Matemáticas Discretas Oscar Bedoya [email protected] http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/ Lógica de predicados Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda: • P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} • AxB={(a,c),(a,d),(a,e),(a,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e)} • {1} A • |BxC|=8 • |P(C)|=16 • C-B={a,g,h,c} • B-A={d,e} • { } { ,{ , }} • x y x y=2 • x y (x+y=15 x-y=1) Lógica de predicados Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda: • P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. (F), falta • AxB={(a,c),(a,d),(a,e),(a,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e)}. (F), (a,a) AxB • {1} A. (F) • |BxC|=8. (F) • |P(C)|=16. (V) • C-B={a,g,h,c}. (F), c C-B • B-A={d,e}. (V) • { } { ,{ , }}. (V) • x y x y=2. (F), para x=0 no existe y • x y (x+y=15 x-y=1). (V), x=8, y=7 Lógica de predicados Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda: • P(B) • CxA • |AxC| • |P(B)| • A-B • A-C Lógica de predicados Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda: • P(B) = { ,{c}.{d},{e},{c,d},{c,e}.{d,e},{c,d,e}} • CxA = {(a,a),(e,a),(g,a),(h,a),(a,b),(e,b),(g,b),(h,b),(a,c),(e,c),(g,c),(h,c)} • |AxC| = 12 • |P(B)| = 8 • A-B = {a,b} • A-C = {b,c} Lógica de predicados Considerando el dominio de los enteros, responda falso (F) o verdadero (V) según corresponda: • x y (x+y=5) • x y (x+y=1) • x y (x2+y=-1 2x-y=4) Lógica de predicados Considerando el dominio de los enteros, responda falso (F) o verdadero (V) según corresponda: • x y (x+y=5). (V) • x y (x+y=1). (F) • x y (x2+y=-1 2x-y=4). (V), x=-3, y=-10 ó x=1, y=-2 Lógica proposicional Pruebe la equivalencia, [(pq) ( q r)] ( p r) V p q r pq V V V V F V V F F V V V V F V F F F V F F V V F V F V V F V F V V V F F F V V F V F F V F V V V F V V F V V V F V F V F F F V V V V F F V V V V V F V V V F F F V V V V F V V V q q r (pq) ( q r) [(pq) ( q r)] p ( p r) Lógica proposicional Pruebe la equivalencia, (p q)( p (q p)) (p q)( p (q p)) V Lógica proposicional Pruebe la equivalencia, (p q)( p (q p)) (p q)( p ( (p q)) ( p (q p)) V (q p)) pq p q (p q) ( p (q p)) Doble negación (p q) ( p q p) De Morgan (p q) ( p p q) Conmutativa (p q) ( p q) (p q) V (p q) Idempotencia De Morgan Negación Lógica proposicional Pruebe la equivalencia, (p q)(pq) V Lógica proposicional Pruebe la equivalencia, (p q)(pq) (p q)(pq) (p q) (pq) V pq p q ( p q) (pq) De Morgan ( p q) ( p q) pq ( p q) (q Conmutativa p ( q q) p V V p p) p p q Asociativa Negación Dominación Teoría de Conjuntos Probar A (B - C) = A (B - C) A B C A B-C B-C A (B-C) A (B-C) A (B C) 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 Teoría de Conjuntos Probar A A (B - A) = U (B - A) = Teoría de Conjuntos Probar A A (B - A) = U (B - A) = { x | x (A (B – A)) } ={x| [x ={x| [x A x (B – A)] } ={x| [x A x B x A] } ={x| [x A x A x B] } ={x| [x x B] } ={x| (x ={x|x U} =U (A ) } (B – A))] } Teoría de Conjuntos Probar A A (A (A B) = B) = A B Teoría de Conjuntos Probar A A (A (A B) = A B) = { x | x ={x| [x ={x| B (A (A (A B))] } [x A x (A B)] } ={x| [x A (x A x B)] } ={x| [ (x A ={x| [ (x U) ={x| (x A ={x|x A =A B (A B)) } x A) (x A x B) } x B} (x A x B)] } x B)] } Funciones Dadas las funciones: • f1 de {a,b,c,d} a {1,2,3} donde f1(a)=3, f1(b)=1, f1(c)=2 y f1(d)=3 • f2(x)=x2 + 4 de los reales a los reales positivos mayores o iguales a 4.0 •f3(x)=x3+1 de los reales a los reales Inyectiva f1 f2 f3 Sobreyectiva Biyectiva Funciones Dadas las funciones: • f1 de {a,b,c,d} a {1,2,3} donde f1(a)=3, f1(b)=1, f1(c)=2 y f1(d)=3 • f2(x)=x2 + 4 de los reales a los reales positivos mayores o iguales a 4.0 •f3(x)=x3+1 de los reales a los reales Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva f1 NO SI NO f2 NO SI NO f3 SI SI SI Sucesiones y Sumatorias 1/4, -1/2, 1, -2, 4, … -1, -3, -5, -7, -9, … 6, 18, 54, 162, 486, ... 1/3, 7/12, 5/6, 13/12, … 3, 9/4, 27/16, 81/64, … Progresión aritmética {an=t+n d} Progresión geométrica { an=t rn } No es progresión aritmética ni geométrica Sucesiones y Sumatorias 1/4, -1/2, 1, -2, 4, … -1, -3, -5, -7, -9, … Progresión aritmética {an=t+n d} {(1/4) (-2)n} {-1+n (-2)} 6, 18, 54, 162, 486, ... 1/3, 7/12, 5/6, 13/12, … 3, 9/4, 27/16, 81/64, … Progresión geométrica { an=t rn } {6 3n} {1/3+n (1/4)} {3 (3/4)n} No es progresión aritmética ni geométrica Sucesiones y Sumatorias 3, -12. 48, -192, 768 … 1, 5, 9, 14, 18, … -5. -8, -11, -14, -17,... Progresión aritmética {an=t+n d} Progresión geométrica { an=t rn } No es progresión aritmética ni geométrica Sucesiones y Sumatorias 3, -12. 48, -192, 768 … Progresión aritmética {an=t+n d} No es progresión aritmética ni geométrica {3 (-4)n} 1, 5, 9, 14, 18, … -5. -8, -11, -14, -17,... Progresión geométrica { an=t rn } x {-5+n (-3)} Sucesiones y Sumatorias Calcule las siguientes sumatorias: 20 k2 a) k 2 15 b) k3 k c) 1 30 k k 5 d) 10 3 4k k 2 Sucesiones y Sumatorias 20 a) 20 k2 k ( 2) 2 ( 1) 2 (0) 2 2 k2 k 1 5 20 21 41 6 2875 Sucesiones y Sumatorias 15 b) 15 k3 k ( 1) 3 (0) 3 1 k3 k 1 1 152 (16) 2 4 14399 Sucesiones y Sumatorias c) 30 30 k k 5 k (1 2 3 4) k 1 30(31) 2 10 455 Sucesiones y Sumatorias 10 10 3 4k d) k 2 3 4k (3 4 0 3 41 ) k 0 3 411 3 4 1 15 4194288 Sucesiones y Sumatorias Calcule la siguiente sumatoria: 12 2 ( 4) k k 3 Sucesiones y Sumatorias Calcule la siguiente sumatoria: 12 2 ( 4) k k 3 12 2 ( 4) k [ 2 ( 4) 0 2 ( 4)1 2 ( 4) 2 ] k 0 2 ( 4)13 2 4 1 26843520 [2 8 32] 26843546 (26)