Visualización de la recta tangente a una curva

Visualización de la recta tangente
a una curva
Fecha de recepción:
Educación Matemática
Vol. 11 No. 2 Agosto 1999
pp. 120-127
Enero, 1998
José Luis Llorens Fuster
Universidad
Departamento de Matemática Aplicada
Politécnica de Valencia, Valencia, España
[email protected]
Resumen. La utilización de las posibilidades gráficas que brindan los programas de
cálculo simbólico y las calculadoras gráficas permite visualizar el concepto de recta
tangente a una curva en un punto. De este modo sefacilita la comprensión de ese concepto y se resuelven dificultades en su integración con el concepto de derivada de
una funcián en un punto.
Abstract. Graphic possibilities in both symbolic calculus software and graphic calculators make itpossible to visualize the tangent to a curve in a given point. This practice
makes the concept easier to grasp and solves some of the difficulties in integrating
tangent concept to derivative concepto
Introducción
Resulta casi sorprendente que en la mayoría de los textos en los que se introducen
los conceptos básicos del Análisis Matemático, se usen términos cuya definición no se
ha dado expresamente. En la mayor parte de los casos, esos términos no definidos
involucran conceptos geométricos: "Curva", "tangente", "área" e, incluso, "recta" y
"punto", son algunos ejemplos. Frecuentemente se justifica la omisión de una definición más o menos rigurosa presuponiendo que los alumnos deben conocer su significado o señalando que son intuitivos.
Ciertamente, si preguntáramos a los estudiantes de los últimos cursos
de enseñanza secundaria o de un primer curso de Cálculo en la Universidad, si saben
-si creen saber- el significado de esos términos, la respuesta casi unánime sería
afirmativa pero, como se ha puesto de manifiesto en varios estudios (por ejemplo, Castela,
1993; Llorens, 1996; Vinner; 1982 y 1991), eso no se corresponde con la realidad.
Más bien al 'Contrario, los problemas en la comprensión de esos conceptos se manifiestan de formas diversas pero con una raíz común: La existencia de imágenes
conceptuales contradictorias. Usando la conocida terminología de Vinner, el concepto
imagen que los estudiantes asocian a esos conceptos está en contradicción con
su concepto-definición o, al menos, ambos conceptos no se integran adecuadamente.
El resultado de ello es la incapacidad para aplicarlos correctamente -especialmente
en un contexto geométrico- junto con una interpretación puramente mecánica, algebraica, de las ideas .
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Interpretación
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geométrica de la derivada
Un ejemplo bien conocido a este respecto se refiere, precisamente, a la interpretación
de la derivada. El propio Vinner ya puso de manifiesto la aparente
contradicción que supone que la mayoría de estudiantes de un primer curso de Análisis en la Universidad considere, a la vista de una gráfica como la que aparece en la
figura 1,
geométrica
Figura 1
que la recta no puede ser tangente a la curva: La recta "corta" a la curva, afirman, y,
por tanto, es secante, no tangente. Sin embargo, esos mismos alumnos considerarían
una trivialidad que se les pidiese hallar la derivada de y = .x3; obtener la derivada de
esa función en x = Oy hallar la ecuación de la recta tangente a esa "curva" en x = O.
(La ilustración anterior muestra precisamente un aspecto de la gráfica de y = x3 y de
su tangente en x = O).
Como se ha demostrado (cfr. Llorens, 1997), el origen de esas contradicciones
puede resumirse en dos aspectos:
La mencionada omisión de la definición explícita de recta tangente a
una curva en un punto.
La insistencia desmesurada en los aspectos mecánicos o algebraicos relacionados con el concepto de derivada, reduciéndolo prácticamente todo
al cálculo de la función derivada de funciones más o menos complicadas.
En efecto, en la secuencia de contenidos que aparece en casi todos los textos
que introducen el concepto de derivada de una función en un punto, se presenta la recta
tangente como la interpretación geométrica de la derivada, a renglón seguido de su
definición formal, omitiéndose una definición explícita de recta tangente a la gráfica de
una curva en un punto. Así, la expresión
f'(a)
=
lím f(x)
x~a
- fea)
X -
a
va seguida de alguna ilustración como la de la figura 2.
Poco más o menos, el razonamiento geométrico que se hace es, según dicen,
el siguiente: La derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
porque las rectas secantes de la figura (que lo son porque "tocan" a la curva en dos
puntos) se convierten en la recta tangente cuando, en el límite, x se confunde con a
y, por tanto, la recta ya sólo "toca" a la curva en un punto.
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tangente
E{x)-E{a)
+
x -
a
E(a)
x
a
Figura 2
Así pues, de forma implícita, se está "definiendo" la recta tangente como la
recta que "toca" a la curva en un punto, evocando en el estudiante la definición que
ya sabía, válida para la circunferencia, tal como se estudia en la enseñanza primaria.
Esa "evocación" es, en algún caso, la única información que el alumno ha recibido
desde aquella enseñanza primaria y, por tanto, significa una confirmación mucho
más eficaz que un enunciado explícito. Ése es, en definitiva, el concepto-imagen que
permanece sin que la nueva definición (la de derivada) que se ha introducido más o
menos confusamente, sirva para revisado.
Definición de recta tangente a una curva
Insistamos en que presentar la recta tangente como el límite de las secantes no cambiaría sustancialmente la situación pues el problema se suscita porque no se redefine
lo que es la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Obervemos que lo
definido es la derivada, no la recta tangente. Como la definición de derivada es
complicada; pues se basa en la de límite de una función en un punto, para tratar de
faciltar su comprensión se recurre a una "intuición geométrica" (recta tangente). Luego,
quizá tras resolver algunos ejercicios, se abandonará enseguida esa perspectiva para
centrarse en el cálculo de derivadas.
La definición de recta tangente, de cualquier modo que se haga, requiere el
concepto de límite. Por tanto, es evidente que no se la puede calificar de "intuitiva". Así
pues, si se quiere utilizar el concepto de recta tangente para explicar lo que es la derivada,
parece justo definirlo previamente, a lo que habrá que dedicar la atención suficiente
dado que el alumno se enfrenta a un concepto dificil (concepto de límite) que, además,
ofrece la dificultad añadida de su ámbito geométrico, ámbito que, tal como están diseñados los planes de estudio, suele ser el más hostil y desconocido para los estudiantes.
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Pero, además, para asegurar una adecuada integración de la "nueva" definición
con la que el alumno conoce para el caso de la circunferencia, sería imprescindible
mostrar que aquella vieja definición es un caso particular de la nueva; que sólo en algunas curvas particulares como la circunferencia se produce la casualidad de que la
existencia de un único punto de contacto entre la recta y la curva asegura la tangencia.
Pero, naturalmente, esto plantea un nuevo problema: La circunferencia no es la gráfica de una función. Eso significa una nueva objeción al modo habitual de proceder
ya que si la revisión del concepto de tangente se hace a partir de la derivada de una
función, dificilmente se podrá considerar el caso de la circunferencia que es, justamente, uno de los pocos casos (sino el único) en el que el alumno sabía obtener la
recta tangente.
Así pues, en toda esta cuestión aparece también la necesidad de precisar lo
que se entiende por curva, pues no hace falta insistir en que los términos "función"
y "curva" no se pueden identificar a pesar de que, en la práctica, eso se haga con demasiada frecuencia, con efectos nada convenientes (ver, por ejemplo, Vinner y Dreyfus,
1989). Admitiendo que la definición rigurosa de curva excede las posibilidades de
un curso de enseñanza secundaria o, incluso, del primer año en la Universidad (ver,
por ejemplo, Del Castillo, 1982), habría que aspirar, al menos, a que los estudiantes
fuesen capaces de distinguir entre curvas y funciones, viendo estas últimas como una
clase de las primeras y, además, a que tuvieran una cierta "cultura visual" al respecto, de
modo que, a la vista de las gráficas respectivas, pudieran distinguir entre unas y otras.
Visualización
Lo afirmado en el párrafo anterior nos conduce inmediatamente a la cuestión de la
visualización que, como es bien sabido, viene adquiriendo en los últimos años un
papel primordial como recurso didáctico, potenciado aún más por los recursos que
brinda la tecnología actual (calculadoras gráficas, programas de cálculo simbólico).
"Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de
contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente,
cuya utilización
resulta muy provechosa tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de problemas"
(Guzmán, 1996, p. 16). De modo particular, la visualización en el Análisis Matemático
se ha redescubierto como un instrumento eficacísimo para la mejora en la comprensión
de conceptos abstractos e, incluso, como remedio a las situaciones conflictivas derivadas de las duplicidades de imágenes conceptuales como las que hemos considerado
anteriormente (cfr. Zimmerman, 1991). Sin duda, la visualización se opone alformalismo o rigorismo (que no a la formalización o al rigor) por cuanto esta corriente,
afortunadamente ya en declive, conducía a presentar los conceptos matemáticos de
una forma totalmente desgajada del mundo real y, en particular, sin apoyos gráficos
que pudieran "contaminar" las ideas.
La misma oposición entre "curva" y "función" que hemos considerado antes
podemos interpretada a la luz de estas consideraciones. En algún momento se ha podido
tener la impresión que una definición "seria" como la de derivada no hacía falta
relacionada con nada del mundo fisico o geométrico y que la motivación del concepto
podía reducirse a la frase "sea y = f(x) una función defininida en un entorno de a" ...
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Por el contrario, si se acepta una perspectiva más geométrica, tal como sugeríamos
antes, inmediatamente hay que utilizar otro lenguaje ya que con expresiones del tipo
y = ¡(x) nos dejamos fuera curvas tan importantes como la circunferencia, las cónicas en general, etc. En ese caso, parece igualmente inevitable la referencia a los aspectos gráficos y geométricos. La posible objeción de que esos aspectos son dificiles
de llevar a la práctica cotidiana del aula ahora ha desaparecido gracias a los recursos
tecnológicos que antes mencionábamos.
Tangentes y "zoom"
Usaremos, precisamente, esos recursos para proponer una forma alternativa de introducir la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.
Como es sabido, muchas calculadoras gráficas y prog-ramas de cálculo simbólico permiten adquirir fácilmente esa "cultura visual" a la que acabamos de referimos
gracias a la facilidad que brindan para representar gráficamente toda clase de curvas.
Así, con un programa relativamente sencillo como DERIVE se pueden obtener
rápidamente gráficas de funciones escritas en forma explícita y gráficas de curvas de
las que se conoce su ecuación en forma implícita o paramétrica. Este útlimo aspecto,
en particular, quizá puede aprovecharse para introducir una definición de curva como
una parametrizacion, definición que puede ser asequible en los niveles educativos a
los que nos referimos.
Así, la parametrización natural de y = ¡(x) sería [x, ¡(x)]. De este modo,
puede ser relativamente fácil conseguir la familiaridad de los estudiantes de estos niveles con curvas de toda clase, incluyendo, por supuesto, la circunferencia. Precisamente,
el programa mencionado admite la representación de curvas escritas en forma paramétrica de la manera indicada.
z
y
1
Y
a2:
[SIH(t). COS(t)]
a3:
[SIH(t)3. COS(t)3]
U:
y
=
-1
x ·SIrt [~]
x
-1
as:
:11
=
Ixl
• elaBorar Cálculo Definir Expandir Factoriz Ir-a resoLver Hanipula uen
pelones rePresen boRrar Sl~plifi Transfer recUpera ftOVer aproXlna aYuda flnall
leccionar una opción
Figura 3. Una pantalla obtenida con DERIVE
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Estos mismos recursos suelen llevar incorporado un efecto "zoorn", es decir,
un cambio de escala, que permite estudiar el comportamiento local de la gráfica.
Normalmente, sin más que pulsar repetidamente un botón, pueden obtenerse las gráficas con escalas pequeñas o, incluso, muy pequeñas. Una mínima capacidad de
observación lleva pronto a la conclusión de que "muchas" curvas parecen convertirse
en rectas cuando se actúa con un zoom sobre su gráfica de forma suficiente, es decir,
cuando se contempla la gráfica con una pequeña escala. En otras ocasiones, la gráfica parece no alterarse: En particular, en los "picos" como el de la gráfica no. 5 de
la figura 3; también pueden considerarse curvas en las que el efecto del zoom
prácticamente deje inalterado el aspecto de la gráfica porque aparezca una especie
de "repetición", como en el caso de gráfica n° 4 (ver también la figura 4):
Z
3
Y
Y
r.eees
1
9.999S .
9.999S
9.999
1
Y
19..•.
-6
12:
[SI"(t). casce n
83:
[SI"(t)3. ms(t)3]
81:
y
8S:
!l = Ixl
=
Y
x
-18"'-6
X.SI"[~]
x
-e.92
18"'-6
-19..•.
-6
Figura 4. Efecto de un cambio escala.
En fin, la consideración de distintos y variados ejemplos facilita la motivación
de la siguiente definición: Cuando la gráfica de una curva es, localmente, una recta,
decimos que la curva tiene tangente en el punto considerado. En tal caso, la recta tangente a una curva en un punto de su gráfica es, por definición, la recta con la que,
localmente, coincide. Por tanto, como ya se ha visto, no todas las curvas tienen tangente,
de acuerdo con esa definición. El carácter local queda suficientemente resaltado tanto
en la definición como por 10 visto en los ejemplos: Según en qué punto se considere la
ampliación de la gráfica, podemos encontramos con un comportamiento "patológico"
(un pico que nunca se deshace, una oscilación que no cesa) o con el "normal" de la
aparición de la recta tangente. En tono distendido puede aprovecharse esta situación
para explicar el convencimiento que se tenía en la antigüedad de que la Tierra era plana.
En efecto, la Tierra es localmente plana, de modo que tampoco se iba tan desencaminado, además de que, por el efecto del zoom, ciertamente es dificil percibir otra cosa.
Como es natural, según el contexto, no hay inconveniente en formalizar más
esa definición (aun cuando pueda ser un poco engorroso introducir algún tipo de medida
para las gráficas). Pero, en todo caso, si que deben destacarse algunos detalles importantes:
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La existencia de tangente depende de la propia curva (y del punto considerado): Se puede identificar con una cierta fisura o suavidad en el aspecto de la gráfica, que se opone a la existencia de picos u oscilaciones
no amortiguadas. No es, por tanto, algo externo, algo que dependa de la
mayor o menor pericia del "dibujante" que debe trazarla, sino de la propia curva, de su forma.
En el caso de que la tangente exista en un punto, se puede hablar de
pendiente de la curva en ese punto: Sería la pendiente de la recta tangente. La pendiente podría ser "infinita", si es que se define de esa forma
la pendiente de una recta "vertical". El valor de la pendiente de la curva
sería un número que mediría la rapidez en el crecimiento (o decrecimiento)
local de la función.
Si se representan gráficamente una curva y su tangente en un punto, lo
que se percibiría, como consecuencia de la confusión local entre ambas,
sería la apariencia de que tienen muchos puntos en común.
Este último aspecto debe destacarse suficientemente. Lo característico de la
tangencia no sería tener un sólo punto común sino, precisamente, la apariencia contraria. Por tanto, que una recta y una curva tengan un punto común no garantiza,
evidentemente, que sean tangentes, salvo en algún caso particular que habrá que tratar
con suficiente detalle.
Relación con la derivada de una función
Aunque la obtención de la recta tangente sea importante, sin duda lo es más el aspecto que se deriva de ella relativo a la pendiente de la curva. La conexión con el mundo
fisico es evidente. Disponer de un método práctico para medir esa pendiente parece
una necesidad de primer orden que, desde luego, no termina de estar bien resuelta con
la "técnica" utilizada, sugerida con esta definición. ¿Qué se hacía antiguamente, cuando no se disponía de estos recursos, con esa facilidad para hacer un zoom sobre una
gráfica y, a la vez, se quería medir una velocidad en un instante determinado?
De ésta o de cualquier otra forma semejante, se puede motivar para la algebrización del cálculo de la pendiente de la curva para el caso concreto en que dicha
curva sea la gráfica de una función. La derivada sería, de este modo, una solución práctica al problema considerado, aunque con limitaciones (tangente vertical, curvas que no
sean gráficas de funciones). En realidad, lo verdaderamente práctico sería la posibilidad
de obtener el valor de la derivada de una forma algebraica, rutinaria, puesto que la definición de derivada de una función en un punto es, en este contexto, la "transcripción"
formal de la definición de pendiente de una curva que se ha considerado previamente.
En resumen, se está invirtiendo el proceso normal. La derivada no se presenta
ahora como algo artificial, algo tan abstracto que requiere una curiosa interpretación
geométrica cargada de falsas intuiciones. La derivada es, de este modo, una técnica
para obtener con facilidad y en muchos casos (aunque, lamentablemente, no en todos)
una solución efectiva al verdadero problema, es decir, a la pendiente de una curva en un
punto que coincide con el de la recta tangente.
Las reglas de derivación adquieren, de este modo, la importancia que les corresponde y, además, una motivación precisa. Pero no estará de más insistir en el aspecto
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mecánico y, en cierta medida, accesorio de esas reglas. De hecho, el ordenador o la
calculadora suplen perfectamente en esos aspectos, de modo que un adiestramiento
desmesurado en ejercicios que consistan en obtener la detivada de funciones caprichosamente complicadas tiene un sentido didáctico más que dudoso, tanto por el
alejamiento de la realidad que suponen (¿qué representan esas extrañas funciones en
las que ponemos tanto empeño para conocer la pendiente?) como por la generalización en el uso de las calculadoras y ordenadores pues, en el mejor de los casos, el
estudiante habrá aprendido a hacer, con grandes esfuerzos, lo que la máquina le da en
pocos segundos y sin equivocaciones.
Conclusiones
Las sugerencias que hemos resumido permiten usar el ordenador como soporte de
la visualización que, en definitiva, es el aspecto metodológico que se reivindica.
Pero, como se ha puesto de manifiesto, ni la visualización ni el ordenador ni la calculadora son capaces de suplir en el razonamiento. La definición de recta tangente a una
curva en un punto, estrictamente hablando, no es visualizable ya que ningún ordenador puede hacer infinitas ampliaciones de la gráfica de la curva. Pero es evidente
que el ordenador puede usarse con éxito para facilitar la comprensión de un concepto
esencialmente abstracto, para motivarlo adecuadamente. La visualización es, en el
contexto de un concepto que involucra un proceso de razonamiento infinito, el primer
y fundamental paso para la comprensión adecuada de ese concepto.
Bibliografía
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