Matemáticas Discretas SUCESIONES Y SUMATORIAS

Matemáticas Discretas
SUCESIONES Y
SUMATORIAS
Sucesiones
Estructura discreta usada para representar
una lista ordenada de elementos
Si elementos de sucesión infinita se
pueden enumerar: conjunto contable o
numerable
Sucesiones: definición
Función de un subconjunto del conjunto de
enteros ( {0,1,2,..} o {1,2,3,...}) en un
conjunto S
f(n) = an, an es un término de la sucesión
{an} describe la sucesión
Sucesiones
Considere la siguiente lista de términos
2, 4, 8, 16, 32, ...,
Lista se obtiene a partir de la secuencia {an} donde
an=2n
La lista de términos de esta secuencia es:
a1, a2, a3, ...,
donde a1=2, a2=4, a3=8 y an=2n
Sucesiones
Considere la secuencia {bn}, donde
bn=(-1)n
Cuál es la lista de términos de la
secuencia, comenzando desde b0 ?
Sucesión
La lista de términos de la secuencia {bn},
donde bn=(-1)n desde b0
1,-1,1,-1,1,...
b0, b1, b2, b3, ...,
donde b0=1, b1=-1, b2=1 b3=-1, ..., bn=(-1)n
Sucesiones
Qué “regla” permite producir la siguiente
lista de términos de la secuencia?
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
Sucesiones
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
La lista se puede expresar como
5, 5+6(1), 5+6(2), 5+6(3), ..., 5+6(n)
Sucesiones
La lista de términos
5, 5+(1)6, 5+(2)6, 5+ (3)6, ..., 5+ (n)6
es una progresión aritmética donde
a=5 y d=6
Progresión Geométrica
Considere la siguiente lista de términos
4, 8, 16, 32, …
Se puede expresar como
4, 4*21, 4*22, 4*23, …
Progresión Geométrica
Sucesión de la forma
a, ar,
2
n
ar ,...,ar
donde, el término inicial a y la razón r
son números reales
Progresión Aritmética
Sucesión de la forma
a, a+d, a+2d,a+3d,...,a+nd
donde, el término inicial a y la diferencia
d son números reales
Progresiones
Dadas las siguientes listas de términos,
indique cuáles corresponden a progresiones
aritméticas o geométricas y en tal caso
determine a, d o r
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
2, 4, 8, 16, 32, 64, …
3, 1, -1, -3, -5, -7, …
1/2, 3/2, 5/2, 5, 9/2, 11/2, …
Progresión Geométrica
Indique el término inicial y la proporción
de la siguiente progresión geométrica
2, 6, 18, 53, …
Progresiones
Indique cuáles de las siguientes listas de
términos corresponden a progresiones
geométricas
5, 10, 20, 40, …
3, -3, 3, -3, …
1/2, 1/6, 1/12, 1/18, …
Sucesiones útiles
Término
Primeros términos
n-ésimo
n2
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...
n3
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...
n4
1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561, 10000,...
2n
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...
3n
3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...
n!
1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,...
Sumatoria: definición
Sumatoria desde j=m hasta n de aj,
n
∑
j=m
a
j
La variable j es el índice de la sumatoria y
toma todos los valores enteros entre el limite
inferior y el limite superior de la suma
Sumatorias
Expresar la suma de los primeros 100
términos de la secuencia {an} donde
an=1/n para n=1,2,3,…
Sumatorias
100 términos de la secuencia {an}
donde an=1/n para n=1,2,3,…
100
∑
j =1
1
j
Sumatorias
Cuál es el valor de
5
∑
j =1
j
2
Sumatorias
5
∑
j
2
j =1
=12 + 22 + 32 + 42 + 52
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25
=55
Sumatorias
Cuál es el valor de
8
∑
k=4
( − 1)
k
Sumatorias
8
∑
( − 1)
k
k=4
=(-1)4 + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7 + (-1)8
= 1
= 1
+ (-1) +
1
+ -1
+
1
Sumatorias
Indicar el valor de las siguientes sumatorias
4
∑1
k =1
3
∑
2k
k =0
9
∑
j=5
( j + 2)
j
Sumatorias
SUMAS DOBLES
4
3
∑∑
i =1
i* j
j =1
Para resolver una suma doble se debe
resolver primero la suma más interna y
luego la suma externa
Sumas Dobles
4
∑
(i * 1 + i * 2 + i * 3)
i =1
=
4
∑
(i * 6 )
i =1
= 1*6 + 2*6 + 3*6+ 4*6
= 6 + 12 + 18 + 24
= 60
Sumas dobles
5
3
∑∑
i= 2
2
4
∑∑
i =1
j =1
i* j2
j =1
( i − 1) * ( j + 1)
2
Sumas sobre conjuntos
∑
s
S ∈{ 0 , 2 , 4 }
Representa la suma de los valores de s para
todos los miembros del conjunto {0,2,4}
∑
s
=
0
+
2
+
4
=
6
S ∈{ 0 , 2 , 4 }
Ejercicios
Dado S={1,3,5,7}, indique cuáles son los
valores de las siguiente sumas:
∑
j∈ S
j
∑
j∈ S
∑
1
j∈ S
j
2
Sumatoria progresión geométrica
A y r son números reales, r ≠0
n
Si r ≠1
∑
ar
k
=
ar
k
k =0
ar
n +1
− a
r −1
n
Si r =1
∑
k =0
= ( n + 1) a
n
∑
ar
k =0
n
∑
k =1
n ( n + 1 )( 2 n + 1 )
=
6
k
3
n 2 ( n + 1) 2
=
4
n
k =1
− a
r −1
2
k =1
∑
=
n +1
n ( n + 1)
k =
2
n
∑
k
ar
k
20
∑
3 ⋅ (5 )
j=0
100
∑
k
k =1
50
∑
i =1
i
2
j
5
∑
k
3
k =1
20
∑
j =1
(j+ j )
2
Conjuntos Enumerables
Los conjuntos A y B tien en el mismo
cardinal si y solo si existe una biyección
entre A y B
Un conjunto es enumerable o contable si
es finito o si tiene el mismo cardinal que el
conjunto de los enteros positivos
Conjuntos Enumerables
Conjunto de impares positivos es contable
f(n)=2n-1, f : Z+ → Z+ impares
f es biyectiva
Conjuntos Enumerables
Conjunto infinito enumerable si se pueden
enumerar sus elementos en una sucesión
a1=f(1), a2=f(2),...., an=f(n)
El conjunto anterior se puede enumerar
mediante la sucesión a1a2 ,...., an, donde
an=2n-1