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GEODESIA FÍSICA
Preliminares Físicos y Matemáticos
TEMA 0: PRELIMINARES FISICOS Y MATEMÁTICOS
0.1
Campos escalares y vectoriales
Una función escalar es una función que está definida en un cierto conjunto de
puntos en el espacio y cuyos valores son números reales que solo dependen de los
puntos en el espacio pero no de la elección particular del sistema de coordenadas. Por
ejemplo: un campo de temperaturas T= T(x,y,z) dependerá únicamente del punto en el
que estemos midiendo, es evidente que un cambio de sistema de referencia hará que
las coordenadas (x,y,z) pasen a tener valores (x’,y’,z’), sin embargo, los valores de
temperatura en cada punto serán los mismos ya que la temperatura no dependerá del
sistema de referencia elegido, con el fin de indicar este hecho se suele anotar como f(p)
y no f(x,y,z).
En la mayoría de las aplicaciones, el dominio de definición D de una función
escalar f, será una curva, una superficie o una región tridimensional en el espacio. La
función f relaciona cada punto en D con un número real, y se dice que se da un
campo escalar en D:
f(p):D
Si P ∈ D
⎟R
⎧R ⎫
⎪ ⎪
D ∈ ⎨R 2 ⎬
⎪R 3 ⎪
⎩ ⎭
f(P) ∈ |R
Ejemplo: La distancia f(p) de cualquier punto P a un punto fijo P0 en el espacio
es una función escalar cuyo dominio de definición D es todo el espacio. f(p) define una
función escalar en el espacio. Si se introduce un sistema de coordenadas cartesianas y
P0 tiene las coordenadas x0, y0, z0, entonces f está dada por la conocida fórmula:
f ( P ) = f ( x, y , z ) =
( x − x 0 )2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2
Donde x, y, z son las coordenadas de P. Si se reemplaza el sistema de
coordenadas cartesianas dado por otro sistema cartesiano, entonces, en general, los
valores de las coordenadas de P y P0 cambiarán, pero f(p) tendrá el mismo valor de
antes. De aquí que f(p) es una función escalar.
Se llama superficie isoescalar, equiescalar o de nivel, al lugar geométrico de los
puntos del espacio en los que la función escalar de punto toma el mismo valor. En
consecuencia, la ecuación de una superficie de nivel es:
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f ( p ) = f ( x, y, z ) = cte
Que, evidentemente corresponde a una superficie.
Por definición de función ésta tiene un único valor en cada punto del dominio
de definición, por lo que por cada punto pasa una, y solo una superficie de nivel de f.
Si a cada punto P de un conjunto dado de puntos en el espacio (por ejemplo,
los puntos de una curva, una superficie o una región tridimensional) se le asigna un
vector A(P ) , entonces se dice que se da un campo vectorial en esos puntos y A(P ) ,
o simplemente A , es una función vectorial.
Si se introducen las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) sabemos que un vector
se puede definir por sus componentes a lo largo de 3 ejes perpendiculares
cualesquiera, es decir, que un vector se puede descomponer en las componentes Ax,
Ay, Az, figura 1.
Z
→
A
→
k
Az
→
Y
→
i
j
Ax
Ay
X
Figura 1: Descomposición de un vector en
sus componentes Ax, Ay y Az.
→
El vector A se puede expresar, sencillamente, en función de sus componentes
Ax, Ay, Az, empleando los vectores unitarios i, j , k que se definen como vectores de
módulo unidad en las direcciones positivas de los ejes X, Y, Z respectivamente:
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A = Axi + Ay j + Az k
Se usa la notación cartesiana (X, Y, X) para las coordenadas del punto final del
vector (afijo) en el sistema de referencia definido por los vectores unitarios i, j , k .
Pero también debe tenerse presente que el campo vectorial depende solo de los
puntos de su dominio de definición y que en cualquier punto se define el mismo vector
para cualquier elección del sistema de
coordenadas, es decir son campos
independientes del sistema de coordenadas elegido.
Ejemplo: el campo gravitatorio: De acuerdo con la ley de gravitación de Newton,
dos puntos con masas m1 y m2, separados una distancia r, se atraen el uno al otro con
una fuerza cuyo módulo es:
F= F =K
m1 m2
r2
Entendiendo esa fuerza como vectorial, es decir, con dirección, sentido, y con
módulo.
Esta fuerza está definida a lo largo de la línea que conecta con los dos puntos;
K es la constante de gravitación universal:
K = 6,67 × 10
−11
m3
Kg sg 2
Aunque las masas m1 y m2 se atraen entre sí de una forma completamente
simétrica, es conveniente llamar a una de ellas masa atrayente y a la otra masa
atraída. Por simplicidad, hagamos la masa atraída igual a la unidad (conocida como
partícula testigo: Al menos debe haber 2 masas para que las leyes de Newton tengan
significado, por lo que si queremos evaluar el campo gravitatorio de un solo cuerpo,
debemos introducir esta simplificación ya que servirá para materializar la fuerza
gravitatoria y nos ayudará a calcular el campo) y nombremos a la masa atrayente
simplemente por m:
F= F =
Km
r2
(1)
Esta fuerza gravitacional puede representarse por un vector F con magnitud o
módulo F, dirección la recta que une la masa atrayente con la atraída y sentido hacia
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la masa atrayente, introduciendo las coordenadas cartesianas de manera que el punto
atrayente P0 tenga coordenadas (X0,Y0,Z0) y el punto atraído P coordenadas (X,Y,Z),
entonces:
r=
( x − x 0 )2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2
Suponiendo que r>0 e introduciendo el vector:
r = ( x − x0 )i + ( y − y 0 ) j + ( z − z 0 )k
Se tiene que r = r y, por tanto −
r
será el vector unitario en la dirección de P PO, el
r
signo negativo indica que P está dirigido hacia P0 (el sentido). De esto y utilizando la
ecuación (1) se tiene que:
⎛ r⎞
y − y0
z−z
x−x
r
F = F ⎜ − ⎟ = − Km 3 = − Km 3 0 i − Km
j − Km 3 0 k
3
⎜ r⎟
r
r
r
r
⎝
⎠
(2)
Esta función vectorial describe la fuerza gravitacional que actúa sobre P.
0.2
Derivada direccional. Gradiente de campo escalar. Potencial. Circulación
Sea un campo escalar en el espacio dado por una función escalar f(p)=f(X,Y,Z),
se sabe que las primeras derivadas parciales de f son las rapideces de cambio de f en
las direcciones de los ejes coordenados. No parece natural restringir la atención a
estas tres direcciones y puede preguntarse por la rapidez de cambio de f en cualquier
dirección. Esta idea tan sencilla conduce a la noción de derivada direccional.
Para definir esa derivada se elige un punto P en el espacio, figura 2, y una
dirección en P, dada por un vector unitario
dirección de
b
b.
Sea C el rayo o dirección de P en la
y Q un punto sobre C, cuya distancia a P es S.
Entonces, si el límite:
∂f
f (Q ) − f (P )
= lim
S
∂S S →0
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b.
Existe, se llama derivada direccional de f en la dirección de
∂f
∂S
Obviamente,
es la rapidez de cambio de f en P a lo largo de la dirección que marca el unitario
b.
Z
S
→
b
→
A
C
•Q
P
Y
X
Figura 2: Definición de derivada direccional.
De esta forma, ahora existe un número infinito de derivadas direccionales de f
en P, cada una correspondiente a una determinada dirección; vamos a modelizar o
parametrizar esta idea:
Dado
un
sistema
de
coordenadas
cartesianas,
una
curva
S
puede
representarse o parametrizarse mediante la función vectorial, figura 3:
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
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→
∂r
∂t
Z
c
→
r (t )
S
Y
X
Figura 3: Parametrización de una curva S.
Donde a cada valor tO de la variable real t le corresponde un punto c (el afijo del
→
vector) que posee como vector de posición el vector r (tO ) , es decir, las coordenadas
x(tO), y(tO), z(tO), siendo ese punto C un punto de la curva S.
Una representación de esta forma se denomina representación paramétrica de
la curva S y t recibe el nombre de parámetro de representación.
Así, la variación de una función sobre cualquier curva o línea, definición de
derivada direccional, puede representarse como:
∂f
∂f
∂f
=
=
∂S
⎛ → ⎞ ∂t
∂⎜ r (t )⎟
⎝
⎠
Aplicando la regla de la cadena se obtiene:
(3)
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
=
⋅ +
⋅ +
⋅
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
Donde ∂x
∂t
,
∂y
∂t
, ∂z
∂t
marcan la variación de cada una de las coordenadas
cartesianas a medida que avanza el parámetro t, o, si se expresa en forma vectorial,
figura 4, se puede expresar utilizando el vector unitario
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b:
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∂ r ∂x
∂y
∂z
= i+
j+ k =b
∂t ∂t
∂t
∂t
Z
→
S
b
→
r (t )
Y
X
Figura 4: Parametrización del vector unitario
b.
→
El significado geométrico exacto de la función ∂r
∂t
se dará más adelante.
Todo esto sugiere que se introduzca el vector:
→
gra d f =
∂f → ∂f → ∂f →
k
i+
j+
∂X
∂Y
∂Z
Y escribir la ecuación (3) en la forma del producto escalar:
→
→
∂f
= gra d f ⋅ b
∂S
(3b )
El vector grad f se llama gradiente de la función escalar f. Introduciendo el
operador diferencial:
∇=
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
Léase nabla, se puede escribir:
→
gra d f = ∇f =
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∂f → ∂f → ∂f →
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
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Así pues, el gradiente de una función escalar la transforma a función
vectorial si se aplica el gradiente a cada punto del dominio de la función escalar f.
Por la definición de una función escalar, el valor de f en un punto P depende de
P pero es independiente de las coordenadas y, por otra parte S, la longitud de arco
por donde tiene lugar la derivada direccional, también es independiente de la elección
particular de las coordenadas, por lo tanto la longitud y la dirección de grad f son
independientes de la elección particular de las coordenadas cartesianas en el espacio.
Ahora busquemos la dirección donde
∂f
se hace máxima: utilizando las
∂S
propiedades del producto escalar se tiene que:
→
→
→
∂f
= gra d f ⋅ b cos α = gra d f cos α
∂S
Donde  es el ángulo entre b y grad f . Así
cos=1, es decir, =0 y, entonces
∂f
es máxima cuando
∂S
→
∂f
= gra d f , lo cual pone de manifiesto que el
∂S
vector grad f lleva la dirección de la máxima variación de la función y sentido
creciente de la misma.
Otra importante propiedad geométrica del gradiente puede obtenerse del
modo siguiente: considérese una función escalar diferenciable f(x,y,z) en el espacio.
Supóngase que para cada constante c, la ecuación:
f ( x, y, z ) = c = cte
Representa una curva equiescalar en el espacio.
Recuérdese, además, que una curva en el espacio puede representarse en la
forma paramétrica:
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
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Si ahora se requiere que esa curva se encuentre sobre la superficie equiescalar,
entonces se obtiene como representación paramétrica de una curva equiescalar o de
nivel:
f (r (t )) = f [ x(t ), y (t ), z (t )] = cte
Derivando esto para buscar la variación de la función a lo largo de la superficie
equiescalar y aplicando la regla de la cadena se obtiene:
(4)
∂r
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= · + · + · = ( grad f )· = 0
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
∂t
Para encontrarle significado geométrico a la ecuación 4, debemos buscárselo,
→
en primer lugar,
a la expresión ∂ r
∂t
, ecuación con la que ya nos habíamos
encontrado al analizar la ecuación (3).
Se considera que la tangente a una curva S en un punto P de S se define como
la posición límite de la recta L que pasa por P y otro punto Q de S, conforme Q tiende
a P a lo largo de una curva, figura 5.
L
S
→
u
→
r (t + Δt )
P
→
r (t )
O
Figura 5: Definición de tangente a una curva.
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Supóngase que S se representa mediante una función vectorial continuamente
diferenciable r (t ) donde t es cualquier parámetro. Entonces L tiene la dirección:
→
⎡ →
(
)
(t )⎤⎥
+
Δ
−
r
t
t
r
⎢⎣
⎦
Δt
De ahí que el vector:
→
r (t + Δt ) − r (t )
dr
= lim
Δ
t
→
0
dt
Δt
Si no es el vector cero, tiene la dirección de la tangente a S en P.
Entonces, volviendo a la búsqueda del significado geométrico de la ecuación
(4), sobre una superficie a nivel si el gradiente de f en P no es el vector cero, es
perpendicular a la superficie de nivel S en P, es decir, tiene la dirección de la
normal a S en P.
Por lo tanto, resumiendo y volviendo a la definición ideal, la variación elemental
→
de la función f en cualquier dirección b (vector unitario de la dirección S) se puede
expresar como veíamos en la ecuación 3b:
→
→
∂f
= gra d f ⋅ b
∂S
Que sabemos se llama derivada direccional de la función f en la dirección dada
→
por el vector unitario b .
El significado geométrico de la derivada direccional será el siguiente: para
→
cualquier dirección b , a partir de P, el valor de la derivada direccional será, figura 6:
→
∂f
= gra d f ·cos α
∂S
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→
gra d f
α
S
→
b
P
f=fO
Figura 6: Interpretación geométrica de derivada direccional.
→
Es decir, la longitud del segmento proyección del gra d f sobre la dirección
→
dada por b .
Algunos de los campos vectoriales que ocurren en la física se expresan
mediante funciones vectoriales que pueden obtenerse como los gradientes de
funciones escalares apropiadas. Entonces una función escalar así se llama función de
potencial o potencial del campo vectorial correspondiente. El uso de los
potenciales simplifica considerablemente la investigación de esos campos vectoriales.
Uno de los ejemplos más claros es el potencial gravitatorio:
V =
km
d
Donde d es, en este caso, la distancia. El vector gradiente coincide con las
componentes del vector fuerza gravitatoria tal como se puede comprobar.
Dado un campo vectorial F = F ( x, y, z ) se define como circulación elemental
de este campo a lo largo de la curva S a la expresión, figura 7:
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→
→
dC = F ⋅ dr
Que extendida a un tramo finito AB de la curva, se traduce en la integral
curvilínea:
Z
→
•
F
A
→
r
→
B•
dr
Y
S
X
Figura 7: Definición de circulación elemental.
B →
(5)
→
C AB = ∫ F ⋅ dr
A
Supongamos ahora que:
→
→
F = gra d f
Sustituyendo en la ecuación (5) nos queda:
B
→
→
C AB = ∫ gra d f ·dr
A
Y, teniendo en cuenta la definición de derivada direccional:
→
→
→
→
→
→
df
= gra d f ·ur → df = gra d f ·ur ·dr → df = gra d f ·dr
dr
La cantidad subintegral coincide con la variación elemental de la función f
(con su diferencial df), lo que permite escribir la ecuación (5) de la forma:
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B
C AB = ∫ df = f B − f A
A
→
Es decir, la circulación del campo
F , entre los puntos A y B sobre la curva es
igual al valor de la función f en B menos el valor de la función f en A y, por tanto,
dicha circulación no depende del camino o curva que une ambos puntos, sino
únicamente de los valores de la función f en ambos puntos.
Así si la función vectorial que define un campo vectorial se obtiene a partir del
gradiente de una función escalar, que dice que el campo es conservativo porque en
un campo así, el trabajo realizado al desplazar una partícula desde un punto P1 a un
punto P2 en el campo solo depende del valor de la función en P1 y P2, pero no de la
trayectoria a lo largo de la cual se desplaza la partícula desde P1 a P2, tal es el caso
del campo gravitatorio.
0.3
Teorema de la divergencia. Teorema de Gauss
Dado un campo vectorial F = F ( x, y , z ) y una superficie S, se define como
elemento de flujo
dφ del campo F a través de la superficie S en el entorno de un
punto P de la misma a la expresión, figura 8:
dφ = F ·d s
→
F
Z
→
ds
ds
P
→
→
n
S
r
Y
X
Figura 8: Definición de flujo elemental.
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Donde F es el valor del campo vectorial en el punto y
d s es el vector normal
a la superficie S en P y cuyo módulo es igual a la superficie del elemento diferencial de
→
área considerando
ds = ds .
En función del vector unitario normal
→
n a la superficie, el elemento de flujo es:
dφ = ( F ·n)·ds
→
Por lo que el flujo total del campo
F a través de la superficie S se obtiene
integrando:
→
→
→ →
→
φ s = ∫∫ F ⋅ ds = ∫∫ ( F ·n )ds = ∫∫ Fn ·ds
s
S
S
Esta integral corresponde a la definición de integral de superficie para campos
vectoriales.
En caso de que la superficie a estudiar encierre un volumen se actúa de la
siguiente manera:
Normalmente tendremos la función F definida, y, normalmente, los límites de
integración estarán establecidos, así que deberemos dividir nuestra superficie en
superficies más sencillas y formar la suma. En estas superficies más sencillas es
donde debemos evaluar
d s . Para un cubo, por ejemplo, tendríamos, figura 9:
Para la cara 1 que tendrá n1 :
n1 → d s = dx·dy·k
Para la cara 2 que tendrá n 2 :
n 2 → d s = dx·dz· j
Para la cara 3 que tendrá
n3 :
n3 → d s = dy·dz·i
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Z
→
n1
→
n2
dz
Y
dx
dy
→
X
n3
Figura 9: Ejemplo de cálculo de flujo elemental utilizando un cubo.
Finalmente para obtener el flujo deberán multiplicarse escalarmente los
elementos anteriores por el correspondiente vector F y sumar el flujo resultante de
cada cara. Por lo tanto, en el caso de una superficie cerrada, el cálculo del flujo a
través de las superficies que encierran el volumen se transforma en variación de ese
flujo, es decir, la suma del flujo de todas las superficies marcará la variación de flujo
en una dirección.
Así este flujo saliente, en caso de calcularse sobre una superficie que encierra
un volumen, también se puede calcular de otra forma considerando un volumen
infinitesimal y un vector F (del campo vectorial del que antes hablábamos) aplicado a
un punto P situado dentro del volumen, y cuyos componentes Fx, Fy, Fz son funciones
de las coordenadas x, y, z como ya sabemos, figura 10:
F = Fx( x, y, z )i + Fy ( x, y, z ) j + Fz ( x, y, z )k
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Z
→
F
P
dz
dx
dy
Y
X
Figura 10: Cálculo del flujo saliente utilizando un volumen infinitesimal.
El flujo neto a través del volumen que encierra a F en el punto P se obtiene
como la suma de los flujos netos a lo largo de las direcciones X, Y, Z que son
perpendiculares a las caras del paralelopípedo diferencial, flujos a los que se
denominará
dφ x , dφ y y dφ z . Se podrá considerar, por tanto, que:
dφ = dφ x + dφ y + dφ z
Cada uno de estos sumandos, como flujos netos que son se pueden ver como
las variaciones de flujos en cada una de las direcciones coordenadas (variación de la
función Fx, por ejemplo, a lo largo de una dirección ( x ) ).
Así se puede ver como la variación de una función en una dirección dada que
no es más que la definición de derivada direccional y, por tanto, de gradiente, que
para que coincida con la definición de flujo dφ = F ·n·ds se deberá leer como variación
→
de la función dada
F en un punto sobre una superficie a lo largo de una dirección
determinada, por ejemplo, para la dirección del eje x se tendrá:
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→
→
→
→
dφ X = gra d F ·ur·dr = gra d F · i ·dx
Donde para la dirección del eje x, solo debemos evaluar la componente Fx del
vector F , es decir:
grad F = grad ( Fx·dz·dy )
Con lo que, finalmente:
dφ x = grad ( Fx·dz·dy )·(dxi )
Desarrollando la última expresión tenemos:
⎡ ∂[Fx·dy·dz ] ∂[Fx·dy·dz ]
∂[Fx·dy·dz ] ⎤
dφ x = ⎢
i+
j+
k ⎥·(dxi )
∂x
∂y
∂z
⎦
⎣
dφ x =
∂ ( Fx·dz·dy )
∂Fx
∂Fx
·dx =
·dx·dy·dz =
·dv
∂x
∂x
∂x
Siendo dv la diferencial de volumen.
Operando de la misma forma, los restantes flujos netos serán:
dφ y =
∂Fy
·dv
∂y
dφ z =
∂Fz
·dv
∂z
Es decir:
→
⎡ ∂Fx ∂Fy ∂Fz ⎤
dφ = ⎢
+
·
dv
=
div
F
·dv
+
∂y
∂z ⎥⎦
⎣ ∂x
Donde se ha llamado
(6)
→
⎡ ∂Fx ∂Fy ∂Fz ⎤
div F a ⎢
+
+
∂y
∂z ⎥⎦
⎣ ∂x
Con lo que, finalmente, el flujo será igual a:
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→
φ = ∫∫∫ div F ⋅ dv
v
Para obtener un significado físico de la divergencia partimos de la ecuación
(6) e introducimos el símbolo nabla para expresar la divergencia:
→
→
div F = ∇ F =
dφ
dv
(7 )
Con lo que podemos decir que el significado físico de la divergencia en un
punto P es la cuantificación del flujo del campo vectorial a través de la superficie que
limita un volumen elemental que contiene al punto. En definitiva, expresa el flujo por
unidad de volumen. Además la divergencia transforma a escalar un campo vectorial.
En el desarrollo la dirección se ha tomado como dirigida hacia el exterior del
volumen, si el numerador en la ecuación (7) es positivo quiere decir que el flujo
resultante a través de la superficie que limita al elemento de volumen considerado es
saliente, la divergencia del campo en ese punto es positiva, diciéndose que constituye
un manantial. En caso de que dicho numerador sea negativo, la divergencia es
negativa y el punto constituye un sumidero. Finalmente si la divergencia es nula en
todos los puntos se dice que el campo es solenoidal.
Hemos visto que se puede obtener el flujo saliente a través de las expresiones:
φ = ∫∫ F n ·d s = ∫∫∫ div F ·dv
s
v
Esta igualdad es la conocida expresión del teorema de la divergencia y que
constituye el teorema de Gauss, que se podría enunciar diciendo: “El flujo saliente de
un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de volumen
de la divergencia extendida al volumen encerrado por dicha superficie”, la integral del
2º miembro es la cantidad de flujo generado (o aniquilado) por la acción combinada de
fuentes y sumideros dentro de un volumen V, el primer miembro es la cantidad de
flujo que sale o entra a través de la superficie S que encierra el volumen V. El teorema
de Gauss expresa el hecho evidente de que ambas cantidades son iguales.
Si se considera la divergencia del gradiente de un campo escalar u, se obtiene
lo que se denomina laplaciano:
div ( gradu )
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Es decir, la divergencia lo es, por definición, de un campo vectorial, que, por
ejemplo, puede estar constituido por el grad de un determinado campo escalar, con
lo que tendremos el flujo de ese potencial (o variación de potencial), que se
representará por:
∇(∇u ) = ∇ 2 u = Δu =
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎡ ∂ 2
∂2
∂2 ⎤
+
+
=
+
+
⎢
⎥·u
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎣ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎦
Donde Δ es el operador laplaciano:
Δ=
0.4
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Campos centrales y Newtonianos
Un campo escalar se dice que es central, cuando la ecuación que lo
representa es función exclusiva de la distancia a un punto fijo, denominado centro del
campo. Serán, por tanto, campos con simetría esférica con respecto a dicho punto, es
decir, las superficies de nivel serán superficies esféricas con centro el del campo.
Se dice que un campo vectorial es central cuando las líneas de campo
(vectores) son rectas que concurren o parten en un punto, llamado centro del campo, y
el módulo de los vectores son una función que dependerá exclusivamente de la
distancia de dicho punto al centro del campo. Al igual que en el caso de los campos
escalares, son campos con simetría esférica con respecto al centro del campo, figura
11:
Figura 11: Definición de campo vectorial central.
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Teniendo en cuenta las características del campo escalar central y del campo
vectorial central, se podrá afirmar que el campo de gradientes asociado a un campo
escalar central es un campo vectorial central.
Si se trabaja en coordenadas esféricas la expresión de dicho campo será:
F = F (d )·ud
Siendo F(d) el módulo del campo, función de la distancia de un punto genérico
al centro del campo y que coincidirá con la primera coordenada esférica tomando
ud el unitario correspondiente, es decir, se tratará de una
como origen dicho centro, y
función radial únicamente.
El flujo del campo a través de una superficie esférica de radio R y cuyo centro
coincida con el del campo será:
φ=
∫∫
S
→
→
F ⋅ dS =
∫∫
→ →
F ⋅ n⋅ ds = ±
S
∫∫
→
→
F (d ) ⋅ n ⋅ cos α ⋅ d 2 senθ ⋅ dθ ⋅ dλ
S
En este caso d será el radio R del campo central y θ la colatitud, el ± se
introduce para señalar la circunstancia de que el campo puede ser una fuente o un
sumidero, el valor del módulo del vector
→
n es la unidad al tratarse de un vector
unitario, el ángulo entre los vectores del campo y la normal es de cero grados ( α = 0 ),
con lo que, al tratarse de una función radial, su coseno será la unidad y, por último,
d 2 senθ es el Jacobiano de la función con respecto a las variables de cambio ya que
pasamos a un sistema de coordenadas esférico. La resolución de la integral anterior
es:
φ = ± F ( R) R
2
360
0
0
∫∫ senθ ·dθ ·dλ = ± R ·F ( R) ∫ senθ ·dθ · ∫ dλ
s
φ = ±4πR 2 F ( R)
Angel Martín
180
2
(8)
20
GEODESIA FÍSICA
Preliminares Físicos y Matemáticos
El campo newtoniano, con el cual ya hemos trabajado, se enuncia de la
siguiente forma: “una masa puntual, m, crea a su alrededor un campo atractivo de
acuerdo con la ley de Newton”. Por lo tanto el campo newtoniano es un caso particular
de campo vectorial central. El módulo de la fuerza atractiva que esta masa ejerce
sobre una masa puntual colocada a una distancia d de ella, es, de acuerdo con la
citada ley, F =
Km
.
d2
Por tanto el campo newtoniano creado por m se puede expresar también
utilizando la definición de campo vectorial central de la forma:
→
→
F = F (d ) ⋅ ud = −
Km →
ud
d2
Con la particularidad para los campos newtonianos de que:
F (d ) =
cte.
d2
Con esto estamos en disposición de calcular directamente el potencial de dicho
campo realizando la integral cerrada sobre todas las curvas que generan las líneas
equipotenciales y que únicamente dependen de la distancia al centro del campo:
V = ∫ F (d )·dd = ∫
− Km
+ Km
dd =
+C
2
d
d
Siendo dd la diferencial de distancia. Si se considera que cuando d → ∞ , V se
hace nulo, el valor de la constante C se hace cero, con lo cual, el valor del potencial
será, tal y como ya sabíamos:
V =
Km
d
Para calcular el flujo del campo gravitatorio debemos utilizar la ecuación (8),
obteniendo:
⎡ Km ⎤
= ±4πKm
2 ⎥
⎣d ⎦
φ = ±4πR 2 ⎢
Angel Martín
21
GEODESIA FÍSICA
Preliminares Físicos y Matemáticos
Donde d=R.
Si dividimos el cuerpo total (de masa M) en pequeños elementos de masa dm
tendremos que:
ϕ = ± ∫∫∫ dϕ = ± ∫∫∫ 4π Kdm = ±4π KM
V
V
Otra forma de obtener este flujo total será considerar una densidad
ρ
constante e igual para cada dm de manera que:
ρ=
dm
dV
Con lo que la integral anterior se transforma en:
ϕ = ± ∫∫∫ 4π ⋅ K ⋅ ρ ⋅ dV
V
Con lo que, por el teorema de Gauss encontraremos que:
→
ϕ = ± ∫∫∫ 4π K ρ dV = ± ∫∫∫ div F ⋅ dV
V
V
Con lo que deberá cumplirse que:
→
div F = ±4π K ρ
Esta ecuación se está aplicando al campo gravitatorio donde F = − gradV (el
campo de fuerzas es el gradiente de la función escalar V, es decir, hablamos de un
potencial) con lo que se llega a la ecuación de Poisson:
→
div(gra d V ) = −4π K ρ
ΔV = −4π K ρ
Y, para valores de ρ=0, es decir, fuera de las masas atrayentes, llegamos a la
ecuación de Laplace:
Angel Martín
22
GEODESIA FÍSICA
Preliminares Físicos y Matemáticos
ΔV = 0
Que es, sin duda, la más famosa y universal de las ecuaciones diferenciales:
ninguna otra ecuación diferencial expresada en forma tan sencilla tiene tantas
relaciones matemáticas y aplicaciones físicas.
Angel Martín
23