Solución Unificada para Flujos Compresibles

8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA
Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007
Solución Unificada para Flujos
Compresibles Unidimensionales
Ing. Edgardo Fernández Vescovo
TEMARIO
Introducción
Solución unificada de flujos.( Principios de conservación)
Sistema de ecuaciones resolventes. (Coeficientes de la matriz
resolvente)
Solución exacta de los 4 flujos elementales.(Parámetros del flujo)
Bloqueos sónicos.
Conclusiones.
SOLUCIÓN UNIFICADA DE LOS FLUIDOS COMPRESIBLES UNIDIMENSIONALES:
( Cp – Cp1 )
)
Fτ
P1
0
P
V1
V
ρ1
ρ
T1
Fτ
T
SOLUCIÓN UNIFICADA DE LOS FLUIDOS
COMPRESIBLES UNIDIMENSIONALES:
( Cp – Cp1 )
Fτ
P1
P
V1
V
T
T1
ρ1
ρ
Fτ
(Qx – Qx1
X1
X – X1
Introducción
‰
Se presenta un método para unificar la solución de todos los flujos permanentes
unidireccionales de gases perfectos.
‰
El flujo mas general resulta por la composición de cuatro flujos elementales: el flujo de
combustión ( con aporte de masa ), el flujo isoentrópico ( con variación de sección), el
flujo de Fanno ( con resistencias viscosas) y el flujo de Rayleigh (con aporte de calor).
En el plano entropía –entalpia , se agrega a las 2 curvas de toda la bibliografía conocida
(curvas de Fanno y Rayleigh), una nueva curva (de combustión), demostrando
coincidencia de las 3 curvas en los 2 puntos unidos por la onda de choque normal.
‰
Esta extensión y unificación conceptual por un lado, facilita la computación iterativa del
flujo tetravalente mas general y por otro, anulando parámetros, permite la solución
analítica no solo de los 4 flujos elementales componentes, sino también de numerosos
flujos oportunamente condicionados en las características de presión , temperatura,
velocidad entre otros.
‰
Se logra una sensible y comprobada ventaja didáctica en los cursos de Mecánica de los
Fluidos y Gasdinámica a nivel universitario en carrera de grado y de post-grado,
respecto a los métodos parciales contenidos en la bibliografía especializada conocida.
Solución unificada de flujos
‰
Se considera el flujo permanente y unidireccional de un gas perfecto sometido a
resistencias viscosas en un canal de sección variable, que presenta continuamente
aportes o pérdidas de masa y de calor, admitiendo omitibles las fuerzas másicas y
constantes las 4 características de presión (p), densidad (ρ), velocidad (V) y temperatura
(T) en cada sección normal al eje del canal, ubicada a distancia x desde una oportuna
sección inicial.
‰
Siendo c la velocidad del sonido ( c =√ kRT ) con la definición del n° de Mach (M =
V/c) y de la relación entre los calores especificos a presión y volumen constantes ( k =
cp/cv ), en cada sección se consideran 5 incógnitas :
‰
2
2
yo ( parámetro de Mach) = kM/ 1+kM
y1 = (presión) = p
y2 = (densidad ) = ρ
y3 = (velocidad) = V
y4 = ( temperatura) = T
‰
Se considera una variación dx en la posición (x) de una sección del canal y llamando
dCρ, dA, y dQ las correspondientes variaciones del caudal másico ( Cρ), de la superficie
transversal del canal (A) y del calor para masa unitaria ( Q), se definen los 4 parámetros
adimensionales siguientes, que se admiten conocidos en función de x :
dα1 = (dCρ/Cρ ) ,
dα2 = (dA/A) ,
dα3 = (λd/4).( √ π/A )dx ,
dα4 = (dQ/h)
λd es el coeficiente de Darcy y h (entalpia del gas) = cp.T
‰
Principios de conservación
Se aplican los principios de conservación, al volumen elemental = A.dx .
1- Conservación de la energia
2
dQ1/h = dp/p - dρ/ρ + (k-1)M dV/V
, siendo dQ1 la cantidad de calor intercambiado
2- Conservación de la cantidad de movimiento
2
dV/V + (1/kM ) . dp/p = - dCρ/Cρ - λd dx/2D
3- Conservación de la masa
dρ/ρ + dV/V = dCρ/Cρ - dA/A
‰
Diferenciando logaritmicamente la 4- ecuación de estado de gases ideales ( p/ρ = RT) y
la 5- correspondiente a la definición del numero de Mach (M) y el parámetro de Mach
yo , se agregan 2 ecuaciones resolventes mas a las 3 anteriores.
‰
Utilizando los símbolos identificados con los parámetros presión (y1) , densidad (y2),
velocidad (y3), temperatura (y4) y parámetro de Mach (yo), conjuntamente con los
coeficientes dα1, dα2, dα3 y dα4 vinculados con el flujo de combustión, flujo
isoentrópico, flujo de Fanno con fricción y flujo de Rayleigh con aporte de calor
respectivamente, se obtiene un sistema 5 ecuaciones resolventes con 5 incógnitas .
Sistema de ecuaciones resolventes
1-
dy1/y1
2- (1/yo –1 ). dy1/y1
3-
0
4-
5-
dy1/y1
dyo/yo +( 1-yo).dy1/y1
- dy2/y2 + ( 2- 1/yo* ). dy3/y3 + 0
( 1/yo – 1)
+ 0
+
dy3/y3 + 0
+ dy2/y2 +
dy3/y3 + 0
- dy2/y2 +
- (1-yo).dy2/y2 -
= dα4
0
= -(dα1 + dα3)
= dα1 -dα2
- dy4/y4 = 0
2(1-yo).dy3/y3 +
0
=0
Siendo, yo* el parámetro de Mach, cuando es M = 1.
yo* = (yo)
= (k/k+1 ).
M=1
‰
Las soluciones de este sistema de ecuaciones, brindan las 5 expresiones correspondiente
a los 5 parámetros : parámetro de Mach (yo), presión (y1), densidad (y2), velocidad (y3)
y temperatura (y4) , según sea n = 0, 1, 2, 3, 4 :
4
(dyn/yn) = Σ ( Mn,m.dαm) (**)
m=1
‰
Coeficientes Mnm (función del parámetro de Mach yo)
par.de Mach( yo)
presión (y1)
densidad (y2)
velocidad (y3)
temperatura(y4)
M01
M11
M21
M31
M41
combustión
M02
M12
M22
M32
M42
isoentrópico
M03
M13
M23
M33
M43
Fanno
M04
M14
M24
M34
M44
Rayleigh
‰
‰
‰
‰
‰
La primera linea de tales coeficientes (Mn1) con dα1 ≠0 y dα2 = dα3 = dα4 = 0,
corresponde a un flujo elemental con aporte de masa (flujo de combustión).
La segunda linea de tales coeficientes (Mn2) con dα2 ≠0 y dα1 = dα3 = dα4 =0,
corresponde a un flujo elemental en un canal de sección variable ( sin aporte de masa,
adiabático y sin resistencias viscosas : flujo isoentrópico).
La tercera linea de tales coeficientes (Mn3), con dα3 ≠ 0 y dα1 = dα2 = dα4 =0,
corresponde a un flujo elemental con resistencias viscosas ( flujo de Fanno) .
La cuarta linea de tales coeficientes (Mn4) con dα4 ≠ 0 y dα1 = dα2 = dα3 = 0,
corresponde a un flujo elemental con aporte de calor ( flujo de Rayleigh).
La primera de las cinco columnas (Mom) corresponde a la solución del parámetro de
Mach (yo), la segunda columna (M1m), corresponde a la solución de las presiones (y1),
la tercera columna (M2m) corresponde a la solución de las densidades (y2), la cuarta
columna (M3m) corresponde a la solución de las velocidades (y3) y finalmente la
quinta columna (M4m) corresponde a la solución de las temperaturas (y4).
‰
Coeficientes Mnm
Flujo de Combustión
M01 = (2- yo/yo*)
( 1- yo/yo*)
M31 = + 1/ (1- yo/yo*)
M11 = - (2 – yo/yo*).yo
(1- yo).( 1-yo/yo*)
M21 = - (yo/yo*)
(1-yo/yo*)
M41 = - (2- 1/yo*).yo
(1-yo) (1-yo/yo*)
Flujo isoentrópico
M02 = -( 2- yo/yo*).(1-yo) M12 = yo/(1-yo/yo*)
(1-yo/yo*)
M32 = -
(1-yo)
( 1- yo/yo*)
M22 = + ( 1/yo*- 1).yo
(1- yo/yo*)
M42 = + ( 2- 1/yo*).yo
( 1- yo/yo*)
Flujo de Fanno
M03 = + (2-yo/yo*).yo
( 1- yo/yo*)
M13 = - 1- (1/yo* -1).yo
(1-yo).(1-yo/yo*)
M23 = -
yo
(1- yo/yo*)
2
M33 = +
yo
( 1- yo/yo*)
M43 = - (2-1/yo*).yo
(1-yo) (1-yo/yo*)
Flujo de Rayleigh
M04 = + (1-yo)
(1-yo/yo*)
M34 = + (1-yo)
(1-yo/yo*)
M14 = -
yo
(1- yo/yo*)
M44 = + (1-2yo)
(1-yo/yo*)
M24 = - (1-yo)
( 1-yo/yo*)
Solución exacta de los 4 flujos elementales
‰
Indicando con dαr, en cada uno de los cuatro flujos elementales, el unico dαm que es
distinto de cero ( r = 1,2,3,4 respectivamente en los flujos de combustión, isoentrópico,
de Fanno y de Rayleigh), la primera de las (**), se reduce a :
dyo/yo.Mor = d αr
Reemplazando este valor de dαr e integrando entre dos secciones cualesquiera del canal
( x =x1 y x = x) , brindan las :
yo
ln (yn/yn1) = ∫ (Mnr/Mor) dyo/yo
yo1
‰
Estas expresiones (sustituyendo las funciones de yo : Mnr y Mor , determinados
anteriormente), permiten hallar los valores de la presión y1= p, densidad y2 = ρ,
velocidad y3 = V y la temperatura y4 = T, en función del parámetro de Mach yo,
correspondiente a los cuatro flujos elementales considerados ( r = 1, 2, 3 o 4), integrada
tambien entre x1 y x , recordando que los dαr son funciones conocidas de x, determina
la correspondencia entre yo y la posición x de la seccion ; quedan asi deducidas ( de
manera exacta), las cuatro características del fluido ( p,ρ, V,T), a lo largo del canal en
los cuatro flujos elementales ( combustión, isoentrópico, Fanno y Rayleigh), que
según la (**), están implicados en el flujo compuesto mas general.
‰
Parámetros característicos del flujo
Flujo de combustión ( r = 1)
2
(yo/yo*) = 1+ √ 1- ( 2 – yo1/yo*)(yo1/yo*) ⎨Cρ(x)/Cρ(x1)⎬ ( n= 0)
(p/p1) = (1- yo) ( n = 1)
(1 – yo1)
(ρ/ρ1) = ( 2yo*- yo) (n= 2)
(2yo*- yo1)
(V/V1) = √ (yo/yo1). ( 2yo*- yo1) (n= 3)
(2yo*- yo)
(T/T1) = ( 1-yo). (2yo*-yo1) (n= 4)
(1-yo1).(2yo*- yo)
Flujo isoentrópico ( r =2)
a
⎨A(x*)⎬ = ( 1- yo) . √ (yo/yo*) a+b
A(x)
(1- yo*)
(2- yo/yo*)
(n = 0)
b
(p/p1) = ⎨ (1-yo) ( 2yo* -yo1) ⎬
(1-yo1)( 2yo*-yo)
(n =1)
a
(ρ/ρ1) = ⎨ (1-yo). ( 2yo*-yo1)⎬
(1-yo1) ( 2yo*-yo)
(n =2)
(V/V1) = √ (yo/yo1) ( 2yo*-yo1)
( 2yo*-yo )
( n =3)
(T/T1) = (1-yo) ( 2yo*- yo1)
(1-yo1) (2yo*-yo)
( n =4)
, siendo : a = 1-yo* = 1/k-1
2yo*-1
b=
yo* = k/k-1
2yo*-1
Flujo de Fanno ( r =3)
yo*.λd/2. √π/A. ( x-x1) = (yo1-yo )- ln √ (2yo*/yo1 –1)
yo*
(2yo*/yo –1)
( n = 0)
(p/p1) = (1-yo) √ yo1( 2yo*-yo1)
(1-yo1) yo (2yo*-yo)
(ρ/ρ1) = √yo1(2yo*-yo)
yo(2yo*-yo1)
( n =1)
( n = 2)
(V/V1) = √ (yo/yo1)(2yo* -yo1)
(2yo*-yo)
( n= 3)
(T/T1) = ( 1-yo) (2yo*-yo1)
(1-yo1) (2yo*-yo)
( n =4)
Flujo de Rayleigh ( r =4)
(Qx – Qx1)⎬
(yo/yo*) = 1+ √ 1- (2 – yo1/yo*) (yo1/yo*) ⎨ 1+ (1-yo1)
(1-yo1/2yo*) cp.T1
(p/p1) = ( 1-yo )
( 1-yo1)
(ρ/ρ1) = (yo1/yo)
(V/V1) = (yo/yo1)
( n =0)
( n =1)
( n =2)
(n = 3)
(T/T1) = (yo/yo1).(1-yo) (n = 4)
(1-yo1)
‰
En estas soluciones unificadas de los cuatro flujos básicos (elementales), los símbolos
empleados significan: la distancia variable x ( desde un origen arbitrario de referencia en
el canal) de la sección A(x), en la cual el caudal de masa es Cρ(x), el calor por unidad de
masa es Q(x), y las características son p, ρ, V, T, o la análoga distancia constante x1 de
la sección A(x1), desde la cual se comienza a determinar el flujo y en la cual el caudal de
masa Cρ(x1), el calor Q(x1) y las características del flujo p1, ρ1, V1 T1, se admiten como
valores constantes de contorno.
‰
En la sección A(x), el parámetro de Mach es yo , en la sección de contorno A(x1), tal
parámetro resulta conocido como yo1, mientras los otros símbolos A(x*) e yo*
significan la sección del canal ( que se admite de área conocida), en la cual se verifica la
condicion crítica (M =1) y el parámetro de Mach critico yo* = k/k+1, tambien conocido.
Bloqueos sónicos
k
‰
Diferenciando la expresión de la entropía ( S= Cv.ln p/ρ ) con las relaciones siguientes :
k= yo*/1+yo*, p =y1, ρ =y2 , queda :
(dS/Cv) = ( dy1/y1) – (yo*/1-yo*).(dy2/y2).
Reemplazando las expresiones correspondientes a : (dyn/yn) = Σ Mnm.dαm ,
m=
1,2,3,4
y siendo dαr = dyo/yo.Mor, queda :
(dS/Cv) = [ M1r-(yo*/1-yo*).M2r].(dyo/yo)
Mor
Con los valores de M1r, M2r y Mor , conocidos, resulta en los cuatro flujos :
Combustión (r =1)
(dS/Cv)C = [
2yo*-1
] (yo*-yo).dyo
(1-yo*)(1-yo)(2yo*-yo)
Isoentrópico (r =2) (dS/Cv)I = 0
(r =3) (dS/Cv)F = [
2yo*-1
] (yo*-yo).dyo
(1-yo*)(1-yo)(2yo*-yo)yo
Fanno
Rayleigh
‰
‰
(r=4)
(dS/Cv)R = [
1
](yo*-yo)dyo
(1-yo*)(1-yo)yo
Al ser siempre 0 ≤ yo < 1 , 2yo* = 2k/k+1> 1 ( si k > 1) , los factores entre corchetes
son todos positivos y en consecuencia , de acuerdo al 2do Principio de Termodinámica,
para que resulte dS >0 en los tres flujos elementales a entropía variable , la variación del
parámetro de Mach(dyo) debe tener el mismo signo del factor (yo*-yo), es decir tales
flujos deben aumentar su número de Mach cuando son subsónicos (yo< yo*) e
inversamente , disminuirlo cuando son supersónicos (yo> yo*), tendiendo entonces en
los 2 casos a su condición crítica M= 1 en la cual (yo =yo*), la entropía resulta máxima.
(dS =0): de tal manera los tres flujos elementales de combustión, de Fanno y de
Rayleigh quedan todos bloqueados y a esta condición se la llama “bloqueo sónico”.
En esta condición (yo =yo*), resulta que, en los cuatro flujos deben ser : dαr =0, lo que
implica:dCρ= 0, dQ = 0 , dx = 0, respectivamente en los bloqueos sónicos del flujo de
combustión, de Rayleigh y de Fanno y dA = 0 en el flujo isoentrópico cuando esta en
situación critica.
‰
Curvas de Fanno, Rayleigh y de combustión en el plano entropia- entalpia
En esta unificación y extensión del método, se agrega en el plano entropia-entalpia,
una nueva curva ( de combustión) a las dos ya conocidas ( de Fanno y Rayleigh) ,
demostrándose una triple coincidencia en las ondas de choque.
Tal coincidencia se evidencia gráficamente integrando (entre x1 y x ), los
diferenciales de entropia obtenidos desde el bloqueo sónico:
yo ∗/1-yo∗
(S-S1)/cv = ln (1-yo/1-yo1)⎨(2yo∗ – yo1)⎬
©
( 2yo∗ – yo)
(S-S1)/cv = 0
(i)
2yo∗-1/1-yo∗
( S-S1)/cv = ln (1-yo/1-yo1) √ (yo/yo1).
(F)
1/1-yo∗
⎨(2yo∗ - yo1)⎬
( 2yo∗ - yo)
yo∗/1-yo∗
( S-S1)cv = ln ( 1-yo). (yo/yo1)
®
(1-yo1)
Llevando sobre las abscisas estos valores y, sobre las ordenadas las correspondientes
relaciones de entalpia (T/T1), determinadas con las últimas de las ecuaciones referidas a
los parámetros del flujo , se obtienen:
(T/T1) = (T/T1) = (T/T1) = (1-yo) ( 2yo∗ – yo1)
(i)
©
(F) (1- yo1) ( 2yo∗- yo)
(T/T1) = (1-yo).(yo/yo1)
® (1-yo∗)
Variando el parámetro yo, se determinan las 3 curvas características en el plano entropiaentalpia.
Curvas de Fanno Rayleigh y Combustión.
Plano Entropía – Entalpía.
Conclusiones
‰
En la solución de los flujos gaseosos unidireccionales y permanentes propuesta en esta
nota, se recurre a los principios de conservación bien conocidos en la Dinamica de
gases y bajo este aspecto no hay nada original.
‰
La introducción del “flujo elemental de combustión “, unificado con los otros tres flujos
elementales, brinda la posibilidad de encarar (con el empleo de la matriz deducida),
problemas tambien vinculados con el funcionamiento de los motores de reacción (
turborreactores, cohetes, etc).
‰
Este método de unificación permite una rápida respuesta en problemas condicionados .
Pudo comprobarse con suficiente exactitud que la solución unificada permite resolver
problemas en el que predominan con la misma intensidad efectos de adición de calor
juntamente con fricción ( caso de flujo a través de intercambiador de calor en que se
requiere una evaluación exacta de la caida de presión debida a la fricción). En este caso,
en primera aproximación se adicionan las caidas de presión debido al intercambio de
calor ( Rayleigh) y friccion (Fanno) respectivamente. Estos resultados mostraron
coincidencia con la solución propuesta.
Ing. Edgardo Fernández Vescovo