1 Sucesiones y sus l´ımites.

Escuela de Matemática, UCR.
Prof. Eugenio Chinchilla M.
EJERCICIOS SOBRE SUCESIONES.
(Los siguientes ejercicios son tomados del libro
“Introducción al Análisis Matemático de una Variable”
de R. Bartle y D. Sherbert)
1
Sucesiones y sus lı́mites.
1. La sucesión (xn ) se define por las fórmulas siguientes para el n-ésimo
término. Escribir los cinco primeros términos en cada caso:
n
(a) xn := 1 + (−1) ,
(c) xn :=
(−1)n
n ,
1
n(n+1) ,
(d) xn :=
1
n2 +2 .
(b) xn :=
2. A continuación se dan los primeros términos de una sucesión (xn ) . Suponiendo
que el ”patrón natural” indicado por estos términos se mantiene, dar una
fórmula para el n-ésimo término xn :
(a) 5, 7, 9, 11, ...
(b)
(c)
1
2,
1
2,
−1 1 −1
4 , 8 , 16 , ...
2 3 4
3 , 4 , 5 , ...
(d) 1, 4, 9, 16, ...
3. Enumerar los cinco primeros términos de las sucesiones siguientes definidas
inductivamente.
(a) x1 := 1,
(b) y1 := 2,
xn+1 := 3xn + 1,
yn+1 := 12 yn + y2n ,
(c) z1 := 1,
z2 := 2,
zn+2 :=
(d) s1 := 3,
s2 := 5,
sn+2 := sn + sn+1 .
b
n→∞ n
4. Demostrar: ∀b ∈ R, lim
zn+1 +zn
zn+1 −zn ,
= 0.
5. Usar la definición de lı́mite de una sucesión para establecer los siguientes
lı́mites:
1
2
n→∞ n +1
(a) lim
= 0,
1
2n
n→∞ n+1
(b) lim
= 2,
3n+1
n→∞ 2n+5
= 23 ,
(c) lim
n2 −1
2
n→∞ 2n +3
= 21 .
(d) lim
6. Demostrar que
(a) lim
n→∞
√1
n+7
2n
n→∞ n+2
√
n
lim n+1
n→∞
= 0,
(b) lim
= 2,
(c)
= 0,
(−1)n n
2
n→∞ n +1
(d) lim
= 0.
7. Demostrar que lim (xn ) = 0 si y sólo si lim (|xn |) = 0. Dar un ejemplo
n→∞
n→∞
para demostrar que la convergencia de (|xn |) no significa necesariamente
la convergencia de (xn ) .
√ 8. Demostrar que si xn ≥ 0, ∀n ∈ N y lim (xn ) = 0, entonces lim
xn =
n→∞
n→∞
0.
9. Demostrar que si lim (xn ) = x y si x > 0, entonces ∃M ∈ N : xn >
n→∞
0, ∀n ≥ M .
1
10. Demostrar que lim n1 − n+1
= 0.
n→∞
1
n
n→∞ 3
11. Demostrar que lim
= 0.
12. Suponga que b ∈ R cumple 0 < b < 1. Demostrar que lim (n · bn ) = 0.
n→∞
[Sugerencia: Usar el teorema del binomio.]
1
13. Demostrar que lim (2n) n = 1.
n→∞
n2
n→∞ n!
14. Demostrar que lim
= 0.
n
15. Demostrar que lim 2n! = 0. [Sugerencia: si n ≥ 3, entonces 0 <
n→∞
2 n−2
2 3
.]
2
2n
n!
≤
Teoremas de lı́mites.
1. Para xn dada por las fórmulas siguientes, establecer la convergencia, o
bien, la divergencia de la sucesión X = (xn ):
2
(a) xn :=
n
n+1 ,
(b) xn :=
n(−1)n
n+1 ,
(c) xn :=
n2
n+1 ,
(d) xn :=
2n2 +3
n2 +1 .
2. Dar un ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su suma
X + Y converja.
3. Dar un ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su producto
XY converja.
4. Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X y X + Y son convergentes, entonces Y es convergente.
5. Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X converge a x 6= 0 y
XY converge, entonces Y converge.
6. Demostrar que la sucesión (2n ) no es convergente.
7. Demostrar que la sucesión (−1)n n2 no es convergente.
8. Encontrar los lı́mites de las siguientes sucesiones:
(a) lim 2 +
n→∞
1 2
n ,
(−1)n
,
n→∞ n+2
√
lim √n−1 ,
n→∞ n+1
(b) lim
(c)
n+1
√ .
n→∞ n n
(d) lim
9. Considere el siguiente resultado:
si k ∈ N y si A = an es una sucesión con
k
vergente, entonces lim akn = (lim (an )) . Explicar por qué este resultado
n no se puede usar para evaluar el lı́mite de la sucesión 1 + n1
.
√
√
√
10. Sea yn := n + 1 − n, n ∈ N. Demostrar que (yn ) y ( nyn ) convergen.
1
11. Demostrar que si zn := (an + bn ) n , donde 0 < a < b, entonces lim (zn ) =
b.
12. Considere el siguiente teorema:
Sea (xn ) una sucesión de números reales positivos tal que existe L:=lim
xn+1
xn
Si L < 1, entonces (xn ) converge y lim (xn ) = 0.
Aplı́quelo a las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen 0 < a < 1, b > 1.
(a) (an ) ,
3
.
(b)
(c)
(d)
bn
2n ,
n
bn ,
23n
32n
.
13. (a) Dar un ejemplo deuna sucesión
convergente (xn ) de números posi
xn+1
= 1.
tivos tal que lim
xn
n→∞
(b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente con esta propiedad. (Por
tanto, esta propiedad no puede utilizarse como un criterio de convergencia.)
14. Sea X = (xn ) una sucesión de números reales positivos tal que lim xxn+1
=
n
n→∞
L > 1. Demostrar que X no es una sucesión acotada y, por tanto, no es
convergente.
15. Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen
0 < a < 1, b > 1.
(a) n2 an ,
n
(b) nb 2 ,
n
(c) bn! ,
(d) nn!n .
1
16. Sea (xn ) una sucesión de números reales positivos tal que lim xnn =
n→∞
L < 1. Demostrar que existe un número r con 0 < r < 1 tal que
0 < xn < rn para toda n ∈ N lo suficientemente grande. Usar este
resultado para demostrar que lim (xn ) = 0.
n→∞
17. (a) Dar un ejemplo de una sucesión
convergente (xn ) de números reales
1
positivos tal que lim xnn = 1.
n→∞
(b) Dar un ejemplo de una sucesión
divergente (xn ) de números reales
1
n
positivos tal que lim xn = 1.(Por tanto, esta propiedad no se
n→∞
puede usar como criterio de convergencia.)
18. Suponga que (xn ) es una sucesión convergente y que (yn ) es tal que ∀ε >
0, ∃M : |xn − yn | < ε, ∀n ≥ M . ¿De lo anterior se infiere que (yn ) es
convergente?
3
Sucesiones monótonas.
1. Sean x1 > 1 y xn+1 := 2 − x1n para n ≥ 2. Demostrar que (xn ) está
acotada y que es monótona. Encontrar el lı́mite.
4
2. Sean y1 = 1 y yn+1 :=
encontrar el lı́mite.
√
2 + yn . Demostrar que (yn ) es convergente y
1
3. Sean a > 0 y z1 > 0. Se define zn+1 := (a + zn ) 2 para n ∈ N. Demostrar
que (zn ) converge y encontrar el lı́mite.
4. Sean x1 := a > 0 y xn+1 := xn +
diverge.
1
xn .
Determinar si (xn ) converge o
5. Sea (xn ) una sucesión acotada y para cada n ∈ N sean sn := sup {xk : k ≥ n}
y tn := inf {xk : k ≥ n}. Demostrar que (sn ) y (tn ) son convergentes. Demostrar asimismo que si lim (sn ) = lim (tn ), entonces (xn ) es convergente.
[ A lim (sn ) se le llama el lı́mite superior de (xn ) y a lim (tn ) el lı́mite
inferior de(xn ) .]
6. Sea (an ) una sucesión creciente, (bn ) una sucesión decreciente y supóngase
que an ≤ bn , ∀n ∈ N. Demostrar que lim (an ) ≤ lim (bn ) y deducir a
continuación el teorema de los intervalos anidados a partir del teorema de
convergencia monótona.
7. Sea A un subconjunto infinito de R que tiene una cota superior y sea
u := sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente (xn ) con xn ∈ A,
∀n ∈ N tal que u = lim(xn ). Es necesaria la hipótesis de que A es infinito?
8. Establecer la convergencia o divergencia de la sucesión (yn ), donde:
yn :=
1
n+1
+
1
n+2
+ ... +
1
2n ,
n ∈ N.
9. Sea xn := 112 + 212 + ... + n12 para cada n ∈ N. Demostrar que (xn ) es
creciente y está acotada y, en consecuencia, que converge. [Sugerencia:
1
1
Obsérvese que si k ≥ 2, entonces k12 ≤ k(k−1)
= k−1
− k1 .]
10. Establecer la convergencia de las siguientes sucesiones y encontrar los
lı́mites:
n+1 1 + n1
(a)
,
2n
,
(b)
1 + n1
n 1
(c)
1 + n+1
,
n
(d) 1 − n1
.
11. Sea en := 1 +
1 n
.
n
Calcular en para n = 2, 4, 8, 16, 50 y 100.
5
4
Subsucesiones y el teorema de Bolzano-Weiertrass.
1. Dar un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión
convergente.
2. Sean X = (xn ) y Y = (yn ) sucesiones dadas y sea que la sucesión “barajada” Z = (zn ) esté definida por z1 := x1 , z2 := y1 , ...z2n−1 := xn , z2n :=
yn , ... . Demuestre que Z es convergente si y sólo si X y Y son convergentes
y lim X = lim Y.
1
3. Sea xn := n n para n ∈ N.
(a) Demostrar que la desigualdad xn+1 < xn es equivalente a la den
sigualdad 1 + n1
< n, e inferir que la desigualdad es válida para
n ≥ 3. Concluir que (xn ) es decreciente en última instancia y que
x := lim (xn ) existe.
(b) Usar el hecho de que√la subsucesión (x2n ) también converge a x para
demostrar que x = x. Concluir que x = 1.
4. Supóngase que toda subsucesión de X = (xn ) tiene una subsucesión que
converge a 0. Demostrar que lim X = 0.
5. Establecer la convergencia y encontrar los lı́mites de las siguientes sucesiones:
1 2
,
(a)
1 + 2n
1 n
(b) 1 + 2n
,
2
n
1 + n12
(c)
,
n
.
(d) 1 + n2
6. Sea (xn ) una sucesión acotada y para cada n ∈ N sea sn := sup {xk : k ≥ n}
y S := inf {sn }. Demostrar que existe una subsucesión de (xn ) que converge a S.
n
7. Suponga que xn ≥ 0 para todo n ∈ N y que lim ((−1) · xn ) existe. Demostrar que (xn ) converge.
8. Demostrar que si (xn ) no está acotada, entonces existe una subsucesión
(xnk ) tal que lim xn1 = 0.
k
9. Sea (xn ) una sucesión acotada y sea s := sup {xn : n ∈ N}. Demostrar
que si s ∈
/ {xn : n ∈ N}, entonces existe una subsucesión de de (xn ) que
converge a s.
6
10. Sea (In ) una sucesión anidada de intervalos cerrados. Para cada n ∈
N, sea xn ∈ In . Usar el teorema de Bolzano-Weierstrass para dar una
demostración del teorema de los intervalos anidados.
11. Considere el siguiente teorema:
Sea X una sucesión acotada de números reales y sea que x ∈ R tenga la
propiedad de que toda subsucesión convergente de X converja a x. Entonces la sucesión X converge a x.
Dar un ejemplo para demostrar que este teorema falla si se omite la
hipótesis de que X es una sucesión acotada.
5
Criterio de Cauchy
1. Dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de
Cauchy.
2. Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes son
sucesiones de Cauchy:
,
(a) n+1
n
1
1
(b) 1 + 2! + ... + n!
.
3. Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes no son
sucesiones de Cauchy:
n
(a) ((−1) ) ,
n
(b) n + (−1)
.
n
4. Demostrar directamente que si (xn ) y (yn ) son sucesiones de Cauchy, entonces (xn + yn ) y (xn · yn ) también lo son.
5. Sea (xn ) una sucesión de Cauchy tal que xn es un entero para todo n ∈ N.
Demostrar que (xn ) es en última instancia constante.
6. Demostrar directamente que una sucesión creciente, monótona y acotada
es una sucesión de Cauchy.
n−1
para n > 2,
7. Si x1 < x2 son números reales cualesquiera y xn := xn−2 +x
2
demostrar que (xn ) es convergente. ¿Cuál es su lı́mite?
8. Si y1 < y2 son números reales cualesquiera y yn := 2yn−2
+
3
n > 2, demostrar que (yn ) es convergente. ¿Cuál es su lı́mite?
yn−1
3
para
9. Si 0 < r < 1 y |xn+1 − xn | < rn , ∀n ∈ N, demostrar que (xn ) es una
sucesión de Cauchy.
7
1
para n ≥ 1, demostrar que (xn ) es una sucesión
10. Si x1 > 0 y xn+1 := 2+x
n
contractiva. Encontrar el lı́mite.
11. La ecuación polinómica x3 − 5x + 1 = 0 tiene una raı́z r con 0 < r < 1.
Usar una sucesión contractiva adecuada para calcular r con una precisión
de 10−4 .
6
Sucesiones propiamente divergentes.
1. Demostrar que si (xn ) es una sucesión no acotada, entonces existe una
subsucesión propiamente divergente.
2. Dar ejemplos de sucesiones (xn ) y (yn ) propiamente divergentes con yn 6=
0, ∀n ∈ N tales que:
(a) xynn es converegente.
(b) xynn es propiamente divergente.
3. Demostrar
que si xn > 0, ∀n ∈ N, entonces lim (xn ) = 0 si y sólo si
lim x1n = +∞.
4. Establecer la divergencia propia de las siguientes sucesiones:
√
(a) ( n) ,
√
(b)
n+1 ,
√
(c)
n−1 ,
n
(d) √n+1
.
5. ¿La sucesión (n · sen(n)) es propiamente divergente?
6. Sea (xn ) propiamente divergente y sea (yn ) tal que lim (xn · yn ) ∈ R.
Demostrar que (yn ) converge a 0.
7. Sean (xn ) y (yn ) sucesiones de números positivos y supóngase que lim xynn =
0.
(a) Demostrar que si lim (xn ) = +∞, entonces lim (yn ) = +∞.
(b) Demostrar que si (yn ) está acotada, entonces lim (xn ) = 0.
8. Investigar la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:
√
(a)
n2 + 2 ,
8
(b)
(c)
√ n
n2 +1 ,
√
2
n
√ +1 ,
n
√
(d) (sen n) .
9. Sean (xn ) y (yn ) sucesiones de números positivos y supóngase que lim
+∞.
xn
yn
(a) Demostrar que si lim (yn ) = +∞, entonces lim (xn ) = +∞.
(b) Demostrar que si (xn ) está acotada, entonces lim (yn ) = 0.
10. Demostrar que si lim ann = L, donde L > 0, entonces lim (an ) = +∞.
9
=