Teoría - Universidade de Vigo

Departamento de Física Aplicada
Universidade de Vigo
Lagoas-Marcosende, 9
36280 VIGO
E.T.S. INGENIEROS INDUSTRIALES
Ampliación de Física
1 de septiembre de 2009
1. En la figura se representan las líneas de campo de un campo vectorial V(r) con simetría
de traslación en la dirección perpendicular al papel. A la vista de la figura, razone si se
cumple que:
a) V(r) es solenoidal.
b) V(r) es conservativo.
2. Una onda mecánica plana se propaga en dirección x por un medio lineal, isótropo y
homogéneo. Realice una evaluación de la energía por unidad de tiempo y área normal a
la dirección de propagación, aportada por la onda a un volumen de espesor dx muy
pequeño. Exprese el resultado en función de la densidad de energía w(x,t).
3. Escriba la ecuación de continuidad de la corriente eléctrica en forma diferencial en los
casos:
a) General.
b) Corriente estacionaria.
4. Se tiene un solenoide de longitud l y sección de área A con N ´espiras/longitud y núcleo
magnético isótropo, lineal y homogéneo de permeabilidad µ que ocupa toda la longitud y
toda la sección del solenoide. La longitud del solenoide es mucho mayor que el tamaño
de su sección, de modo que se pueden despreciar los efectos de borde. Se pide calcular:
a) El coeficiente de autoinducción L del solenoide.
b) La energía magnética almacenada cuando el arrollamiento soporta una corriente
continua I.
5. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), son magnitudes básicas la longitud (L), la
masa (M), el tiempo (T) y la corriente eléctrica (I). Exprese en función de las mismas las
dimensiones de cada una de las siguientes magnitudes, indicando además sus unidades
SI:
c) La densidad superficial de carga eléctrica.
d) La capacitancia.
E.T.S.I. Industriales, Ampliación de Física, Teoría, 1-sep-2009
Departamento de Física Aplicada
Universidade de Vigo
Lagoas-Marcosende, 9
36280 VIGO
E.T.S. INGENIEROS INDUSTRIALES
Ampliación de Física
1 de septiembre de 2009
SOLUCIONES
1. a) El campo V(r) no es solenoidal porque tiene
fuentes de flujo, como por ejemplo el punto
P, en las que nacen líneas de campo.
b) Discutiremos si es conservativo basándonos
en el rotacional. A la vista de la figura, el
campo puede expresarse en coordenadas
cartesianas en la forma
V (r ) = V x ( x ) a x
P
y
z
A
B
D
C
x
[1]
donde se ha tomado el eje X paralelo a las líneas de V. Si se aplica al campo dado por [1] el
operador rotacional en coordenadas cartesianas, los únicos términos que habrá que considerar
son las derivadas parciales de Vx(x) respecto de las coordenadas y y z, que son ambas nulas
porque Vx(x) no depende de ninguna de ellas. Por tanto, el rotacional de V es nulo y el campo es
conservativo.
Otra forma:
Emplearemos la propiedad de que un campo es conservativo en un dominio si y solo si se anula
la circulación Γ sobre cualquier línea cerrada contenida en ese dominio. Para cubrir todas las
posibilidades es suficiente tomar tres caminos cerrados contenidos en los tres planos
coordenados XY, XZ e YZ, que permiten calcular las tres componentes del rotacional de V.
* Plano XY: tomando como camino de integración la línea ABCD de la figura y
descomponiendo la circulación en esos cuatro tramos, resulta:
B
Γ=
C
D
A
dr + ∫ V
dr + ∫ V
dr + ∫ V
dr
{
{
{
∫ Vdr = ∫ V{
ABCD
A
>0
B
=0
porque
V ⊥ dr
C
<0
D
[2]
=0
porque
V ⊥ dr
Las contribución a la integral sobre AB de cada elemento de longitud del segmento AB se
cancela con la contribución del elemento de longitud del segmento CD ubicado en su misma
coordenada x, ya que el campo tiene el mismo valor en ambos elementos, aunque cambie con
x. Por tanto, la circulación es nula.
* Plano XZ: En ese plano V(r) es constante, por lo que la circulación es nula.
* Plano YZ: En ese plano V(r) ⊥ dr, por lo que la circulación es nula.
En suma, la circulación sobre cualquier línea cerrada es nula y el campo es conservativo.
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2.
Magnitud
Expresión
volumen elemental dτ
dτ = A dx
energía almacenada en dτ dW = dτ w(x,t) = A dx w(x,t)
tiempo invertido en
dt = dx/v , siendo v la
velocidad de la cresta
ocupar dτ
Luego
energía aportada
dW A dx w( x,t )
=
=
= v w( x,t )
tiempo ⋅ área normal A dt
A dx / v
3. a) ∇J fv (r,t ) +
∂ρ fv (r,t )
∂t
=0
b) ∇J fv (r ) = 0
L=
4. a)
φ
= µ N' 2 lA
B
I
6
474
8
2
φ = N'l φ1 = µ N' IlA
678
φ1 = ∫ B d s = BA = µ N'IA
S
I
µ
A
C
d
l
Si no se recuerda el valor de B en el interior
del solenoide, puede recurrirse a la Ley de
Ampère en forma integral aplicada a una
trayectoria rectangular C que abraza una longitud d del arrollamiento. Recordando que los
campos B y H en el interior del solenoide son prácticamente uniformes y tienen dirección axial y
que en el exterior son despreciables,
6
474
8
B = µ N'I
∫ H dr = I
C
123
Hd
b)
1
1
Wm = LI 2 = µ ( N'I ) 2 lA
2
2
64748
apartado a)
1
o bien Wm = ∫ wm dv = wmlA = µ ( N'I ) 2 lA
2
V
644474448
1 B2 1
= µ ( N 'I )2
wm =
2 µ 2
5. a)
b)
dim ρs = L-2 T I ,
[ρs] = C/m2
dim C = L-2 M-1 T4 I2 ,
[C] = F
2/2
f
= N'dI ⇒ H = N'I ⎫
⎪
⎬ B = µ N'I
⎪
B = µH
⎭