I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio 2005

I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
2005-06
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LA DESCRIPCIÓN NEWTONIANA DEL CAMPO GRAVITATORIO
Y LA INTERPRETACION DE LA GRAVITACION NEWTONIANA
COMO CURVATURA DEL ESPACIO–TIEMPO
M. Santander
Departamento de Fı́sica Teórica, Universidad de Valladolid
Versión 4.1 (Mayo 2006, correcciones de detalle y redefinicion de macros de formato).
Revisiones anteriores: Versión 4.0, Abril 2006, 3.02, Abril 2004; 3.0, Mayo 2003; 2.2,
Noviembre 2002; 2.1, Octubre 2002; 2.0, Octubre 2001.
Estas notas usan los macros ACRES de G. Tuynmann.
La exposición está organizada en dos partes, como sugiere el tı́tulo global. En la
primera parte se pretende sólo describir el campo gravitatorio newtoniano de la manera
convencional, aunque haciendo énfasis en los aspectos que nos interesen; lo haremos en
dos etapas, suponiendo primero que el sistema de referencia usado es un sistema inercial,
y liberándonos de esa limitación luego, especialmente en favor de un tipo particular de
sistemas no inerciales, los sistemas en caı́da libre y sin rotación, que resultarán esenciales
en el desarrollo posterior, y que a veces se denominan sistemas de referencia localmente
inerciales.
En la segunda parte, lo que se pretende es introducir la interpretación geométrica de la
gravitación newtoniana como una teorı́a en la que el espacio-tiempo tienen una conexión
con curvatura. La idea básica es la formulación de Cartan del principio de inercia, que
requiere que en el espacio-tiempo esté definida una conexión. El resto es traducir los
resultados convencionales —ecuaciones del movimiento, ecuaciones de campo, etc.— al
nuevo lenguaje. Debe quedar claro desde el principio que la interpretación geométrica es
simplemente una formulación o interpretación alternativa, que es fı́sicamente equivalente
por completo a la interpretación usual.
•
ejercicio 1.1. Para referencia posterior, damos algunos datos numéricos que se usarán en
diversas estimaciones:
Constante de Gravitación G = 6.67 × 10−8 cm3 g−1 s−2
Velocidad de la luz c = 2.99 × 1010 cm s−1
Masa del Sol: M = 1.99 × 1033 g
Radio del Sol: R = 6.96 × 1010 cm
Masa de la Tierra: M⊕ = 5.97 × 1027 g
Radio de la Tierra: R⊕ = 6.371 × 108 cm
Masa de la Luna: Ml = 7.35 × 1025 g
Distancia media Tierra-Sol (U.A.): 1.49 × 1013 cm
Distancia media Tierra-Luna 3.84 × 1010 cm
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LA DESCRIPCIÓN NEWTONIANA DEL CAMPO GRAVITATORIO
Descripción del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia Inercial.
La descripción clásica del campo gravitatorio se realiza en términos de un vector
espacial (3-vector), g(x, t) llamado intensidad de campo gravitatorio que describe la
fuerza gravitatoria F = mg producida por el campo sobre una partı́cula test de masa
m situada en el punto x en el instante t. Para formular esta teorı́a de un modo paralelo a
la teorı́a de Einstein, es necesario distinguir tres niveles en la descripción clásica; los dos
primeros —potencial gravitatorio y campo gravitatorio— son bien conocidos, mientras
que el tercero —campo de marea— es mucho menos familiar.
En todo lo que sigue, donde se comienza desde cero, x, X denotan los vectores
posición de puntos en el espacio fı́sico, asimilado al espacio euclideo 3D, referidos a
sus componentes cartesianas usuales; el tensor métrico en esas coordenadas es δIJ .
Asimismo se usará de manera sistemática el convenio de Einstein de suma sobre ı́ndices
(latinos, I, i con rango 1, 2, 3 o griegos µ con rango 0, 1, 2, 3) repetidos (mudos).
1A) El Campo gravitatorio.
La fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una partı́cula test de masa gravitatoria mgr
en el punto x, debido a la presencia de una colección de masas (gravitatorias) M(s) ,
situadas en las posiciones X(s) (t) está dada según la ley de Newton por:
Fgrav = −mgr G
X
(s)
M(s)
x − X(s) (t)
(x − X(s) (t))2 | x − X(s) (t) |
(1.1)
donde G es la constante gravitatoria de Newton (cuya primera determinación experimental con cierta precisión se debe a Cavendish), G = 6.67 × 10−8 cm3 g−1 s−2 . Cuando
esta expresión para la fuerza gravitatoria se introduce en el marco de la mecánica Newtoniana, se obtiene la ecuación del movimiento para la partı́cula test
min
d2 x(t)
= Fgr .
dt2
(1.2)
Parece ser un hecho experimental notable que la masa inercial min es universalmente
proporcional a la masa gravitatoria mgr . La primera comprobación de este hecho se
debe a Galileo, mediante experimentos con péndulos de diversas sustancias; enunciado
en términos modernos Galileo dió una cota para la eventual diferencia relativa entre
las masas inerte y gravitatoria de diversos cuerpos |min − mgr |/min < 2 · 10−3 . La
comprobación fina de tal hipótesis comienza con el barón húngaro L. Eötvös, quien
a partir de 1890 realizó medidas muy precisas con una balanza de torsión para muy
diversas sustancias (cobre, agua, sulfato de cobre, madera, asbesto, . . . ) en comparación
con un patrón de platino, obteniendo la cota |min − mgr |/min < 5 · 10−8 para la eventual
diferencia relativa independientemente de la sustancia, que mejoró a < 3 · 10−9 en
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experimentos más precisos en 1910. Sorprendentemente, una balanza de torsión sigue
siendo hasta hoy el mejor instrumento para tal comprobación; las mejores cotas son
< 1 · 10−11 en los experimentos de Adelberger et al. (1990) y de < 0.9 · 10−12 en los
experimentos de Braginski et al. (1971), y se espera llegar hasta una precisión < 10−17
en un experimento propuesto por Barlier et al. (1991), a realizar en una nave espacial
en caı́da libre, como la Estación Espacial Internacional (ISS).
Si tomamos la proporcionalidad estricta entre masa inercial y gravitatoria como un
hecho, podemos simplemente prescindir de la etiqueta inercial en (1.2). Entonces, usando unidades adecuadas la masa inercial y la gravitatoria son iguales para cualquier
cuerpo. Como consecuencia, el movimiento en un campo gravitatorio dado de partı́culas
test de masas y composiciones diferentes, para las mismas condiciones iniciales, es
idéntico. Esto permite definir un vector intensidad de campo gravitatorio (o simplemente campo gravitatorio) como la fuerza por unidad de masa de la partı́cula test, que
la distribución de materia que crea el campo ejerce sobre una partı́cula test de masa m:
g(x, t) =
1
Fgrav .
m
En consecuencia la masa m de la partı́cula test desaparece de la ecuación del movimiento
que adopta la forma usual:
d2 x(t)
= g(x(t), t).
(1.3)
dt2
El paso siguiente es plantear las ecuaciones de campo, que relacionan la distribución
de masa (fuente del campo) con el campo del vector g(x, t). En el caso de una distribución continua de masa con densidad ρ(x, t) dada, g(x, t) es un campo vectorial
irrotacional que satisface la ecuación de Poisson:
− div g(x, t) = 4 π G ρ(x, t),
rot g(x, t) = 0,
(1.4)
Estas dos ecuaciones son las ecuaciones del campo gravitatorio en la teorı́a newtoniana.
•
ejercicio 1.2.
La solución más simple de las ecuaciones (1.4) corresponde al caso de una masa
esférica de densidad uniforme ρ0 , con radio R, masa M y en reposo. En un sistema de coordenadas
cartesianas con origen en el centro de la masa, el campo gravitatorio g a distancia r del centro
I
vale g I (x) = −GM xr3 en el exterior (cuando r > R) y en el interior (cuando r < R) está
dado por g I (x) = − GM
xI . Nótese que al atravesar el borde del cuerpo el campo gravitatorio
R3
cambia con la posición de manera continua, y que en el interior del cuerpo puede reescribirse
g I (x) = − 43 πGρ0 xI (r < R)
1B) El Potencial gravitatorio.
El segundo nivel de descripción de la gravitación involucra al potencial, cuya introducción puede abordarse de dos maneras. Matemáticamente, la segunda ecuación en
(1.4) permite escribir (localmente) el vector intensidad de campo gravitatorio como el
vector asociado (mediante la métrica espacial δIJ ) al covector gradiente de un campo
escalar ϕ(x, t),
∂ϕ(x, t)
.
(1.5)
g I (x, t) = −δ IJ
∂xJ
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El campo escalar ϕ(x, t) se denomina potencial gravitatorio. La energı́a potencial de la
partı́cula test de masa m situada en el punto x en el instante t es:
V (x, t) = −mG
X
(s)
M(s)
,
| x − X(s) (t) |
(1.6)
y en términos de V las ecuaciones (1.1) y (1.2) son:
F = −∇V (x, t),
m
d2 x(t)
= F = −∇V (x(t), t).
dt2
(1.7)
(1.8)
Dividiendo las ecuaciones (1.7)–(1.8) por m y comparando con (1.3)–(1.5), resulta claro
que el potencial gravitatorio ϕ(x, t) admite una interpretación fı́sica como la energı́a
potencial gravitatoria por unidad de masa que posee una partı́cula test situada en el
punto (x, t) del espacio-tiempo:
ϕ(x, t) =
1
V (x, t)
m
Al igual que ocurrı́a en (1.3), esto implica que cuando las ecuaciones de movimiento
se escriben en términos del potencial, la masa de la partı́cula test desaparece completamente:
d2 xI (t)
∂ϕ
= −δ IJ J (x(t), t),
(1.9)
2
dt
∂x
La ecuación de campo (1.4) en términos del potencial queda en la forma:
∇2 ϕ(x, t) = 4 π G ρ(x, t).
•
(1.10)
ejercicio 1.3.
El potencial producido por una masa esférica uniforme y en reposo a distancia
r del centro vale en el exterior (cuando r > R) ϕ(x, t) = −GM r1 y en el interior (cuando
r < R) está dado por ϕ(x, t) = − 32 GM
+ 21 GM
r2 . Notar que el término constante aditivo en el
R
R3
potencial interior serı́a innecesario, pero se añade con el objeto de que el potencial sea continuo en
r = R, lo que permite hacer estimaciones significativas de la diferencia de potencial entre puntos
interiores y exteriores. Notar también que en el interior el potencial es un oscilador armónico.
Un complemento ilustrativo es derivar la expresión para la frecuencia propia de oscilación de un
cuerpo en caı́da libre atravesando el interior de la tierra por un pozo diametral.
1C) El Campo de Marea.
Consideremos ahora la gravitación desde un punto de vista ligeramente distinto. Vamos a desviar nuestra atención de las ecuaciones de movimiento que dan la evolución de
la posición x(t) de la partı́cula test con respecto a un sistema de referencia previamente
fijado, y vamos a fijarla en las ecuaciones que describen la evolución de la posición
relativa o separación η(t) entre dos partı́culas test, ambas en caı́da libre en el campo
gravitatorio.
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• ejercicio 1.4. En el campo gravitatorio de la Tierra, en el exterior, demostrar que la separación
ηh (t) entre dos partı́culas en caı́da libre y situadas inicialmente en reposo a la misma altura (por
tanto con separación horizontal, denotada ηh ), satisface la ecuación:
d2 ηh (t)
≈−
dt2
GM⊕
r3
ηh (t)
(1.11)
mientras que si la separación es inicialmente vertical denotada ηv , la ecuación es
d2 ηv (t)
≈−
dt2
−2GM⊕
r3
ηv (t)
(1.12)
donde r > R⊕ es la distancia al centro.
El caso general es similar: Si denotamos por x(t) e y(t) las trayectorias de las dos
partı́culas test —ambas soluciones de la ecuación (1.3)—, y consideramos la separación
η(t) = y(t) − x(t), la aceleración de η es igual a la diferencia entre el valor del campo
gravitatorio g en los dos puntos (y(t), t) y (x(t), t). Pero si ambos puntos son próximos,
el término dominante en esta diferencia se obtiene desarrollando el campo g(y(t), t)
alrededor de x(t) en serie de potencias de η y conservando los primeros términos del
desarrollo:
∂g I (x, t) J
(y − xJ ) + . . .
(1.13)
g I (y, t) = g I (x, t) +
J
∂x
Ası́ vemos que lo importante para este problema es el campo gravitatorio diferencial,es
decir, el eventual cambio del vector intensidad g en el espacio. Esto conduce a considerar
un nuevo objeto que llamaremos campo de marea A, un tensor (3-D, bajo rotaciones)
una vez contravariante y una vez covariante cuyas componentes están definidas como:
AI J (x, t) = −
∂g I (x, t)
,
∂xJ
(1.14)
En términos de A la aceleración de la separación relativa η I (t) entre dos partı́culas test
en caı́da libre es:
d2 η I (t)
≈ −AI J (x(t), t) η J (t).
(1.15)
dt2
Expresando g en términos del potencial ϕ, las componentes del campo de marea A
resultan ser las derivadas espaciales segundas del potencial:
AI J = δ IK
∂2ϕ
,
∂xK ∂xJ
AIJ := δIL AL J =
∂2ϕ
,
∂xI ∂xJ
AIJ = δ IK δ JL
∂2ϕ
. (1.16)
∂xK ∂xL
Las ecuaciones (1.4) del campo gravitatorio se transcriben en términos de A como:
AI I (x, t) = A1 1 + A2 2 + A3 3 = 4 π G ρ(x, t),
AIJ = AJI ,
(1.17)
que muestran una relación local entre el campo de marea y la densidad de fuentes del
campo.
•
1.5. Demostrar que el campo de marea en el exterior de una masa
M de densidad
3xI xK
GM
, (r > R). En
uniforme, simetrı́a esférica y en reposo, es AIK (x, t) = r3 δIK − r2
ejercicio
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particular, en el punto x = (0, 0, r) sobre el eje z y a distancia r del origen, la matriz AI J es
diagonal, con componentes no nulas
AX X = AY Y =
GM
,
r3
AZ Z = −2
GM
,
r3
(1.18)
que naturalmente concuerdan con las fórmulas (1.11)–(1.12) del ejercicio al comienzo de éste
apartado, cuando se aplican a separaciones inicialmente horizontales (X, Y ) o verticales (Z). Las
expresiones (1.18) son aplicables al exterior, donde la densidad de masa es nula, ρ = 0; es evidente
que la ecuación de campo (1.17) AX X + AY Y + AZ Z = 0(= 4πGρ) se satisface.
•
ejercicio 1.6.
Demostrar que el campo de marea existente en el interior de una masa esférica
de radio R, masa M , densidad uniforme ρ0 = 4 M y en reposo es: AIJ (x, t) = GM
δ (r < R)
R3 IJ
3
πR3
y como se debe, la suma de los tres elementos diagonales de AI J coincide con 4πGρ0 .
Las fuerzas de marea.
Podemos dar una imagen más vı́vida de los fenómenos implicados en el aspecto de
marea del campo gravitatorio si consideramos una de las dos partı́culas como fiducial y
referimos el movimiento de la segunda a un sistema de referencia (no inercial) que esté
en caı́da libre con la primera partı́cula y sea no-rotante. Los detalles se irán precisando
a lo largo del tema.
Comencemos con dos ejemplos. En el caso de las mareas debidas a la gravitación de
la Luna y del Sol en el océano terrestre, podemos considerar la Tierra en su movimiento
de caı́da libre en el campo gravitatorio conjunto de la Luna y del Sol como movimiento
fiducial, y referir el de un elemento de volumen del mar, como segunda partı́cula, a un
sistema de referencia ligado al movimiento del centro de masa de la Tierra, que es quien
realmente está en caı́da libre. En otro ejemplo, el de las dos partı́culas cayendo en el
campo de la Tierra, al que las expresiones (1.11) y (1.12) se refieren, se tomarı́a por
ejemplo una de las partı́culas como fiducial, y las ecuaciones (1.11) y (1.12) describen
la aceleración experimentada por la segunda partı́cula relativamente a la fiducial.
En tales situaciones, y de acuerdo con el modelo newtoniano, podemos considerar el
movimiento de la segunda partı́cula de masa m relativamente a la primera, —que a su
vez está dado por la ecuación (1.15)—, como el resultante de ciertas fuerzas de marea,
en términos de las cuales las ecuaciones (1.15) se presentan en la forma newtoniana
standard:
d2 η I (t)
= f I (x(t), t)
(1.19)
m
dt2
con unas fuerzas de marea f I (x(t), t) dadas por:
f I (x(t), t) = −m AI J (x(t), t) η J (t)
(1.20)
Ası́ pues, las fuerzas de marea se anulan para η J (t) = 0, y actuan efectivamente sólo
cuando la partı́cula test se separa de la posición fiducial, siendo proporcionales a dicha
separación, además de ser también proporcionales a la masa de la partı́cula. Por ejemplo,
sobre un elemento de volumen del mar, que está separado del centro de la Tierra por
una distancia R⊕ (que es pequeña en comparación con la distancia a que está la Luna
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o el Sol, quuienes crean el campo de marea, aunque desde otros puntos de vista R⊕
pueda parecer grande), sı́ que se ejerce una fuerza de marea, mientras que en el centro
de la Tierra no hay fuerzas de marea. Para la situación del ejercicio (1.11)/(1.12), y
escogiendo las coordenadas en el sistema ligado a la partı́cula fiducial en caı́da libre de
manera que las separaciones x, y sean horizontales y la z vertical, para una separación
inicial horizontal, η J = (x, 0, 0), la fuerza de marea es

 
 
1
x
x
GM⊕  
GM⊕ 



1
0 = −m 3
0 ,
(1.21)
f = −m 3
r
r
−2
0
0
fuerza que es atractiva, horizontal, colineal con la separación inicial, dirigida siempre
hacia el origen (esto es, hacia la partı́cula fiducial) y proporcional a la separación horizontal x. Algo semejante ocurre para la separación a lo largo de cualquier otra dirección
horizontal, digamos y. Para separación vertical en la dirección z, η J = (0, 0, z), la fuerza
de marea resulta ser
 

 
0
1
0
GM⊕ 
GM⊕  



f = −m 3
0 = 2m 3
(1.22)
1
0 ,
r
r
z
−2
z
que es repulsiva, vertical, colineal con la separación inicial y proporcional a ella.
Si la posición relativa de la segunda partı́cula test es genérica, η J = (x, y, z), entonces
la fuerza de marea es la dada por la expresión general, y en general ya no es colineal
con la separación, de manera que no tiene sentido decir si es atractiva o repulsiva (el
tensor de marea no es un múltiplo de la identidad).
El campo de marea produce dos manifestaciones importantes, ambas discutidas originalmente por el propio Newton:
• Las mareas. Si en vez de dos partı́culas cercanas ambas en caı́da libre en (1.11)–(1.12),
consideramos una gota lı́quida, supuesta de forma inicialmente esférica, la gota se
deforma bajo la acción de las fuerzas de marea hasta adoptar una forma de elipsoide
de revolución; su “ecuador” horizontal (X, Y ) se encoge y su eje “vertical” Z se estira
hasta que las fuerzas de marea quedan en equilibrio con las fuerzas que mantienen
unida la gota. Para una gota pequeña de un lı́quido ordinario (agua) la fuerza que
la mantiene unida es la tensión superficial, que la llevarı́a, de actuar sola, a la forma
esférica que tiene superficie mı́nima para el volumen dado; para una gota pequeña
las fuerzas de tensión superficial son abrumadoramente dominantes sobre las propias
fuerzas de marea creadas por la Tierra en las cercanı́as de su superficie. de manera
que no debemos esperar que la deformación de marea sea facilmente observable en la
forma de una gota. Sin embargo, si imaginamos lı́quidos con tensión superficial cada
vez menor, o añadimos un agente detergente que disminuya la tensión superficial,
entonces en el lı́mite de tensión superficial nula, las fuerzas de marea deforman la
esfera a un elipsoide, y la forma de este elipsoide (su deformación medida en términos
relativos) es independiente de su tamaño, y resulta —en principio— una medida
absoluta de la presencia de campo gravitatorio.
En el ejemplo de las mareas, el mar debe imaginarse como una delgada pelı́cula lı́quida
(espesor medio del orden de 1 Km) sobre un núcleo rocoso esférico que en primera
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aproximación supondremos rı́gido. En este caso la fuerza inicialmente responsable de
la forma esférica del mar es la propia gravedad ordinaria de la Tierra (y no la tensión
superficial, cuyo efecto sobre el Océano resulta despreciable). Las mareas se deben al
efecto diferencial del campo gravitatorio de la Luna y del Sol, que presenta variaciones
apreciables sobre distancias a la escala espacial de la Tierra. Una estimación sencilla
del efecto y altura de las mareas causadas por la Luna sobre el mar terrestre se
propone en el siguiente ejercicio:
•
ejercicio 1.7.
Se trata de dar un modelo simple de la superficie del mar, supuesto una pelı́cula
delgada que cubre la superficie de una Tierra esferica y sólida, bajo el efecto del campo de marea
de la Luna. Dar la expresión de las fuerzas de marea que se ejercen sobre un elemento del mar
2 con la Luna en el eje z negativo) y comprobar
(situado en posición (x, y, z) con x2 + y 2 + z 2 = R⊕
que estas fuerzas derivan de un potencial que deberá escribirse. La condición que determina la
forma del mar es que su superficie debe ser una equipotencial del potencial conjunto “potencial
de marea + potencial gravitatorio ordinario”. Encontrar la ecuación que da la altura de marea h
en función del ángulo de latitud θ de la posición (x, y, z) relativa al eje polar Luna-Tierra. Dar el
valor numérico del rango ∆h de la marea lunar (diferencia entre los valores máximo y mı́nimo de
h). Finalmente comprobar que si la Tierra se asimilara a una gota fluida de densidad constante
ρ, mantenida en esa forma por su propia gravedad, la deformación relativa ∆h/R⊕ resultarı́a
independiente del tamaño, confirmando lo que se indicó antes: tal deformación relativa resulta
una medida absoluta de la presencia de campo gravitatorio.
• ejercicio 1.8. Alrededor de un planeta de masa Mp y radio Rp orbita, a distancia entre centros
r y en órbita circular, un satélite, que supondremos una esfera sólida de roca de masa ms y radio
Rs . Mostrar que si la distancia r es menor que el llamado lı́mite de Roche para ese satélite,
rRoche = Rs
2Mp
ms
1/3
entonces las fuerzas de marea pueden “limpiar” de rocas sueltas la superficie del satélite, esto es,
levantar literalmente las rocas del suelo. Para orbitas más cercanas, las fuerzas de marea llegan
enseguida a despedazar el satélite, al superar la propia resistencia de la roca a la rotura. Como
un ejemplo, ¿cual es el lı́mite de Roche para Júpiter? Y a cuantas veces el lı́mite de Roche se
encuentra la órbita de un satélite como Io? (conseguir datos sobre masa y radio de Io y sobre su
orbita alrededor de Júpiter es fácil en Internet, p. ej:
http://sse.jpl.nasa.gov/features/planets/jupiter/io.html.
http://seds.lpl.arizona.edu/billa/tnp/io.html Datos de Io
http://www.oarval.org/section3 2.htm Datos sobre el sistema solar
http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants.html Constantes)
• Efecto sobre el movimiento de rotación. Sobre un cuerpo con tensor de inercia ILK ,
el campo de marea produce un torque (par)
S M
T I = IKL AKS (−ILS + 31 δL
IM ),
(1.23)
Ası́ pues, para un cuerpo rotante, cualquier desviación de la simetrı́a esférica perfecta
(esto es, cualquier tensor de inercia que no sea proporcional a la identidad) provoca
una precesión en el eje de giro. Por ello puede decirse que el campo de marea es el
responsable último de efectos astronómicos como la precesión de los equinoccios (la
precesión del eje de giro de la Tierra, que no es una esfera perfecta), descubierto en
la antiguedad y medido con gran precisión por Hiparco (cf. Ohanian, p. 49)
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•
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1.9. La ley 1-2-3 de Kepler. La tercera ley de Kepler establece la relación entre
el perı́odo T de la órbita circular de radio r en el campo gravitatorio producido por una masa
central M con simetrı́a esférica.
¿Podrı́a recuperarse esta ley mediante análisis dimensional? Para
p GM
tiene dimensiones de inverso de tiempo; debe esperarse que
ello nótese que la cantidad
r3
tanto la frecuencia de rotación, ν = 1/T como la pulsación ω = 2πν = 2π/T sean proporcionales
1
a ella, con cierto coeficiente adimensional. El cálculo exacto indica que el coeficiente vale 2π
para
la frecuencia y 1 para la pulsación:
ejercicio
ν=
1
2π
q
GM
r3
,
ω=
q
GM
r3
(curiosamente, los mismos coeficientes adimensionales que aparecen en el tı́pico problema de la
frecuencia y la pulsación del péndulo simple). Es decir, excepto el coeficiente adimensional (que
resulta valer exactamente 1), la relación GM = ω 2 r3 que contiene la tercera ley de Kepler (cuyo
enunciado usual es T 2 =
•
4π 2 3
r )
GM
puede realmente obtenerse por análisis dimensional.
1.10. Imaginemos ahora una órbita circular rasante a un planeta esférico de masa
M y radio R. Comparar el perı́odo de dicha órbita con el del movimiento armónico simple que
ejecutarı́a un cuerpo en caı́da libre por un pozo diametral en el interior del planeta. ¿Coinciden
ambos perı́odos?
ejercicio
El análisis dimensional de las ecuaciones (1.14)–(1.15) muestra que la dimensión
del campo de marea es T −2 ; A se mide en s−2 . Las dimensiones del potencial y del
vector campo gravitatorio son L2 T −2 y LT −2 respectivamente; notese la secuencia
L2 T −2 , LT −2 , T −2 para los tres niveles potencial; intensidad de campo; campo de marea,
que corresponde a que cada nivel es la derivada espacial del anterior. Conviene tener
una idea numérica de la intensidad de los campos de marea presentes en el sistema
solar: prescindiendo de los signos y factores 2 en (1.18), el orden de magnitud del
campo de marea producido por una masa M a distancia r es GM/r3 ; este valor da
las aceleraciones de marea entre dos partı́culas próximas, ambas en caı́da libre, por
unidad de separación. Substituyendo los valores de las masas y distancias involucradas,
se obtienen las siguientes estimaciones de orden de magnitud:
GM⊕
' 1.541 · 10−6 s−2 .
3
R⊕
de la Tierra: GM
' 3.97 · 10−14 s−2 .
3
R
⊕
luna
Tierra: GM
' 8.6 · 10−14 s−2 .
3
R⊕
luna
Campo de marea debido a la Tierra, sobre su superficie:
Campo de marea debido al Sol, en la órbita
Campo de marea debido a la Luna, sobre la
•
ejercicio 1.11.
Los valores numéricos de los campos de marea del Sol sobre la Tierra, o de la
propia Tierra en su superficie pueden entenderse mejor a la luz del resultado del ejercicio anterior;
en particular el valor del campo de marea debido al Sol, sobre la órbita de la Tierra, escrito en las
unidades temporales “adaptadas” (el perı́odo de la órbita), vale exactamente 4π 2 año−2 . Calcular
el tiempo que juega el papel del “año” para el campo de marea debido a la Tierra, sobre su
superficie, y comprobar que efectivamente se obtienen los 84 minutos del perı́odo de un satélite
artificial en órbita rasante a la Tierra. Estos dos casos son fáciles; si se hace lo mismo con el
campo de marea creado por la Luna sobre la Tierra, los resultados no parecen concordar. ¿Qué
ocurre?
De los valores numéricos mencionados es claro que todos estos campos de marea
producen, sobre partı́culas separadas entre sı́ distancias del orden digamos de 1 m unas
aceleraciones ‘de marea’ extraordinariamente pequeñas cuando se comparan con las
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
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10
aceleraciones gravitatorias ordinarias (las asociadas al peso) a las que estamos acostumbrados. En un experimento con dos partı́culas inicialmente en reposo y con separación
de 1m en una nave espacial en caı́da libre, como la Estación Espacial Internacional (ISS)
la aceleración de marea causada por la Tierra es del orden de 10−6 m s−2 , que es unos
siete órdenes de magnitud inferior a la aceleración gravitatoria que la tierra produce
sobre un cuerpo en las cercanı́as de su superficie (orden de magnitud 10 m s−2 ). Y este
ejemplo se refiere al campo de marea creado por la propia Tierra en las cercanı́as de su
superficie, que comparativamente es bastante grande, unos 7 u 8 órdenes de magnitud
mayor que el debido al Sol o a la Luna. Esto significa que a efectos prácticos, para
separaciones en la escala de 1m las aceleraciones de marea del Sol o de la Luna son
despreciables. Es interesante entender que el propio fenómeno de las mareas, causado
por un campo tan extraordinariamente débil (orden de magnitud de las componentes
no nulas de A del orden de 10−14 s−2 ), resulta ser tan apreciable debido a que las separaciones en juego (entre un elemento de volumen del mar y el centro de la tierra) son del
orden del radio de la Tierra; debido a ello las aceleraciones de la separación causadas
por ejemplo por el campo de marea del Sol, sobre el mar terrestre, son del orden de
GM
R⊕ ' 2.53 · 10−7 m s−2 , que aunque parecen pequeñas son las responsables del imR3
⊕
presionante fenómeno de la marea. Curiosamente, este orden de magnitud es semejante
a los 10−6 m s−2 debidas al campo de marea de la propia Tierra para dos partı́culas
separadas 1 m en la ISS.
•
ejercicio 1.12.
Si uno se sienta a la orilla del mar, durante un perı́odo completo de la marea,
se observa el nivel del agua ascender y luego descender, con un comportamiento que en primera
aproximación es sinusoidal en el tiempo. En los momentos de pleamar y bajamar la aceleración
de este movimiento es máxima. Estimar esta aceleración. Entender porqué esta aceleración no
coincide con los 2.53·10−7 m s−2 recién calculados. ¿A qué se refiere exactamente esta aceleración?
En geodesia, para los campos de marea se usa como unidad el Eötvös, 1E = 10−9 s−2 .
A pesar de su pequeñez, el campo de marea terrestre (el creado por la propia Tierra
sobre un objeto en caida libre cercano a la superficie, como por ejemplo sobre una
gota lı́quida en la Estación espacial Internacional) es medible directamente mediante
un gradiómetro. Los gradiómetros de la generación de 1970 (ver C.W. Misner, K.S.
Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman 1971, pp. 400-403), permitı́an medidas
de campos hasta 1E = 10−9 s−2 . Los gradiómetros de la siguiente generación, mucho
más compactos y sensibles utilizan acelerómetros superconductores y la fina tecnologı́a
de los SQIDs para la detección, y llegan por debajo de 10−2 E = 10−11 s−2 , y se espera
mejorar su sensibilidad en al menos dos órdenes de magnitud, lo que corresponderı́a a la
posibilidad de medir directamente el campo de marea debido a la Luna sobre la Tierra.
Conviene recapitular sobre la introducción de las fuerzas de marea y el campo de
marea. Las fuerzas de marea, al igual que las fuerzas gravitatorias ordinarias, son
estrictamente proporcionales a la masa m de la partı́cula test; esto está incorporado en
la propia definición del campo de marea A a partir de (1.20). Pero conviene reconocer
las diferencias importantes que hay con el vector intensidad de campo gravitatorio,
que es simplemente el cociente g = F /m, y hereda el caracter vectorial de la fuerza
gravitatoria ordinaria F . Para el campo de marea lo que se considera no es la propia
fuerza de marea f sino su gradiente, por lo que el campo de marea ya no es un vector,
sino un tensor, que describe las variaciones espaciales del propio campo de fuerzas de
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
marea:
AI J (x(t), t) := −
1 ∂f I (x(t), t)
m
∂xJ
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(1.24)
expresión que permite reescribir de manera alternativa las ecuaciones del campo gravitatorio: en efecto
1 ∂f I (x(t), t)
1
AI I = −
=− ∇·f
(1.25)
I
m
∂x
m
y la ecuación (1.15) puede escribirse como
∇ · f (x, t) = −4πG m ρ(x, t)
(1.26)
que es estrictamente equivalente a la ecuación usual del campo gravitatorio: ∇2 ϕ(x, t) =
4 π G ρ(x, t). En particular, un campo gravitatorio en el vacı́o se caracteriza por la
anulación de la divergencia del campo de fuerzas de marea.
Conviene tener presente esta visión del campo de marea en relación con las fuerzas
de marea, en paralelo con la definición original de A, que mide la variación diferencial
de la intensidad ordinaria del campo gravitatorio, esto es su ritmo o tasa de variación
de un punto a otro cercano.
Para acabar conviene decir que las fuerzas de marea reales que se dan en la naturaleza
son más complicadas que las que estamos describiendo aquı́, y su descripción correcta es
—creemos— la proporcionada por la teorı́a de Einstein de la gravitación. Sin embargo,
en muchas situaciones, incluyendo la práctica totalidad de los fenómenos gravitatorios en
nuestro sistema solar, la teorı́a newtoniana proporciona una descripción excelentemente
aproximada; sólo en campos gravitatorios mucho más intensos o mucho más rápidamente
variables con el tiempo, como los que presumiblemente se dan en situaciones astrofı́sicas,
las diferencias entre la situación real y las predicciones newtonianas son importantes.
Los campos de marea reales resultan depender tanto de la velocidad del punto de referencia fiducial como de la velocidad relativa de la segunda partı́cula test respecto al
punto de referencia, análogamente a lo que ocurre en electromagnetismo, donde además
de la componente electrica, que produce fuerzas independientes de la velocidad, hay
fuerzas magnéticas, dependientes de la velocidad. La descripción del campo de marea
relativista es complicada; baste ahora decir que en los lı́mites adecuados de campo débil
y velocidades bajas, el campo de marea relativista conserva como únicas componentes
no despreciablemente pequeñas los AI J dados antes.
Descripción del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia no Inercial.
Parte de la simplicidad de las expresiones anteriores se debe al uso de un sistema
de referencia inercial global, y, estrictamente hablando, esas ecuaciones tan simples no
son aplicables más que en tales sistemas. Por ejemplo, la caı́da libre en la superficie de
la Tierra, partiendo de una situación con velocidad inicial nula, no sigue exactamente
la vertical, como hemos supuesto al hacer las estimaciones contenidas en (1.11)–(1.12),
sino que se desvı́a de ella por la fuerza de Coriolis (aunque tal desviación sea una
corrección que puede despreciarse en una primera aproximación, como hemos hecho
implı́citamente en (1.11)–(1.12)). Sin embargo es fundamental tratar de liberar a la
descripción anterior de la condición restrictiva de estar formulada en un sistema de
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
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referencia inercial. Si somos capaces de ello, conseguiremos una descripción del campo
gravitatorio válida para cualquier observador (cualquier sistema de referencia). Vamos
a ver en este apartado cómo puede llevarse a cabo este programa, y cómo es preciso
(si lo es) modificar o reentender las ecuaciones para que sean válidas en tal situación
general.
Mientras que la expresión de la fuerza gravitatoria (1.1) no depende de si las posiciones se refieren a un sistema inercial o a otro no inercial, la ecuación de Newton (1.2)
requiere la incorporación de las llamadas fuerzas inerciales si deseamos obtener una descripción de la evolución real de la posición de una partı́cula en caı́da libre en un campo
gravitatorio desde un SRnI. En otras palabras, los movimientos “ideales” inerciales en
2
= 0 si el sistema de
ausencia de campo sólo están descritos por una ecuación d dtx(t)
2
I
referencia es inercial y entonces las tres coordenadas X dependen del tiempo de manI
era afı́n: xI (t) = xI(0) + v(0)
t; los mismos movimientos, observados en un sistema de
referencia no inercial están descritos por funciones no lineales del tiempo.
Supongamos pues dos sistemas de referencia, uno inercial (I), y otro no inercial (i),
referidos ambos a un juego de coordenadas espaciales cartesianas, que denotaremos
respectivamente xI y xi . El paso (I) → (i) está descrito por una rotación Ri I (t) y
una traslación ai (t) dependientes del tiempo de modo arbitrario; la relacion entre las
coordenadas (xI , t) y (xi , t) es:
xi = Ri I (t) xI + ai (t),
(1.27)
y la condición de que Ri I (t) sea constantemente una matriz ortogonal conduce (ecuaciones de Euler) a
dRi I (t)
= Ωi k (t) Rk I (t),
(1.28)
dt
donde el tensor Ωjk (t) := δij Ωj k (t) obtenido bajando los ı́ndices (espaciales) de Ωi k (t)
con la métrica espacial (que al suponer el 3-espacio euclideo y las coordenadas cartesianas adopta la forma usual δij ) es un tensor antisimétrico, dual al vector velocidad
angular instantánea ω k (t):
Ωij (t) = −Ωji (t),
•
ejercicio 1.13.
Ωij (t) = ijk ω k (t),
ω k (t) =
1 ijk
2 Ωij (t).
(1.29)
Derivar estas ecuaciones e interpretarlas.
2A) El Potencial gravitatorio.
Supondremos que el potencial gravitatorio se comporta como un escalar: ϕ(xi , t) =
ϕ(xi (xI , t), t) bajo el cambio a un sistema de referencia no inercial; es una hipótesis
razonable habida cuenta de la interpretación del potencial como la energı́a potencial por
unidad de masa almacenada en el campo gravitatorio. (Alternativamente, podrı́amos
adoptar otra ley de transformación como hace Wheeler et al., de modo que el término de
arrastre lineal se derive del nuevo potencial; se trata de una convención sin significado
fı́sico directo).
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
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2B) El Campo gravitatorio.
Del hecho de que el movimiento en el sistema inercial satisfaga la ecuación (1.3) se
concluye para las aceleraciones en el sistema no inercial:
i
i
d2 ak
d2 xk (t)
i
i
k d(x (t) − a (t))
j
k
ki ∂ϕ
k
}(x
(t)−a
(t))+2Ω
Ω
−Ω
=
−δ
+
+{
Ω̇
. (1.30)
i
i
j
i
dt2
∂xi dt2
dt
•
1.14. Derivar esta ecuación y estudiarla en detalle en varios casos particulares simples (por ejemplo, el sistema no inercial tiene sólo movimiento de traslación, o sólo de rotación
uniforme). ¿Qué términos sobreviven en cada uno de estos casos?
ejercicio
En esta ecuación tan sólo el primer sumando del segundo miembro es la fuerza debida
al campo gravitatorio “real”. Los demás son, en conjunto, las fuerzas inerciales, que
engloban el término de arrastre (debido a la no uniformidad de la traslación ai (t)), el
de no uniformidad de la rotación, el término centrı́fugo y el de Coriolis.
• ejercicio 1.15. Traducir esta ecuación al lenguaje vectorial ordinario, usando el vector velocidad
angular instantánea. Comprobar que efectivamente los términos que aparecen en el segundo
miembro corresponden a las fuerzas de inercia, como se acaba de indicar.
Al igual que el campo gravitatorio “real”, las fuerzas inerciales afectan por igual
a todas las partı́culas test, independientemente de su masa. Pero mientras que para
las fuerzas gravitatorias esta independencia es misteriosa, para las fuerzas de inercia
no resulta nada sorprendente, ya que, tal cual las hemos introducido, estas fuerzas se
‘producen’ exclusivamente por un cambio del sistema de referencia, que afecta por igual
a los movimientos de cualquier tipo de partı́culas test.
El status de las fuerzas de inercia ha originado ciertas controversias, y a veces se encuentran referencias calificando a las fuerzas de inercia como ficticias. Es dı́ficil conjugar
esta consideración con los efectos, extraordinariamente reales, que tales fuerzas pueden
producir. Los volantes de la primeras máquinas de vapor que se rompı́an debido a una
resistencia insuficiente a las fuerzas centrı́fugas que actuaban sobre ellos, o el visitante
de un parque de atracciones que supera cabeza abajo un loop y abandona la atracción
mareado no testifican precisamente sobre un caracter aparente de dichas fuerzas. Parece
más razonable la actitud de quienes dicen que, de juzgarlas por sus efectos, son fuerzas
bien reales. El punto importante es que cualquier formulación de la gravitación newtoniana que sea aplicable a sistemas de referencia arbitrarios necesariamente deberá contar,
además de las fuerzas gravitatorias propiamente dichas, con las fuerzas inerciales (que
por cierto, deberı́an llamarse fuerzas no inerciales ya que sólo aparecen en sistemas de
referencia no inerciales).
2C) El Campo de marea.
Al usar la ecuación (1.30) para estudiar la aceleración de la separación relativa entre
una partı́cula fiducial test y otra partı́cula próxima, ambas en caı́da libre en el campo
gravitatorio, obtenemos para la diferencia η i (t) = y i (t) − xi (t) la ecuación
l
d2 η k (t)
k
l
k
k
j
l
k dη (t)
≈
−A
(x(t),
t)
η
(t)
+
{
Ω̇
−
Ω
Ω
}
η
(t)
+
2Ω
.
l
l
j
l
l
dt2
dt
(1.31)
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
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Una lectura rápida de esta ecuacion (1.31) sugiere que las fuerzas de marea tienen
también términos “no inerciales de rotación” (rotación no uniforme, centrı́fugo y de
Coriolis), pero un término que provenga de una traslación no uniforme está ausente. La
escritura de esta ecuación en la forma
l
d2 η k (t)
k
l
k dη (t)
≈
−A
η
(t)
+
B
,
l
l
dt2
dt
(1.32)
con Ak l (xi , t) = Ak l (xi , t) + {Ω̇k l − Ωk j Ωj l }, B k l (t) = 2Ωk l parece tener un aspecto
sugerente: en esta ecuación A y B aparecerı́an respectivamente como campos de marea
tipo “eléctrico” (lineal en la separación η l ) y “magnético” (lineal en la velocidad de
l
separación dη
dt ). El mero hecho de que consideradas desde un sistema no inercial las
fuerzas de marea adquieran una componente de tipo “magnético”, es decir, dependan de
velocidades, puede tomarse como un indicio de que posiblemente las fuerzas de marea
reales (no las de la teorı́a newtoniana) se comporten ası́; veremos que esto ocurre en la
teorı́a de Einstein. Más adelante volveremos sobre estas ecuaciones y comprobaremos
que la “buena” forma de escribirlas es:
l
d2 η k (t)
k
k
j
l
k dη (t)
−
{
Ω̇
−
Ω
Ω
}
η
(t)
−
2Ω
≈ −Ak l (x(t), t) η l (t).
l
j
l
l
dt2
dt
(1.33)
en donde la únicas fuerzas de marea presentes son las Ak l (x(t), t) η l (t), y los restantes
términos aparecen en el miembro de la izquierda, junto con la aceleración de la separación, aunque por ahora no es posible desvelar lo que significa que esa sea la “buena”
manera.
Las ecuaciones de campo en un sistema de referencia no inercial.
Finalmente, la ecuación del campo gravitatorio en el SRnI resulta formalmente
idéntica a (1.15), ya que la densidad de masa se comporta como un escalar bajo este
cambio:
Ai i (x, t) = 4 π G ρ(x, t),
Aij = Aji .
(1.34)
Ası́ pues, la conexión entre las fuentes del campo (densidad de masa) y el campo
gravitatorio descrito por en campo de marea Ai j tiene explı́citamente la misma forma
en cualquier sistema de referencia, tanto inercial como no inercial.
Veremos también más adelante que la forma (1.34) de la ecuación del campo gravitatorio es la precursora de las ecuaciones de Einstein, cuyo objetivo es la descripción
del campo gravitatorio desde el punto de vista de un observador arbitrario, no necesariamente inercial y de acuerdo con la teorı́a de la relatividad. Por el contrario, las
ecuaciones (1.30) y (1.33) parecen no tener la misma forma que sus contrapartidas (1.9)
o (1.15) en un sistema de referencia no inercial. Como suele ocurrir en otras ocasiones,
también aquı́ las apariencias engañan: ambas ecuaciones pueden escribirse de una manera que explicitamente tiene la misma forma en cualquier sistema de referencia, lo que
revelará la estructura geométrica del espacio–tiempo newtoniano (una conexión) relevante para la descripción del campo gravitatorio.
I. Descripción newtoniana del campo gravitatorio . . .
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Descripción del Campo Gravitatorio en un Sistema de Referencia en caı́da
libre y no rotante.
Las ecuaciones del apartado anterior se han escrito para el sistema no inercial más
general. Estas ecuaciones adoptan una forma mucho más simple y clara para un tipo
muy particular de sistemas de referencia no inerciales. La idea es ligar a cada partı́cula
en caı́da libre un sistema de referencia no inercial muy particular, determinado por
las dos condiciones siguientes: el origen de coordenadas es la propia partı́cula y el
sistema es no rotante relativamente a un sistema inercial. Este tipo de sistemas de
referencia resultarán esenciales en la teorı́a relativista de la gravitación, y conviene
haberles manejado desde los inicios en la teorı́a newtoniana; genéricamente se denominan
sistemas de referencia en caı́da libre y no rotantes, SRclnr; se entiende que en caı́da libre
se refiere a la partı́cula escogida. El sistema de coordenadas ligado al paradigmático
ascensor que cae es de este tipo.
Supongamos una partı́cula en caı́da libre que en un sistema inercial está descrita por
t → xI (t) que debe satisfacer la ecuación (1.9). Veamos como se relacionan entre sı́ el
SRclnr (no rotante y en caida libre con la partı́cula) y el sistema inercial. En el SRclnr
denotaremos las coordenadas espaciales mediante un ı́ndice minúsculo con circunflejo,
ı̂. La transformación entre las coordenadas inerciales xI y las coordenadas no inerciales
en el SRclnr xı̂ debe ser del tipo (1.18):
xı̂ = Rı̂ I (t) xI + aı̂ (t),
Ahora la condición de ser no rotante relativamente a un sistema de referencia inercial
implica que la rotación Rı̂ I (t) es independiente del tiempo; sin más que reorientar en
el instante inicial los ejes de uno de los dos sistemas X I o xı̂ podemos suponer que la
rotación Rı̂ I es la identidad, Rı̂ I = δ ı̂ I . Esto deja la ley de transformación como:
xı̂ = δ ı̂ I xI + aı̂ (t),
Ahora debemos imponer la segunda condición: a lo largo de toda su evolución, la
partı́cula se mantiene en el origen del sistema (ı̂). De manera que la evolución de
la partı́cula, vista desde el sistema SRclnr debe ser xı̂ (t) = 0. Esto implica que la
componente de traslación aı̂ (t) del sistema en caı́da libre debe estar dada por aı̂ (t) =
−δ ı̂ I xI (t). Todo ello nos lleva a la forma final de la relación:
xı̂ = δ ı̂ I (xI − xI (t))
(1.35)
entre las coordenadas xI e xı̂ de sucesos genéricos (recordemos que aquı́ xI (t) es el
movimiento de la partı́cula fiducial descrito en el sistema inercial inicial, movimiento
que se supone es un dato conocido). Para este caso, la velocidad angular de rotación del
sistema de referencia no inercial (t, xı̂ ) es idénticamente nula, y por tanto las ecuaciones
(1.30) y (1.31) se simplifican. La ecuación de movimiento queda:
d2 ak̂
d2 xk̂ (t)
k̂ı̂ ∂ϕ
=
−δ
+
.
dt2
∂xı̂
dt2
(1.36)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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Esta ecuación proporciona la aceleración de cualquier movimiento causado por el campo
gravitatorio desde el punto de vista del SRclnr; es por tanto la ecuación de movimiento
para la caı́da libre en el sistema de referencia que consideramos. Es claro que sobre
la trayectoria completa de la partı́cula fiducial, la fuerza gravitatoria real se cancela
exactamente con la aparente o inercial de arrastre, de manera que xk̂ (t) = 0 (k̂ = 1, 2, 3)
es una solución de la ecuación (1.36). Pero nótese bien que sobre otra partı́cula cercana
que también esté en caı́da libre la cancelación ya no se da exactamente; en otras palabras,
k̂
k̂
xk̂ (t) = y(0)
donde los valores y(0)
son constantes no todas nulas ya no es solución. Para
ver esto con claridad lo mejor es formular la ecuación (1.36) en términos del campo de
marea. Sean y ı̂ (t) las coordenadas de otra partı́cula en caı́da libre cercana a la partı́cula
fiducial xk̂ (t) = 0 en el sistema de referencia SRclnr; la separación de esta segunda
partı́cula con la fiducial, situada permanentemente en el origen es η ı̂ (t) = y ı̂ (t), y la
ecuación que da la aceleración de la separación relativa es:
d2 η k̂ (t)
≈ −Ak̂ l̂ (x(t), t) η l̂ (t).
2
dt
(1.37)
En esta forma, es evidente que η k̂ (t) = 0 es solución, mientras que si el campo de
marea es no nulo (es decir, si realmente hay campo gravitatorio), entonces las partı́culas
k̂
6=
cercanas no van a permanecer en reposo relativo, o lo que es lo mismo, η k̂(t) = y(0)
(0, 0, 0) no es solución.
El resumen de esta discusión es que en un sistema de referencia en caı́da libre y no
rotante, el movimiento de caı́da libre de una partı́cula en el campo gravitatorio es lo
más parecido posible al movimiento ideal en ausencia de gravitación en un sistema de
referencia inercial en el que la aceleración se anula; pero nunca resulta exactamente
igual ya que las aceleraciones previstas por la ecuación (1.37) sólo se anulan en el origen
del sistema de coordenadas.
Conviene tambien registrar ahora otro hecho notable: la ecuación (1.37) que describe
la aceleración de la separación entre partı́culas próximas, ambas en caı́da libre en un
SRclnr tiene exactamente la misma forma que en un sistema de referencia globalmente
inercial.
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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LA INTERPRETACION DE LA GRAVITACION NEWTONIANA
COMO CURVATURA DEL ESPACIO–TIEMPO
Gravitación como curvatura (I).
La idea de entender la gravitación como curvatura del espacio–tiempo tiene sus raı́ces
en la teorı́a newtoniana, aunque dichas raı́ces permanecieran ocultas hasta después de
que Einstein desvelara una idea semejante en su teorı́a relativista de la gravitación.
En este Capı́tulo vamos a presentar una exposición en la que se mezclan de manera
intencionada discusiones históricas sobre el status de las fuerzas de inercia, —que originalmente reflejaban el desagrado con que los cientı́ficos del continente veı́an el espacio
absoluto—, con la formulación que hoy, casi tres siglos después, podemos hacer de
aquellas discusiones.
El resultado final de esta presentación es que la gravitación newtoniana puede entenderse como una fuerza cuya sede es el espacio absoluto, pero que también, y alternativamente, puede entenderse como una manifestación de la curvatura del espacio
tiempo. Se trata de dos interpretaciones; ninguna de ellas es más ni menos correcta
que la otra, y ambas resultan fı́sicamente equivalentes en sus predicciones. Las razones
para preferir una u otra son, en todo caso, externas: podemos inclinarnos por la segunda interpretación basándonos en que permite llegar con extrema naturalidad a la
teorı́a (relativista) de la gravitación de Einstein o también por las razones, de ı́ndole
empirista/positivista que subyacı́an en las crı́ticas de Leibniz, Berkeley y Mach a la idea
del espacio absoluto, idea de la que esta interpretación prescinde (bueno, solo en cierto
modo :-) ).
Históricamente, el reconocimiento de que era posible entender la gravitación como
una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo se produjo por vez primera en
la teorı́a propuesta por Einstein, que es fı́sicamente diferente de la de Newton a la
que incluye como lı́mite en situaciones muy particulares (campo débil y movimiento
lento). Este orden histórico de los descubrimientos, muy apartado del orden conceptual
subyacente en las ideas básicas, ha tenido como consecuencia desafortunada el que por
mucho tiempo la interpretación de la gravitación como curvatura se ha presentado como
una consecuencia de que el marco espacio-temporal correcto para la descripción de la
naturaleza sea la relatividad especial de Einstein (Lorentz, Poincaré).
Aún hoy es todavı́a frecuente encontrar afirmaciones tajantes de que en la teorı́a
Newtoniana el espacio-tiempo es rı́gido, llano, pasivo ante la materia que contiene,
actuando sobre ella pero sin dejarse influir, mientras que en la teorı́a de Einstein, el
espacio-tiempo pierde su caracter rı́gido, absoluto, y adquiere un cierto caracter flexible
que se curva por la presencia de materia y energı́a. Un objetivo de este Capı́tulo es
proporcionar el necesario contrapunto a estas afirmaciones en exceso dogmáticas y algo
cortas de miras: con la interpretación oportuna dichas afirmaciones, que son correctas
para la teorı́a de Einstein, pero también resultan serlo esencialmente también para la
teorı́a de Newton.
En descargo de los autores voluntarios o involuntarios de malentendidos de este tipo
hay que decir que a la dificultad de formalizar de una manera satisfactoria algunas de las
ideas fı́sicas implicadas en una teorı́a no relativista de la gravitación —en concreto, las
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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fuerzas de inercia— se unió la circunstancia histórica accidental de que la interpretación
de la gravitación como curvatura surgió por primera vez en el transcurso de la elaboración de una teorı́a relativista de la gravitación por parte de Einstein entre 1908 y 1915;
ası́ las cosas, la simplificación excesiva de atribuir a la nueva teorı́a de la relatividad
especial —que proporciona el marco espacio-temporal correcto— la razón última de la
interpretación de la gravitación como curvatura era una tentación muy fuerte.
Aunque no entraremos en los interesantı́simos detalles, conviene indicar que en muchos aspectos la relación entre las teorı́as gravitatorias de Newton y de Einstein es
también muy semejante a la relación que hay entre la pura electrostática y la teorı́a
electromagnética completa de Maxwell.
Comenzaremos viendo qué conceptos se deben introducir para formular de manera
matemáticamente adecuada las ideas del espacio absoluto de Newton y de su crı́tica por
Leibniz. Una vez hecho esto, apreciaremos que, como suele ocurrir con las polémicas
entre grandes, ambos tenı́an razón.
Sistemas Inerciales y no Inerciales. ¿Quién es quién?
La interpretación usual de la teorı́a de Newton supone la existencia de unos “movimientos ideales”, o inerciales, que son los que seguirı́an los cuerpos en ausencia de cualquier
tipo de fuerzas ‘genuinas’ sobre ellos, y a continuación refiere los movimientos reales
en presencia de gravitación a esos movimientos “ideales” mediante las ecuaciones de
Newton. Si la Luna siguiera dicho movimiento “ideal” se alejarı́a de la Tierra según
la tangente instantanea a su órbita. Pero de hecho la la Luna, en su movimiento real
“circular” alrededor de la Tierra está constantemente cayendo hacia ella con una cierta
aceleración con respecto al movimiento “ideal” instantáneo que serı́a rectilı́neo y uniforme, según la tangente al cı́rculo.
Por tanto la idea básica podrı́a formularse ası́: si no hubiera fuerzas, ni gravitatorias
ni de ningún otro tipo, el movimiento de un cuerpo cualquiera serı́a un movimiento
“ideal” inercial, rectı́lineo y uniforme. Cuando hay fuerzas, sean éstas gravitatorias o de
cualquier otro origen (electromagnéticas, de rozamiento, elásticas, etc.), el movimiento
se desvı́a del “ideal” inercial, y esta desviación se entiende como causada por la fuerza
externa F vı́a la usual ecuación de Newton: la aceleración del movimiento de una
partı́cula de masa m, relativamente a los movimientos ideales inerciales es F /m.
Todo esto estarı́a muy bien si hubiera un criterio independiente que permitiera distinguir sin ambigüedad los movimientos ideales inerciales. Pero parece imposible dar
tal criterio al margen del conjunto de las leyes de la dinámica newtoniana. Precisa y
exactamente, esta era la objeción central en la que basaban los cientı́ficos continentales
su oposición a la idea del espacio absoluto —alguno de cuyos ecos se recogen en la parte
que atañe al espacio y al tiempo en la polémica Leibniz–Clarke, en la que realmente
Clarke actuaba como portavoz de las ideas de Newton—.
Newton pretendió zanjar la cuestión de una manera expeditiva, —y que hoy, con las
herramientas matemáticas disponibles podemos reconocer como una de las posibilidades
correctas— mediante la introducción del espacio absoluto. Se trata, en el fondo, de un
fantasma cuya única función es distinguir entre los movimientos inerciales ideales y los
demás. Cuando antes se ha dicho que si no hubiera fuerzas externas, gravitatorias o de
otro tipo, el movimiento de un cuerpo cualquiera serı́a un movimiento “ideal” inercial,
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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19
rectilineo y uniforme, sibilinamente se ha omitido la pregunta: rectilı́neo y uniforme,
¿con respecto a qué? La única función del espacio absoluto es la de dar una respuesta
de emergencia a esa pregunta: rectilı́neo y uniforme, con respecto al espacio absoluto.
Aceptar el espacio absoluto permite distinguir entre aquellos sistemas de referencia que
estén en reposo o movimiento rectilı́neo uniforme con respecto al espacio absoluto (que
son precisamente los llamados sistemas inerciales, SRI) de los demás sistemas de referencia (llamados sistemas no inerciales, SRnI) cuyo movimiento relativamente al espacio
absoluto es de cualquier otro tipo (incluyendo una traslación que no sea rectilı́nea y
uniforme, sino acelerada, o una rotación de cualquier tipo, aunque sea uniforme, o bien
ambas simultáneamente). Y obviamente, la idea de movimiento rectilı́neo y uniforme,
con respecto al espacio absoluto se traduce de inmediato en movimiento rectilı́neo y
uniforme, con respecto a cualquier sistema de referencia inercial. Esta es la caracterización habitual de la ley de inercia; no hace falta ser muy inquisitivo para sentir cierta
circularidad, ya que se describen los SRI como aquellos en los que la ley de inercia se
satisface, y la ley de inercia como caracterizando el movimiento en ausencia de fuerzas
en un SRI.
Un aspecto de la crı́tica de Leibniz podrı́a centrarse en la siguiente pregunta: si la
geometrı́a del 3-espacio es euclı́dea, tanto vista en el 3-espacio de un SRI como en el de
un SRnI, ¿como podemos zanjar la discusión sobre si un sistema de referencia rı́gido se
mueve o no con respecto al espacio absoluto?
Newton dió una respuesta satisfactoria a otra pregunta algo más especı́fica: según él,
el movimiento de rotación con respecto al espacio absoluto sı́ que es distinguible: basta
observar la aparición de fuerzas centrı́fugas. Ası́, la superficie del agua en un caldero que
esté en reposo con respecto al espacio absoluto es plana, pero deja de serlo, para adoptar
una forma de paraboloide en cuanto el caldero rota con respecto al espacio absoluto [Un
experimento está al alcance de cualquiera con un cuenco con agua en el plato de un
tocadiscos de discos de vinilo; haced el experimento antes de que estos desaparezcan].
Como esta diferencia es observable, la idea de rotación absoluta (rotación con respecto
al espacio absoluto) tiene según Newton, un status fı́sico aceptable.
Pero el movimiento rı́gido más general, aparte de su eventual rotación con respecto
al espacio absoluto, tiene también una componente de traslación, posiblemente acelerada; en lo que respecta a este movimiento no parece existir ningún procedimiento
para determinar la aceleración absoluta (aceleración con respecto al espacio absoluto).
Esta imposibilidad, entendida como la afirmación de una propiedad de la Naturaleza,
es el contenido esencial del principio de equivalencia: un campo gravitatorio uniforme
produce los mismos efectos que un movimiento acelerado del sistema de referencia.
La aceptación histórica de la Teorı́a Newtoniana de la Gravitación (T.N.G.) fue
relativamente lenta, y estuvo precedida por una fuerte reacción de desagrado inicial
entre varios de los grandes cientı́ficos del siglo XVIII (Leibniz, Huygens) y con importantes crı́ticas posteriores por parte de los filósofos empiristas británicos (Berkeley,
Hume). Sólo paulatinamente fueron quedando estos crı́ticos relegados, vencidos —que
no convencidos— por los éxitos repetidos y abrumadores de la teorı́a de Newton. Con el
tiempo, la mayor parte de los cientı́ficos adoptaron la actitud pragmática “si funciona,
no lo arregles”, evitando entrar siquiera en la discusión sobre el status del espacio absoluto, que todos reconocı́an como una cuestión obscura.
Las razones últimas de este desagrado eran dos: una es que los movimientos “ideales”
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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20
son estrictamente inobservables y por tanto no deberı́an aparecer en la formulación de las
teorı́as; la otra es que la idea de acción a distancia con propagación instantánea resulta
harto inquietante. La historia de la teorı́a de la gravitación está ligada a los intentos
de eliminar estos dos molestos fantasmas. Pero una cosa es reconocer que se trata de
fantasmas cuya eliminación es deseable —reconocimiento que estaba al alcance de los
grandes de la época— y otra muy diferente es ser capaz de hacerlo; las matemáticas
del siglo XVIII carecı́an de las herramientas necesarias, que con gran esfuerzo se fueron
desarrollando durante el siglo XIX y principios del XX, precedidas por más de 2000
años de reflexión sobre la fundamentación de la geometrı́a. Siendo más consciente que
muchos de sus continuadores de las debilidades del edificio que construyó, y posiblemente
también entendiendo que las criticas de los cartesianos eran pertinentes, al parecer
Newton fue también lúcido al reconocer que la única posibilidad de progreso abierta
en su época era seguir el camino que él siguió: aceptar al espacio absoluto como un
huesped indeseable pero que no podemos rechazar, esperando que el futuro se encargue
de aclarar las cosas. La misma postura tomaron, abiertamente, muchos de los cientı́ficos
posteriores (p. ej. Euler).
Sistemas Inerciales, no inerciales y la ley de inercia.
El papel del espacio absoluto es simplemente el de proporcionar un marco en el que
los movimientos “ideales” inerciales aparezcan como movimientos rectilı́neos uniformes
(a velocidad constante). Un movimiento real bajo la acción de fuerzas genuinas —
sean éstas gravitatorias o no— se describe mediante su desviación con respecto a los
movimientos “inerciales”, desviación que se mide por la aceleración; por ello en los
sistemas de referencia inerciales (en estado de reposo o de movimiento uniforme con
respecto al espacio absoluto) las aceleraciones que aparecen en la ley de Newton son
exclusivamente las debidas a las fuerzas externas, mientras que nos vemos obligados a
introducir unas fuerzas auxiliares o de inercia cuando se trata de describir el movimiento
de un cuerpo en un sistema de referencia que esté en movimiento arbitrario con respecto
al espacio absoluto.
La forma convencional de distinguir entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales es postular el principio de inercia:
Principio de inercia, formulación convencional: Existen ciertos sistemas de referencia
privilegiados o inerciales, con respecto a los cuales los movimientos “ideales” inerciales
aparecen como teniendo aceleración nula:
d2 xI (t)
=0
dt2
(2.38)
Podemos ahora plantear la siguiente pregunta: ¿cómo se verı́an los movimientos “ideales” inerciales desde el punto de vista de un sistema de referencia no inercial? Esta
cuestión ya se discutió en la primera parte de estas notas: resulta que cuando la posición
se describe en uno de tales sistemas (componentes cartesianas del vector posición denotadas xi ), ya no es cierto que los movimientos “ideales” inerciales aparezcan como
teniendo aceleración nula; por el contrario, presentan aceleraciones que dependen del
movimiento del sistema no inercial relativamente al espacio absoluto (o, lo que es lo
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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21
mismo, respecto a un sistema inercial), que desaparecen cuando el movimiento del SR
respecto al espacio absoluto es una traslación rectilı́nea y uniforme, a velocidad constante, y sin rotación. Como vimos en el Capı́tulo I, la ecuación que describe los
movimientos “ideales” inerciales en un sistema de referencia no inercial es:
i
i
d2 ak
d2 xk (t)
k
k
j
i
i
k d(x (t) − a (t))
=
+
{
Ω̇
−
Ω
Ω
}(x
(t)
−
a
(t))
+
2Ω
.
i
j
i
i
dt2
dt2
dt
(2.39)
en donde no aparece la masa de la partı́cula test; el carácter no inercial del sistema de
referencia está descrito por las funciones del tiempo ak (t), Ωk i (t) que corresponden respectivamente al movimiento de traslación y de rotación con respecto al espacio absoluto
i
(recordemos que dRdtI (t) = Ωi k (t) Rk I (t)).
En presencia de la acción conjunta de fuerzas de naturaleza gravitatoria, electromagnética, elástica, de rozamiento, etc., englobadas en una única resultante F , que es
un vector espacial cuyas componentes en el sistema de referencia más general no inercial
arbitrario son F i (t, xl ), las correspondientes ecuaciones de movimiento serı́an:
i
i
d2 ak
k
k
j
i
i
k d(x (t) − a (t))
+ {Ω̇ i − Ω j Ω i }(x (t) − a (t)) + 2Ω i
.
dt2
dt
(2.40)
en donde en el segundo miembro, aparte de las fuerzas genuinas F , aparecen otros
términos, encerrados en { } que podemos, si queremos, entender como las fuerzas inerciales; su única función es salvar formalmente la ecuación de Newton. Las fuerzas
de inercia que actúan sobre una partı́cula de masa m en un sistema de referencia no
inercial resultan estrictamente proporcionales a m. Como tales fuerzas no aparecen si
el sistema de referencia es inercial, a veces se las califica como ficticias, ya que simplemente desaparecen o cambian cuando el movimiento se describe desde otro sistema de
referencia, lo que no ocurre con la fuerza gravitatoria que está siempre presente, pero es
manifiesto que sus efectos son tan reales como los de las fuerzas de origen gravitatorio,
electromagnético, etc. Cuando interese distinguirlas de las fuerzas de otro origen que
hemos llamado genuinas, llamaremos auxiliares a las fuerzas de inercia.
El punto de vista newtoniano es comenza analizando las ecuaciones en ausencia de
otras fuerzas (esto es, cuando sólo hay fuerzas inerciales auxiliares) y después referir
el movimiento en presencia de fuerzas adicionales añadiendo las expresiones oportunas
para F .
d2 xk (t)
= F k (t, xl )+m
m
dt2
La estructura geométrica del Espacio-Tiempo newtoniano y la ‘conexión
inercial’.
El espacio-tiempo newtoniano es una variedad de cuatro dimensiones, en la que un
suceso está especificado por cuatro coordenadas, que colectivamente denotaremos xµ .
Sistemáticamente emplearemos el convenio de asignar valores µ = 0, 1, 2, 3 a los ı́ndices
griegos, e i = 1, 2, 3 a los ı́ndices latinos. Consideraremos sucesivamente la descripción
que se harı́a de la situación desde un sistema de referencia globalmente inercial SRI en el
que las coordenadas de un suceso son (t, xI ) con t el tiempo (newtoniano, absoluto) y xI
las coordenadas cartesianas usuales, o desde un sistema de referencia no inercial, SRnI,
en cuyo caso las coordenadas (t, xi ) corresponden al tiempo (newtoniano, absoluto)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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22
y a las coordenadas cartesianas usuales relativas al SRnI. Para estos dos sistemas de
coordenadas (t, xI ), (t, xi ), el ı́ndice 0 se reservará siempre para la coordenada t, x0 ≡ t,
mientras que los ı́ndices latinos hacen referencia a las tres componentes ordinarias de
la posición; los ı́ndices mayúsculos servirán para enfatizar o recordar que el sistema de
referencia en uso tiene un caracter globalmente inercial.
Naturalmente, el uso de estas coordenadas tan particulares no es obligatorio. Podemos perfectamente usar cualquier otro sistema de coordenadas, dado por cuatro funciones arbitrarias xµ (t, xI ) o xµ (t, xi ) (con las limitaciones usuales de que el jacobiano
de la transformación sea diferente de cero). Pero en la práctica, la coordenada temporal
privilegiada es el tiempo absoluto, y usar otra simplemente oscurece las expresiones.
Como coordenadas espaciales, se puede y a veces conviene usar coordenadas no cartesianas, como las esféricas (r, θ, φ) en problemas con simetrı́a esférica.
Obsérvense dos puntos importantes: 1) estamos asumiendo el tiempo absoluto de
la fı́sica newtoniana, al escoger t como coordenada que se identifica con la duración
temporal y que coincide en todos los SR, tanto inerciales como no inerciales; 2) de
una manera un poco más solapada, estamos también asumiendo implı́citamente que el
espacio es euclı́deo, al decir que escogemos coordenadas (cartesianas) xI , xi en las que
la métrica está dada por el tensor δIJ , δij .
El enunciado convencional de la ley de inercia, y la idea de que los sistemas de referencia inerciales son aquellos que se encuentran en movimiento rectilı́neo y uniforme
con respecto al espacio absoluto se traduce de manera matemáticamente impecable
mediante la siguiente idea:
Principio de inercia, formulación de Cartan: En el espacio-tiempo hay una conexión,
D dxµ
denominada conexión inercial, cuyas autoparalelas Dτ
dτ = 0 son exactamente los
movimientos inerciales ideales.
Las expresiones explı́citas de los coeficientes de la conexión como función de las coordenadas dependerán del sistema de referencia y de coordenadas que se use, y debemos
esperar que sean más simples en ciertos sistemas de referencia y de coordenadas ’adaptados’.
Pasemos a comprobar que efectivamente es posible encontrar una conexión cuyas
autoparalelas son exactamente los movimientos inerciales ideales. Por motivos que
quedarán claros enseguida, a ésta conexión no la denotaremos con el sı́mbolo tradicional Γ para las conexiones, sino como Λ. La idea básica es que en un sistema de
referencia inercial, y en coordenadas cartesianas relativas al SRI, todos los coeficientes
de la conexión ‘inercial’ Λ son nulos:
Λ0 00 (t, xM ) = 0,
Λ
I
M
00 (t, x
Λ0 J0 (t, xM ) = Λ0 0J (t, xM ) = 0,
) = 0, Λ
I
M
J0 (t, x
)=Λ
I
M
0J (t, x
Λ0 JK (t, xM ) = 0,
) = 0, Λ
I
M
JK (t, x
) = 0,
(2.41)
(2.42)
Veamos ahora que, en efecto, la ecuación de las autoparalelas de esta conexión, en el
SRI coincide con la ecuación habitualmente usada para caracterizar el movimiento ‘ideal’
inercial (2.38). Las ecuaciones de las autoparalelas de la conexión Λµ αβ , en coordenadas
arbitrarias y referidas al parámetro afı́n τ son:
dxα dxβ
d2 xµ
µ
+
Λ
= 0,
αβ
dτ 2
dτ dτ
(2.43)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura
...
2005-06
23
que se reducen inmediatamente en las coordenadas (t, xM ) usando la elección de los
coeficientes de conexión (2.41), (2.42) a cuatro ecuaciones:
d2 xµ
= 0.
dτ 2
(2.44)
d2 x0
=0
dτ 2
(2.45)
La ecuación µ = 0 queda:
cuya solución general x0 = cte τ + cte indica que salvo un cambio trivial de origen y de
escala, el parámetro afı́n τ de las autoparalelas se identifica con la coordenada x0 ≡ t.
Asumiendo la identificación entre el parámetro τ y tiempo absoluto t, las tres ecuaciones
restantes quedan:
d2 xI
= 0.
(2.46)
dt2
que es exactamente lo que estipula la formulación convencional de la ley de inercia.
Esto resulta decepcionantemente simple, y seguramente parece una construcción muy
artificial la primera vez que uno se encuentra con ella. Pero es la manera en la que
las matemáticas nos dicen que se debe entender el espacio absoluto. Cuando Newton
decı́a: sistema de referencia en reposo o en movimiento uniforme con respecto al espacio
absoluto, lo que estaba diciendo era: sistema de referencia en el que, en coordenadas
cartesianas, todas las componentes de la conexión inercial se anulan.
•
2.16. Si en un sistema original de referencia (t, xI ) la conexión Λ tiene nulos todos
sus coeficientes, se pide usar la ley de transformación de una conexión para encontrar cómo son
los coeficientes de Λ en el sistema de referencia cuya relación con el original es:
ejercicio
0
xI = R I
0
0
0
I
0
xI + v I t + a I .
0
(2.47)
0
con RI I una rotación fija, independiente del tiempo, y v I , aI son constantes. Evidentemente,
este cambio de coordenadas pasa de un sistema de referencia a otro que se mueve con respecto al
primero con movimiento uniforme, por tanto el nuevo sistema también es inercial. El resultado
0
correcto es que en el nuevo sistema de coordenadas (t, xI ) todos los coeficientes de conexión son
0
nulos. [Ayuda: basta observar que las ecuaciones del cambio de coordenadas (t, xI ) → (t, xI ) son
lineales.]
Por lo tanto, tenemos una caracterización de los sistemas de referencia inerciales en
términos de la conexión Λ: los sistemas de referencia inerciales son aquellos en los que,
en coordenadas espaciales cartesianas, la ‘conexión inercial’ es nula.
Pasemos ahora a un sistema de referencia general no inercial, y denotemos (xi ) las
coordenadas cartesianas en él. El tiempo universal es el mismo en el nuevo sistema que
en el antiguo, y las relaciones entre las “coordenadas inerciales I” y las “no inerciales
i” son (1.27):
xi = Ri I (t) xI + ai (t).
(2.48)
en donde la novedad con relación a (2.47) es que el movimiento de traslación tiene
una dependencia arbitraria del tiempo (en vez del movimiento uniforme, a velocidad
constante que corresponde a la forma particular ai (t) = v i t + ai ) y la rotación depende
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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24
también del tiempo; ya no es una simple reorientación de los ejes de coordenadas como
en (2.47).
•
2.17. Si en un sistema original de referencia (t, xI ) la conexión Λ tiene nulos todos
sus coeficientes, se pide usar la ley de transformación de una conexión para encontrar cómo son
los coeficientes de Λ en el nuevo sistema de referencia no inercial cuya relación con el original es:
ejercicio
xi = Ri I (t) xI + ai (t).
con Ri I (t) una rotación dependiente del tiempo de manera arbitraria, y ai (t) un vector, dependiente del tiempo también de manera arbitraria. Este cambio de coordenadas pasa de un sistema
de referencia a otro que se mueve aceleradamente y rota con respecto al primero. Comprobar
que en el nuevo sistema de coordenadas (t, xi ) algunos coeficientes de conexión son no nulos, y
encontrar sus expresiones explı́citas. [Ayuda: como en el sistema original la conexión es nula
basta considerar la parte inhomogénea de la ley de transformación].
El resultado del ejercicio precedente es que en el nuevo sistema de referencia no
inercial, la conexión es:
Λ0 00 = 0,
Λi 00
Λ0 0j = Λ0 j0 = 0,
Λ0 jk = 0
(2.49)
2 i
l
d a (t)
i da (t)
= −{Ω̇i l − Ωi j Ωj l }xl −
−
2Ω
− {Ω̇i l − Ωi j Ωj l }al (t) ,
l
dt2
dt
(2.50)
Λi 0j = Λi j0 = −Ωi j (t),
(2.51)
Λi jk = 0.
(2.52)
Nótese que los coeficientes de conexión no nulos dependen de (t, xi ) de una manera muy
especial: la dependencia en las coordenadas espaciales aparece solo en el coeficiente
Λi 00 y es lineal; el resto de la dependencia es sólo del tiempo, a través de Ωi j (t) en
Λi 0j = Λi j0 y de las dos expresiones (que dependen de Ωi j (t) y de ai (t)) que aparecen
entre llaves y entre corchetes en Λi 00 (2.50).
•
ejercicio 2.18.
Comprobar que las ecuaciones de las autoparalelas en un sistema de referencia
no inercial incluyen la relación τ = t y la ecuación (2.39). [Ayuda: desglosar la ecuación de las
autoparalelas en la forma
d2 x0
dx0 dx0
dx0 dxj
dxj dxk
0
0
0
+
Λ
+
2Λ
+
Λ
= 0,
00
0j
jk
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ dτ
d2 xi
dx0 dx0
dx0 dxj
dxj dxk
i
i
i
+
Λ
+
2Λ
+
Λ
= 0, i = 1, 2, 3.
00
0j
jk
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ dτ
(2.53)
(2.54)
y ver que de la primera ecuación se deriva τ = t salvo cambio de origen y escala, y entonces la
segunda coincide exactamente con (2.39)]
Ahora comienza a emerger lo interesante de este enfoque, que revela la auténtica
naturaleza de las fuerzas de inercia: estas fuerzas están descritas por una conexión en
el espacio-tiempo. Las ecuaciones de las autoparalelas para la conexión (2.41)–(2.42), o
lo que es lo mismo, (2.49)–(2.52) contienen a la vez la identificación del parámetro afı́n
τ con el tiempo absoluto y las ecuaciones de los movimientos “ideales inerciales” de la
teorı́a newtoniana. Por lo tanto es posible interpretar la ley de inercia en términos de
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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25
una conexión. Esta forma de hablar es un eufemismo; realmente, no es que sea posible,
es que debe hacerse ası́; lo reconoció con claridad por primera vez Cartan, aunque estaba
implı́cito en la teorı́a de Einstein. Y con esta idea el espacio absoluto se reviste de un
ropaje matemático bien definido: traduce la existencia de una ‘conexión inercial’ en el
espacio-tiempo.
El tensor de curvatura de esta conexión se obtiene sin nigún cálculo: ya que en
ciertos sistemas de coordenadas la conexión Λ es nula, el tensor de curvatura de Λ
se anula idénticamente. Desde éste punto de vista, que es el Newtoniano estricto, está
justificado decir que el espacio-tiempo no tiene curvatura, y por tanto es rı́gido, insensible
a la presencia de materia, etc. Aunque el enunciado de la teorı́a newtoniana en estos
términos se debe a Cartan (1923), es seguro que este enunciado no hace sino traducir
a un lenguaje matemático preciso lo que tenı́an implı́citamente en mente aquellos que
entendı́an de verdad de qué hablaban cuando hablaban del espacio absoluto, aunque lo
expresaran de una manera matemáticamente tosca.
La base empı́rica de la ley de inercia y su sustitución por el principio de
Galileo.
Una cosa es haber encontrado una manera matemáticamente satisfactoria de enunciar la ley de inercia newtoniana, y otra muy diferente la evidencia experimental,
basada en resultados empı́ricos, que pueda encontrarse para apoyar dicha interpretación
matemática. Cuando este aspecto se toma en consideración, lo que la naturaleza
nos sugiere es que toda la construcción anterior es matemáticamente consistente pero
fı́sicamente insatisfactoria, lo que finalmente reivindica el rechazo a la idea del espacio
absoluto que avanzaron Leibniz y otros. Pero, como suele ocurrir, veremos que las nuevas
ideas que toman el relevo están implı́citamente sugeridas por el intento insatisfactorio
que acabamos de describir.
La pregunta esencial es: ¿son observables los movimientos “ideales inerciales”? ¿Quién
serı́a el mejor candidato a partı́cula test en movimiento “ideal inercial”? Las fuerzas de
origen electromagnético pueden eliminarse si tomamos una partı́cula sin carga eléctrica
y sin momentos multipolares eléctricos ni magnéticos. Las fuerzas de rozamiento con
el aire pueden eliminarse haciendo el vacı́o; las de rozamiento ordinario evitando el
contacto. Otras fuerzas pueden descartarse mediante una preparación adecuada. Pero
producir un movimiento “ideal inercial”, que exige la ausencia total de fuerzas, requerirı́a
desconectar las fuerzas gravitatorias, de lo que no hay manera; a diferencia de las fuerzas
electromagnéticas sobre un sistema test que se ‘desenchufan’ sin más que eliminar la
carga eléctrica —y los momentos dipolares, cuadrupolares, etc.— del sistema test, la
masa gravitatoria tiene siempre el mismo signo, lo que hace que literalmente hablando
no podamos desconectar la gravitación.
Para verlo más formalmente, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una partı́cula
con masa gravitatoria pasiva mgr es mgr g, donde g es la familiar intensidad de campo
gravitatorio. En consecuencia, en el sistema de referencia no inercial más general, la
ecuación de movimiento de la partı́cula es:
2 k
i
i
d a
d2 xk (t)
k
l
k
k
j
i
i
k d(x (t) − a (t))
= mgr g (t, x (t))+m
+ {Ω̇ i − Ω j Ω i }(x (t) − a (t)) + 2Ω i
.
m
dt2
dt2
dt
(2.55)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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en donde dividiendo por la masa inercial m de la partı́cula test se obtiene:
2 k
i
i
mgr k
d a
d2 xk (t)
i
i
k d(x (t) − a (t))
j
k
k
l
=
+ {Ω̇ i − Ω j Ω i }(x (t) − a (t)) + 2Ω i
g (t, x (t))+
.
dt2
m
dt2
dt
(2.56)
Si midiendo las posiciones, velocidades y aceleraciones de un número suficiente de
partı́culas en caı́da libre en el campo gravitatorio relativamente a éste sistema de referencia fuera posible encontrar separadamente el vector intensidad de campo gravitatorio
g k (t, xl ) en cada punto del espacio-tiempo y las dos cantidades ak (t), Ωk j (t) como funciones solamente del tiempo, entonces la forma usual de la ley de inercia tendrı́a una
base empı́rica clara. Este serı́a el caso si existieran partı́culas con diferentes cocientes
(mgr /m) —que podrı́a llamarse masa gravitatoria especı́fica—. Midiendo posiciones,
velocidades y aceleraciones de varias partı́culas con cocientes (mgr /m) diferentes, se
podrı́a descontar sin ambiguedad el término en g k (t, xl ), y del resto se podrı́a recuperar
sin tampoco ambiguedad las dos cantidades ak (t), Ωk j (t).
Pero no parece que esa sea la situación experimental. Por el contrario, toda la evidencia experimental apoya muy fuertemente la suposición de que en la naturaleza el cociente
(mgr /m) es el mismo para todas las partı́culas, independientemente de su naturaleza,
composición quı́mica, etc. (En la primera parte revisamos la impresionante precisión
con que esta idea se ha comprobado experimentalmente).
En estas circunstancias, la esperanza de usar la ecuación (2.56) para dotar de contenido empı́rico a la ley de inercia se desvanece: si el cociente (mgrav /m) es una constante universal, que podemos hacer igual a 1 escogiendo adecuadamente las unidades
de medida de mgr por ejemplo, entonces es fácil ver que la ecuación
2 k
i
i
d a
d2 xk (t)
k
l
k
k
j
i
i
k d(x (t) − a (t))
= g (t, x (t))+
+ {Ω̇ i − Ω j Ω i }(x (t) − a (t)) + 2Ω i
.
dt2
dt2
dt
(2.57)
en la que todas las masas han desaparecido, permite medir Ωk j (t) —como correcta
2 k
y astutamente vió Newton—, y también la combinación g k (t, xl (t)) + ddta2 , pero no
g k (t, xl (t)) y ak (t) separadamente.
Se conoce como principio de equivalencia débil o principio de Galileo la hipótesis
de que en la naturaleza el cociente (mgr /m) es el mismo para todas las partı́culas,
independientemente de su naturaleza, composición quı́mica, etc. Se suele enunciar tal
principio a través de su consecuencia:
Principio de equivalencia débil: Las órbitas de partı́culas test neutras, en caı́da libre
en un campo gravitatorio dado son independientes de la masa y composición de las
partı́culas test, y están determinadas unicamente por su posición y velocidad inicial.
Esta es la idea en la que Einstein basó su teorı́a relativista de la gravitación. Nadie
habı́a reparado antes en formular explı́citamente este principio dentro de una teorı́a
clásica de la gravitación, pero es manifiesto que el rango de validez incluye el dominio
no-relativista.
Si se acepta el principio de equivalencia débil (o de Galileo) resultan dos consecuencias. Primero, lo que antes era una misteriosa semejanza entre las fuerzas gravitatorias
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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27
y las de inercia, un hecho para el que no hay razón fı́sica aparente —a saber— la proporcionalidad estricta de las masas inercial y gravitatoria, queda incorporada de manera
natural. Y segundo, resulta imposible medir la intensidad de campo gravitatorio de
manera inambigua: lo único que es medible de manera inambigua es la combinación
2 k
g k (t, xl (t)) + ddta2 .
El camino a seguir ahora es claro: como ya sabemos que las fuerzas inerciales se describen correctamente mediante una conexión, intentemos describir conjuntamente las
fuerzas gravitatorias y las inerciales mediante una sola conexión, que ahora sı́ llamaremos Γ, y que es diferente de la anterior Λ. No es demasiado atrevido conjeturar que, sin
poderlo formular de manera matemáticamente precisa, este camino era el que hubieran
preferido seguir los oponentes continentales de Newton.
La conexión ‘gravitatorio-inercial’ o de caı́da libre.
Lo que se pretende ahora es abordar una interpretación alternativa de la Teorı́a
Newtoniana de la Gravitación de modo que la gravitación aparezca como una manifestación de curvatura del espacio–tiempo. En esa interpretación el espacio absoluto
—representado por la conexión ∆— desaparece completamente de la escena.
En una primera etapa, nos limitaremos sucesivamente a comprobar que en efecto, las
ecuaciones de movimiento (1.9)/(1.30) son las ecuaciones de las autoparalelas (geodésicas)
de una cierta conexión en el espacio–tiempo, que las ecuaciones de separación de marea
(1.15)/(1.31) son las ecuaciones de desviación geodésica para la aceleración (covariante)
de la separación relativa entre autoparalelas de esa conexión (lo que permite identificar
el tensor de marea con las componentes posiblemente no nulas del tensor de curvatura),
y que finalmente, las ecuaciones del propio campo gravitatorio (1.17)/(1.37) se leen de
modo muy simple en términos del tensor de curvatura de la conexión: la única componente no nula del tensor de Ricci (una contracción del tensor de curvatura de la
conexión) es proporcional a la densidad de masa.
La ‘conexión gravitatorio-inercial’ en un sistema de referencia inercial
¿Es posible identificar los movimientos en caı́da libre en un campo gravitatorio con
las lı́neas autoparalelas (geodésicas) de una conexión Γµ αβ ? La respuesta es afirmativa.
El hecho de que una curva sea autoparalela de la conexión es intrı́nseco y no depende
del sistema de coordenadas, de modo que la interpretación que ası́ se obtiene entre los
movimientos en caı́da libre en el campo gravitatorio y las autoparalelas de la conexión
resulta independiente del sistema de coordenadas.
Comencemos el ejercicio considerando un SRI. Se trata de identificar la ecuación de
caı́da libre en el campo gravitatorio, (1.9),
M
d2 xI (t)
IL ∂ϕ(t, x )
=
−δ
,
dt2
∂xL
(2.58)
con las ecuaciones de las autoparalelas de la conexión Γµ αβ , referidas al parámetro afı́n
τ , que son:
d2 xµ
dxα dxβ
µ
+
Γ
= 0.
(2.59)
αβ
dτ 2
dτ dτ
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
2005-06
28
Para llevar a cabo esta identificación, procede separar explı́citamente la ecuación
µ = 0 de las tres ecuaciones µ = I, y en cada una de ellas además separar los términos
en la suma doble en α, β que corresponden a las alternativas α = 0, J ó β = 0, K,
manteniendo el convenio de suma en ı́ndices espaciales I, J, K repetidos. Ello lleva a:
0
0
dx0 dxJ
dxJ
d2 x0
0 dx dx
0
0
+ Γ 00
+ 2Γ 0J
+ Γ JK
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ
0
0
0
J
J
dx
d2 xI
dx
dx
dx
dx
I
I
I
+
Γ
+
2Γ
+
Γ
00
0J
JK
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ
dxK
= 0,
dτ
dxK
= 0,
dτ
I = 1, 2, 3
La elección:
Γ0 00 = 0,
ΓI 00 (x, t) = δ IM
∂ϕ(x, t)
,
∂xM
Γ0 J0 = Γ0 0J = 0,
Γ0 JK = 0,
(2.60)
ΓI J0 = ΓI 0J = 0,
ΓI JK = 0,
(2.61)
hace que la componente µ = 0 de la ecuación de las autoparalelas se reduzca a
d2 x0
=0
dτ 2
(2.62)
cuya solución general x0 = cte τ + cte indica que un cambio trivial de origen y de escala
reducen las constantes a 1 y 0, de manera que el parámetro afı́n τ de las autoparalelas
0
τ se identifica con la coordenada x0 ≡ t. Habida cuenta de τ = t y de dx
dt = 1, las tres
restantes componentes µ = I de las autoparalelas quedan:
d2 xI
dxJ
dxJ dxK
I
I
I
+
Γ
+
2Γ
+
Γ
= 0,
00
0J
JK
dt2
dt
dt dt
I = 1, 2, 3
(2.63)
que para la elección (2.61) se reducen exactamente a la ecuación de caı́da libre (2.58).
Es pertinente hacer aquı́ una pequeña disgresión: la ecuación (2.63) en su forma más
general, para una conexión dada por (2.60) pero con ΓI 00 , ΓI J0 = ΓI 0J , ΓI JK que sean
funciones de las coordenadas mas generales que las dadas en (2.61) podrı́a verse como
una ‘ecuación de Newton’ para unas ‘fuerzas’ mucho más generales que las habituales,
con términos lineales y cuadráticos en las velocidades (que aparecerı́an descritas mediante los coeficientes ΓI J0 = ΓI 0J y ΓI JK de la conexión), además de los términos
ordinarios, independientes de la velocidad (como las gravitatorias ordinarias) que estarán descritas por los coeficientes ΓI 00 . De nuevo aquı́ aparece una analogı́a con el
electromagnetismo, en donde además de las fuerzas electrostáticas hay también fuerzas
(magnéticas) lineales en la velocidad; las fuerzas cuadráticas en las velocidades no tienen
análogo en electromagnetismo. La elección de la conexión (2.61), que estipula la anulación de las ‘posibles’ componentes adicionales de las fuerzas gravitatorias que sean
lineales y cuadráticas en las velocidades puede verse como un reflejo de que en la teorı́a
de gravitación de Newton las fuerzas gravitatorias sobre una partı́cula test son independientes de la velocidad de dicha partı́cula; en términos imprecisos pero sugerentes, el
campo gravitatorio newtoniano carece de un campo ‘gravimagnético’ asociado, que serı́a
un campo especı́fico, creado por la masa en movimiento y distinto del gravitatorio usual.
II. Gravitación Newtoniana como curvatura
...
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29
Dicho de otro modo: la gravitación newtoniana resulta análoga a la electrostática, en
donde los efectos magnéticos no aparecen; en la naturaleza sı́ que parece haber efectos
de tipo gravimagnético y por tanto la teorı́a newtoniana de la gravitación, al igual que
la electrostática, es sólo una aproximación.
Resumiendo: las ecuaciones de las autoparalelas para la conexión (2.60)–(2.61) contienen a la vez la identificación del parámetro afı́n τ con el tiempo absoluto y las ecuaciones de caı́da libre (2.58). Por lo tanto es posible interpretar el movimiento en caı́da
libre bajo el campo gravitatorio con las autoparalelas de la conexión gravitatorio-inercial
o de caı́da libre Γ, dada en un SRI por (2.60)–(2.61). Naturalmente, la nueva conexión
no es la ‘conexión inercial’ Λ que incorporaba exclusivamente las fuerzas de inercia.
El tensor de curvatura de la conexión Γ se calcula sin gran dificultad y ahora resulta
no nulo; las componentes RI 0J0 y RI 00J son diferentes de cero:
RI 0J0 = δ IK
∂ 2 ϕ(x, t)
,
∂xK ∂xJ
RI 00J = −RI 0J0
demás Rµ ναβ = 0
(2.64)
donde se ve que esencialmente, las componentes no nulas del tensor de curvatura de la
conexión gravitatorio-inercial de caı́da libre son las componentes del tensor de marea
ordinario,
RI 0J0 ≡ AI J
(2.65)
Debe observarse en particular: a) todas las componentes R0 ναβ = 0 (anulación ligada
con el tiempo absoluto) y b) que todas las componentes puramente espaciales del tensor
de curvatura también se anulan, RI JKL = 0 lo que corresponde a que el 3-espacio es
plano en la teorı́a newtoniana. Este mismo resultado también se ve en la expresión de
la conexión: del hecho de que todos los ΓI JK (t, x1 , x2 , x3 ) = 0 se deriva que el espacio
es plano, lo que es consistente con la consideración implı́cita que se ha hecho desde el
principio, aceptando sin mucha discusión el que las coordenadas xI fueran coordenadas
cartesianas.
•
ejercicio 2.19.
Comprobar la expresión (2.64) de las componentes del tensor de curvatura.
La separación entre dos autoparalelas próximas τ → xµ (τ ) y τ → xµ (τ ) + η µ (τ )
satisface la ecuación de desviación geodésica
D2 η µ (τ )
dxν α dxβ
µ
η
≈ 0.
+
R
ναβ
Dτ 2
dτ
dτ
(2.66)
en la que aparece la derivada covariante del vector separación η I (τ ) a lo largo de la
curva τ → xµ (τ ); recordemos que para un vector arbitrario ξ µ (τ ) a lo largo de la curva,
su derivada covariante está definida por:
Dξ µ (τ )
dξ µ (τ )
dxβ
=
+ Γµ αβ ξ α (τ )
.
Dτ
dτ
dτ
(2.67)
Para ver mejor qué significa la ecuación (2.66) desde el punto de vista ordinario 1 + 3
(‘tiempo + espacio’), debemos realizar el descenso desde la notación ‘cuadridimensional’
a la ordinaria tridimensional. Para ello hay que distinguir entre componentes temporales (las que lleven un ı́ndice 0) y espaciales (que llevan un indice I) de los objetos
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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30
involucrados (la separación η µ , el tensor de curvatura Rµ ναβ y el vector tangente a
β
la autoparalela fiducial dx
dτ ), y por otro lado, debemos considerar separadamente las
ecuaciones µ = 0 y µ = I.
El ejercicio siguiente plantea paso a paso el cálculo de la derivada covariante del
vector separación:
•
2.20. El vector separación entre las dos autoparalelas tiene nula la componente η 0 ,
esto es, tiene la forma τ → (η 0 = 0, η I (τ )). Por tanto, aunque se describa como un vector
en el espacio-tiempo (4-vector), se trata realmente de un 3-vector puramente espacial. (Este es
el primer ejemplo del nexo entre la formulación cuadridimensional, en el espacio-tiempo, y la
descripción tridimensional ordinaria que emerge de manera natural de la espaciotemporal). El
ejercicio consiste en comprobar que en un sistema de coordenadas en el que la conexión esté dada
por (2.60)–(2.61), la derivada covariante de la separación a lo largo de la geodésica fiducial está
dada por:
Dη 0 (t)
Dη I (t)
dη I (t)
= 0,
=
.
(2.68)
Dτ
Dτ
dt
ejercicio
es decir, las componentes espaciales de la derivada covariante de la separación con respecto al
parámetro afı́n de las autoparalelas coinciden con las derivadas temporales ordinarias.
Para verlo se debe partir de la expresión de la derivada covariante, introduciendo ya la relación
τ = t:
Dη µ (τ )
dη µ (t)
dxα β
=
+ Γµ αβ
η (t).
(2.69)
Dτ
dt
dt
y notar los siguientes hechos:
1) Para µ = 0 habida cuenta de (2.60), esta ecuación se reduce a una identidad 0 = 0
2) Para µ = I, teniendo en cuenta las expresiones (2.61) para la conexión, la derivada covariante de
la separación η I (t) a lo largo de la geodésica fiducial tiene, en adición a la derivada ordinaria,
α
η β (τ ). Al llevar a cabo la suma en α, β, vemos que los
términos extra del tipo ΓI αβ dx
dt
únicos coeficientes de conexión no nulos son los ΓI 00 , que aparecen acompañados de un factor
dx0 0
η (τ ) que resulta ser idénticamente nulo pues η 0 (τ ) = 0. Ası́ se obtiene el resultado
dτ
buscado.
Habiendo obtenido los resultados previos, pasemos a nuestro objetivo que es escribir
en forma 3 + 1 la ecuación de desviación geodésica (2.66). La componente µ = 0 de
estas ecuaciones es una identidad debido a que η 0 (t) = 0 y R0 ναβ = 0. Tan solo quedan
las tres componentes espaciales µ = I que son:
D2 η I (t)
dxν α dxβ
I
+
R
η
≈ 0.
ναβ
Dt2
dt
dt
(2.70)
Ahora debemos tener en cuenta tres hechos: 1) en el sistema de coordenadas en que
estamos trabajando las derivadas covariantes de η I con respecto al tiempo están dadas
por las derivadas ordinarias (según (2.68)), 2) al sumar sobre los indices mudos ν α β,
sólo los elementos RI 0J0 y RI 00J del tensor de Riemann RI ναβ son eventualmente
distintos de 0; estos elementos del tensor de Riemann van acompañados respectivamente
0
dx0 0 dxJ
J dx0
J
de los factores dx
dt η dt = η y dt η dt = 0, de manera que solo hay contribución
proveniente de RI 0J0 y finalmente la ecuación anterior se reduce a:
d2 η I (t)
+ RI 0J0 η J (t) ≈ 0,
dt2
(2.71)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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31
que es la ecuación del campo de marea (1.15) con la identificación
AI J ≡ RI 0J0 .
(2.72)
que ya habı́a aparecido en (2.65).
En otras palabras: la definición “fı́sica” del campo de marea AI J (1.14) resulta
coincidir exactamente con las componentes algebraicamente independientes RI 0J0 del
tensor de curvatura (2.64) asociado a la conexión ‘gravitatorio-inercial’ (2.60)–(2.61).
Las ecuaciones del propio campo gravitatorio se escribieron en su momento en términos
del potencial (1.10), del vector campo gravitatorio (1.4), y del tensor campo de marea
(1.17). Ahora podemos añadir un eslabón más a esa cadena: el campo de marea aparece
como la parte posiblemente no nula del tensor de curvatura. Como consecuencia, la
ecuación de Poisson del campo gravitatorio puede expresarse como una relación entre el
tensor de curvatura de la conexión Γ y la densidad de masa:
∇2 φ(x, t) = −divg(x, t) = AI I (x, t) =
RI 0I0 (x, t) = 4 π G ρ(x, t)
(2.73)
La última ecuación, que es la realmente nueva en la interpretación de la gravitación
como curvatura se formula habitualmente en términos del tensor de Ricci de la conexión.
El tensor de Ricci Rνβ asociado al tensor de curvatura Rµ ναβ se define como:
Rνβ := Rµ νµβ
•
(2.74)
2.21. Comprobar que para un tensor de curvatura de tipo newtoniano (2.64), en el
que R0 ναβ = 0, la suma en los cuatro ı́ndices µ se reduce a una suma en los tres ı́ndices espaciales:
ejercicio
Rνβ := Rµ νµβ = R0 ν0β + RI νIβ = RI νIβ
(2.75)
con lo que el tensor de Ricci asociado a (2.64) tiene componentes
R00 = δ IM
∂2ϕ
= ∇2 ϕ,
∂xI ∂xM
R0I = RI0 = RIJ = 0
(2.76)
que es bastante especial: en un SRI sólo la componente R00 puede ser no nula y las demás se
anulan de manera automática. Esto es análogo a lo que ocurrı́a también en el tensor de curvatura,
y está ligado a la estructura del espacio-tiempo newtoniano, especı́ficamente a la existencia de la
foliación asociada al tiempo absoluto. La exploración de esta conexión se propone en una serie de
ejercicios (aun no incluı́dos).
Según las ecuación del campo (1.10b), el laplaciano del potencial es proporcional a
la densidad de masa. Como este laplaciano aparece como la única componente no nula
del tensor de Ricci, la ecuación de campo se transcribe:
R00 (x, t) = 4 π G ρ(x, t).
(2.77)
Conviene recordar que ésta no es la única ecuación del campo gravitatorio: en
términos del vector campo gravitatorio (1.4) hay otra condición que expresa el hecho
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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de que g es un campo irrotacional, que para el campo de marea se traduce en términos
del tensor de curvatura como:
δIK RK 0J0 (x, t) = δJK RK 0I0 (x, t)
(2.78)
Para un tensor de curvatura dado en términos del potencial mediante (2.64) esta
condición se satisface idénticamente y la anterior se reduce a la ecuación de Poisson.
Ambas ecuaciones deben considerarse como las ecuaciones del campo gravitatorio newtoniano.
En resumen: Es posible interpretar el movimiento de caı́da libre en un campo gravitatorio como movimiento autoparalelo de una conexión gravitatorio-inercial o conexión
de caı́da libre Γ (que recoge conjuntamente las fuerzas gravitatorias y las inerciales)
definida en el espacio-tiempo.
La curvatura de esta conexión, descrita por el tensor de curvatura (2.64), es no nula,
de manera que es perfectamente aceptable decir que el espacio-tiempo newtoniano tiene
curvatura. Como la teorı́a sigue teniendo un tiempo absoluto, la curvatura es bastante
especial; en particular el propio 3-espacio (cada espacio de simultaneidad absoluta, en un
instante t) es plano. Lo que se obtiene puede describirse como curvatura de un espaciotiempo con tiempo absoluto y sin curvatura puramente espacial. Esto se ve bien en
(2.64), ya que todas las componentes de tipo Rµ νKL son nulas, y son esas componentes
del tensor de curvatura las que regulan el cambio de un vector en transporte paralelo a
lo largo de un circuito cerrado puramente espacial, contenido en el 2-plano espacial KL.
La interpretación de la gravitación newtoniana como teorı́a de curvatura del espacio
tiempo mantiene un espacio tridimensional sin curvatura espacial; la curvatura sólo se
manifiesta cuando hay transcurso temporal y es, estrictamente hablando, una propiedad
del espacio-tiempo.
A posteriori, esto justifica el que implı́citamente hayamos estado usando las xI como
coordenadas cartesianas en las que la métrica espacial está dada por el familiar tensor
métrico δIJ . Esto lo hemos estado haciendo sin decirlo muy explı́citamente, pero debe
quedar claro qu de manera subrepticia hemos estado presuponiendo desde el principio
que el espacio fı́sico es un 3-espacio euclı́deo. Si tal actitud despreocupada funciona
ello se debe a que en la teorı́a newtoniana las propias ecuaciones del campo gravitatorio implican que la curvatura del espacio tridimensional tiene que ser idénticamente
nula. En consecuencia, si desde el principio suponemos que el 3-espacio es plano (curvatura=0) no caemos despues en inconsistencias ni otras dificultades. Conviene señalar
ya desde ahora que una de las diferencias esenciales entre la gravitación Newtoniana y
la relativista es que en la teorı́a de Einstein, el espacio-tiempo es curvo, y el 3-espacio
también es curvo lo que allı́ complica extraordinariamente las cosas ya que entonces no
será posible escoger coordenadas espaciales canónicas —como hemos hecho nosotros con
las xI (o las xi )— en términos de las cuales toda la descripción sea tan sencilla y sobre
todo tan fácilmente visualizable.
La ‘conexión gravitatorio-inercial’ en un sistema de referencia no inercial
La discusión anterior supone un sistema de coordenadas globalmente inercial. ¿Qué
ocurre si planteamos una discusión análoga partiendo de las ecuaciones de movimiento
y de marea en un sistema no inercial?
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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33
La interpretación geométrica es la misma: la caı́da libre (1.30) corresponde a las
autoparalelas (geodésicas) de la misma conexión, referida ahora a un nuevo sistema
de coordenadas; la ecuación de marea (1.37) se identifica con la misma ecuación de
desviación geodésica en las nuevas coordenadas; el campo de marea son las componentes
esenciales del tensor de curvatura de la conexión, y las ecuaciones de campo relacionan
la componente ‘tiempo-tiempo’ R00 del tensor de Ricci con la densidad de masa en el
sistema no inercial, exactamente de la misma forma que en el sistema de referencia
inercial.
Ası́ pues, el proceso de análisis que comenzamos caracterizando la gravitación como
“aceleración de la separación relativa en caı́da libre” se cierra produciendo una descripción que resulta ser válida en cualquier sistema de coordenadas, sea éste inercial o
no. Veamos las expresiones.
Sean (xi ) las coordenadas cartesianas en un sistema de referencia no inercial arbitrario. El tiempo universal es el mismo en el nuevo sistema que en el antiguo, y las
relaciones entre las “coordenadas inerciales I” y las “no inerciales i” es (1.27):
xi = Ri I (t) xI + ai (t).
(2.79)
Las ecuaciones de caı́da libre y de marea en el sistema no inercial son (1.30) y (1.31).
Ambas resultan ser la ecuación de las autoparalelas y la ecuación de desviación geodésica
para la separación relativa entre dos autoparalelas.
Comencemos por la identificación de la caı́da libre (1.30)
i
i
d2 ak
d2 xk (t)
ki ∂ϕ
k
k
j
i
i
k d(x (t) − a (t))
=
−δ
+
+{
Ω̇
−Ω
Ω
}(x
(t)−a
(t))+2
Ω
(2.80)
i
j
i
i
dt2
∂xi dt2
dt
con las ecuaciones de las autoparalelas τ → xµ (τ ) de la conexión Γµ αβ (xi , t):
0
0
j
j
k
0
d2 x0
0 dx dx
0 dx dx
0 dx dx
+
2Γ
+
Γ
= 0,
+
Γ
0j
jk
00
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ dτ
0
0
0
j
j
k
d2 xi
i dx dx
i dx dx
i dx dx
+
Γ
+
2Γ
+
Γ
= 0, i = 1, 2, 3.
00
0j
jk
dτ 2
dτ dτ
dτ dτ
dτ dτ
La elección
Γ0 00 = 0,
Γ0 0j = Γ0 j0 = 0,
Γ0 jk = 0,
(2.81)
(2.82)
(2.83)
permite al igual que hicimos con la conexión inercial Λ , identificar la coordenada x0 ≡ t
0
con el parámetro afı́n τ , (salvo un cambio trivial de origen y escala), con lo que dx
dt = 1.
Comparando los términos independientes, lineales o cuadráticos en las velocidades en
(2.80) con los términos correspondientes en (2.82) reescrita como:
j
j
k
d2 xi
i
i dx
i dx dx
+
Γ
+
2Γ
+
Γ
= 0,
i = 1, 2, 3,
(2.84)
00
0j
jk
dt2
dt
dt dt
el candidato a conexión cuyas autoparalelas sean (2.80) debe tener las restantes componentes dadas por:
2 i
l
d a (t)
i
im ∂ϕ
i
i
j
i
i da (t)
i
i
j
l
Γ 00 = δ
− {Ω̇ l − Ω j Ω l }x −
− 2Ω l
− {Ω̇ l − Ω j Ω l }a (t) ,
∂xm
dt2
dt
(2.85)
Γi 0j = Γi j0 = −Ωi j (t),
Γ
i
jk
= 0.
(2.86)
(2.87)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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Con esta elección la ecuación (2.82) o (2.84) de las geodésicas coincide con la ecuación de
caı́da libre (2.80). Nótese que la rotación del sistema no inercial con respecto al inercial
está descrita por un Ωi j (t) que depende sólo del tiempo, y que el campo gravitatorio
ordinario, al ser un gradiente, es un campo irrotacional.
Son aquı́ aplicables los comentarios que en su momento se hicieron sobre la forma de
la conexión inercial, tras (2.52). Pero debe notarse que ahora el coeficiente Γi 00 depende
de x de una manera que ya no es lineal, a través del potencial gravitatorio.
•
ejercicio 2.22.
•
ejercicio 2.23.
Comprobar las ecuaciones (2.85)–(2.87)
Comprobar que la conexión Γi jk (t, xm ) en el sistema de referencia no inercial
es exactamente (como se debı́a) la que se obtiene a partir de la conexión ΓI JK (t, xM ) (2.60)–
(2.61) mediante la ley de transformación de una conexión, para el cambio de coordenadas (2.48).
xm
Conviene notar que para el potencial gravitatorio estamos suponiendo una ley de
transformación de tipo escalar. Es posible encontrar otro convenio para la ley de transformación del potencial —equivalente fı́sicamente— en el que las fuerzas inerciales de
arrastre y centrı́fugas están incorporadas en el potencial; ambas elecciones conducen a
la misma ecuación de movimiento.
Es fundamental entender que en esta interpretación un solo objeto geométrico, la
conexión gravitatorio-inercial, presenta mezcladas sin distinción invariante posible a las
fuerzas gravitatorias ‘reales’ con las fuerzas inerciales. Ası́ se corta el nudo gordiano
de la discusión “sistema inercial + fuerzas gravitatorias” versus “sistema no inercial y
ausencia de fuerzas” por el expediente, directo pero bastante radical, de englobar ambas
en un mismo objeto y dejar la tarea de discernir (ya que no separar) entre ambos tipos
a otro objeto, el tensor de curvatura.
El tensor de curvatura se calcula a partir de la conexión con poco más trabajo que
el necesario para pasar de (2.60)–(2.61) a (2.64); el resultado —esperable— es que la
no inercialidad del sistema de referencia (descrita por ai (t) y Ωi j (t)) no se manifiesta
en el tensor de curvatura, cuyas únicas componentes no nulas son otra vez Ri 0j0 y las
algebraicamente dependientes de ellas:
Ri 0j0 = δ im
∂2ϕ
,
∂xj ∂xm
Ri 00j = −Ri 0j0
demás Rµ ναβ = 0
(2.88)
que podrı́a también haberse obtenido mediante la ley de transformación tensorial del
tensor de Riemann bajo el cambio de coordenadas (2.48) partiendo de su expresión en
el sistema inercial (2.64).
•
ejercicio 2.24.
Comprobar, al menos por uno de los dos procedimientos.
Al escribir en estas coordenadas la ecuación general de desviación geodésica, la identidad de la coordenada t con el parámetro afı́n τ se mantiene, ası́ como el hecho de
que la separación es un vector espacial, η 0 (t) = 0 (lo que concuerda con la anulación
de los coeficientes Γ0 αβ ), pero la derivada covariante de la separación η i (t) a lo largo
de la geodésica fiducial ya no coincide con la derivada ordinaria, sino que adquiere un
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
2005-06
35
término extra:
Dη i
dη i
dxβ
=
+ Γi αβ η α
Dτ
dt
dt
i
dx0
dx0
dxj
dxk
dη
=
+ Γi 00 η 0
+ Γi j0 η j
+ Γi 0j η 0
+ Γi jk η j
dt
dt
dt
dt
dt
i
dη i
dη
=
+ Γi j0 η j =
− Ωi j (t)η j .
dt
dt
(2.89)
Notar que en esta expresión (en un sistema de referencia no inercial) sólo aparece la
velocidad angular Ωi j (t) con la que el sistema no inercial rota relativamente al inercial.
Para sistemas no inerciales sin rotación (en los que la no inercialidad se debe sólo a
un movimiento de traslación acelerada), la derivada covariante de la separación con
respecto al tiempo coincide con la derivada ordinaria; véase de nuevo la astucia y la
visión de Newton al usar un SR rotante en su réplica a Leibniz.
En consecuencia, la transcripción de la ecuación de desviación geodésica:
dxν α dxβ
D2 η µ (τ )
µ
η
≈ 0,
+
R
ναβ
Dτ 2
dτ
dτ
(2.90)
en el SRnI tiene términos extra comparados con los de la fórmula (2.68)) que proceden
de la segunda derivada covariante. Partiendo de (2.89) se llega a:
D2 η i (t)
D
=
2
Dt
Dt
dη i (t)
i j
− Ω jη
dt
k
j
d2 η i (t)
dη (t)
i j
i dη
i
k
m
=
− Ω̇ j η − Ω j
−Ω k
− Ω mη
=
dt2
dt
dt
j
d2 η i (t)
i
i
k
j
i dη
−
(
Ω̇
+
Ω
Ω
)η
−
2Ω
.
=
j
k
j
j
dt2
dt
Dη i (t)
Dt
D
=
Dt
(2.91)
Exactamente igual que en un SRI, al término que contiene el tensor de Riemann en
(2.90) sólo pueden aportar contribución las componentes no nulas del tensor que son
0
j dx0
j
Ri 0j0 y Ri 00j . Las primeras contribuyen acompañadas de un factor dx
dt η dτ = η
0
0 dxj
mientras que las Ri 00j no contribuyen pues su factor acompañante dx
dt η dτ se anula al
ser η 0 = 0; todos los restantes elementos del tensor de Riemann se anulan y no aportan
ninguna contribución a (2.90). Ası́ pues la transcripción de la ecuación de desviación
geodésica es:
j
D2 η i (τ )
d2 η i (t)
i
j
i
i
k
j
i dη
+
R
η
=
−
(
Ω̇
+
Ω
Ω
)η
−
2Ω
+ Ri 0j0 η j (t) ≈ 0, (2.92)
0j0
j
k
j
j
Dτ 2
dt2
dt
cuya identidad con la ecuación de marea en el sistema no inercial (1.31):
l
d2 η i (t)
i
i
l
j
i dη (t)
−
{
Ω̇
+
Ω
Ω
}
η
(t)
−
2Ω
≈ −Ai j (x(t), t) η j (t)
j
l
j
l
dt2
dt
(2.93)
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
2005-06
36
es evidente. La relación entre el tensor de curvatura y el campo de marea en el nuevo
sistema, de acuerdo con el carácter tensorial de ambos, es:
Ri 0j0 = Ai j .
(2.94)
El comentario hecho al final del apartado dedicado a la descripción de la gravitación
Newtoniana, en el sentido de que la “buena” forma de escribir la ecuación de marea en
el sistema no inercial era precisamente (1.33), es decir (2.93), se refiere, por supuesto,
a que en esa forma el segundo miembro contiene sólo el término de curvatura que
corresponde al campo gravitatorio “real” (es decir, el creado por las masas), mientras
que los términos extra en el primer miembro se deben a que las derivadas relevantes son
las derivadas “absolutas” covariantes, y no las derivadas temporales ordinarias.
El tensor de Ricci Rµν = Rα µαν en el sistema no inercial es:
R00 = δ im
∂2ϕ
= ∇2 ϕ(xi , t),
∂xi ∂xm
Ri0 = R0i = Rij = 0,
(2.95)
y las ecuaciones del propio campo gravitatorio son formalmente idénticas a (2.77),
R00 (x, t) = 4πGρ(x, t),
δik Rk 0j0 = δjk Rk 0i0
(2.96)
A modo de resumen
El programa de formular la teorı́a newtoniana de la gravitación como una teorı́a
de curvatura del espacio–tiempo galileano resulta un completo éxito: el principio de
equivalencia débil, según el cual el movimiento de partı́culas test en un campo gravitatorio con las mismas condiciones iniciales es independiente de la masa, composición,
etc, permite interpretar el movimiento en caı́da libre como las autoparalelas de cierta
conexión definida en el espacio–tiempo. En un sistema de referencia globalmente inercial la conexión (2.60)–(2.61) que describe el campo gravitatorio es bastante simple
aunque no es nula, pero las leyes de transformación no homogéneas de una conexión
hacen que al pasar a un sistema no inercial aparezcan una serie de términos extra, que
deben entenderse como fuerzas de inercia; no hay ninguna posibilidad de separar de
forma invariante las fuerzas gravitatorias “reales” de las de inercia.
La idea de construir una teorı́a en la que las fuerzas de inercia se describan en pie de
igualdad con las gravitatorias está sugerida por la observación de que las fuerzas gravitatorias reales satisfacen el principio de Galileo —las aceleraciones de origen gravitatorio
sufridas por un cuerpo son independientes de su masa, composición, etc.— lo que es un
hecho experimental muy especial y sin razón fı́sica aparente. Las fuerzas de inercia satisfacen también esta propiedad de que las aceleraciones que producen sean independientes
de la masa, composición quı́mica, etc del cuerpo sobre el que actúan, pero para estas
fuerzas la razón última de la independencia se entiende perfectamente: es consecuencia
del caracter “auxiliar” que dichas aceleraciones (o las fuerzas que las producen) tienen
para ‘salvar’ la ley de Newton en cualquier sistema de referencia. Y ya que cambiando
el sistema de referencia podemos hacerlas desaparecer es evidente que deben afectar por
igual a cualquier objeto, independientemente de su masa, composición, etc.
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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Es frecuente leer que se da una explicación del principio de Galileo al englobar las
aceleraciones gravitatorias e inerciales en un mismo objeto pero parece mucho más
acertado decir que es el principio de Galileo quien permite una interpretación geométrica
de la gravitación. Si el movimiento de diversas partı́culas en caı́da libre con condiciones
iniciales idénticas pudiera ser diferente (como ocurre para partı́culas cargadas en un
campo electromagnético, en donde el movimiento depende del cociente q/m), entonces
la identificación de la caı́da libre con unas curvas determinadas de una vez por todas en
el espacio–tiempo serı́a imposible, y se caerı́a por su propio peso —valga la tonterı́a—
la pretensión de interpretar el campo gravitatorio como descrito por una conexión en el
espacio-tiempo. Y si este fuera el caso, la única alternativa viable serı́a la descripción de
la gravitación como un campo adicional de fuerzas en un espacio-tiempo llano, en el que
las fuerzas de inercia aún estarı́an dadas por la conexión inercial ∆, esto es, recaerı́amos
en la interpretación convencional de la gravitación newtoniana.
En la interpretación alternativa, la aparente proporcionalidad estricta de la masa inercial y gravitatoria, comprobada en los experimentos de tipo Eötvös-Dicke, sugiere que
la auténtica naturaleza matemática del campo gravitatorio no es la de un campo vectorial, sino la de una conexión, que incorpora automáticamente las fuerzas de inercia, y
cuyas autoparalelas son los movimientos de caı́da libre; todos los enunciados son válidos
indistintamente para sistemas de referencia inerciales o no inerciales. Esta caracterı́stica
anticipa, en el contexto de la gravitación Newtoniana, lo que será uno de los ingredientes principales en la teorı́a de Einstein. La conexión, que en un sistema globalmente
inercial presenta la forma más simple (2.60)–(2.61) está dada en un sistema no inercial por (2.85)–(2.87), pero a pesar de las apariencias, se trata del mismo objeto, que
engloba conjuntamente las fuerzas gravitatorias y las inerciales. La curvatura, descrita
por el tensor de Riemann de la conexión, está relacionada con las fuentes del campo (la
densidad de masa) mediante una relación muy simple entre el tensor de Riemann (el
campo de marea) y la densidad de masa. Además esta relación tiene la misma forma en
cualquier sistema de referencia (inercial o no): la componente R00 del tensor de Ricci
(la traza del campo de marea) es proporcional a la densidad de masa.
Es necesario insistir en que sı́ es posible distinguir entre un campo gravitatorio ‘real’
y el campo de las “fuerzas de inercia” que aparece en un sistema de referencia no inercial, pero dicha distinción es local y no requiere el espacio absoluto; basta observar
el movimiento “relativo” de dos partı́culas test próximas en caı́da libre; la segunda
derivada covariante de esta separación con respecto al tiempo está siempre ligada con
la presencia intrı́nseca de campo gravitatorio y el objeto que describe esta presencia es
el campo de marea, que geométricamente aparece como el tensor de curvatura.
Una parte importante de los malentendidos que surgen sobre la correcta interpretación
del principio de equivalencia se deben a ignorar que el comportamiento del campo gravitatorio en un punto dado requiere (al menos) dos niveles de descripción: la intensidad
de campo gravitatorio g y el tensor campo de marea A. Mientras consideremos el comportamiento de la caı́da libre de una sola partı́cula test, el segundo nivel no es relevante,
y entonces la discusión entre dos posturas que pueden enunciarse como “la fuerza que
se observa sobre la partı́cula se debe a la existencia de un campo gravitatorio; el sistema
de referencia es inercial” versus “no hay campo gravitatorio; el sistema de referencia
no es inercial” puede proseguir indefinidamente y no hay manera de zanjarla. Sin embargo, en cuanto consideremos dos partı́culas test cercanas, ambas en caı́da libre, el
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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nivel campo de marea es esencial, y basta la observación de los efectos de marea para
distinguir de manera absoluta entre los campos gravitatorios “reales” de los aparentes
debidos al empleo de sistemas de referencia no inerciales.
En ausencia de campo gravitatorio (ϕ = 0, g = 0) y en un sistema de referencia
inercial global, la conexión es nula (Γµ αβ = 0), y el tensor de curvatura se anula
(Rµ ναβ = 0). Al pasar a un sistema no inercial, aparecen en la conexión ciertas componentes no nulas, las aceleraciones de inercia, contenidas en los coeficientes de conexión
Γi 00 , Γi j0 que ahora ya no son nulos, sino que valen:
2 i
l
d a (t)
i da (t)
i
i
j
l
i
i
i
j
i
− 2Ω l
− {Ω̇ l − Ω j Ω l }a (t) ,
Γ 00 = −{Ω̇ l − Ω j Ω l }x −
dt2
dt
(2.97)
Γi 0j = Γi j0 = −Ωi j (t),
(2.98)
Γi jk = 0.
(2.99)
mientras que el tensor de curvatura en las nuevas coordenadas sigue siendo nulo (como
se debe). Esto es: la ausencia de campo gravitatorio corresponde de manera intrı́nseca,
independiente de las coordenadas, a la anulación del tensor de Riemann.
Cuando hay un campo gravitatorio real, incluso si escogemos como sistema de referen∂ϕ
cia un SRI, la conexión tiene alguna componente no nula, ΓI 00 = δ IM ∂x
M y el tensor de
I
curvatura también tiene componentes no nulas, (p.ej., R 0J0 ). Si el campo se describe
en un SRnI, entonces la conexión tiene otras contribuciones, como las dadas en (2.85)–
(2.87), y alguna de las componentes del tensor de curvatura en el SRnI son también no
nulas. Esto es: la presencia de campo gravitatorio corresponde de manera intrı́nseca,
independiente de las coordenadas, a que el tensor de Riemann tenga componentes no
nulas.
Gravitación como curvatura (II).
Más de 2000 años de reflexión sobre los fundamentos de la geometrı́a llevaron, en
el periodo entre 1820 y 1860 al reconocimiento de que la geometrı́a euclidea es sólo
una de las posibles geometrı́as del mundo real, y que la geometrı́a del espacio fı́sico
bien pudiera ser no euclidiana. El marco matemático adecuado para describir esta
extensión es la geometrı́a Riemanniana: en ella las propiedades de un espacio se parecen
en pequeñas escalas a la geometrı́a euclidea pero estrictamente hablando las propiedades
son diferentes, y las diferencias están cualitativa y cuantitativamente descritas por la
curvatura; los espacios son más cercanos en sus propiedades locales al espacio euclideo en
cuanto más pequeña sea su curvatura, que (por definición) es nula en el espacio euclı́deo.
Entre estos espacios hay algunos ejemplos particulares (muy especiales y no genéricos),
que conservan otra propiedad del espacio euclı́deo, su homogeneidad: estos son los
espacios de curvatura constante, como la esfera y el espacio hiperbólico de Lobachewski.
Uno de los objetivos de este programa matemático, en el que destacan sobre todo los
nombres de Gauss y Riemann, era el de responder a viejas preguntas sobre la naturaleza
de la geometrı́a euclı́dea y sobre su excelente adecuación experimental al espacio fı́sico.
Una vez que quedó claro cuales son las posibles propiedades de un espacio curvo, y cómo
se reconoce la posible la existencia de curvatura en el espacio, la pregunta natural para
un fı́sico es: ¿Es realmente curvo el espacio?
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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Se sabe que la suma de los tres ángulos de un triángulo puede ser diferente de π
en caso de que la geometrı́a del espacio no sea euclı́dea. En concreto, si la geometrı́a
es de curvatura constante (positiva/negativa) entonces esta suma es mayor/menor que
π y el exceso/defecto de la suma sobre π es proporcional al área del triángulo. En el
transcurso de sus trabajos de geodesia y topografı́a, Gauss midió los ángulos de un gran
triángulo cuyos vértices eran tres montañas separadas del orden de 100 Km. De sus
datos se concluye que el espacio fı́sico es euclı́deo con una muy buena aproximación,
y si tuviera curvatura no nula, en cualquier caso su posible valor absoluto es muy
pequeño. Por su parte Lobachewski fue mucho más atrevido: usando el diámetro de la
órbita de la Tierra alrededor del Sol como base de un triángulo, (del orden de 3 ×108
Km), y una estrella como tercer vértice, indicó que si la geometrı́a del espacio fı́sico era
hiperbólica (curvatura negativa) en vez de euclı́dea, entonces el paralaje de cualquier
estrella, arbitrariamente alejada debı́a ser superior a un valor no nulo (el ángulo de
paralelismo de la base). De los paralajes que se habı́an determinado en su época fue
capaz de concluir que si el espacio era hiperbólico, su curvatura era muy pequeña.
Hoy sabemos que el 3-espacio es curvo, pero su curvatura en circunstancias ordinarias
es extraordinariamente pequeña —mucho más pequeña de lo que ningún experimento
directo de este tipo podrı́a medir—, y además los intentos anteriores estaban viciados
por la suposición implı́cita de que la luz se propaga según las geodésicas de la métrica
del 3-espacio, lo que veremos no es el caso en la teorı́a de Einstein (y por lo que parece,
tampoco en la realidad experimental).
Tuvieron que pasar otros 50 años después de Riemann para entender plenamente que
una conexión es cuanto se requiere para dar su auténtico sentido a la idea de curvatura.
Ası́ puede extenderse la idea de curvatura a situaciones, más alla de lo imaginado por
Gauss y Riemann, en las que los espacios no tengan una estructura local euclı́dea. Hay
dos etapas naturales en la extensión de esta idea: primero, a espacios con una métrica
indefinida, por ejemplo lorentziana, cuya estructura local serı́a minkowskiana, y después,
a situaciones en las que no incluso puede ni haber una métrica, lo que constituye la
extensión más amplia, en la que la estructura local es simplemente afı́n.
Una situación intermedia entre ambos extremos lo proporciona el caso de que la
métrica sea degenerada (como es el caso del espacio-tiempo newtoniano) Si ahora nos
restringimos al contexto del espacio-tiempo newtoniano, debemos recordar que allı́ inicialmente introducimos una conexión Λ cuyas autoparalelas son los movimientos inerciales ideales. Resulta claro que estos movimientos juegan un papel espacio–temporal
muy semejante al de las lı́neas rectas de la geometrı́a euclı́dea. La analogı́a proviene de
que sólo en ciertos sistemas de coordenadas las lı́neas rectas de la geometrı́a euclidea
(que son las curvas solución del problema variacional de buscar las extremales de la
longitud) están descritas mediante ecuaciones lineales en las que las propias coordenadas dependen linealmente del parametro natural (la longitud de arco a lo largo de
la curva); esto es muy parecido a lo que ocurre con los sistemas inerciales, en los que
los movimientos inerciales están descritos mediante ecuaciones lineales, con las cuatro
coordenadas (la temporal y las tres espaciales) dependiendo linealmente del parametro
natural a lo largo de la evolución, es decir el tiempo propio, que en la teorı́a de Newton
coincide con la coordenada temporal t.
Tras haber introducido la conexión Λ, la analogı́a parece bien fundada: también en
el plano o el espacio euclı́deo hay una conexión natural, la conexión de Levi-Civita
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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40
asociada a la métrica, que en coordenadas cartesianas tiene nulos todos los coeficientes
de conexión. El hecho de que las rectas euclı́deas en otras coordenadas, como por
ejemplo las polares, no estén dadas por ecuaciones en las que las coordenadas dependen
linealmente del parámetro natural de evolución (en este caso la longitud de arco), parece
totalmente análogo al hecho de que los movimientos inerciales presentan aceleración
cuando se describen en un sistema de referencia no inercial.
Pero es fundamental entender que esta analogı́a no es perfecta, y en un aspecto
importante falla por completo. La diferencia es que las lı́neas rectas de la geometrı́a
euclı́dea son observables, mientras que los movimientos inerciales ideales son inobservables. Para comprobar la primera afirmación, baste decir que es posible construir un
aparato real (no un experimento mental) que distinga sin ambiguedad una recta de una
curva, aparato que podrı́amos imaginar como un medidor de la curvatura geodésica de
cualquier curva: cuando este aparato avanza a lo largo de una recta mide constantemente
0 y cuando avanza a lo largo de una curva en el plano euclı́deo mide diferente de 0. [Para
una descripción de tal aparato, la Carretilla China indicadora del Sur, véase Am. J. Phys
60 782–787, (1992)]. La clave del funcionamiento de la carretilla china indicadora del
sur es la comparación entre las longitudes de dos trayectorias próximas (las dos ruedas
siguen lı́neas equidistantes a la trayectoria del centro de la carretilla). Por lo tanto la
idea de que una lı́nea en el plano euclı́deo sea ‘recta’ o ‘curva’ no es convencional, sino
observacionalmente distinguible.
La pregunta importante ahora es: ¿Será posible encontrar un aparato real que mida
0 cuando sigue en el espacio–tiempo un movimiento “ideal” inercial y que mida diferente de 0 cuando sigue un movimiento acelerado? Este aparato, de existir serı́a un
acelerómetro absoluto, que medirı́a la aceleración con respecto al espacio absoluto.
Podemos imaginar un acelerómetro que verosı́milmente se comportarı́a de ese modo
en ausencia de campo gravitatorio. Su versión más simple es una esfera con una masa m
mantenida cuando el aparato no acelera, en una posición de equilibrio estable en el centro
de la esfera mediante fuerzas no gravitatorias (p.ej. resortes o fuerzas electromagnéticas).
Cuando el aparato acelera, las fuerzas de inercia desplazan la posición de equilibrio a
un punto excéntrico; sometido este aparato a un movimiento arbitrario se observarı́a
una desviación de la posición de la masa central con respecto a su posición central
de equilibrio. Que la masa no se desvı́e del centro significa aceleración 0; cualquier
otra medida corresponde a un movimiento acelerado [Versión muy simplificada que
sólo detecta aceleraciones en un plano ’horizontal’ en el que se mueve un automóvil:
un péndulo suspendido del techo del coche. Mientras el movimiento del coche es no
acelerado, el péndulo permanece en una posición de equilibrio vertical, pero el equilibrio
se retrasa o adelanta cuando acelera o frena, y se desplaza hacia los lados cuando se
gira, incluso a velocidad lineal constante].
Cabe poca duda de que si en ausencia de campo gravitatorio este aparato marca
permanentemente 0, entonces está siguiendo un un movimiento “ideal” inercial. En
particular, esperarı́amos que si el aparato está en reposo en un sistema de referencia
inercial, entonces deberı́a marcar 0.
Pero cuando hay un campo gravitatorio, como consecuencia de la universalidad de la
gravitación un aparato construido como se ha descrito, realmente no se comporta de éste
modo. El hecho básico es que la gravitación es universal y no se puede eliminar: la fuerza
gravitatoria sigue actuando siempre sobre la masa m del centro hasta que las fuerzas
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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41
gravitatorias se cancelan con las de recuperación que garantizan en funcionamiento del
acelerómetro. En otras palabras: cuando un acelerómetro real sigue un movimiento
inercial (por ejemplo está en reposo en un SRI), en presencia de un campo gravitatorio, su lectura es diferente de 0. La discusión de si esta medida se debe a “campo
gravitatorio + sistema inercial” o por el contrario a “ausencia de campo + sistema no
inercial” es completamente indecidible mientras no se introduzcan más elementos en la
discusión. Traducido al lenguaje matemático, lo que esto significa es que la conexión Λ
es inobservable.
En vez de especular con inexistentes acelerómetros ideales, que medirı́an la aceleración con respecto al espacio absoluto (e.g., la aceleración de caı́da de la Luna hacia
la Tierra que hemos comentado antes), resulta mucho más satisfactorio declarar que
los auténticos análogos de las lı́neas rectas (geodésicas) son los movimientos a lo largo
de los cuales la lectura del acelerómetro real es constantemente 0. ¿Quiénes son éstos?
Naturalmente, los movimientos de caı́da libre en el campo gravitatorio, esto es, las
autoparalelas de la conexión Γ, no de la Λ.
¿Es razonable tomar los movimientos reales en el campo gravitatorio como análogos
de las lı́neas rectas? Sı́, debido a la propiedad muy especial de las fuerzas gravitatorias de que la aceleración gravitatoria sobre un cuerpo cualquiera es completamente
independiente de su masa, composición, etc., por lo que condiciones iniciales idénticas
producen el mismo movimiento para cualquier cuerpo.
En resumen, mientras que la conexión Λ y su alter ego el espacio absoluto son inobservables, hay una conexión observable Γ, cuyas autoparalelas se distinguen porque un
acelerómetro real que siga una de ellas marca permanentemente 0; en otras palabras,
está en caı́da libre. Desde este punto de vista es evidente que los auténticos análogos de
las rectas euclidianas son los movimientos en caı́da libre, que sı́ son observables. Como
la conexión Γ gravitatorio-inercial presenta curvatura, el espacio-tiempo newtoniano con
la conexión Γ es análogo no al espacio euclı́deo, sino a un espacio curvo. Si la conexión Γ
es observable, la interpretación de la gravitación newtoniana como curvatura del espacio
tiempo es preferible a la vieja interpretación que exige el espacio absoluto, en base al
carácter observable de Γ versus la inoservabilidad de Λ.
En el espacio euclideo habı́amos introducido un aparato que distingue las rectas de las
curvas. Preguntémonos ahora que le ocurre al indicador de la carretilla indicadora del
Sur cuando se “engaña” a este aparato haciéndole funcionar en una superficie curva. Su
reacción es . . . ¡indicar 0 cuando la carretilla sigue una geodésica! Es decir, exactamente
¡lo mismo que hace un acelerómetro real cuando está en caı́da libre! Para acabar de
presentar la analogı́a con la idea de curvatura en una superficie, recordemos que allı́
la curvatura aparece, entre otras manifestaciones, como aceleración en la separación
relativa entre geodésicas. Si se mide el progreso a lo largo de la geodésica fiducial por
la longitud recorrida l y la separación por la distancia η(l) entre ambas a lo largo de las
geodésicas ortogonales a la fiducial, la ecuación que regula la aceleración de la separación
y que mide el “comportamiento no thalesiano” es:
d2 η(l)
≈ −K η(l)
dl2
(2.100)
No es necesario ningún esfuerzo para percibir la analogı́a con la aceleración de la
separación relativa entre dos partı́culas test en caı́da libre en el campo gravitatorio.
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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42
Como vimos en la primera sección, en el campo gravitatorio de la Tierra, un cálculo
extremadamente simple indica que la separación ηh (t) entre dos partı́culas en caı́da
libre y situadas inicialmente en reposo a la misma altura (por tanto con separación
horizontal), satisface la ecuación:
GM⊕
d2 ηh (t)
≈−
ηh (t)
dt2
r3
mientras que si la separación es inicialmente vertical, la ecuación es
−2GM⊕
d2 ηv (t)
≈−
ηv (t)
dt2
r3
donde r > R⊕ es la distancia al centro. La identidad formal de estas ecuaciones con
(2.100) es absoluta, y simplemente sugiere que es posible una descripción geométrica
de la gravitación (incluso newtoniana) como curvatura del espacio–tiempo en donde los
⊕
⊕
y −2GM
deberán interpretarse como curvaturas en los 2–planos (h0)
coeficientes GM
r3
r3
y (v0) que contienen la dirección horizontal h (o vertical v) y la dirección temporal 0,
para el caso de un campo central creado por una masa M , que es exactamente lo que
se deriva del tensor de curvatura de la conexión Γ.
De este modo la primera causa de desagrado en la formulación convencional de
la T.N.G. —mencionada en la primera sección— desaparece a la vez que el espacio
absoluto. La segunda causa de desagrado, la acción a distancia, permanece, ya que
está ligada al tiempo absoluto y a la posibilidad —caracterı́stica del espacio-tiempo
newtoniano— de velocidades arbitrariamente altas para la propagación de las interacciones. Esta acción a distancia sólo desaparece en una teorı́a propiamente relativista
como es la teorı́a de Einstein de la gravitación, en la que la gravitación se propaga a
velocidad finita c.
Sistemas de Referencia inerciales versus no inerciales: ¿En qué queda la
discusión?
A casi todos los efectos, la discusión sobre el status de los SRI y SRnI, que en la
interpretación convencional se distinguen por su diferente movimiento con respecto al
espacio absoluto, queda dentro de esta formulación alternativa en casi nada. Una vez
que se reconoce que la descripción correcta del movimiento real en un campo gravitatorio requiere una conexión, lo único relevante es conocer los coeficientes de conexión
en el sistema de coordenadas en que estemos trabajando. Que este sea o no inercial
carece de ningún significado fundamental; todo lo que es necesario es emplear las ecuaciones generalmente covariantes, que son válidas en cualquier sistema de referencia y
de coordenadas, y emplearlas correctamente en el sistema particular en el que hayamos
escogido trabajar.
De nada sirve entrar en discusiones sobre la terminologı́a, sobre todo si está consagrada por un uso de siglos. Pero sı́ conviene ser consciente de lo confusa que resulta la
nomenclatura impuesta por la tradición newtoniana. Al menos tras la discusión anterior
se puede describir claramente la situación. Si no existiera gravitación, serı́a aceptable
identificar los SRI como aquellos en que en coordenadas espaciales apropiadas (de tipo
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
2005-06
43
cartesiano) la conexión inercial tiene todos los coeficientes nulos. Pero cuando hay un
campo gravitatorio, la conexión inercial resulta inobservable, y conviene eliminarla por
completo en favor de la conexión Γ, en la que resulta que no hay ningun SR, de ningún
tipo, en el que todos los coeficientes se anulen. Desde este punto de vista podrı́amos
decir que en presencia de un campo gravitatorio real no hay, estrictamente hablando,
SRI. Pero esto no es obstáculo para poder escribir las ecuaciones de movimiento, las de
campo, etc., en coordenadas en las que la conexión tiene las expresiones (2.60)–(2.61)
que globalmente son, en cierto sentido, las más simples posible. Cabe entender estos
sistemas de referencia como lo que queda de la vieja idea de SRI en la interpretación
geométrica de la gravitación; por ello les denominaremos Sistemas de referencia globalmente inerciales (SRgI).
En un sistema globalmente inercial (y en coordenadas cartesianas en el 3-espacio),
sólo los ΓI 00 son diferentes de 0; se trata del tipo de sistemas más conveniente para
discusiones generales. Por ejemplo, el sistema de coordenadas heliocéntrico (origen en
el centro de masas del sistema solar, ejes orientados según las estrellas fijas, no rotante)
es de este tipo, y es el sistema al que implı́citamente se refieren las afirmaciones usuales
de que las órbitas de los planetas son elipses, las de los cometas elipses o hipérbolas,
etc. ‘Bien adaptado’ significa en este caso, que muchos de los coeficientes de la conexión
son idénticamente nulos. Nótese que esta acepción del término SRgI, calificada por el
adjetivo ‘globalmente’ es estrictamente hablando diferente de la idea (inobservable) de
SRI en ausencia de gravitación.
Los sistemas de referencia localmente inerciales
Esto abre una pregunta interesante: ¿existe algún sistema de referencia en el que
la expresión de la conexión sea aún más “sencilla”? Todo depende de qué se entienda
por sencilla. Basta un vistazo a (2.85)–(2.87) para concluir que la expresión de la
conexión en sistemas de referencia acelerados con respecto a un SRgI es, en general, más
complicada que en un SRgI. Pero entre los sistemas no inerciales es posible encontrar
ciertos sistemas (que con la interpretación tradicional serı́an SRnI y que sin embargo
corresponden mucho mejor, aunque sea sólo localmente a la idea newtoniana original de
sistema de referencia inercial), y que tienen sobre aquellos la ventaja de ser observables.
Estos sistemas tienen una gran importancia en la teorı́a de Einstein y se denominan
sistemas de Referencia localmente inerciales, SRlI; para mayor confusión del lenguaje,
desde el punto de vista newtoniano convencional, estos sistemas deberı́an ser calificados
como no inerciales.
Veamos cómo se llega a estos sistemas. En primer lugar, escribamos la conexión en
un SRnI de tipo restringido, al que permitimos que pueda moverse relativamente a un
SRgI con traslación arbitraria, eventualmente acelerada, pero cuyos ejes de coordenadas
no roten con respecto al SRI. La relación entre las coordenadas de un suceso arbitrario
en el sistema SRgI original y en el nuevo sistema, que llamaremos Sistema de referencia
no rotante (SRnr) es:
xi = δ i I xI + ai (t).
(2.101)
de donde sólo los términos en ai (t) van a aparecer en la conexión; como no hay rotación
se tiene Ωi j (t) = 0. El SRnr (i) se mueve con respecto al SRgI (I) con un movimiento
exclusivamente de traslación y el origen del SRnr (xi = 0) se mueve en el SRI como
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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44
t → xI (t) = −δ I i ai (t). En este tipo de sistemas de coordenadas las componentes de la
conexión son:
Γı̂ 00 (t, xn ) = δ ı̂m̂
•
d2 aı̂ (t)
d2 aı̂ (t)
∂ϕ
ı̂
n
−
=
g
,
(t,
x
)
−
∂xm̂
dt2
dt2
(2.102)
Γı̂ 0ĵ = Γı̂ ĵ0 = 0,
(2.103)
Γı̂ ĵ k̂ = 0.
(2.104)
ejercicio 2.25.
¡Comprobar!
Aparentemente la expresión es un poco más complicada que la (2.61). Pero nótese
que tenemos una libertad en la elección de ai (t) que corresponde a un movimiento
de traslación arbitrario del sistema de referencia. Resulta que podemos aprovechar
esa libertad para anular todas las componentes de la conexión a lo largo de una linea
temporal de caı́da libre en el espacio-tiempo (pero sólo en esa lı́nea en el caso de que
realmente haya campo gravitatorio).
Esto se ve directamente en (2.102), ya que si fijamos una lı́nea temporal (esto
es, especificamos un movimiento t → xi(0) (t)), entonces g ı̂ (t, xn(0) (t)) pasa a ser una
función de t sólo, y podemos escoger un ai (t) de manera que sobre esa lı́nea se tenga
Γı̂ 00 (t, xn(0) (t)) = 0. [Nótese que si el campo gravitatorio no es uniforme y depende
realmente de x, entonces mediante este procedimiento se consigue sólo la anulación de
la conexión sobre la lı́nea escogida; si el campo fuera estrictamente uniforme, entonces
el término debido a ai (t) podrı́a cancelar el campo gravitatorio en toda una región] Si
este argumento no es claro, veamoslo de otra manera: sea t → x0 (t) un determinado
movimiento (fiducial) de caı́da libre, que por tanto suponemos descrito por
d2 xI(0) (t)
dt2
=δ
IM
∂ϕ = g I (t, x(0) (t))
∂xM (t,x(0) (t))
y consideremos un sistema no inercial determinado por dos condiciones: estar en caı́da
libre con el movimiento t → x0 (t) y ser no rotante. Este sistema, que denominaremos SRnrcl, está relacionado con el SRI inicial mediante (2.48) con la elección para la
rotación y la traslación:
Rı̂ I (t) = δ ı̂ I , aı̂ (t) = −δ ı̂ I xI0 (t),
(2.105)
de modo que las expresiones del cambio de sistema son:
xı̂ = δ ı̂ I (xI − xI(0) (t)).
(2.106)
y en particular el movimiento descrito en el SRI por t → xI (t) resulta estar descrito en
el SRnrcl por
xı̂ (t) = δ ı̂ I (xI (t) − xi(0) (t)).
(2.107)
En concreto esto significa que el movimiento xI (t) = −xI(0) (t), que es solución de las
ecuaciones de movimiento, y por tanto una autoparalela, aparece en el SRnrcl como
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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45
xı̂ (t) = 0. Y si t → xı̂ (t) = 0 es una autoparalela, necesariamente todos los coeficientes
de la conexión se anulan en el SRnrcl a lo largo de la lı́nea xı̂ = 0.
Ya sabı́amos que si hay un campo gravitatorio no es posible escoger un sistema
de referencia en el que todas las componentes de la conexión Γ se anulen en todo el
espacio-tiempo. Ahora vemos que existen infinidad de sistemas de referencia localmente
inerciales, cada uno asociado a un movimiento posible de caı́da libre y no rotante, en
los cuales todas las componentes de la conexión se anulan a lo largo de la autoparalela
de caı́da libre fiducial; el prototipo de estos sistemas de referencia es el sistema ligado al
ascensor en caı́da libre de Einstein: la aceleración que un observador ligado a la Tierra
atribuirı́a a la caı́da del ascensor se compensa en el interior con la aceleración debida a la
gravedad, produciendo una cancelación perfecta de ambas fuerzas en el centro de masas
del ascensor. Es conveniente entender correctamente que si existe campo gravitatorio, el
movimiento relativo de dos de tales sistemas localmente inerciales no es un movimiento
relativo uniforme; al contrario, presenta la aceleración relativa que discutimos al hablar
de las fuerzas de marea. Ası́ debe quedar claro que los SRnrcl o sistemas localmente
inerciales no son inerciales desde el punto de vista newtoniano tradicional.
Para describir lo que ocurre en las cercanı́as de la lı́nea de universo de una partı́cula
en caı́da libre los sistemas SRlI son claramente mejores que los globalmente inerciales,
ya que en ellos se aúnan la anulación (en todo el espacio-tiempo) de casi todas las
componentes de la conexión que se da en un SRgI y la anulación, sólo a lo largo de un
movimiento particular, de las restantes componentes de Γµ αβ que son no nulas en un
SRgI. Es fundamental entender que esta cancelación se da sólo a lo largo de la lı́nea de
universo del movimiento fiducial, pero no en el resto del espacio-tiempo. Tan sólo es
posible escoger un sistema de coordenadas en el que todas las componentes de la conexión
sean nulas en todo el espacio–tiempo si el tensor de curvatura se anula, esto es, si no
existe ningún campo gravitatorio. En un sistema de referencia en caı́da libre con una
partı́cula fiducial, la derivación covariante de la separación entre el movimiento fiducial
y otro próximo se reduce a la derivada ordinaria (pues los términos extra en (2.90)
son nulos), pero el segundo miembro de la ecuación de desviación geodésica contiene el
tensor de curvatura, que naturalmente, no se anula en general sobre la trayectoria de la
partı́cula fiducial (ya que la anulación de este tensor no depende de nuestra habilidad
para escoger coordenadas sino de si la geometrı́a del espacio tiempo es curva o no, es
decir, de si hay o no campo gravitatorio).
Es usual encontrar en la literatura mención a la posibilidad de escoger sistemas de
coordenadas en los que todas las componentes de la conexión se anulen en un punto
dado, sistemas que se suelen denominar localmente galileanos o minkowskianos, según
el contexto sea la teorı́a de Newton o la de Einstein. Los sistemas en caı́da libre y sin
rotación son claramente de este tipo. Nuestra discusión muestra que es posible encontrar
sistemas de coordenadas que sean localmente galileanos o minkowskianos no sólo en un
punto, sino también a lo largo de una lı́nea de universo de una partı́cula fiducial en
caı́da libre, ya que en ellos se consigue anular todas los componentes de la conexión a
lo largo de una autoparalela dada.
Un último comentario para acabar: el SRgI heliocéntrico habitual es, de hecho, el
SRlI asociado a la caı́da libre del centro de masas del sistema solar, de manera que
vemos que el sistema de referencia globalmente inercial más importante en la astronomı́a
observacional del sistema solar resulta ser, a la postre, un sistema localmente inercial.
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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En este sistema, a lo largo de la lı́nea de universo del centro de masas del sistema
solar (situado muy cerca del centro del Sol), todas las componentes de la conexión
Γ se anulan. Conforme nos vamos alejando del centro, las componentes Γi 00 se van
haciendo progresivamente más importantes, hasta que en la región en la que se mueven
los planetas, ya en el exterior del Sol y lejos de él, la conexión adopta una forma en la
que la naturaleza localmente inercial del SR se hace difı́cil de reconocer [Para analizar
este aspecto es pertinente recurrir a la expresión del potencial gravitatorio creado por
una masa central simétrica de densidad y tamaño finito, tanto en el exterior como en el
interior, como se vió en un ejercicio en la primera sección].
El campo gravitatorio central simétrico descrito en la interpretación geométrica
de la gravitación newtoniana
Esta sección se dedica a un ejercicio. Se trata de describir, mediante la conexión
Γ, el campo gravitatorio producido por un cuerpo esférico, de masa M y radio R,
como el Sol, del cual tambien ignoramos la rotación (en el caso del Sol, la rotación es
realmente bastante lenta, del orden de 1 vuelta en 25 a 30 dı́as). Vamos a comenzar
estableciendo un sistema de referencia ‘inercial’ adecuado (de hecho, se trata del ‘sistema
heliocéntrico’, no rotante y en caı́da libre con el centro de masas del sistema solar), en
el que vamos a usar alternativamente las coordenadas cartesianas usuales (xI ≡ x, y, z)
y las polares convencionales (r, θ, φ). Las relaciones entre ellas son bien conocidas.
Imaginemos primero que no hay campo gravitatorio. Entonces la conexión gravitatorio-inercial Γ coincide con la puramente inercial, que tiene nulas todas sus componentes en coordenadas cartesianas. Pasando a polares, se encuentran las siguientes
componentes:
Λt rt = Λt tr = 0,
Λr tt = 0,
demás Λt µν = 0
Λr rr = 0,
Λr θθ = −r,
Λr φφ = −r sin2 θ,
demás Λr µν = 0
Λθ rθ = Λθ θr = 1/r,
Λθ φφ = − sin θ cos θ,
demás Λθ µν = 0
Λφ rφ = Γφ φr = 1/r,
Λφ θφ = Λφ φθ = 1/ tan θ,
demás Λφ µν = 0
donde la presencia de los coeficientes de conexión no nulos se debe a la elección de
coordenadas no cartesianas.
•
ejercicio 2.26.
Comprobar!
Pasemos ahora a considerar la conexión que describe el campo gravitatorio (2.60)–
(2.61). Ahora el potencial está dado, en el exterior de la masa M , por ϕ(t, x) = −GM/r,
y en coordenadas cartesianas los únicos coeficientes de conexión no nulos son:
Γx tt =
•
GM x
,
3/2
(x2 + y 2 + z 2 )
Γy tt =
GM y
,
3/2
(x2 + y 2 + z 2 )
Γz tt =
GM z
3/2
(x2 + y 2 + z 2 )
,
2.27. En el interior del cuerpo que crea el campo, supuesto de densidad constante
ρ0 , masa M y radio R y en reposo, comprobar que para los coeficientes de la conexión se tiene:
ejercicio
Γx tt =
GM x
,
R3
Γy tt =
GM y
,
R3
Γz tt =
GM z
,
R3
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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que efectivamente se anulan en el centro del cuerpo, como era de esperar ya que el sistema de
coordenadas que estamos usando es el sistema no rotante en caı́da libre con la masa central que
crea el campo.
La simetrı́a esférica del problema aconseja el uso de coordenadas polares en el espacio.
Limitando ya de ahora en adelante nuestra atención a la zona exterior, x2 +y 2 +z 2 > R2 ,
los coeficientes de la conexión de caı́da libre en estas coordenadas polares resultan:
Γt rt = Γt tr = 0,
Γr tt =
GM
,
r2
Γr rr = 0,
demás Γt µν = 0
Γr θθ = −r,
Γθ rθ = Γθ θr = 1/r,
Γφ rφ = Γφ φr = 1/r,
Γr φφ = −r sin2 θ, demás Γr µν = 0
Γθ φφ = − sin θ cos θ,
demás Γθ µν = 0
Γφ θφ = Γφ φθ = 1/ tan θ, demás Γφ µν = 0
(2.108)
La inclusión explı́cita en (2.108) de algunos coeficientes de conexión que resultan ser nulos es intencionada para facilitar la comparación con el problema análogo en la teorı́a de
Einstein. Debe notarse que la masa M que crea el campo gravitatorio aparece, a través
del producto GM en un sólo coeficiente Γr tt , que en cierto sentido recoge por completo
la presencia del campo gravitatorio en la conexión; los restantes coeficientes no nulos
provienen del mero hecho de usar coordenadas polares, por lo que en ellos no aparece
GM . La simetrı́a esférica del problema está detrás de esta ‘simplificación’ en los terminos ‘gravitatorios’ de la conexión (en comparación con las expresiones en cartesianas), a
costa de introducir algunos coeficientes no nulos que se originan al abandonar las coordenadas espaciales cartesianas y pasar a polares. Ahora podemos escribir explı́citamente
la ecuación de las autoparalelas. Veamos sucesivamente las cuatro ecuaciones
d2 xµ
dxα dxβ
µ
+
Γ
= 0,
αβ
dτ 2
dτ dτ
(2.109)
en el sistema de coordenadas que estamos usando. Comencemos como siempre por
la ecuación µ = t. Como todos los Γt αβ son nulos, de la componente µ = t de la
ecuación se concluye, exactamente igual que en (2.62) que τ = t. Daremos por hecha
esta sustitución en las demás ecuaciones que siguen.
Sigamos con la ecuación µ = θ. Los únicos Γθ αβ no nulos son Γθ rθ = Γθ θr y Γθ φφ ,
por lo que la componente µ = θ de la ecuación de las autoparalelas:
2
dθ dφ
dφ
d2 θ
θ
θ
+ 2Γ θφ
+ Γ φφ
=0
2
dt
dt dt
dt
se reduce sustituyendo los coeficientes Γθ µν según (2.108) a:
d2 θ
1 dθ dφ
−2
− sin θ cos θ
2
dt
r dt dt
dφ
dt
2
=0
(2.110)
Es claro que θ(t) = π/2 es solución de esta ecuación; de hecho es la solución con
condiciones iniciales θ(0) = π/2, dθ
dt (0) = 0. Esto traduce el bien conocido hecho de que
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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el movimiento es plano; escogiendo adecuadamente la orientación de las coordenadas
polares podemos suponer que el movimiento ocurre siempre en el plano ‘ecuatorial’
θ(t) = π/2, cosa que supondremos en lo sucesivo.
Pasamos ahora a la ecuación µ = φ. Los dos coeficientes no nulos del tipo Γφ αβ se
leen en (2.108) y son Γφ rφ = Γφ φr = 1/r, Γφ θφ = Γφ φθ = 1/ tan θ. Sustituyendo se
encuentra la componente φ de la ecuación de las autopararelas como:
1 dr dφ
1 dφ dθ
d2 φ
−2
−2
=0
2
dt
r dt dt
tan θ dt dt
que en el caso particular de que θ(t) = π/2 queda:
d2 φ
1 dr dφ
−2
=0
2
dt
r dt dt
(2.111)
Esta ecuación tiene una integral primera; por manipulaciones directas se comprueba
que si φ(t) satisface la ecuación, entonces
d
dt
r
2 dφ
dt
= 0,
es una constante del movimiento, el momento
lo que implica que la cantidad r2 dφ
dt
angular por unidad de masa, L = L/m. Esta ecuación expresa la bien conocida ley de
las áreas de Kepler:
dφ
r2
=L
(2.112)
dt
Finalmente queda sólo la ecuación radial, que en vista de los coeficientes no nulos del
2
r
r
tipo Γr αβ que se leen en (2.108) Γr tt = GM
r 2 , Γ θθ = −r, Γ φφ = −r sin θ se escribe en
su total generalidad:
d2 r GM
+ 2 + (−r)
dt2
r
dθ
dt
2
2
+ (−r sin θ)
dφ
dt
2
=0
Para el movimiento que estamos estudiando θ(t) = π/2; si además se introduce la
integral primera (2.112), queda la ecuación radial en la forma bien conocida:
d2 r GM
L2
+
−
=0
dt2
r2
r3
(2.113)
que a su vez también tiene una integral primera, la energı́a: por manipulación directa
se comprueba que si r(t) satisface la ecuación, entonces
d
dt
1
2
dr
dt
2
GM
1 L2
−
+
r
2 r2
!
=0
II. Gravitación Newtoniana como curvatura . . .
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de donde la cantidad entre paréntesis es una constante del movimiento, que denominaremos E y que corresponde a la energı́a total de la partı́cula test por unidad de
masa E = Etot /m:
2
GM
1 L2
1 dr
−
=E
(2.114)
+
2 dt
r
2 r2
Formalmente, esta ecuación es la ecuación de conservación de la energı́a (por unidad
de masa) de una partı́cula de masa m que se mueve en un potencial unidimensional
1 L2
radial equivalente Veff = −m GM
+
m
r
2 r 2 , idea de la que se puede derivar de manera
directa información cualitativa sobre el movimiento.
Las ecuaciones obtenidas permiten resolver completamente el problema del movimiento de una partı́cula en este campo gravitatorio. Por ejemplo, si se quiere conocer
la forma de la órbita, lo mejor es encontrar la ecuación diferencial para la función r(φ):
Substituyendo
dr
dr dφ
L dr
=
= 2
dt
dφ dt
r dφ
en (2.114) se encuentra la ecuación que deben satisfacer las funciones r(φ):
1
E=
2
L dr
r2 dφ
2
−
GM
1 L2
+
r
2 r2
(2.115)
Como es muy bien conocido, la solución general de esta ecuación es
r(φ) =
p
1 + e cos(φ − φ0 )
(2.116)
que representa una cónica de excentricidad e con un foco en el origen. La ecuación de
la órbita involucra tres constantes. Una de ellas φ0 corresponde a la orientación de la
órbita dentro del plano en el que se realiza el movimiento (para ser preciso, determina
la orientación del periastro, el punto de la órbita más cercano al centro). Las otras dos
p, e están ligadas con las dos constantes del movimiento E, L mediante las ecuaciones
L2
,
p=
GM
•
ejercicio 2.28.
•
ejercicio 2.29.
s
e=
1+
2EL2
(GM )2
Comprobar que efectivamente (2.116) es solución de la ecuación (2.115).
Escribir la ecuación de las órbitas en términos de la variable auxiliar u = 1/r.
Derivando otra vez en esa ecuación con respecto a φ, encontrar la ecuación de las órbitas en su
forma llamada de Binet:
GM
d2 u
+ u(φ) − 2 = 0
dφ2
L
cuya solución en la forma u(φ) −
GM
L2
∝ cos(φ − φ0 ) es obvia.