Introducción a la Enseñanza de: Matemáticas

Introducción a la Enseñanza de:
Matemáticas
Segundo Semestre
Programa
Introducción
Seguramente existen múltiples razones por las cuales los estudiantes
normalistas han decidido estudiar la especialidad de matemáticas, tal vez porque a lo
largo de su formación han visto que cuentan con ciertas habilidades en esta
asignatura, o porque en algún ciclo educativo se encontraron con un profesor que les
despertó el interés por ellas; quizá porque piensan que ser profesor de matemáticas
equivale a vencer un reto adicional, pues suponen que al estudiar esta asignatura
hay mayor campo de trabajo, o bien, tienen interés en resolver los múltiples
obstáculos que, como se sabe, enfrentan los alumnos de secundaria en esta materia.
Cualquiera que sea la razón, es necesario que en este curso introductorio los
estudiantes normalistas aprecien con suficiente claridad lo que significa estudiar,
enseñar y aprender matemáticas, con base en un enfoque didáctico que asigna al
alumno la tarea de estudiar y al profesor la responsabilidad de dirigir el estudio,
ambos con miras a lograr aprendizajes significativos.
Dado que uno de los aspectos centrales para la formación de los futuros
profesores de matemáticas es la vinculación entre el conocimiento de la disciplina y
su didáctica, este curso introductorio sienta las bases para lograr dicho propósito. Es
por ello que el estudio de las matemáticas se analiza desde varios puntos de vista:
de la sociedad, del curriculum, de la teoría didáctica y de la propia disciplina.
Organización de los contenidos
Los contenidos del programa se organizan en tres bloques temáticos. El
primero centra la atención en el valor social que adquiere el alumno de nivel básico al
estudiar matemáticas, se analizan las relaciones entre el estudio, la enseñanza, el
aprendizaje y el uso de las matemáticas y se ejemplifican las habilidades que se
pretende desarrollar en la educación primaria y secundaria.
En el segundo bloque se revisan la estructura y algunos temas fundamentales
de los programas de matemáticas de secundaria, a la vez que se analizan los
materiales de apoyo con que cuentan los profesores de matemáticas, con la idea de
reconocer las características de las situaciones de estudio que pueden proponerse a
los alumnos de secundaria.
En el tercer bloque se sientan las bases de la teoría didáctica para orientar el
estudio, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Dado que es muy difícil comprender el porqué, el qué y el cómo del estudio de
las matemáticas sólo mediante la lectura o la plática sobre estos aspectos, en los
tres bloques se propone que los estudiantes resuelvan algunos problemas para que
con base en su propia experiencia puedan entender mejor el reto que enfrenta un
profesor de matemáticas.
Orientaciones didácticas
Se sugiere desarrollar el curso en forma de taller, distribuyendo las actividades
en sesiones de dos horas cada una. En general, cuando se trata de leer algún
artículo se recomienda tanto la lectura individual como la revisión del material en
equipos, con el fin de resaltar los aspectos principales que se tratan y confrontar
posibles diferencias en la interpretación. Con estos antecedentes el profesor puede
organizar un trabajo colectivo tendiente a socializar los aspectos relevantes,
vincularlos con el contexto propio de los estudiantes y profundizar en los casos en
que sea necesario. En la sección de actividades sugeridas hay algunos ejemplos de
cómo puede organizarse el trabajo colectivo.
Se recomienda que los estudiantes destinen un cuaderno de notas a este
curso, para que en cada sesión registren los asuntos fundamentales que se trataron
y las conclusiones a que llegaron. Este cuaderno puede aportar información al
profesor con fines de evaluación y servir como material de consulta cuando los
alumnos tengan que realizar prácticas en los próximos semestres.
En las actividades donde se sugiere resolver problemas es fundamental que la
búsqueda de procedimientos de solución recaiga en los alumnos y que el profesor
trate de organizar las puestas en común de la manera más adecuada posible.
Propósitos generales
Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los
estudiantes normalistas:
1. Comprendan aspectos fundamentales de la actividad matemática, tales como
aplicar los conocimientos que se tienen, aprender y enseñar matemáticas,
generar nuevos problemas y formas de solución.
2. Conozcan los contenidos básicos de matemáticas que se imparten en secundaria
y analicen la continuidad con los conocimientos obtenidos en primaria.
3. Conozcan las ventajas y desventajas de diferentes estilos docentes, así como sus
repercusiones en relación con los conocimientos, habilidades y actitudes que
pueden lograr los alumnos de educación secundaria.
Bloques temáticos
Bloque I. ¿Por qué y para qué estudiar matemáticas en secundaria?
Temas
1. Las matemáticas en la sociedad y en la escuela.
2. Conocimientos, habilidades y actitudes que subyacen al estudio de las
matemáticas en la educación primaria y secundaria.
Bibliografía básica
Balbuena, H. (1998), “Nuevo curriculum de matemáticas en el nivel básico”, ponencia
presentada en el foro Las Matemáticas en México: educación y desarrollo, Cocoyoc,
Morelos, diciembre.
Chevallard, Yves et al. (1997), “Hacer y estudiar matemáticas. Las matemáticas en la
sociedad”, en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el
aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del normalista), pp. 13-47.
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México. Pag. 11.
SEP (2006), Programas de estudio. Matemáticas. Educación secundaria, México, pp. 21 a
140.
SEP (2006), Antología. Primer Taller de Actualización sobre los Programas de Estudio
2006. Reforma de la Educación Secundaria, (pp. 99 – 104).
Actividades sugeridas
1. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: ¿cuáles son sus
propósitos al estudiar la especialidad de matemáticas? Mientras los estudiantes
responden a la pregunta, el profesor anotará en el pizarrón los aspectos
relevantes, por ejemplo: enseñar mejor, aprender más matemáticas, etcétera.
Una vez que se agoten las opiniones, los estudiantes leerán individualmente las
páginas 13 a 26 del libro “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre
enseñanza y aprendizaje”, de Chevallard (Incluye el prólogo, así como el Episodio
I y Diálogos 1 de la primera unidad del texto). El profesor puede agregar las
siguientes preguntas y consignas y al término de la lectura analizarán
nuevamente la pregunta planteada al principio.
• ¿Qué implicaciones tiene el hecho de considerar que se inicia un proyecto
de estudio en vez de simplemente un proceso de interacción entre
enseñanza y aprendizaje?
• Comenten brevemente en qué consiste la experiencia de la tienda de
matemáticas.
• ¿A qué se refiere la enfermedad didáctica, según el texto?
• Comenten alguna experiencia en la que hayan tenido que resolverle a
alguien un problema de matemáticas fuera de la escuela.
• Individualmente, escriban un texto en el que expresen lo que les pareció
más importante de la sesión. Se sugiere que algunos alumnos lean el texto
que escribieron y hagan comentarios para lograr cada vez mayor claridad.
2. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: ¿qué significa ser
matemático? A medida que los estudiantes expresan sus opiniones, el profesor
anotará en el pizarrón los aspectos relevantes. Después, organizados en parejas,
leerán “¿Qué significa ser matemático?“, del texto de Chevallard, de manera que
uno asuma el papel de estudiante y el otro de profesor o profesora. Al término de
la lectura el profesor organizará una discusión con base en las siguientes
preguntas:
• ¿En qué sentido el profesor hace el papel de matemático ante sus
alumnos?
• ¿En qué sentido los alumnos hacen el papel de matemáticos ante el
profesor o ante otros compañeros?
• Registrar en su cuaderno de notas lo que cada uno considere más
importante, con base en las ideas previas, la lectura y la discusión.
3. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: ¿por qué es
importante estudiar matemáticas en la escuela secundaria? A medida que los
estudiantes expresen sus opiniones el profesor anotará en el pizarrón las ideas
relevantes. Después, individualmente se leerán “¿Por qué hay que estudiar
matemáticas?“ del libro de Chevallard, así como el apartado “Enfoque” (pp. 11 –
14) de los Programas de estudios 2006, de matemáticas, educación secundaria, y
“Enfoque” (pp. 11 y 12) del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación
secundaria. Al terminar, se organizará una discusión con base en las siguientes
preguntas:
• ¿Cuál es la principal finalidad de estudiar, enseñar y aprender
matemáticas?
• ¿Por qué es importante que los alumnos del nivel básico estudien
matemáticas en la escuela?
• ¿Qué relación existe entre el valor social (mencionado en el texto de
Chevallard) de la persona que conoce, y la importancia de las matemáticas
en la vida diaria a que se hace referencia en el apartado Enfoque del libro
del maestro? Individualmente registrarán en un texto los puntos de
coincidencia de los tres materiales leídos, así como las discrepancias, si las
hay. Algunos alumnos leerán su trabajo ante el grupo para comentarlo entre
todos.
4. El maestro organizará al grupo en equipos y les planteará cuatro de los
problemas que aparecen en el texto de Hugo Balbuena “Nuevo currículum de
matemáticas en el nivel básico”. Después de resolver los problemas, en forma
colectiva revisarán los procedimientos y resultados. A continuación, el maestro
comentará que uno de los propósitos fundamentales del nuevo curriculum de
matemáticas para el nivel básico es el desarrollo de habilidades, tales como:
estimar, medir, operar, inferir, comunicar, generalizar, imaginar y deducir.
Aunque, en general, la resolución de un problema implica más de una
habilidad, ¿con cuál o cuáles de ellas se relaciona más cada uno de los
problemas que resolvieron y por qué? Una vez que los equipos establezcan la
relación, el profesor organizará una puesta en común procurando que en cada
caso se formulen otros problemas similares.
Los alumnos leerán por separado el texto mencionado y después se
organizará una discusión para confrontar sus propios puntos de vista con los del
texto leído. 1
5. Organizados en equipos, los alumnos analizarán y contestarán por escrito:
• ¿Qué se entiende por proceso enseñanza/aprendizaje?
• ¿Puede haber enseñanza sin aprendizaje?
• ¿Puede haber aprendizaje sin enseñanza? ¿Cómo se puede aprender sin
que haya de por medio una enseñanza?
• ¿Cómo se imaginan un proceso didáctico fuera de la escuela?
• ¿Puede haber aprendizaje sin enseñanza y sin estudio? Dar algunos
ejemplos.
• ¿Qué entienden por didáctica de las matemáticas?
Cuando la mayoría de los equipos termine, se organizará una puesta en común para
ver las similitudes y las diferencias de los puntos de vista expresados.
Individualmente leerán “La didáctica de las matemáticas, ciencia del estudio”
del texto de Chevallard, para confrontar sus puntos de vista con los del autor.
Después escribirán un texto en el que contrastarán sus ideas originales con las que
resultaron de las preguntas.
Bloque II. ¿Qué enseñar?
1. Los contenidos básicos de matemáticas en la educación secundaria.
2. Situaciones para el estudio de las matemáticas en la educación secundaria.
1
Conviene además consultar el artículo “El desarrollo de competencias matemáticas en la educación
básica” de Hugo Balbuena, en Matemáticas. Antología. Primer Taller de Actualización sobre los
Programas de Estudio 2006. Reforma de la Educación Secundaria, (pp. 99 – 104).
3. La secuencia y organización de los contenidos.
4. Los materiales de apoyo para los profesores de matemáticas.
Bibliografía básica
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
— (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria,
— (2006), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria.
— (2009), Programa de estudio. Quinto grado. Educación primaria.
— (2009), Programa de estudio. Sexto grado. Educación primaria.
Libros de texto de matemáticas para la educación secundaria de primero, segundo y tercer
grados, autorizados por la SEP.
Actividades sugeridas
1. Se organizará al grupo en equipos y se planteará la siguiente tarea: analizar, en
los programas de estudios 2009, de quinto (pp. 42 – 67) y sexto (pp.48 – 87)
grados de Primaria, así como en la Secuencia y organización de contenidos de
los programas 2006 de matemáticas, de secundaria (pp. 21 – 140), los siguientes
temas: fracciones, medición de superficies, simetría, interpretación y elaboración
de gráficas y proporción directa, atendiendo a los siguientes aspectos:
• ¿De dónde se parte y hasta dónde se llega?
• Tipos de problemas que se esperaría pudieran resolver los alumnos que
terminan la educación secundaria.
• Vínculos que se pueden establecer con los contenidos de otras asignaturas.
Cada equipo se hará cargo de un tema. Contarán con el tiempo suficiente
para el análisis y, posteriormente, expondrán su trabajo al resto del grupo.
2. Para realizar esta actividad es necesario contar por lo menos con una colección
de los libros de texto de matemáticas autorizados por la SEP para su uso en los
tres grados de secundaria 2 . Se organizará al grupo en equipos según el número
de libros de texto disponibles. Se asignará un libro a cada equipo y se planteará
la siguiente tarea: cada equipo elegirá un tema de estudio y analizará cómo se
desarrolla en el texto, apoyándose en las siguientes preguntas:
• ¿En qué medida se favorece la reflexión de los alumnos con los problemas
planteados?
2
Los textos autorizados por la SEP están disponibles en formato PDF y pueden descargarse de la
página de la CONALITEG: www.conaliteg.gob.mx. En la parte superior derecha de la página de inicio
aparece el recuadro Catálogo de libros en línea. (Verificado en enero de 2009).
• ¿Qué tipo de información se proporciona a los alumnos?
• ¿Cuál es la estructura general de las lecciones?
Finalmente, cada equipo presentará al resto del grupo el resultado de su
análisis.
3. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el problema 1 de la
página 82 del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Se
organizará una confrontación para poner en claro los procedimientos utilizados.
Después, el maestro pedirá que la mitad de los equipos proponga un problema
similar pero más difícil y el resto de los equipos elabore uno más fácil. Se
analizarán algunos problemas para ver hasta dónde se logró dicho propósito.
Finalmente, el maestro invitará a los alumnos a tratar de resolver otros problemas
de este libro en su tiempo libre.
4. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el primer problema del
tema 6, segundo grado, “Las ventanas del calendario”, del Fichero de actividades
didácticas, (pp. 58 – 59). Matemáticas. Educación secundaria. Cuando los
equipos terminen se organizará una confrontación de resultados y se continuará
de la misma manera con los siguientes problemas.
Después de resolver todos los problemas de la ficha se hará un análisis
general apoyándose en las siguientes preguntas:
• ¿Qué contenidos matemáticos se pusieron en juego?
• ¿A qué temas del programa corresponden?
• ¿Qué diferencias hay entre los dos primeros problemas? ¿Y entre los dos
últimos?
• ¿Consideran que esta actividad permite entrar en el estudio de algún tema en
particular? ¿Cuál? Finalmente, se leerá y comentará la introducción del fichero
para que los alumnos conozcan su estructura y contenido.
5. Organizados en equipos revisarán en el documento Programas de estudios 2006
de matemáticas los apartados Introducción y Propósitos (pp. 7 – 9), así como la
estructura de la Secuencia y organización de contenidos (pp. 21 – 140).
Considérense los siguientes indicadores:
•
Ejes que se manejan y ramas que engloban
•
Vinculación entre los contenidos de la propia asignatura
•
Vinculación con otras asignaturas
•
Estructura de la secuencia y organización de contenidos: ejes, temas,
subtemas, conocimientos y habilidades
•
Orientaciones didácticas
Por equipos pueden elegir algún contenido y elaborar un listado de ideas sobre
cómo vincularlo con otros contenidos de matemáticas, así como su vinculación
con los contenidos de otras asignaturas.
Bloque III. Primeras consideraciones didácticas
1. Los estilos docentes y sus consecuencias en los aprendizajes que logran los
alumnos.
2. Las variables didácticas que hacen evolucionar los conocimientos previos.
3. La didáctica de las matemáticas como ciencia de estudio.
4. La puesta en común en la clase de matemáticas.
5. El plan de clase como herramienta de trabajo.
Bibliografía básica
Broitman, Claudia (1999), “Cambian los problemas, cambian los procedimientos de solución”,
en Las operaciones en el primer ciclo, Buenos Aires, Ediciones Novedades
Educativas, pp. 23-34.
Chevallard, Yves et al. (1997), “Matemáticas, alumnos y profesores. Las matemáticas en el
aula”, en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el
aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del normalista), pp. 151-192.
Parra, C., I. Saiz y P. Sadovsky (1994), “Organización de las interacciones de los alumnos
entre sí y con el maestro”, en Matemática y su enseñanza, documento curricular
PTFD, Argentina.
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Actividades sugeridas
1. Organizados en equipos, los alumnos resolverán los siguientes problemas:
• El precio neto de un traje es de $500.00, ¿cuál es su precio bruto si se
vende con 15% de IVA?
• Un comerciante obtuvo $507 263.00 de ingresos brutos anuales. ¿Cuánto
tiene que pagar de IVA (15%) y cuánto obtuvo de ingresos netos?
• Un comerciante ha vendido un artículo en $8 745.00 con el IVA incluido
(15%). ¿Cuál es el precio neto del artículo y cuánto le debe a Hacienda por
concepto de IVA?
• La cuenta de un restaurante, incluyendo el IVA fue de $404.80. A esta
cantidad hay que agregar la propina, que es de 10% sobre el costo neto.
¿Cuánto hay que pagar en total?
• Un comerciante compra un artículo en $2 800.00 y quiere venderlo a un
precio que le permita ganar 80% sobre el precio de venta. ¿A qué precio
debe vender el artículo y cuánto es la ganancia?
Después de resolver los problemas, se organizará una confrontación para
dejar en claro los procedimientos utilizados. En particular, se analizará si algún
equipo logró encontrar un procedimiento general para resolver los cinco
problemas.
2. En un proceso de estudio escolar intervienen tres factores fundamentales: el tipo
de problemas que se utilizan para que los alumnos logren entrar en el tema que se
quiere estudiar; el dominio de los estilos docentes por parte del profesor para poner
en marcha la situación; y la manera en que actúan conjuntamente el profesor y los
alumnos, lo que Chevallard llama “Contrato didáctico” 3 .
Individualmente, leerán “Episodio 3. En clase de matemáticas” del texto de
Chevallard. Al término de la lectura organizarán una discusión con base en las
siguientes preguntas:
• ¿Cuál es su opinión acerca del estilo o técnica docente utilizada por la maestra
Marta?
• ¿Qué diferencias hay entre el estilo docente utilizado por la maestra Marta y el
que se usó al resolver los problemas de la actividad uno?
• ¿Consideran que los problemas planteados por la maestra Marta permiten
entrar al estudio de algún contenido matemático? ¿Cuál? Individualmente, cada
alumno elaborará un texto con las conclusiones que se deriven de la discusión.
2. Organizados en equipos leerán y comentarán el texto “Cambian los
problemas, cambian los procedimientos de resolución” de Claudia Broitman.
Después, el profesor planteará la siguiente tarea: cada equipo elige un
problema del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria y lo
modifica con base en alguna de las variables didácticas que se explican en el
texto leído (tamaño o tipo de números, orden de presentación de las
informaciones, etcétera). Analizarán el nivel de dificultad de ambos problemas
para establecer cuál es mayor y por qué. Finalmente, cada equipo explicará al
grupo el resultado de su análisis.
3. Elaboración y puesta en práctica de un plan de clase. Para la realización de
esta actividad el maestro organizará al grupo en equipos, asignando a cada
uno alguno de los ejes en los que se agrupan los contenidos matemáticos de
secundaria. Cada equipo elegirá, en la Secuencia y organización de
contenidos de los programas de matemáticas 2006, un tema del eje que le
corresponde y elaborará un plan de clase para llevarlo a cabo en el grupo.
Una vez que todos los equipos elaboren su plan de clase, con la asesoría del
3
“En el ámbito escolar, son muy importantes las normas que tácitamente, sin un acuerdo expreso,
rigen en cada momento las obligaciones recíprocas de los alumnos y el profesor respecto al proyecto
de estudio que tienen en común. Se trata de un conjunto de cláusulas que evolucionan a medida que
el proceso didáctico avanza y que constituyen una especie de contrato denominado el contrato
didáctico”. Chevallard. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. p.
62.
profesor, harán una lectura comentada del texto ”Organización de las
interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro” de C. Parra y P.
Sadovsky.
Después, programarán la participación de los equipos para que cada sesión
de clase dure aproximadamente una hora. Si no hay tiempo suficiente para
que participen todos los equipos, harán un sorteo para elegir uno o más
equipos. Al final de cada presentación se dedicará un tiempo para hacer
observaciones y sugerencias con el fin de mejorar el trabajo realizado,
procurando vincular esta actividad con lo que se ha estudiado en el curso,
particularmente, lo relativo a los retos de ser maestro. A continuación se
describen los aspectos que puede contener el plan de clase y en la página
siguiente se muestra un plan elaborado que puede servir como ejemplo.
Datos generales: escuela, grado y fecha.
Tema: contenido matemático que se quiere estudiar, puede ser
tomado de la secuencia y organización de contenidos.
• Propósito: herramientas matemáticas que se espera sean
utilizadas para resolver la situación planteada.
• Consigna: el planteamiento textual de la situación (pueden elegir
alguna situación didáctica del fichero, del libro para el maestro, de
algún libro de texto autorizado o inventar una). En los tres primeros
casos basta con dar la referencia. Por ejemplo, resolver el problema
1, ficha 6, del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria.
• Confrontación: describir en qué se pondrá el acento una vez que
los alumnos resuelven el problema: enfocar la atención en algún
procedimiento, socializar varios procedimientos, etcétera
• Evaluación de la situación didáctica: una vez concluida la sesión
de clase, se hará una valoración somera del interés que provocó la
situación y en qué nivel se cubrió el propósito establecido.
Un ejemplo de plan de clase
Tema: la noción de razón entre dos cantidades y su expresión por
medio de un cociente.
Propósito: que utilicen las fracciones para expresar la razón entre
dos cantidades.
Consigna: resolver el problema 1, ficha 13, del Fichero de
actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. El
problema se plantea de la siguiente manera: un albañil sabe que
con cuatro botes de arena y cinco botes de grava puede hacer una
buena mezcla. ¿Cuántos botes de arena necesita para tener 27
botes de mezcla? Confrontación: Después de socializar los
procedimientos diferentes que surjan, se plantearán las siguientes
preguntas para fijar la atención en el uso de las fracciones:
• ¿Aproximadamente cuántos botes de mezcla se hacen con
cuatro botes de arena y cinco de grava?
• De ese total de botes de mezcla, ¿qué parte es arena?
• ¿Consideran que la fracción de arena o de grava debe
conservarse en cualquier cantidad de botes de mezcla?
• ¿Por qué?
• ¿Cómo se puede calcular 4/9 de 27?
Evaluación de la situación didáctica: (En este caso es hipotética.)
El nivel de dificultad del problema resultó adecuado. Se usaron dos
procedimientos correctos para resolverlo: relacionando las
cantidades de botes de mezcla, 27 es tres veces nueve y por lo
tanto la cantidad de arena debe aumentar tres veces. En 9 botes de
mezcla hay 4/9 de arena, 4/9 de 27 es 12. Conviene continuar con
el problema para fortalecer el uso de las fracciones.