10 SOBRE LA CELDA DE PLANCK, LA RELACIÓN

SOBRE LA CELDA DE PLANCK, LA RELACIÓN COSMOLÓGICA
DE EINSTEIN Y LA COSMOLOGÍA
P. Kittl (1) y G. Dìaz (2)
(1)
Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas,
Universidad de Chile, Casilla 2777, Santiago, Chile
(2)
Departamento de Ciencia de los Materiales, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas,
Universidad de Chile, Casilla 2777, Santiago, Chile, e-mail: [email protected]
RESUMEN
Si se generaliza la celda elemental de Planck introduciéndole calor, radiación y electricidad,
correspondiéndola a la ecuación del universo según el modelo de Kittl – Díaz, se puede
M
c2
= 2 1+ 2
obtener una relación del tipo
. Esta relación se corresponde con la
R
f
cosmológica de Einstein M/R = (π/2)(c2/f), con M masa del universo, R su radio de
curvatura, c la velocidad de la luz y f la constante de gravitación universal
(
)
1.- LA CELDA DE PLANCK
Con diferentes razonamientos llegó Planck [1-3] a la celda elemental:
l0 = c
−3
1
2
f 2h
1
−1
m0 = c 2 f
t0 = c
−5
2
1
5
e0 = h 2 c
−1
1
2
2
≈ 4.04 × 10−33 cm
2
h
f 2h
θ0 = c 2 f
1
2
1
1
1
2
2
≈ 5.46 × 10−5 g
≈ 1.35 × 10−43 s
(1.1)
1
h 2 k −1 ≈ 3.60 × 1032 K
3
1
= 1.41 × 10−7 cm 2 g 2 s −1
Donde c es la velocidad de la luz, f es la constante de gravitación universal, h es la
constante de Planck y k es la constante de Boltzman, cuyos valores son:
c = 3 × 1010 cms −1 , [ c ] = LT −1
f = 6.67 × 10−8 cm 3 g −1s −2 , [ f ] = L3 M −1T −2
h = 6.63 × 10−27 cm 2 gs −1 , [ h ] = L2 MT −1
(2.1)
k = 1.38 × 10 −16 cm 2 gs −2 K −1 , [ k ] = L2 MT −2θ −1
En las (1.1) y (2.1) las unidades son cm (centímetro), g (gramo), s (segundo) y K (grados
Kelvin).
Las (1.1) se pueden obtener de las igualdades:
m02 f
e2
= m0c 2 = kθ 0 = hν 0 = 0
l0
l0
,
l0
1
= c , ν0 =
t0
t0
(3.1)
En las (1.1) y en las (3.1) l0 es la longitud mínima, m0 es la masa mínima, t0 es el tiempo
mínimo, θ0 es la temperatura máxima y e0 es la cantidad de electricidad mínima que pueden
existir alternativamente en una celda elemental de dos en dos. Hay que recordar que la
primera de las ecuaciones en (3.1) es negativa, las demás son positivas. Por lo tanto,
tomando las dos primeras igualdades:
m02 f
= m0 c 2
l0
(4.1)
Significa que la energía potencial (m02f/l0) y la de masa, o cinética, m0c2, se compensan y la
energía total ε es nula:
ε=
m02 f
− m0 c 2 = 0
l0
(5.1)
La celda de Planck tiene energía nula en cualquiera de sus 11 configuraciones.
Si queremos que simultáneamente la celda contenga energía potencial, cinética, térmica, de
radiación y eléctrica, deben verificarse las siguientes ecuaciones:
m02 f
e02
m0 c −
+ kθ 0 + hν 0 + = 0 ,
l0
l0
2
m02 f
e02
2
= 4m0 c = 4kθ 0 = 4hν 0 = 4
l0
l0
Con lo cual se obtiene
l0
1
= c , ν0 =
t0
t0
(6.1)
l0 =
1 −3 2 1 2 1 2
c f h ≈ 2.02 ×10−33 cm
2
1
m0 = 2c 2 f
t0 =
−1
2
h
1
1 −5 2 1 2
c f h
2
5
θ 0 = 2c 2 f
1
e0 = h 2 c
1
2
−1
2
2
≈ 1.09 × 10−4 g
1
≈ 6.75 ×10−44 s
2
(7.1)
1
h 2 k −1 ≈ 7.12 ×1032 K
3
1
= 1.41× 10−7 cm 2 g 2 s −1
Si la (6.1) se aplica al modelo de universo K – D [4] se obtiene, para la ecuación del
universo:
e02
M2 f
hc
Mc −
+ N1kθ + N 2
+ N3 = 0
R
R
R
2
(8.1)
donde M es la masa del universo, R su radio de curvatura, N1 el número de partículas que
tiene la energía kθ, θ la temperatura del universo, N2 el número de cuantos de frecuencia ν0
y N3 la cantidad de electricidad, positiva (N3/2) y negativa (N3/2). De acuerdo con [4]:
N1 = N 2 = N 3 = N =
cMR M
=
h
μ0
(9.1)
Donde μ0 es la masa del gravitón, que verifica hν = hc/R = μ0c2 y por lo tanto el principio
de incerteza ΔpΔq = μ0cR = h. El gravitón transporta la gravitación en forma instantánea
entre una masa en la superficie de la esfera, de cuatro dimensiones, y el centro de curvatura,
donde se ubica su masa total M.
2.- LA RELACIÓN COSMOLÓGICA DE EINSTEIN
En 1917 Einstein [5] obtuvo la siguiente relación:
M c2 π
=
R
f 2
(1.2)
De la primera de las (3.1), usando la extensión al universo se tiene:
m02 f
= m0 c 2
l0
⇒
M2 f
= Mc 2
R
⇒
M c2
=
R
f
que difiere muy poco de la (1.2) de Einstein. Con las (8.1) y (9.1) se deduce:
(2.2)
Mc 2 −
M2 f
+ M θ c 2 + Mν c 2 + M e c 2 + M g c 2 = 0
R
(3.2)
Donde Mθ es la masa del universo que proviene de la temperatura, Mν de la radiación, Me
de la electricidad y Mg la de los gravitones:
M = Mθ = Mν = M e = M g
(4.2)
Si se conserva la cantidad de calor
M θ = m0θ0
(5.2)
y con (9.1) se obtiene:
M2 f
+ β R + Mc 2 + Mc 2 + Mc 2 = 0
R
ckm0θ 0 4c 4
β=
=
≈ 4.85 ×1049 cmgs −2
h
f
Mc 2 −
(6.2)
donde m0 y θ0 están dado por (7.1). Luego la (6.2) se transforma en:
4Mc 2 −
M2 f
+βR = 0
R
(7.2)
De la (7.2):
M 4c 2 β R
=
+
R
f
Mf
(8.2)
A partir de (8.2) es:
(
)
M
c2
c2
= 2 1+ 2
≈ 4.8284 ×
R
f
f
(9.2)
En esta última ecuación se tiene, además:
c2
≈ 1.3493 ×1028 gcm −1
f
(10.2)
reemplazada en (9.2) se obtiene:
(
)
M
c2
= 2 1+ 2
≈ 6.516 ×1028 gcm −1
R
f
(11.2)
Actualmente [4] R ≈ 1.3x1028cm y ρ ≈ 2x10-29g/cm3, en consecuencia M = 2π2ρR3 ≈
8.67x1056g, por lo tanto:
M
8.67 ×1056 g
≈
≈ 6.67 ×1028 gcm −1
28
R 1.30 ×10 cm
(12.2)
Resultado que está de acuerdo con la ecuación (11.2).
El análisis dimensional permite obtener [6,7]:
M c2
= × ( número real )
R
f
(13.2)
Resultado consistente con la ecuación (9.2).
Por otra parte:
ΔεΔt = m0c 2t0 = h
(14.2)
ΔpΔq = m0cl0 = h
De acuerdo con los principios de incerteza de Heisenberg.
Si hacemos como antes [4]:
M = 2π 2 R3 ρ =
2π 2 R3 ρ0
R 2
1− 2
c
(15.2)
Se obtiene fácilmente con R = 0 el valor máximo de R:
Rm =
c 1+ 2
(16.2)
π 2 f ρ0
Mediante (13.2), (15.2) y (16.2) se obtiene:
1
t=
c
R Rm
∫
0
R
= m
4
c
R
1− 4
Rm
dR
R Rm
∫
0
dx
1 − x4
El valor de R se estima con la constant de Hubble H0 de:
(17.2)
R = lim RH 0 = lim sH 0 , H 0 ≈ 2,10 × 10−18 s −1
R →0
s →0
(18.2)
donde s es la distancia a las supernovas en las galaxias. En consecuencia:
R = RH 0 ≈ 2,73 × 10−10 cms −1 ≈ 0,91c
(19.2)
Tenemos entonces conocidos R, R y ρ en forma aproximada. Podemos obtener:
R 2
ρ0 = ρ 1 − 2 ≈ 8,29 ×10-30 gcm-3
c
; Rm =
c 2+ 2
π f ρ0
2
≈ 1.996 ×1028 cm
(20.2)
Luego con (17.2) podemos calcular la edad actual del universo t y el semiperiodo T:
R
t= m
c
R Rm
R
T= m
c
∫
0
1
∫
0
dx
1− x
4
= 14.400 × 106 años
(21.2)
dx
R
= m × 1,311 = 27.700 × 106 años
4
c
1− x
La observación de una expansión del universo puede explicarse en este modelo. Toda señal
debe cumplir con:
R 2 + R2ϕ 2 = c 2
(22.2)
La ecuación (22.2) significa que la velocidad de la luz no puede ser superada. A partir de
las ecuaciones (17.2) y (22.2) se obtiene:
lim R → c ⇒ Rϕ → 0
R →0
lim R → 0 ⇒ Rϕ → c
(23.2)
R → Rm
Luego, toda observación, que obviamente se dirige hacia el pasado, implica que el pasado
se aleja cada vez más rápido.
La masa Mg de los gravitones que circulan en el interior de la esfera de cuatro dimensiones,
cuya superficie, arrugada, es el universo tangible de tres dimensiones, no es detectable
directamente. Para más detalles consultar [4].
BIBLIOGRAFÍA
1.- Planck, M., The theory of heat radiation, from the german edition of 1912, by M.
Masius, Dover (1959) N. Y.
2.- Kittl, P., Some observations on quantum mechanics history, on Planck´s elemental cell,
on the universe beginnings and ending, on mini blackholes and on massive bynary atom,
Anales de la Sociedad Científica Argentina, 228(1998) 89.
3.- Penrose, R., The road to reality, Vintage books, (2004) N. Y.
4.- Kittl, P. and Díaz, G., Modelo simple de universo cíclico como extensión a la celda
generalizada de Planck, To be publish.
5.- Einstein, A., Kosmologishe Betrachtungen zur Allgemainer Relativitäts theorie,
Sitgungsberichte der Preusischen Akad. & Wissenschaften (1917) translated by Perret and
Jeffery in The principle of relativity, Dover (1952) 177, N. Y.
6.- Palacios, J., Análisis dimensional, Espasa Calpe, (1956) Madrid.
7.- Huntley, H. E., Dimensional Analysis, (1952) London.