Problemas Navier

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Soluciones Analı́ticas de Navier
Stokes.
Problema 1 Un fluido newtoniano fluye en el huelgo formado por dos placas
horizontales. La placa superior se mueve con velocidad uw , la inferior está en
reposo. La presión decrece linealmente en la dirección x.
Suponiendo flujo laminar desarrollado, determinar:
1. La distribución de velocidades
2. La relación entre las tensiones de corte para y = 0 e y = H.
3. El caudal si las placas tienen un ancho B.
4. Las tensiones en la pared en forma adimensional.
5. Realizar un esquema de la distribución de velocidades y de tensiones para
uw < 0, uw = 0, uw > 0.
Problema 2 Flujo de Poiseuille. Un fluido newtoniano incompresible con densidad y viscosidad constantes fluye entre dos placas paralelas de ancho infinito.
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Navier Stokes
Las fuerzas volumétricas son despreciables. Dada la altura entre las placas h, las
componentes del gradiente de presiones:
∂p
= −K;
∂x1
∂p
∂p
=
= 0;
∂x2
∂x3
y el campo de velocidades entre las placas:
K h2
2
u1 =
− x2 ;
2µ 4
u2 = u3 = 0;
1. Mostrar que el campo de velocidades satisface la ecuación de continuidad y
la de Navier-Stokes.
2. Determinar las componentes del tensor de tensiones.
3. Calcular la función disipación Φ.
4. Encontrar una expresión para la energı́a por unidad de ancho, longitud y
tiempo disipada en forma de calor dentro de el conducto.
Problema 3 Un fluido de densidad ρ y viscosidad µ escurre en un tubo cilı́ndrico
de sección circular de radio a y de longitud L. Se supone un flujo incompresible,
en régimen laminar. Se considera que la velocidad del fluido en el tubo es de la
forma ~v (r, θ, z) = v(r)~ez y que la presión p(z = l) = p0 ; p(z = 0) = p0 + ∆P .
1. Por analogı́a con un escurrimiento unidireccional, determinar la fuerza de
corte ejercida por el fluido exterior a una superficie elemental de área ds,
normal a er .
2. Aplicando la relación fundamental de la dinámica, la ecuación de Navier
dv
Stokes sincerémonos, a un instante t, calcular
y v(r)
dr
3. Deducir la relación entre el caudal Q y el gradiente de presión
∂p
.
∂z
2
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Problema 4 Sea un pistón de diámetro D = 10cm y largo L = 10cm con una
luz a = 0,1mm que soporta un peso de 10tn. En la parte inferior del cilindro
se encuentra un aceite de viscosidad cinemática 0,003m2/s y densidad 900kg/m3.
Determinar el caudal que egresa a traves del huelgo considerando flujo estacionario
y laminar.
Problema 5
Se muestra un cojinete de deslizamiento (buje) que consiste en dos secciones de
altura de huelgo constante. Considerando la teorı́a de lubricación, calcular:
1. La distribución de presiones p(x). Considerar que el caudal es el mismo en
el punto de transición x = l1 .
2. La capacidad de carga.
3. La fuerza necesaria para mover la pared inferior.
Problema 6
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Para un buje de longitud infinita cargado estáticamente, calcular los torques de
fricción transmitidos al eje y a la cubierta respectivamente. Mostrar que la diferencia entre los torques es igual al momento generado por la fuerza en el cojinete
FY por la excentricidad e. Dado que RS2 = R2 (1 + h̄/R)2 y que h̄/R
ll1, puede usarse directamente el radio del eje R para calcular el torque ejercido
sobre la cubierta.
Problema 7 Arrastre sobre una placa plana. Fluido newtoniano con velocidad
U∞ fluye en forma estacionaria sobre una placa plana delgada. Como se
pobserva en
la Figura 1.1, se desarrolla una capa lı́mite laminar de espesor δ(x) = 30νx/U∞ .
Figura 1.1: Flujo de capa lı́mite
Se supone flujo incompresible a un alto número de Reynolds. El perfil de velocidad
en la parte superior de la placa es descripto según:

2
2y
y

u(x, y)
0 ≤ y ≤ δ(x)
−
=
δ(x)
δ(x)

U∞
1
y > δ(x)
(1.1)
1. Determinar el desplazamiento de la capa lı́mite δ1 (x).
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2. Calcular la fuerza de arrastre FD en la parte superior de la placa, considerando el largo x = L.
a) Usando la forma integral de la conservación de la cantidad de movimiento.
ZZ
~tds
b) Integrando directamente
Datos: U∞ , ν, L, b, p∞ , ρ. Pista: Volúmenes de control (Figura 1.2).
Figura 1.2: Volúmen de control sugerido.
Problema 8 Un escurrimiento incompresible y estacionario se desarrolla sobre
una placa plana con dimensiones infinitas en las direcciones x− y z−. Normalmente, se forma una capa lı́mite (problema anterior ) que crece a medida que x
aumenta. En este caso, el espesor se mantiene constante gracias a la aplicación de
succión a lo largo de la longitud L.
1. Identifique las condiciones de borde para el campo de velocidades.
2. Usando la ecuación de continuidad, obtenga la componente vertical v(y).
3. Simplifique la componente x de las ecuaciones de Navier Stokes y calcule la
componente de la velocidad u(y).
4. Muestre que el caudal que entra por el área D − C es igual al flujo que se
succiona ṁout .
5. Calcule el arrastre por unidad de longitud y de ancho integrando directamente la tensión de corte en la pared.
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Figura 1.3: Succión en la capa lı́mite.
6. Calcule la fuerza de arrastre usando el método integral usando el volumen
de control ABCD.
Datos: U∞ , ν, ρ, v0 .
Problema 9 Un fluido newtoniano escurre a traves del canal que se muestra
en la Figura. Se suponen dimensiones infinitas en las direcciones x1 − y x3 − y el
canal tiene una altura h. El flujo es estacionario, la densidad ρ y la viscosidad ν
se consideran constante y las fuerzas volumétricas son despreciables. Las paredes
del canal son porosas de modo tal que se establece allı́ una componente normal
de la velocidad VW . El gradiente de presión en la dirección x1 − es constante,
∂p/∂x1 = −K). dada la extensión infinita del canal, la distribución de velocidades
no depende de x1 .
1. Usando la ecuación de continuidad, calcular la componente del campo de
velocidades u2 (x2 ).
2. Simplificar la componente x1 − de la ecuación de Navier Stokes para este
problema.
3. Hallar las condiciones de borde para la componente de velocidad u1 .
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4. Calcular u1 (x2 ). (Pista: Luego de resolver la ecuación diferencial homogénea,
la solución particular de la ecuación completa tiene una forma lineal.) Datos:
ρ, ν, K, h, VW .
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