Global 1º

MATEMÁTICAS II.-Control Global 1º .Soluciones
2004/05
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1º.-Calcular la matriz X que cumple:
2 X + B = AX
⎛ 1 2⎞
⎛ 0 −1⎞
siendo: A = ⎜
⎟ y B=⎜
⎟
⎝ −2 1 ⎠
⎝1 3 ⎠
Solución:
B = AX − 2 IX = ( A − 2 I ) X
de donde X = ( A − 2 I ) −1 B , es decir:
⎛ −2
⎞
−1
−1⎟
⎜
1
2
0
1
1
2
0
1
−
−
−
⎛
⎞ ⎛
⎞ −1 ⎛
⎞⎛
⎞
5
X =⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟= ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎝ −2 −1⎠ ⎝ 1 3 ⎠ 5 ⎝ −2 1 ⎠⎝ 1 3 ⎠ ⎜ −1 −1⎟
⎜
⎟
⎝ 5
⎠
2º.- Resolver la ecuación:
2
1
0
1
1 −x 1
1 x 0
0 2 2
= −1 0 x
2 1 x
1 −3 1
1 0 3
Solución:
Desarrollando los determinantes:
−24 + x 2 = 4 x + x 2 ⇒ x = −6
3º.- Discutir el siguiente sistema, en función de “ m ”,y resolverlo en el caso en que
m=0
2 x + (m + 1) y + (m − 1) z = 0 ⎫
⎪
mx − (m − 1) y − z = 0
⎬
⎪
y − (m + 1) z = 0
⎭
Solución:
⎛ 2 m + 1 m − 1 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−1 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ m −m + 1
⎜0
⎟ ⎜ ⎟
1
−m − 1⎟⎜
⎝
⎠⎝ z ⎠ ⎝ 0 ⎠
por tratarse de un sistema homogéneo es compatible.
2 m +1 m −1
⎧m = 0
−1 = 5m 2 + m 3 , que se anula pata ⎨
Estudiemos le Rang ( A) ⇒ m − m + 1
⎩m = −5
0
1
−m − 1
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Si m ≠ −5 o m ≠ 0 El sistema es compatible y determinado, con solución {0, 0, 0}
Si m = −5 El sistema toma la forma:
⎧2 x − 4 y − 6 z = 0
⎪
⎨−5 x − 6 y − z = 0 Compatible e indeterminado pues Rang ( A) = 2
⎪
y + 4z = 0
⎩
Si m = 0 El sistema toma la forma:
⎧2 x + y − z = 0
⎪
Sistema compatible e indeterminado
⎨y − z = 0
⎪y − z = 0
⎩
En Esta caso el sistema es equivalente a
⎧x = 0
2 x + y − z = 0⎫ 2 x − y = z ⎫ ⎧ x = 0 ⎪
⇒ ⎨y = t
⎬⇒
⎬⇒⎨
y−z =0
⎭ y=z
⎭ ⎩ y = z ⎪z = t
⎩
4º.-Resolver el sistema:
3x − 6 y = 3 ⎫
⎪
−4 x + 8 y = −4 ⎬
⎪
x − 2y =1
⎭
Solución:
⎛ 3 −6 ⎞
⎛ 3⎞
⎜
⎟⎛ x ⎞ ⎜ ⎟
⎜ −4 8 ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⇒ AX = B
⎜ 1 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛ 3 −6 3 ⎞ ⎛ 3 −6 3 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
Rang ( AB) ⇒ Rang ⎜ −4 8 −4 ⎟ → ⎜ 0 0 0 ⎟ ⇒ Rang ( AB) = 1 = Rang ( A) = 1 , se
⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
trata de un sistema compatible e indeterminado equivalente a 3 x − 6 y = 3 , cuya solución
⎧ x = 1 + 2λ
es :
x = 1+ 2 y ⇒ ⎨
⎩y = λ
G
G
5º.-Dado los dos vectores a = 2i + 3 j − k y b = −i + j + 2k ,
G JGJG
a) comprobar que u, v,w es una base de vectores en V 3 , si:
{
G G G
u = a+b
}
,
G G G
v = a −b
y
JG G G
w = a×b
b) encontrar las coordenadas del vector i + j + k en la base
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G JGJG
{u, v,w}
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Solución:
a)
G
u = [1, 4,1]
G
, v = [3, 2, −3]
i
JG
w= 2
j k
3 −1 = [ 7, −3,5]
−1 1
2
1 4 1
Como 3 2 −3 ≠ 0 , los tres vectores son linealmente independientes, luego
7 −3 5
pueden ser una base para V 3
b)
G JGJG
Si [ x, y , z ] son las coordenadas de [1,1,1] en u, v,w , de be cumplirse:
{
}
[1,1,1] = x [1, 4,1] + y [3, 2, −3] + z [7, −3,5]
⎡ 8 12 3 ⎤
que resolviendo obtenemos: [ x, y, z ] = ⎢ , , ⎥
⎣ 47 47 47 ⎦
G
G
6º.-Un triángulo tiene por lados los segmentos que contiene los vectores a y b del
ejercicio 5º, y de longitud, respectivamente, el módulo de ellos: Calcular:
a) la longitud del otro lado
b) al área del triángulo
G
c) la altura del triángulo sobre el lado que soporta el vector b
Solución:
G G G
G
G G
a) Sea c el vector cuyo módulo es el tercer lado, entonces a + b = c , luego c = u y
12 + 42 + 12 = 18 = 3 2 unidades de longitud
su longitud
G G
b) El triángulo es la mitad del paralelogramo cuyos lado son los dos vectores a y b ,
JG
luego el área es la mitad del módulo del vector w , es decir
S=
c) Como S =
1 2
83
unidades de área
7 + (−3) 2 + 52 =
2
2
base × altura
2× S
83
83
unidades de
⇒ altura =
=
=
base
2
22
32 + 22 + (−3) 2
longitud
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