Soluciones Hoja 1

MATEMATICAS I
Primer curso de Ciencias Ambientales / Curso 2006-2007
HOJA 1
1. En 1978, H. Cavendish realizó una serie de 29 experimentos con objeto de medir la densidad de la
tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron:
5’50
5’57
5’42
5’61
5’53
5’47
4’88
5’62
5’63
5’07
5’29
5’34
5’26
5’44
5’46
5’55
5’34
5’30
5’36
5’79
5’75
5’29
5’10
5’68
5’58
5’27
5’85
5’65
5’39
a) Representa los datos por medio de un diagrama de tallos y hojas.
b) Halla la mediana y los cuartiles; representa los datos por medio de un diagrama de caja y
bigotes.
Solución
Cálculos necesarios para el cálculo del diagrama de cajas y bigotes.
Mediana . Como hay 29=2 (14) 1 datos. La mediana es el dato x15
m = x15 = 5, 46
Cuartiles El primer cuartil es la mediana del primer grupo de datos. En este caso tenemos
29 datos asi que el primer grupo son 14. Como 14 es par la mediana sera (xt + x8 )/2 Por
tanto
Q1 = m(x1 : x14 ) =
5, 29 + 5, 29
x7 + x8
=
= 5, 29
2
2
Del mismo modo para Q3
Q3 = m(x16 : x29 ) =
x22 + x23
5, 61 + 5, 62
=
= 5, 615
2
2
Barreras y rango intercuartil
(R.I) = (Q3 − Q1 ) = 0,325; 1,5R.I = 0, 4875
(B.I.I) Barrera Intercuartil interior inferior, (B.I.E) Barrera intercuartil interior exterior
B.I.I = Q1 − 1,5R.I = 4,8025, B.I.E = Q3 + 1,5R.I = 6,01
Como no existen datos fuera de las barrera interiores no calculamos la exteriores.
c) Halla la media y la desviación típica.
Solución
n
x=
n
n
√
1X
1X
1X 2
xi = 5, 4479, vx =
(x − xi )2 =
xi − x2 = 0, 0471, sx = vx = 0, 217
n i=1
n i=1
n i=1
d ) Agrupar los datos en 5 clases y hallar la media y la desviación típica con los datos agrupados.
Solución
Defino las clases A1 = (4, 8; 5, 2), A2 = [5, 2; 5, 4), A3 = [5, 4; 5, 6), A4 = [5, 6; 5,8), A5 = [5, 8, 6)
Calculo la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas (Por completitud no me haria
falta en este caso). Defino la marca de clase como el punto medio de la clase.
marcas ak
frecuencias absolutas nk
frecuencias relativas fk = nnk
Pi
frecuencias relativas acumuladas Fk = j=1 nj
1
A1
5
3
0, 103
0, 103
A2
5, 3
9
0, 310
0, 413
A3
5, 5
9
0, 310
0, 724
A4
5, 7
7
0, 241
0, 965
A5
5, 9
1
0, 034
1
Formula para la media en caso de datos agrupados (Suponemos que tuvieramos datos simples
en los que cada vez que tengo un dato en la clase Ak me sale la marca ak ). Como fk = nnk las
siguientes fórmulas son equivalentes
Pn
Pn
x = n1 k=1 nk ak = k=1 fk ak = 5, 448
Para la varianza hago lo mismo. Tomo la fórmula mas sencilla
P
P
nk a2k − x2 = fk a2k − x2 = 0, 05
vx = n1
Importante: Usar en esta fórmula, la media obtenida mediante datos agrupados.
√
Y la desviación típica sx = vx = 0, 225
e) ¿Se puede considerar que hay datos atípicos?
No porque no hay datos fuera de las barreras intercuartiles.
2. El maíz es un alimento importante para los animales pero carece de algunos aminoácidos que son
esenciales. Un grupo de científicos desarrolló una nueva variedad que sí contenía niveles apreciables
de dichos aminoácidos. Para comprobar la utilidad de esta nueva variedad para la alimentación
animal se llevó a cabo el siguiente experimento: a un grupo de 20 pollos de 1 día se les suministró
un pienso que contenía harina de maíz de la nueva variedad. A otro grupo de 20 pollos (grupo de
control) se le alimentó con un pienso que sólo se diferenciaba del anterior en que no contenía harina
de la variedad mejorada de maíz. Los resultados que se obtuvieron sobre las ganancias de peso de
los pollos (en gramos) al cabo de 21 días de alimentación fueron los siguientes:
Variedad normal
380 321 366 356 283 349 402 462 356 410 329 399 350 384 316 272 345 455 360 431
Variedad mejorada
361 447 401 375 434 403 393 426 406 318 467 407 427 420 477 392 430 339 410 326
a) Para comparar las dos distribuciones, representa los dos diagramas de caja y bigotes en un
mismo gráfico. ¿Qué se puede deducir de estos diagramas?
b) ¿Cuáles son las medias y desviaciones típicas de los datos de ambos grupos? ¿Qué diferencias
hay entre ambos?
Solución: Los datos se encuentran en el fichero Excel. Observamos que la variedad mejorada aumenta
los estadisticos de centralización (media y mediana) y disminuye los estadisticos de dispersión
varianza y distancia intercuartil. Asi que en principio el experimento es positivo respecto a la
mejora del graño.
3. La EPA (Agencia de Protección del medio ambiente de EEUU) exige a los fabricantes de automóviles
que indiquen los consumos, tanto por ciudad como por carretera, de cada uno de sus modelos. A
continuación se presentan los datos de consumo por carretera de 30 modelos de automóvil de 1994,
expresados en litros por cada 100 km:
12, 3
10, 5
9, 1 10, 1 10, 4
12, 8 12, 3 10, 8
9, 7
11, 3
11, 3 11, 3 10, 8
9, 1 11, 8 11, 8
9, 7 10, 1
14, 1 10, 8
10, 8
18, 8
10, 5
10, 8
11, 3
10, 4
9, 7
10, 1
10, 8
10, 8
a) Representa los datos con un diagrama de tallos y hojas.
b) ¿Cuál es el consumo mediano?
Solución
10,8
¿Cuántos litros por cada cien km. debe consumir como máximo un automóvil para estar entre
el 25 % de modelos que consumen menos?
Solución
Nos esta preguntado cual es el primer cuartil. Ordenados de mayor a menor queremos saber
el numero que delimita el primer cuarto de los datos. Recordamos
Q1 = m(x1 ; x1 5) = x8 = 10, 1
2
c) Halla la media y explica cómo se compara con la mediana.
x = 11, 14
La media se aleja en parte de la mediana debido a la existencia de un dato atípico y otro
extremadamente atípìco
4. El número de nacidos en España en 1995, por grupos de edades de la madre, es el siguiente
Necesitamos hallar la tabla de frecuencias relativas y acumuladas
a) Elabora un histograma que represente estos datos.
b) Halla la mediana, los cuartiles y la distancia intercuartílica. Dibuja un diagrama de caja y
bigotes.
c) Elige marcas de clase y halla la media y la desviación típica de la variable “edad de la madre”.
Los datos se encuentran en el fichero Excell.
5. La tabla siguiente da las emisiones de CO2 (TM per capita), Renta per capita (GNI) e indice de
aumento de la población (porcentaje anual) de 42 paises en 2004
Pais
Albania
Algeria
Angola
Argentina
Australia
Armenia
Austria
BosniaHerzegovina
Bangladesh
Belgica
Bolivia
Brasil
Bulgaria
UK
Camerun
Chile
China
Colombia
Congo
Croacia
Checoslovaquia
RPC
2080
2280
1030
3720
26900
1120
32300
2040
440
31030
960
3090
2740
33940
800
4910
1290
2000
770
6590
9150
Emisiones
70
98
21
145
587
47
295
74
4
483
33
54
310
446
10
109
69
60
5
168
131
I.Población
0,51
1,27
2,92
1,02
0,9
−0,31
0,13
2, 15
2,08
0,16
1,55
1,10
−0,91
0,28
2,28
1,00
0,56
1,52
3,08
−0,02
−0,04
Pais
Egipto
F inlandia
F rancia
Georgia
Alemania
Espaa
Guatemala
India
Iran
Japon
Libano
M alasia
M ejico
Rusia
Suecia
sudan
U SA
T urquia
V enezuela
U crania
V ietnam
RPC
1310
32790
30090
645
30120
21210
2130
620
2300
37180
4980
4650
6770
3410
35770
530
41400
3750
4020
1260
550
Emisiones
49
395
311
97
141
197
23
27
157
313
120
106
139
518
330
8
835
83
257
428
18
I.Población
1,83
0,18
0,39
−0,35
0,01
0,15
1,78
1,67
0,86
0,08
1,30
1,82
1,18
−0,52
0,17
2,64
0,92
1,12
1,44
−0,72
1,05
Hacer un diagrama de tallos y hojas de las variables RPC y emisiones, calcular los cuartiles y hacer
un diagrama de caja. Calcular la media y desviación típica.
(Fuentes: http://www.finfacts.com/biz10/globalworldincomepercapita.htm
http://www.census.gov/cgi-bin/ipc/idbsprd
http://www.worldbank.org/data/querydata.html El estudiante interesado puede consultar los datos
completos en estas paginas web, en particular se puede decidir un nivel de pobreza de los datos del
problema y compararlo con el considerado en
http://www.finfacts.com/biz10/globalworldincomepercapita.htm, obtenido de los datos de todos
los pauses del mundo).
3
6. Estamos interesados en la variable X=“Tiempo de vida (en días)” de una especie de insectos.
a) En una muestra pequeña de 11 insectos, los resultados muestrales fueron:
20, 25, 13, 18, 32, 25, 20, 15, 28, 40, 27
¿Cuál es el tiempo mediano de vida?
Los ordenamos: 13, 15, 18, 20, 20, 25, 25, 27, 28, 32, 40
x6 = 25
b) En una muestra grande, los resultados obtenidos se resumen de la siguiente forma:
Percentil
30
Tiempo de vida 18
50
22
70
26
100
30
Hallar el tiempo medio de vida (indicando previamente las clases, marcas de clase y frecuencias
proporcionadas por la información muestral).
Solución:
Tenemos que interpretar la informacion de los percentiles en terminos de clases y frecuencias relativas.
El percentil 30 igual a 18 quiere decir que el 30Es decir que la frecuencia relativa de la clase [0,18]
es 0,3. Análogamente defino las clases
A1 = (0, 18], A2 = (18, 22), A3 = (22, 26], A4 = (26, 30]
marcas ak
frecuencias relativas acumuladas Fk
frecuencias relativas fk = Fk − Fk−1
A1 A2 A3 A4
9
20 24 28
0, 3 0, 5 0, 7 1
0, 3 0, 2 0, 2 0, 3
La expresión de fk = Fk − Fk−1 nos informa de como calcular las frecuencias relativas a partir de
las acumuladas. En este caso no podemos conocer las frecuencias absolutas!
Con la tabla de frecuencias podemos ya calcular los estadisticos. El resultado no es único pues
depende de la elección de las marcas
P
x = fk ak = 0, 3 ∗ 9 + 0, 2 ∗ 20 + 0, 2 ∗ 24 + 0, 3 ∗ 28 = 19, 9
7. Con el fin de controlar la contaminación de un río, todas las semanas se hace una medición del nivel
de ácido úrico.
a) Las mediciones durante 9 semanas fueron:
13 10 7 5 12 7 9 5 5
Hallar el nivel mediano de ácido úrico.
Solución:
5,5,5,7,7,9,10,12,13
m = (x5 + x6 )/2 = 8
b) En un estudio más completo, las mediciones semanales de ácido úrico se resumieron de la siguiente
forma:
Percentil
20
Nivel de ácido úrico 6
40
8
70 100
12 18
Hallar el nivel medio de ácido úrico y dibujar el histograma (indicando previamente las clases,
marcas de clase y frecuencias proporcionadas por la información muestral).
A1 = (0, 6], A2 = (6, 8], A3 = (8, 12], A4 = (12, 18]
4
marcas ak
frecuencias relativas acumuladas Fk
frecuencias relativas fk
x=
P
A1 A2
3
7
0, 2 0, 4
0, 2 0, 2
A3
10
0, 7
0, 3
A4
15
1
0, 3
fk ak = 0,2 ∗ 3 + 0,2 ∗ 7 + 0,3 ∗ 10 + 0,3 ∗ 15 = 9,5
8. Se ha estudiado la edad del público de un cine donde se exhibe una película para mayores de 18
años, en las dos últimas sesiones. Los datos obtenidos son:
Edad
Asistentes
(18, 23)
60
(23, 28)
80
(28, 33)
50
(33, 38)
40
(38, 43)
30
(43, 48)
20
(48, 68)
20
a) Calcular la edad media de los asistentes y elaborar un histograma.
En este caso nos dan las marcas de clase y las frecuencias absolutas nk . Calculamos n =
60 + 80 + 50 + 40 + 30 + 20 + 20 = 300
P
k
nk =
Con las definiciones obvias de clases la tabla es,
marcas ak
frecuencias absolutas nk
frecuencias relativas fk = nnk
frecuencias relativas acumuladas Fk = Fk−1 + fk
A1
20,5
60
0, 2
0, 2
A2
A3
25,5 30., 5
80
50
0, 266 0, 166
0, 466 0, 633
A4
35,5
40
0, 1333
0, 76666
A5
40,5
30
0, 1
0,866
A6
45,5
20
0,0666
0,933
Edad media x = 31,666
b) ¿Qué edad hay que tener para estar entre el 25 % más joven de los asistentes?
Nos piden el percentil 25 es decir el primer cuartil. Lo hacemos en dos pasos
El intervalo cuartil es A2 ya que la frecuencia acumulada de A1 es 0.2 y la de A2 es 0.466.
Ahora interpolamos calculando la recta que pasa por (23, 0,2) y (28, 0,466).
La ecuación de la recta que pasa por (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) es
y − y0 =
y 1 − y0
(x − x0 )
x1 − x0
En neuestro caso (x0 , y0 ) = (23, 0,2); (x1 , y1 ) = (28, 0,466), y = 0,25. Sustituyendo
0,25 − 0,2 =
0,466 − 0,2
(x − 23)
28 − 23
Despejando
x = 23 +
28 − 23
(0,25 − 0,2) = 23, 6666
0,466 − 0,2
c) Si hubiera otro espectador más con 97 años, ¿cómo influiría este dato sobre la media y sobre la
mediana? Justificar la respuesta sin hacer ningún cálculo.
Ninguna de las dos se veria muy afectada porque el numero de datos es 300. De las dos la mediana
se veria menos afectada porque es mas robusta que la media. Asi que la unica modificacion en su
calculo seria que interpolariamos entre 60/301 = 0,199333, 80/301 = 0,4651. La media se modificaría
un poco mas porque intervienen todas las frecuencia y ademas influye el valor. Notar que para la
modificación de la mediana da igual que el nuevo expectador tenga 90,120 o 3000 años si fuera
posible. Sin embargo este dato si es relevante para la media.
9. Se ha estudiado la edad de los excursionistas que visitan el Parque Regional de la Pedriza en un
domingo de primavera. Los datos obtenidos son:
5
A7
58
20
0,0666
1
Edad
Visitantes
0–10
50
10–20
270
20–30
400
30–50
220
50–70
50
70–95
10
a) Elaborar un histograma que represente estos datos.
marcas ak
frecuencias absolutas nk
frecuencias relativas fk = nnk
frecuencias relativas acumuladas Fk = Fk−1 + fk
A1
A2
A3
5
15
25
50
270 400
0,05 0,27 0,4
0,05 0,32 0,72
A4
A5
40
60
220
50
0,22 0,05
0,94 0,99
A6
82,5
10
0,01
1
b) Hallar la edad media de los visitantes.
Solución
x = 26, 925
c) ¿Qué edad hay que tener para estar entre el 40 % más joven de los visitantes?(hacer una interpolación lineal).
Solución
Buscamos primero el intervalo que deja la frecuencia acumulada en medio y es A3 . Tenemos que
interpolar entre (20, 0,32) y (30, 0, 72) y hallar la x para que y sea 0,4. Obtenemos que
x = 20 +
30−20
0,72−0,32 (0,4
− 0,32) = 23, 2
Estimamos que el 40 % de los visitantes tiene menos de 23,2 años. (la estimación solo es fiable si se
cumple que la distribucion de los visitantes entre 20 y 30 años es homogenea).
6