{ }0 { }0 { }0 { }0 { }2

1
PRÁCTICA DE PRODUCTO INTERNO-EJERCICIOS ADICIONALES
EJERCICIO 1: Sea ( . , . ) el producto interno en ℜ 2×2 dado por ( X , Y ) = Tr ( X t Y ) . Calcular la
{
matriz de la proyección sobre S = X ∈ ℜ 2×2 : X t − X = 0

ℜ 2×2 , E = 

} respecto de la base canónica de
1 0 0 1 0 0 0 0 
0 0, 0 0, 1 0, 0 1  .

 
 
 

EJERCICIO 2: Sea ( . , . ) el producto interno en ℜ 2×2 dado por ( X , Y ) = Tr ( X t Y ) . Calcular la
matriz de la proyección sobre S = X ∈ ℜ 2×2 : X t + X = 0 respecto de la base canónica de
ℜ 2×2
{
}
EJERCICIO 3: En ℜ 3 con el producto interno canónico, sean S = { x ∈ ℜ 3 : x1 + x 2 + x3 = 0 } ,
{
}
S 0 = gen [1 − 1 0] y W = { x ∈ ℜ 3 : PS ( x) ∈ S 0 }. Probar que W es subespacio de ℜ 3 y
encontrar una base del mismo.
t
EJERCICIO 4: Definir un producto interno en ℜ 2×2 de modo que la base
 1 0 0 − 2 0 0 0 1 
B=
,
,
 sea ortonormal. Calcular el ángulo entre las matrices
,
0  0 1 1 1 
 0 0 1
1 0
1 1
0 1 y 1 1 (respecto del producto definido previamente).




1
EJERCICIO 5: Sea ( . , .) el producto interno en P2 dado por ( p, q ) =
{
∫ p(t )q(t )dt . Dado
−1
}
S = gen 1 + t 2 , hallar todos los p ∈ P2 tales que proy S p (t ) = 3 + 3t 2
EJERCICIO 6: Dado un espacio vectorial real V con producto interno ( . , . ), sean
B = {v1 , v 2 , v3 } una base ortonormal de V y T : V → V la transformación lineal tal que para cada
x ∈ V : T ( x) = ( x, v1 − v 2 )v1 + ( x, v 2 − v3 )v 2 . Probar que S = { x ∈ IM (T ) : d ( x, T ( x)) = x
subespacio de V y encontrar una base de S
⊥
} es un
(en términos de la base B).
EJERCICIO 7: Considerando en ℜ 3×3 el producto interno dado por ( X , Y ) = tr ( X t Y ) ,
encontrar la matriz antisimétrica más próxima (respecto de la distancia dada por el producto
1 2 0
definido previamente) a la matriz A = 1 3 1 .
0 2 0
EJERCICIO 8: Dado un espacio vectorial real V con producto interno ( . , . ), sean
B = {v1 , v 2 , v3 } una base ortonormal de V y T : V → V la transformación lineal tal que para cada
2
x ∈ V : T ( x) = ( x, v 2 − v3 )v 2 + ( x, v3 − v1 )v3 . Probar que S = { x ∈ IM (T ) : d ( x, T ( x)) = x
} es un
subespacio de V y encontrar una base de S ⊥ (en términos de la base B).
EJERCICIO 9: Considerando el producto interno canónico en ℜ 3 y dados dos vectores
u ∈ ℜ 3 y v ∈ ℜ 3 linealmente independientes, sean: S = gen{u , v} , P : ℜ 3 → ℜ 3 la proyección
 x1
sobre S y ϕ : ℜ 3 → ℜ tal que ϕ ( x) = Det  x 2
 x3
v1 
u 2 v 2  . Verificar que φ es lineal y calcular la
u 3 v3 
matriz de P respecto de la base canónica, sabiendo que Nu (ϕ ) ⊥ = gen{[1 − 1 1] t }
u1
EJERCICIO 10: Definir un producto interno en ℜ 2 cuya matriz respecto de la base
 2 − 1
T
T
B = [12 12 ] , [12 − 12 ] sea G = 
 . Verificar que se trata, efectivamente, de un
 − 1 1
{
}
producto interno en ℜ 2 y encontrar una base ortonormal (respecto de este producto) de ℜ 2 .
EJERCICIO 11: Se considera el producto interno canónico en ℜ 3 . Sea S un subespacio de ℜ 3
T
T
T
tal que [1 3 2] es el punto de S más próximo a [2 2 3] , y que [2 − 2 2] es la
proyección ortogonal de [3 0 3] sobre S ⊥ . Hallar bases ortonormales de S y de S ⊥ .
T
1
EJERCICIO 12: Sea, para cada par de elementos f , g ∈ P2 , ( f , g ) =
{
∫ f (t ) g (t )dt .
Calcular la
−1
}
matriz de ( . , . ) respecto de la base B = 1, t , t 2 y encontrar la matriz de la proyección sobre
S = { f ∈ P2 : f (−t ) = f (t ) } respecto de la base B. Determinar todos los f ∈ P2 cuya proyección
sobre S es 1 − t 2
EJERCICIO 13: Siendo (p,q) = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(-1)q(-1) un producto interno en P2 ,
hallar los valores de α y β para los cuales p = α t+ β (t2 +1) se encuentre lo más cerca posible
de q = t2.
EJERCICIO 14: Definir, si es posible, un producto interno en ℜ 2 respecto del cual los puntos
A = [0 0]T, B = [1 1]T, C = [0 1]T constituyan un triángulo rectángulo en A siendo la longitud del
cateto AB igual a 1 y la del cateto AC igual a 2. En tal caso, calcular la distancia (respecto del
T
producto definido previamente) de u = [1 1]T al subespacio S = gen [1 2] .
{
}
1
EJERCICIO 15: En el espacio P1 con el producto interno dado por ( p, q) = ∫ p(t )q(t )dt , sean
0
los subespacios S 0 = { p ∈ P1 : p (0) = 0 } y S1 = { p ∈ P1 : p(1) = 0 } . Determinar todos los
⊥
⊥
subespacios S de P1 que verifiquen: ∀p ∈ S : d ( p, S 0 ) = d ( p, S1 )
3
EJERCICIO 16: En el espacio vectorial real ℜ 2×2 con el producto interno ( . , . ) dado por
( X , Y ) = tr ( X t Y ) ,
sea
T : ℜ 2×2 → ℜ 2×2
la
proyección
sobre
el
subespacio
{
}
S = X ∈ ℜ 2×2 : X t − X = 0 , tr ( X ) = 0 . Encontrar la matriz de T respecto de la base canónica
 1 0  0 1  0 0  0 0  
B=
 , 0 0  , 1 0  , 0 1   .
0
0

 
 
 


1
EJERCICIO 17: En el espacio P1 con el producto interno dado por ( p, q ) =
∫ p(t )q(t )dt , sean
−1
los subespacios S −1 = { p ∈ P1 : p(−1) = 0 } y S1 = { p ∈ P1 : p(1) = 0 } . Determinar todos los
⊥
⊥
subespacios S de P1 que verifiquen: ∀p ∈ S : d ( p, S −1 ) = d ( p, S1 )
EJERCICIO 18: Determinar los valores reales de a, b y c para los cuales la fórmula
( x, y ) = 3 x1 y1 − x1 y 2 + ax 2 y1 + bx 2 y 2 + cx3 y 3 define un producto interno en ℜ 3 . ¿Para cuáles de
π
?
estos valores el ángulo entre [0 1 − 1] t y [0 1 1] t es
4
EJERCICIO 19:
(a)Sea V = f : ℜ → ℜ / f (t ) = (a + bt )e t , a ∈ ℜ, b ∈ ℜ . Pruebe que dim(V) = 2 y que
( f , g ) = f (0) g (0) + f (1) g (1)e −2 es un producto interno en V.
{
}
{ }
(b)Dados S = { f ∈ V : f (0) = 0 } y W = gen e t , hallar todos los g ∈ W tales que d ( S , g ) ≤ 1 .
EJERCICIO 20: Dada una matriz B ∈ S
T ( a 0 + a1t + a 2 t 2 ) = a 0 I + a1 B + a 2 B 2 .
(a) Probar que T no es biyectiva
1
(b) Considerando el caso particular B = 
1
{
}
= A ∈ ℜ 2×2 : AT = A , sea T ∈ L( P2 , S ) tal que
1
y el producto interno ( X , Y ) = tr ( X T Y ) , hallar
0
 2 2
todos los p ∈ P2 tales que T ( p ) − A ∈ Im(T ) ⊥ , donde A = 
.
2 1 
EJERCICIO 21: Considerando en ℜ 2×2 el producto interno dado por ( X , Y ) = tr ( X t Y ) ,
encontrar la matriz simétrica más próxima (respecto de la distancia dada por el producto definido
1 1 
previamente) a la matriz A =  10  .
0 1 
EJERCICIO 22: Sea S el subespacio de P1 generado por 1 – 4t. Analizar si existe algún
producto interno (.,.) en P1 que verifique las tres siguientes condiciones: (1) (1 − t ,1 + t ) = 0 ;
(2) (1,1 ) = 2 y (3) S ⊥ = {p ∈ P1 : p ( 12 ) = 0 }
4
EJERCICIO 23: Considerando en el espacio de funciones continuas f : [ −1,1] → ℜ el producto
1
interno ( f , g ) =
∫ f (t ) g (t )dt , encontrar el polinomio de grado
≤ 1 más próximo a la función
−1
f (t ) = sen (π t ) .
EJERCICIO 24: En ℜ 2×2 con el producto interno ( X , Y ) = tr ( X T Y ) , sea T1 : ℜ 2×2 → ℜ 2×2
la proyección sobre el subespacio S de las matrices simétricas de traza nula y sea
T2 : ℜ 2×2 → ℜ 2×2 la reflexión respecto del mismo subespacio S. Resolver la ecuación
T1 ( X ) − T2 ( X ) = αX en los casos:
(a) α = 0
(b) α ≠ 0
EJERCICIO 25: Sean: ( . , . ) el producto interno canónico en ℜ 3 , d : ℜ 3 × ℜ 3 → ℜ la
distancia determinada por el producto interno canónico y S = {x ∈ ℜ 3 : x1 + x3 = 0 }.
Encuentre una transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 que verifique las tres siguientes
condiciones: (1) T(x) = 2x para todo x ∈ S ;
(2) ∀x ∈ ℜ 3 : ∀y ∈ ℜ 3 : (T ( x), y ) = ( x, T ( y )) , y (3) ∀x ∈ ℜ 3 : d (T ( x), S ) = 3d ( x, S ) . Se pide la
matriz de T respecto de la base canónica. ¿Es única?