Splines cúbicos

Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Splines cúbicos Julio Setién 2005 Convergencia Datos de la interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura I Partición del intervalo ∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} I Condiciones de interpolación xi x 0 . . . x n yi y 0 . . . y n Convergencia Datos de la interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura I Partición del intervalo ∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} I I Condiciones de interpolación xi x 0 . . . x n yi y 0 . . . y n Notación hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1 Convergencia Definición general Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la partición ∆ si S(x) ∈ C m−1 ([a, b]) S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Definición general Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la partición ∆ si S(x) ∈ C m−1 ([a, b]) S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1 Observaciones inmediatas: 1. S 0 (x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. Número de parámetros (m + 1)n 3. Número de condiciones de continuidad m(n − 1) 4. Dimensión esperable n + m 5. Condiciones de interpolación n + 1 6. Hay que añadir m − 1 adicionales Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Definición Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos Convergencia Definición Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos A veces llamados interpolación por curvas suaves Convergencia Definición Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos A veces llamados interpolación por curvas suaves Minimizan un funcional relacionado con la curvatura Convergencia Definición Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos A veces llamados interpolación por curvas suaves Minimizan un funcional relacionado con la curvatura Definición: S(x) es un splin cúbico referido a la partición ∆ si S(x) ∈ C 2 ([a, b]) S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1 Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales, Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas 7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas 7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0 7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b) Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas 7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0 7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b) 7.3 Periódicos 8 < S(a) = S(b) Es una precondición S 0 (a) = S 0 (b) : 00 S (a) = S 00 (b) Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Observaciones 1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición ∆ 2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ 3. Número de parámetros 4n 4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1) 5. Dimensión esperable n + 3 6. Condiciones de interpolación n + 1 7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas 7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0 7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b) 7.3 Periódicos 8 < S(a) = S(b) Es una precondición S 0 (a) = S 0 (b) : 00 S (a) = S 00 (b) 7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3 ([x0 , x2 ]) y S(x) ∈ C 3 ([xn−2 , xn ]) Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Consejos Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que involucre a todos los parámetros Consejos Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que involucre a todos los parámetros Hay demasiados Consejos Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que involucre a todos los parámetros Hay demasiados Hay que afrontarlo de otra manera Un punto de partida fácil 00 S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Un punto de partida fácil Julio Setién 00 S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi x − xi+1 x − xi + Mi+1 hi hi donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación i = 0, . . . , n − 1 Curvatura Convergencia Splines cúbicos Un punto de partida fácil Julio Setién 00 S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi x − xi+1 x − xi + Mi+1 hi hi General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación i = 0, . . . , n − 1 donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas Curvatura Convergencia Splines cúbicos Un punto de partida fácil Julio Setién 00 S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi x − xi+1 x − xi + Mi+1 hi hi +Ai i = 0, . . . , n − 1 (x − xi+1 )2 (x − xi )2 + Mi+1 + 2hi 2hi i = 0, . . . , n − 1 Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas Integramos dos veces en cada subintervalo, añadiendo las constantes de integración a nuestro gusto S 0 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi General Curvatura Convergencia Splines cúbicos Un punto de partida fácil Julio Setién 00 S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆ Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi x − xi+1 x − xi + Mi+1 hi hi +Ai S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi i = 0, . . . , n − 1 (x − xi+1 )2 (x − xi )2 + Mi+1 + 2hi 2hi i = 0, . . . , n − 1 (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas Integramos dos veces en cada subintervalo, añadiendo las constantes de integración a nuestro gusto S 0 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi General i = 0, . . . , n − 1 Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1 S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1 S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 (x − xi−1 )3 (x − xi )3 + Mi + 6hi−1 6hi−1 +Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1 i = 1, . . . , n Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1 S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 (x − xi−1 )3 (x − xi )3 + Mi + 6hi−1 6hi−1 +Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1 i = 1, . . . , n Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1 Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1 S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 (x − xi−1 )3 (x − xi )3 + Mi + 6hi−1 6hi−1 +Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1 i = 1, . . . , n Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1 Ai−1 = yi − yi−1 Mi − Mi−1 − hi−1 hi−1 6 i = 1, . . . , n Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Condiciones de interpolación Julio Setién General S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n (x − xi+1 )3 (x − xi )3 + Mi+1 + 6hi 6hi +Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1 S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 (x − xi−1 )3 (x − xi )3 + Mi + 6hi−1 6hi−1 +Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1 i = 1, . . . , n Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1 Ai−1 = Ai = yi − yi−1 Mi − Mi−1 − hi−1 hi−1 6 yi+1 − yi Mi+1 − Mi − hi hi 6 i = 1, . . . , n i = 0, . . . , n − 1 Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Continuidad en los nodos interiores Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Como antes hicimos Curvatura Convergencia S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n Splines cúbicos Continuidad en los nodos interiores Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Como antes hicimos Curvatura Convergencia S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos interiores S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1 Splines cúbicos Continuidad en los nodos interiores Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Como antes hicimos Curvatura Convergencia S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos interiores S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1 Por construcción, son polinomios de grado menor o igual a 3 en cada subintervalo y la derivada segunda es continua. Splines cúbicos Continuidad en los nodos interiores Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Como antes hicimos Curvatura Convergencia S(xi+ ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi i = 1, . . . , n Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos interiores S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1 Por construcción, son polinomios de grado menor o igual a 3 en cada subintervalo y la derivada segunda es continua. Sólo falta Continuidad de la derivada en los nodos interiores Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos 0 S (x)|[xi ,xi+1 ] (x − xi+1 )2 (x − xi )2 = −Mi + Mi+1 + 2hi 2hi yi+1 − yi Mi+1 − Mi + − hi hi 6 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura i = 0, . . . , n − 1 Convergencia Continuidad de la derivada en los nodos interiores Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos 0 S (x)|[xi ,xi+1 ] (x − xi+1 )2 (x − xi )2 = −Mi + Mi+1 + 2hi 2hi yi+1 − yi Mi+1 − Mi + − hi hi 6 S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 + Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura i = 0, . . . , n − 1 (x − xi )2 (x − xi−1 )2 + Mi + 2hi−1 2hi−1 yi − yi−1 Mi − Mi−1 − hi−1 hi−1 6 i = 1, . . . , n Convergencia Continuidad de la derivada en los nodos interiores Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos 0 S (x)|[xi ,xi+1 ] (x − xi+1 )2 (x − xi )2 = −Mi + Mi+1 + 2hi 2hi yi+1 − yi Mi+1 − Mi + − hi hi 6 S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 + Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura i = 0, . . . , n − 1 (x − xi )2 (x − xi−1 )2 + Mi + 2hi−1 2hi−1 yi − yi−1 Mi − Mi−1 − hi−1 hi−1 6 i = 1, . . . , n S 0 (xi+ ) = S 0 (xi− ) i = 1, . . . , n − 1 Convergencia Continuidad de la derivada en los nodos interiores Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos 0 S (x)|[xi ,xi+1 ] (x − xi+1 )2 (x − xi )2 = −Mi + Mi+1 + 2hi 2hi yi+1 − yi Mi+1 − Mi + − hi hi 6 S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1 + Curvatura i = 0, . . . , n − 1 (x − xi )2 (x − xi−1 )2 + Mi + 2hi−1 2hi−1 yi − yi−1 Mi − Mi−1 − hi−1 hi−1 6 i = 1, . . . , n S 0 (xi+ ) = S 0 (xi− ) i = 1, . . . , n − 1 −Mi = Mi Construcción de los splines cúbicos de interpolación hi yi+1 − yi Mi+1 − Mi − + hi = 2 hi 6 hi−1 yi − yi−1 Mi − Mi−1 + − hi−1 2 hi−1 6 Convergencia Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 (1) Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas (1) Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas Tiene tres incógnitas por ecuación (1) Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas Tiene tres incógnitas por ecuación Hay n − 1 ecuaciones (1) Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas Tiene tres incógnitas por ecuación Hay n − 1 ecuaciones Hay n + 1 incógnitas (1) Sistema que garantiza que es un splin cúbico de interpolación Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 = 6( − ) hi hi−1 i = 1, . . . , n − 1 Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas Tiene tres incógnitas por ecuación Hay n − 1 ecuaciones Hay n + 1 incógnitas Necesitamos añadir dos condiciones (1) Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Luego M0 = Mn = 0 Matriz del sistema   2(h0 + h1 ) h1 0 ... ...  h1 2(h1 + h2 ) h2 0 ...      0 h 2(h + h ) h . . . 2 2 3 3   .. .. .. .. .. . . . . . Tridiagonal Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Luego M0 = Mn = 0 Matriz del sistema   2(h0 + h1 ) h1 0 ... ...  h1 2(h1 + h2 ) h2 0 ...      0 h 2(h + h ) h . . . 2 2 3 3   .. .. .. .. .. . . . . . Tridiagonal Diagonal dominante Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Luego M0 = Mn = 0 Matriz del sistema   2(h0 + h1 ) h1 0 ... ...  h1 2(h1 + h2 ) h2 0 ...      0 h 2(h + h ) h . . . 2 2 3 3   .. .. .. .. .. . . . . . Tridiagonal Diagonal dominante (existencia y unicidad de soluciones) Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Luego M0 = Mn = 0 Matriz del sistema   2(h0 + h1 ) h1 0 ... ...  h1 2(h1 + h2 ) h2 0 ...      0 h 2(h + h ) h . . . 2 2 3 3   .. .. .. .. .. . . . . . Tridiagonal Diagonal dominante (existencia y unicidad de soluciones) (inmediata de resolver, lineal en n) Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos naturales Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 00 (a) = S 00 (b) = 0 Luego M0 = Mn = 0 Matriz del sistema   2(h0 + h1 ) h1 0 ... ...  h1 2(h1 + h2 ) h2 0 ...      0 h 2(h + h ) h . . . 2 2 3 3   .. .. .. .. .. . . . . . Tridiagonal Diagonal dominante (existencia y unicidad de soluciones) (inmediata de resolver, lineal en n) Con otras condiciones da un resultado similar Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Escritura final Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Escritura final Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Escritura final Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia αi = S(xi+ ) = yi Splines cúbicos Escritura final Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia αi = S(xi+ ) = yi βi = S 0 (xi+ ) = yi+1 − yi − Mi hi /3 − Mi+1 hi /6 hi Splines cúbicos Escritura final Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia αi = S(xi+ ) = yi βi = S 0 (xi+ ) = yi+1 − yi − Mi hi /3 − Mi+1 hi /6 hi γi = S 00 (xi+ )/2 = Mi /2 Splines cúbicos Escritura final Julio Setién General Splines cúbicos Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia αi = S(xi+ ) = yi βi = S 0 (xi+ ) = yi+1 − yi − Mi hi /3 − Mi+1 hi /6 hi γi = S 00 (xi+ )/2 = Mi /2 δi = S 000 (xi+ )/6 = Mi+1 − Mi 6hi Con otras condiciones Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 0 (a) = S 0 (x0+ ) = y1 − y0 − M0 h0 /3 − M1 h0 /6 h0 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Con otras condiciones Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 0 (a) = S 0 (x0+ ) = S 0 (b) = S 0 (xn− ) = y1 − y0 − M0 h0 /3 − M1 h0 /6 h0 yn − yn−1 + Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6 hn−1 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Con otras condiciones Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 0 (a) = S 0 (x0+ ) = S 0 (b) = S 0 (xn− ) = y1 − y0 − M0 h0 /3 − M1 h0 /6 h0 yn − yn−1 + Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6 hn−1 Interpolación de derivadas Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Con otras condiciones Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 0 (a) = S 0 (x0+ ) = S 0 (b) = S 0 (xn− ) = y1 − y0 − M0 h0 /3 − M1 h0 /6 h0 yn − yn−1 + Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6 hn−1 Interpolación de derivadas Añadir estas ecuaciones al principio y final del sistema (1) Periódicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Con otras condiciones Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos S 0 (a) = S 0 (x0+ ) = S 0 (b) = S 0 (xn− ) = y1 − y0 − M0 h0 /3 − M1 h0 /6 h0 yn − yn−1 + Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6 hn−1 Interpolación de derivadas Añadir estas ecuaciones al principio y final del sistema (1) Periódicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Se añaden a (1) Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Propiedad de minimización Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Curvatura de una función en un punto |f 00 (x)| κ(x) = (1 + f 0 (x)2 )3/2 Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Propiedad de minimización Julio Setién General Splines cúbicos Curvatura de una función en un punto |f 00 (x)| κ(x) = (1 + f 0 (x)2 )3/2 Si fijamos una serie de valores en los nodos de una partición, o sea, damos los puntos (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) entonces, de entre todas las funciones f ∈ C 2 ([a, b]) que pasan por esos puntos f (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cúbico natural es la más suave en el sentido Z Z b b S 00 (x)2 dx ≤ a f 00 (x)2 dx a Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Propiedad de minimización II Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación De entre todas las funciones periódicas de periodo b − a que toman unos valores prefijados en unos nodos dados, la más suave en el sentido anterior es el splin cúbico periódico que interpola esos valores Curvatura Convergencia Propiedad de minimización II Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación De entre todas las funciones periódicas de periodo b − a que toman unos valores prefijados en unos nodos dados, la más suave en el sentido anterior es el splin cúbico periódico que interpola esos valores Si lo que fijamos son los valores en los nodos y, además, la derivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores y esas derivadas es la más suave en el sentido anterior de todas las funciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esos valores en los extremos Curvatura Convergencia Propiedad de convergencia Con cualquier clase de splines que interpolemos una función continua, si vamos aumentando de manera razonable el número de nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergerá a la función Splines cúbicos Julio Setién General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia Splines cúbicos Propiedad de convergencia Julio Setién Con cualquier clase de splines que interpolemos una función continua, si vamos aumentando de manera razonable el número de nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergerá a la funciónUn ejemplo General Splines cúbicos Construcción de los splines cúbicos de interpolación Curvatura Convergencia ∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} ||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1} r (∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1} f ∈ C 4 ([a, b]) |f 4) (x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b] S∆ (x) interpola a f en los nodos y, además, interpola a su derivada en los extremos del intervalo. Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ tales que ∀x ∈ [a, b] k) |f k) (x) − S∆ (x)| ≤ Ck L(||∆||/r (∆))||∆||4−k k = 0, 1, 2, 3

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