, como las dos masas son iguales el centro de masa se encuentra a la mitad de la distancia
entre los dos fragmentos, por lo tanto la posición del segundo fragmento es:
x  2, 40  104 m
[email protected]
ó
x  24 km.
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2. El péndulo balístico se usa para determinar la magnitud de la velocidad de una bala (m 1) midiendo la
altura h a la que el bloque (m2) se eleva después de
que la bala se ha incrustado en él. Demostrar que la
magnitud de la velocidad de la bala está dada por:
v1 =
m1 + m2
m1
2gh
La bala es disparada horizontalmente cerca del bloque para que el impulso de la fuerza peso sea
despreciable. Como la bala queda incrustada en el bloque, se considera este choque como “plástico”, por
lo tanto, la conservación del momentum en la componente horizontal es:
m1v1x  0  (m1  m2 )vx
(1)
Donde el primer término es la componente del momentum de la bala antes del choque, se muestra
además que el momentum del bloque antes del choque es nulo, ya que está detenido. Al otro lado de la
ecuación se muestra que el sistema queda acoplado después de choque viajando con velocidad de
componente horizontal vx.
Las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema después de la colisión son conservativas
(despreciando el roce), por lo tanto la energía mecánica del sistema se conserva. Sean E 1 la energía
mecánica del sistema al impactar la bala con el bloque y E 2 la energía al alcanzar el bloque la elevación h,
se tiene que:
E1  E2
O sea:
E p1  Ec1  E p 2  Ec 2
Donde Ec y Ep son las energías cinéticas y potenciales respectivamente. Son ceros la energía potencial
Ec1 por haber puesto nuestro sistema de referencia en el punto de impacto y E p2 por detenerse el
sistema en la elevación h. Por lo tanto la conservación de la energía nos queda.
0
1
mv 2x  mgh  0
2
(2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) y despejando para v 1x tenemos que :
v

1x
m m
1
2
m
1
[email protected]
2gh
y en magnitud es:
v1 
m1  m2
m1
2gh
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2
3. Demuestre que si se deja caer una pelota desde una altura h1, chocando
contra el suelo y rebotando hasta la altura h2 el coeficiente de restitución es:
e
h2
h1
Suponemos esta situación como el choque vertical
pelota, sabemos que si dejamos caer la pelota desde
llegar a la superficie de la tierra tendrá una velocidad
entre la Tierra y la
una altura h1, al
de
componente
h1
h2
v1 y   2gh1 y si, después del choque alcanza una altura h2 tendrá que alcanzarla
si y sólo si partió desde tierra con una velocidad de componente
v1' y  2gh2 , por
otro lado, debido a la gran masa inercial del planeta, la masa de la pelota es tan despreciable que, la
Tierra no será afectada mayormente en su velocidad durante el choque, por lo tanto consideremos a la
Tierra en reposo con respecto a nuestro sistema de referencia en su superficie, donde se produce el
choque, en estas condiciones:
e
'
'
v1y  v2y
v1y  v2y

2gh2  0
 2gh1  0
e 
h2
h1
4. Demuestre que la energía disipada para un choque plástico frontal entre dos partículas de masas m 1
y m2 cuyas rapideces antes del choque son v 1 y v2 es:
1 m1m2
2
 v2  v1 
2 m1  m2
Fijando el eje X en la línea de choque, anotaremos a continuación dos ecuaciones: La energética y la de
momentum
1
1
1
m1v12  m2 v 22   m1  m2  v 2  Ed (1)
2
2
2
m1v1x  m2v2x  m1  m2  vx
Despejando vx en (2)
vx 
(2)
m1v1x  m2 v2x
m1  m2
y sustituyendo en (1) tenemos que:
2
 m v  m2 v 2 x 
1
1
1
m1v12  m2 v 22   m1  m2   1 1x
  Ed
2
2
2
 m1  m2

despejando para Ed tenemos que
Ed 
[email protected]
1 m1m2
2
 v2  v1 
2 m1  m2
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