ANALISIS

ANALISIS
Estructuras sobre ℜ y ℜn
1
En la parte de Álgebra estudiamos las estructuras algebráicas sobre ℜ y ℜn . En
particular, sabemos que ℜ es un campo ordenado donde la estructura algebraica
de campo nos da las reglas de cálculo de la adición, substracción, multiplicación
y división, las cuales se relacionan con el orden natural ≤ de los números reales.
Este orden es tanto un orden parcial como también lineal, y proporciona conceptos como los de máximo, mı́nimo, cotas, supremo e infimo de subconjuntos,
conceptos de suma importancia en el análisis. También vimos que ℜn es un
espacio vectorial sobre ℜ , cuyas operaciones (adición entre vectores y multiplicación de escalares con vectores) se basan enteramente en operaciones del
campo ℜ. Conocemos conceptos como subespacio vectorial, independencia lineal, cerradura lineal, base, dimensión, y homomorfismos (mapeos lineales) entre
espacios vectoriales, los cuales debemos tener presentes para poder estudiar los
temas del análisis presentados en este capı́tulo. Sin embargo, ℜ y ℜn tienen más
estructuras, las cuales, normalmente en un contexto práctico o de aplicación,
supondremos nosotros aquı́ que el lector ha conocido ya antes. Las siguientes
secciones dentro de esta introducción recuerdan estos conceptos dentro de nuestro conocimiento y lo ordena en un contexto nuevo.
1.1
ℜn como espacio vectorial normado
Recordamos que ℜ es un campo ordenado y supondremos en este texto que la
definición formal del valor absoluto es un concepto muy sencillo y conocido.
Definición 1 Para x ∈ ℜ, se define el valor absoluto de x por |x| = max{x, −x}.
Vemos que |x| es un numero real no negativo, pues obviamente
x, si x ≥ 0,
|x| = max{x, −x} =
,
−x, si x < 0
ası́ que, |·| es un mapeo de ℜ en ℜ+ . Observamos que x ∈ ℜ es un punto sobre
la lı́nea real, o, equivalentemente, un vector sobre la lı́nea real, apuntando desde
el origen 0 hacia el punto x. Es evidente que |x| es la longitud de este vector o
la distancia (igual a la longitud del segmento de lı́nea) entre 0 y x. Aplicando
la definición del valor absoluto y propiedades del máximo, es fácil deducir las
siguientes propiedades:
Lema 2 Para x, y ∈ ℜ:
1) |x| = 0 sı́ y sólo sı́ x = 0.
2) |−x| = |x|
3) |xy| = |x| |y|
4) |x + y| ≤ |x| + |y|
5) − |x| ≤ x ≤ |x|
1
Comentario 3 Aplicando inducción matemática, la propiedad 4) implica que
|x1 + x2 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | ,
para x1 , x2 , · · · , xn ∈ ℜ.
En el plano euclideano ℜ2 , comunmente hemos medido la longitud de un
vector x = (x1 , x2 ) ∈ ℜ2 como
q
p
2
2
kxk2 = |x1 | + |x2 | = (x1 )2 + (x2 )2 ,
lo cual, según el teorema de Pitagoras, es la longitud del segmento de lı́nea entre
el orı́gen 0 = (0, 0) del plano Euclidiana y el punto x, es decir, es la longitud
del vector x = (x1 , x2 ), ver figura 1
Figure 1: En el plano, la norma canónica representa la longitud del vector, es
decir, la distancia entre el origen de coordenadas y el punto.
Más generalmente, conocemos la longitud de un vector x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈
ℜn dada por
v
u n
uX
kxk2 = t (xi )2 .
i=1
Es obvio que ||x||2 es un número real no negativo para cualquier x ∈ ℜn ,ası́
que, k · k2 es un mapeo de ℜn en ℜ+ . Las siguientes propiedades son parecidas
a propiedades que ya habı́amos observado para el valor absoluto:
2
Lema 4 Se tiene que
1) kxk2 = 0 sı́ y sólo sı́ x = 0.
2) kαxk2 = |α| kxk2 , para todo x ∈ ℜn y α ∈ ℜ.
3) kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 , para todo x, y ∈ ℜn .
Ejercicio 5 Demostrar las propiedades del lema 4.
kxk2 es llamado la norma Euclidiana del vector x ∈ ℜn ; es evidente que
para el caso n = 1, kxk2 es exactamente el valor absoluto de x. Observamos
que en las propiedades de la norma Euclidiana (lema 4), se usa la estructura del
espacio vectorial ℜn :
* En 1), x = 0 significa que x es el elemento neutro del grupo (ℜn , +).
* En 2), se multiplica un escalar α con un vector x.
* En 3), su suman dos vectores x, y.
1.2
ℜn como espacio métrico
Observemos primero la lı́nea real y definámos la siguiente función
p
d2 (x, y) = (x − y)2 ,
x, y ∈ ℜ . Evidentemente
d2 (x, y) =
x − y, si x ≥ y
= |x − y|
−(x − y), si y ≥ x
es la longitud del segmento de lı́nea entre x y y, sobre la recta de los números
reales, ası́ que, d2 (x, y) mide la distancia entre x y y. Es fácil observar que
d2 (·, ·) es un mapeo de ℜ × ℜ en ℜ+ , es decir, d2 (x, y) ≥ 0 para todo x, y, z ∈
ℜ, con las siguientes propiedades:
1) d2 (x, y) = 0 sı́ y sólo sı́ |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y.
2) d2 (x, y) = d2 (y, x),
3) d2 (x, y) + d2 (y, z) ≥ d2 (x, z),
Si definimos la distancia d2 (x, y) entre dos puntos del plano euclideano,
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ ℜ2 , igualmente comopla longitud del segmento de
lı́nea entre los dos puntos, entonces d2 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , ver
figura 2, o más generalmente
v
u n
uX
d2 (x, y) = t (xi − yi )2 ,
i=1
para x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ ℜn . Ahora, d2 (·, ·) es un
mapeo de ℜn ×ℜn en ℜ+ , y tiene las mismas propiedades como las de arriba:
3
Figure 2: . La distancia entre dos puntos en el plano. Esta distancia es la
distancia canónica en el plano y se basa en el teorema de Pitágoras.
Lema 6 d2 (·, ·) es un mapeo de ℜn ×ℜn en ℜ+ d2 (x, y) ≥ 0 para todo x, y, z ∈
ℜn y tiene las siguientes propiedades:
1) d2 (x, y) = 0 sı́ y sólo sı́ |x − y| = 0 sı́ y sólo sı́ x = y.
2) d2 (x, y) = d2 (y, x),
3) d2 (x, y) + d2 (y, z) ≥ d2 (x, z).
d2 (x, y) se llama la métrica Euclideana sobre ℜn . Observamos que, en
las propiedades de la métrica Euclideana, en contraste a las propiedades de la
norma Euclideana, no se usa la estructura algebráica del espacio vectorial de
ℜn , solamente aparece la estructura algebráica de los números reales (el neutro
0 de la suma, el orden ≤ y la suma entre numeros reales). Sin embargo, siendo
definidas ||x||2 sobre ℜn y d2 (x, y) sobre ℜn ×ℜn , sus formulas hacen evidente
las siguientes relaciones:
d2 (x, y)
kxk2
= ||x − y||2 ,
= d2 (x, 0),
x, y ∈ ℜn , 0 el neutro de (ℜn , +).
1.3
ℜn como espacio euclideano
Otra estructura sobre ℜn es el producto escalar sobre ℜn , también llamado
producto interno sobre ℜn , definido como
4
(x, y) =
n
X
i=1
xi yi , x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ ℜn .
Evidentemente (x, y) es un mapeo de ℜn × ℜn en ℜ. Sabemos que el producto escalar es importante para definir conceptos geométricos como ángulo,
ortogonalidad y paralelidad. Para ver esto, hagamos un ejemplo en ℜ2 .
Ejemplo 7 Siempre es posible escribir un vector en ℜ2 como x = (x1 , x2 ) =
r1 (cos(θ1 ), sin(θ1 )), y lo mismo para y = (y1 , y2 ) = r2 (cos(θ2 ), sin(θ2 )), ver
figura 3. Entonces el producto interno de x con y es
Figure 3: Los vectores x y y escritos en coordenadas polares. En vez de asignar
dos distancias con respecto a los ejes x y y, se asignan a cada punto su distancia
al origen y el ángulo que forman con el eje x.
(x, y)
=
x1 y1 + x2 y2
=
=
r1 r2 (cos(θ1 ) cos(θ2 ) + sin(θ1 ) sin(θ2 ))
r1 r2 cos(θ1 − θ2 )
=
||x|| · ||y|| cos(θ)
donde θ es el ángulo entre los dos vectores x y y. Este resultado también puede
verse como la definición de los ángulos en ℜ2 .
El producto interno tiene interesantes propiedades:
5
Lema 8 El producto escalar (x, y) definido arriba para x, y, z ∈ ℜn satisface
que
i) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), (αx, z) = α(x, z),
(x, y + z) = (x, y) + (x, z), (x, αz) = α(x, z), para α ∈ ℜ (Bilinealidad).
ii) (x, y) = (y, x), (Simetrı́a).
iii) (x, x) ≥ 0 para todo x ∈ ℜn y (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Dem. 9 i) ParaPel primer argumento,
ℜn , α ∈P
ℜ;
P sean x, y, z ∈P
n
(x + y, z) = i=1 (xi + yi )zi = (xi zi + yi zi ) =
x
z
+
yi zP
i
i
i = (x, z) +
Pn
n
(y, z), de la misma forma se tiene que (αx, z) = i=1 αxi zi = α i=1 xi zi =
α(x, z).
La demostración para el segundo argumento es análoga, se usa la distributividad del grupo (ℜ, +) .
ii) es obvio. P
n
iii) (x, x) = i=1 x2i evidentemente es no negativo, y es igual a 0 sı́ y sólo
sı́ x2i = 0 para todo i (puesto que x2i ≥ 0), lo cual es equivalente a xi = 0 para
todo i, lo cual equivale a x = (0, 0, · · · , 0) = 0 ∈ ℜn . La Bilinealidad en i) significa que el mapeo (·, ·) es lineal en cada coordenada.
Eso no significa que el mapeo es lineal ! Si el mapeo (·, ·) fuese lineal, entonces
tendrı́amos que α(x, y) = (αx, αy). Sin embargo, aplicando la bilinealidad,
obtenemos (αx, αy) = α(x, αy) = α2 (x, y). En la propiedad iii), x = 0 significa
que x es el neutro del grupo aditivo ℜn , es decir, x = (0, 0, · · · , 0).
Resumimos lo recordado en las últimas tres subsecciones:
Resumen 10 Sean x = (x1 , x2 , · · · , xn ) y y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ ℜn , entonces
v
u n
uX
kxk2 = t (xi )2 , (Norma euclidiana).
i=1
d2 (x, y)
v
u n
uX
= t (xi − yi )2 , (Métrica euclideana),
i=1
(x, y)
=
n
X
xi yi ,
(Producto escalar o Producto interno).
i=1
Comentario 11 Debido a las fórmulas anteriores, las siguientes relaciones son
evidentes:
1)
2)
3)
4)
d2 (x, y) = kx − yk2 ,
kxk2 = d2 (x, 0),
(x, x) = (kxk2 )2 ,
p
kxk2 = (x, x).
6
En las siguientes secciones vamos a apliar todas estas definiciones a conjuntos o espacios vectoriales mas generales para construir espacios de soluciones a
ecuaciones diferenciales y a problemas de la fı́sica, quı́mica, ingenierı́a, etc.
2
Espacios Métricos.
La noción de distancia en las ciencias natuales y la ingenierı́a es de suma importancia. Es por eso que definir distancias entre puntos o elementos de un conjunto
es de mucha utilidad para poder modelar objetos y espacios naturales. En esta
sección estudiaremos conjuntos en donde se define una distancia o métrica. Este
concepto esta dada en la siguiente definición.
Definición 12 Sea X conjunto y ρ : X × X ⇀ ℜ mapeo, tal que
1) ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0, sı́ y sólo sı́ x = y, i.e. positiva definida
2) ρ (x, y) = ρ (y, x) , es simétrica
3) ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) se cumple la propiedad del triangulo.
Al par (X, ρ) se le llama espacio métrico y a la función ρ se le llama
distancia o métrica.
Observemos que X no necesariamente tiene algún tipo de estructura, es
simplemente un conjunto. De hecho, todos los procesos matemáticos emanados
de la definición aterior, como sumas y comparaciones, etc., se llevan a cabo en
el campo ordenado de los reales (ℜ, +, ·, ≤). Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 13 Sea X conjunto y
ρT (x, y) =
0
1
si
si
x=y
x 6= y
La distancia entre dos puntos es siempre 1. A esta distancia se le llama
distancia discreta.
Ejemplo 14 Recordemos el ejemplo de los reales visto en la sección aterior
X = ℜn . Sean x = (l1 , · · · , ln ) y y = (m1 , · · · , mn ). La distancia estandard en
ℜn es
v
u n
uX
2
(li − mi )
ρ (x, y) = t
i=1
A esta distancia se le conoce como la distancia canónica de ℜn .
Ejemplo 15 Tomemos de nuevo los reales X = ℜn . Otra distancia en ℜn está
dada por
ρp (x, y) =
n
X
i=1
p
| l i − mi |
!1/p
, tal que p ∈ ℜ y p > 1
A esta distancia se le conoce como la distancia p de ℜn .
7
Ejemplo 16 Sea C ([a, b]) = {f | f es continua en [a, b]}. Una distancia en
este conjunto es
!1/2
Z b
2
ρ (f, g) =
(f (t) − g (t)) dt
a
A esta distancia se le conoce como la distancia canónica de C ([a, b]).
Ejemplo 17 Sea C ([a, b]) . Otra distancia en C ([a, b]) es
ρmax (f, g) = max | g (t) − f (t) |
a≤t≤b
A esta distancia se le conoce como la distancia max de C ([a, b]).
P∞
Ejemplo 18 Sea L2 dada por L2 = {(l1 , l2 , . . .) | li ∈ ℜ tal que i=1 li < ∞},
llamados los espacios L2 , que consiste del conjunto de vectores de dimensión
infinita que tienen norma finita. La función
v
u∞
uX
(mi − li )2
ρL2 (x, y) = t
i=1
con x = (l1 , l2 , . . .) y y = (m1 , m2 , . . .), es una distancia en L2
Ejercicio 19 Demostrar que 1)⇀6) son espacios métricos. 3) sólo para p =
3.
Es conveniente definir regiones especiales de los espacios métricos. Por ejemplo, si una región esta llena de elementos del conjunto, en el sentido de que en
esa región, a distancias muy cortas de algún elemento, siempre encontraremos
mas elementos del conjunto o si ciertos puntos del conjunto estan a una cierta
distancia de algún elemento. Al igual que en la sección pasada, en esta sección
cuando nos refiramos a espacio solamente, se trata de un espacio métrico. Iniciaremos con a definición de bola, esta es
Definición 20 Sea (X, ρ) espacio métrico. La bola de centro x ∈ X y radio
r > 0, es el conjunto Br (x) = {y ∈ X | ρ (x, y) < r}, para toda r > 0 y x ∈ X.
Observe que un bola nunca es vacia Br (x) 6= φ pues x ∈ Br (x) .
Ejemplo 21 Sea (X, ρT ) espacio. Las bolas en este espacio son todas iguales
Br (x) = {y ∈ X | ρT (x, y) = 1 < r}
Ejemplo 22 Sea (ℜn , ρ), el espacio real de dimensión n con su distancia canónica.
Las bolas serán verdaderas “pelotas”, como las conocemos de nuestra experiencia. Por ejemplo, en (ℜ, ρ) las bolas estan definidas como
Br (x)
=
=
{y ∈ ℜ | ρ (x, y) = |x − y| < r}
(x − r, x + r)
8
que es el intervalo cerrado entre x − r y x + r. En (ℜn , ρ) las bolas serán


v
u n


X
u
2
Br (x) =
y ∈ ℜ2 | ρ (x, y) = t
(li − mi ) < r


i=1
=
2
2
2
2
{y ∈ ℜ | (l1 − m1 ) + (l2 − m2 ) + · · · + (ln − mn ) < r2 }
es decir, todos los puntos metidos dentro de una esfera de radio r con centro en
x.
Ejemplo 23 Sea (Pn ([0, 1]) , ρ), el espacio de polinomios definidos entre [0, 1]
con la distancia canónica de C ([a, b]). Las bolas estan definidas como
Br (f ) = {g ∈ Pn ([0, 1]) | ρ (f, g) < r}.
Sea f (x) = x y tomemos n = 1 por simplicidad. Entonces
ρ (f, g) =
=
Z
1
0
2
(t − (a0 + a1 t)) dt
1/2
1 (1 − a0 − a1 )3 + a0 3
3
1 − a1
!1/2
Por lo tanto, la bola de radio 1 y centrada en x sera
3
B1 (x) = {a0 + a1 t ∈ P1 ([0, 1]) | (1 − a0 − a1 ) + a0 3 < 3 (1 − a1 )}
Para visualizar la superficie de esta bola, hagamos a0 = r cos(θ) y a1 = r sin(θ)
y grafiquemos el espacio de parametros (a0 , a1 ) en coordenadas esféricas. El
resultado se muestra en la figura 4 para r = 0.5.
Ejemplo 24 Sea (Fp , ρ), el espacio de las funciones periódicas pares definidos
entre [0, 2π] con su distancia canónica. Sea f (x) = cos(2x), entonces
ρ (f, g) =
Z
0
=
2π
2
(cos(2t) − (a0 + a1 cos(t) + a2 cos(2t) + · · · )) dt
1/2
2
(2a20 + (a2 − 1) + a21 + · · · )π
Por lo tanto, la bola de radio 1 y centrada en x sera
Br (cos(2x)) = {g ∈ Fp | (2a20 + (a2 − 1)2 + a21 + · · · )π < r2 }
Ejercicio 25 Encontrar B1 (0) y B1 (1) en (P1 ([0, 1]) , ρ).
Ejercicio 26 ¿Como son las bolas en (P1 ([0, 1]) , ρmax )?
Ejercicio 27 Encontrar Br (0) y Br (cos(jx)) en (Fp , ρ).
9
1/2
Figure 4: La bola de radio 1 y centrada en x del espacio de polinomios definidos
entre [0, 1] con la distancia canónica de C([a, b]), vista en coordenadas polares.
Ejercicio 28 ¿Como son las bolas en (ℜn , ρp )?
Mas adelante definiremos un espacio topológico. La definición de espacio
topológico esta basada en la definición de conjunto abierto. En un espacio
métrico siempre es posible definir el concepto de conjunto abierto y se puede
ver que con esta definición, todo espacio métrico es topológico. La definición de
conjunto abierto es la siguiente
Definición 29 Un conjunto abierto en un espacio (X, ρ) es un subconjunto
U ⊆ X tal que para toda p ∈ U siempre existe ǫ > 0 con Bǫ (p) ⊂ U. φ ⊂ X
es siempre abierto por definición.
La primera consecuencia interesante de las bolas, es que estas son abiertas
en el espacio, este resultado lo podemos enunciar como sigue.
Proposición 30 Toda bola en un espacio métrico es un conjunto abierto.
Dem. 31 Sea y ∈ Br (x) en el espacio (X, ρ) . Para x = y, Br (y) = Br (x) .
Para y 6= x, sea ρ (y, x) = r′ < r y z ∈ Br−r′ (y). Esto implica que ρ (y, z) <
r − r′ . Entonces ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) < r′ + r − r′ = r es decir z ∈ Br (x)
y por tanto Br−r′ (y) ⊂ Br (x) . La consecuencia más interesante de estas definiciones es el hecho de que los
abiertos son uniones de bolas. Mas adelante, cuando estudiemos los espacios
topológicos, esta consecuencia es lo que demuestra que un espacio métrico es un
espacio topológico, esto lo podemos enunciar como sigue.
10
Proposición 32 A es un conjunto abierto en (X, ρ) sı́ y sólo sı́ A es unión de
bolas.
Dem. 33 =⇒) A es conjunto abierto, esto implica que para toda x ∈ A existe
δ tal que Bδ (x) ⊂ A, esto es A ⊂ ∪ Bδ (x) ⊂ A o sea A = ∪ Bδ (x) .
x∈A
⇐) Sea
x∈A
A = ∪ Bα siendo Bα bolas en (X, ρ) . Si x ∈ A implica que
x∈I
x ∈ Bβ para algún β, por lo tanto A es abierto. Ejemplo 34 Sea (ℜn , ρT ). Las abiertos, con la métrica ρT en ℜn se ven muy
distintas de los abiertos con la métrica canónica. Con esta métrica, una bola de
radio r < 1 es solo el punto central Br<1 (x) = {x} y una bola de radio r ≥ 1
es todo el espacio Br≥1 (x) = ℜn . Entonces cada punto es un abierto y la union
de puntos es un abierto.
Otra definición importante es la de conjunto denso, es decir, la de un conjunto en el que sus elementos estan tan cercanos unos de otros como se quiera,
al lado de cada elemento existirá otro elemento del conjunto. Esta definición
formalmente es:
Definición 35 Sea (X, ρ) espacio y sea E ⊆ X. Se dice que E es denso
en X si para toda x ∈ X cualquier Bǫ (x) (ǫ > 0 arbitrario) se cumple que
Bǫ (x) ∩ E 6= φ.
Ejemplo 36 Sea (ℜn , ρ) y Cr (x) = {y ∈ ℜn | ρ (x, y) ≤ r}. Una bola Br (x) =
{y ∈ ℜn | ρ (x, y) < r} es densa en Cr (x) ya que cualquier bola Bǫ (x) con x ∈
Cr (x) tendra al menos un elemento en Br (x).
Ejemplo 37 Sea E = ℜ\N el conjunto de los reales sin los naturales. Este
conjunto es denso en los reales, ya que cualquier intervalo cerrado, incluso centrado en un natural, tendra al menos un elemento de los reales, ver figura 5.
Ejemplo 38 Los números irracionales son densos en los números reales. Es
por eso que podemos aproximar los números irracionales con algún número
racional.
Ejercicio 39 Demuestra el siguiente lema:
Si f : ℜ −→ ℜ es biyección, entonces d (x, y) =| f (x)−f (y) | es una métrica
sobre ℜ.
3
Espacios Normados
Regresemos a los espacios vectoriales en donde vamos a introducir un nuevo
concepto llamado la norma, que de una forma intuitiva no dice el tamaño de
un vector. Este concepto lo aprendimos en ℜn y aquı́ lo vamos a definir para
cualquier espacio vectorial, es decir, este concepto solo vale en espacios vectoriales. Esto lo hacemos en la siguiente definición.
11
Figure 5: El conjunto E = ℜ\N que es el conjunto de los reales sin los naturales.
Este conjunto es denso en los reales, ya que cualquier intervalo cerrado, incluso
centrado en un natural, tendrá al menos un elemento de los reales.
Definición 40 Sea V espacio vectorial sobre el campo K y N : V ⇀ K un
mapeo, tal que para toda x ∈ V y α ∈ K se tiene:
1) N (x) ≥ 0 para toda, x ∈ V , N (x) = 0 sı́ y sólo sı́ x = 0.
2) N (αx) = |α|N (x),
3) N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
A N se le llama norma de V y a (V, N ) se le llama espacio normado.
Notación 41 A la norma la vamos a denotar como N =k · k
La relación entre los espacios normados y los espacios métricos es que todo
espacio normado es métrico, pero no alrevés. Este resultado se puede ver en la
siguiente proposición.
Proposición 42 Todo espacio normado es métrico
Dem. 43 Sea (V, N ) un espacio normado. Tomemos ρ (x, y) = N (x − y), para
todo x, y ∈ V, espacio vectorial. Entonces ρ (x, y) es una distancia, ya que
1) ρ (x, y) = N (x − y) ≥ 0 y ρ (x, y) = 0 sı́ y sólo sı́ N (x − y) = 0 o sea sı́
y sólo sı́ x = y.
2) ρ (x, y) = N (x − y) =| −1 | N (y − x) = ρ (y, x)
3) ρ (x, z) = N (x − z) = N (x − y + y − z) ≤ N (x − y) + N (y − z) =
ρ (x, y) + ρ (y, z). Entonces si definimos un espacio normado, automaticamente hemos definido
un espacio métrico pero no alrevés. Veamos un ejemplo donde un espacio
métrico no puede generar una norma.
12
Ejemplo 44 Sea (ℜ, dln ), con dln (x, y) = |ln (x + 1) − ln (y + 1)|. Veamos que
esta distancia genera una métrica.
i) dln (x, y) ≥ 0, ya que |ln (x + 1) − ln (y + 1)| ≥ 0
ii) dln (x, y) = dln (y, x)
iii)
dln (x, z) = |ln (x + 1) − ln (z + 1)|
= |ln (x + 1) − ln (y + 1) + ln (y + 1) − ln (z + 1)|
≤ |ln (x + 1) − ln (y + 1)| + |ln (y + 1) − ln (z + 1)|
= dln (x, y) + dln (y, z)
Pero esta distancia no genera una norma. Uno esperarı́a que la norma, el
tamaño del vector, debiere estar dado por k x kln = dln (x, 0) = |ln (x + 1)|. Sin
embargo esta no es una norma, ya que no cumple con el inciso 2) de la definición
40, por ejemplo, k 3 · 2 kln =k 6 kln = ln (7) 6= |3| k 2 kln = 3 ln (3).
En los espacios vectoriale el concepto de continuidad es un concepto que
depende esencialmente de la existencia de una distancia o de una norma. Las
definiciones de continuidad y de lı́mite de una sucesión se puede hacer utilizando
una norma o una distancia. En lo que sigue, usaremos el sı́mbolo ρ(x, y) para
designar la norma N (x − y) o la distancia ρ(x, y) en un espacio métrico o
normado y designaremos indistintamente los elementos de estos espacios por
letras x, y, z, etc. aunque sean vectores, y diremos explicitamente cuando hay
una diferencia.
Como ya hemos definido distancia en un conjunto, ahora es posible definir el
concepto de continuidad. Este concepto consiste en el hecho de que la distancia
de dos imagenes de una función es tan pequeña como se quiera (respecto a la
distancia definida en el conjunto) para dos puntos tan cercanos como se quiera,
la definición formal es como sigue.
Definición 45 Sean (X, ρ) y (X ′ , ρ′ ) espacios métricos o normados. Una función
f : X ⇀ X ′ se dice continua en x ∈ X, si para toda ǫ > 0 existe un δ = δ (ǫ, x)
tal que si ρ (x, y) < δ esto implica que ρ′ (f (x) , f (y)) < ǫ. Si f es continua para
toda x ∈ A ⊂ X, se dice que f es continua en A. Si para toda x ∈ A ⊂ X se
tiene que δ = δ (ǫ), se dice que f es uniformemente continua en A.
Ejemplo 46 Sea (ℜn , ρ) el espacio real con su métrica canónica. Entonces la
definición de continuidad es la definición tradicional para funciones f : ℜn ⇀
ℜm .
Ejemplo 47 Sea (X, ρT ) espacio métrico y sea f : X ⇀ X. Observemos que
no existe una δ tal que para ǫ > 0, digamos ǫ = 0.5 tal que ρT (x, y) = 1 < δ,
implica ρ (f (x) , f (y)) < ǫ, ya que ρ (f (x) , f (y)) = 1. Es decir, con esta
métrica, ninguna función es continua.
Ejercicio 48 Sea (ℜ, ρp ). Vean si la función f : ℜ ⇀ ℜ, x → f (x) = x es
continua.
13
Ahora introducimos el concepto de sucesión. Las sucesiones serán de gran
utilidad para demostrar algunos teoremas, su definición es:
Definición 49 Una sucesión es un mapeo de los enteros positivos a un conjunto X, es decir f : Z + → X, tal que i → f (i) = xi .
Ejemplo 50 Sea X = ℜ Entonces f : Z + → ℜ con n → xn = n2 , 1/n, sin(n),
etc. son sucesiónes en los reales.
Las sucesiones más interesantes en un espacio métrico o normado son las
sucesiones de Cauchy, estas son sucesiones en las que los elementos de la sucesión
estan tan cerca como se quiera unos de otros, después de algún término de la
sucesión dado. Se definen como sigue.
Definición 51 Sea (xi ) para i ∈ Z + una sucesión en (X, ρ) . Se dice que (xi )
es de Cauchy si para toda ǫ > 0 existe un número entero positivo N ∈ Z + tal
que ρ (xk , xl ) < ǫ si k, l ≥ N.
Ejemplo 52 La sucesión en (ℜ, ρ), xn = 1/n es una sucesión de Cauchy, ya
que ρ(xk , xl ) = |1/k − 1/l| < ǫ para algún numero ǫ, siempre que k y l sean
suficientemente grandes.
Ejemplo 53 En un espacio (X, ρT ) salvo la sucesión constante, no hay sucesiones de Cauchy, ya que ρT (xk , xl ) = 1 siempre, los elementos de la sucesión
nunca estan suficientemente cerca.
Ejercicio 54 Sea la sucesión xn = 1/n en (ℜ, ρp ) . Vean si esta sucesión es de
Cauchy.
Una sucesion es convergente si para un elemento determinado la distancia de
todos los elementos restantes estan tan cerca como se quiera de algún número
x, donde el número x no necesariamente pertenece a la sucesión. Formalmente
se tiene la definición.
Definición 55 Sea xi sucesión en (X, ρ) . xi se dice convergente a x ∈ X,
si para todo ǫ > 0 existe N = N (x, ǫ) ∈ Z + tal que ρ (xn , x) < ǫ si n ≥ N. Se
simboliza por xi ⇀ x.
Notación 56 La convergencia de una sucesión también se simboliza como lim xn =
n→∞
x
Ejemplo 57 La sucesión en (ℜ, ρ), dada por xn = 1/n es una sucesión convergente, ya que ρ(xk , 0) = |1/k − 0| < ǫ para algún numero ǫ, siempre que k y
l sean suficientemente grandes.
Ejercicio 58 Usando la definición del lı́mite, demuestren que
3n
=3
a) lim n+1
n→∞
1
2
n→∞ n +1
b) lim
= 0.
14
Ejercicio 59 Den un ejemplo que muestra que la convergencia de (|xn |) no
implica la convergencia de (xn ).
Resumen 60 Vamos a recordar algunas propiedades de la convergencia de sucesiones en un espacio métrico o normado (X, ρ):
1) Para toda sucesión, si tiene un lı́mite, este es únicamente determinado.
lim xn = x, en X, sı́ y sólo sı́ lim ρ(xn , x) = 0, en ℜ.
n→∞
n→∞
Las siguientes propiedades nos proporcionan herramientas para calcular lı́mites:
2) Toda sucesión convergente es acotada.
3) Si (xn ) y (yn ) son convergentes con lim xn = x, lim yn = y, entonces
n→∞
n→∞
las sucesiones (xn + yn ) y (xn · yn ) son también convergentes y
lim (xn + yn ) = x + y,
n→∞
lim (xn · yn ) = x · y.
n→∞
4) Si lim xn = x, lim yn = y, y y 6= 0, yn 6= 0 para toda n , entonces
n→∞
lim ( xynn ) =
n→∞
x
y
n→∞
.
5) Si (xn ) y (yn ) son convergentes y xn ≤ yn para todo n, entonces
lim xn ≤ lim yn
n→∞
n→∞
Como corolario de esta propiedad se tiene que aplicando ésta a la sucesión
constante xn = 0 obtenemos: si (yn ) es convergente y yn ≥ 0 para toda n,
entonces lim yn ≥ 0.
n→∞
6) Si (xn ) es convergente y existen a, b ∈ ℜ tales que a ≤ xn ≤ b para toda
n, entonces
a ≤ lim xn ≤ b.
n→∞
7) Si (xn ) es monótona, entonces lo siguiente es verdad:
i) (xn ) es convergente, sı́ y sólo sı́ (xn ) es acotada.
ii) Si (xn ) es creciente y acotada, entonces lim xn = sup({xn , n ∈ N }).
n→∞
iii) Si (xn ) es decreciente y acotada, entonces lim xn = inf({xn , n ∈ N }).
n→∞
n
Ejemplo 61 La sucesión en (ℜ, ρ) , dada por xn = (1 + 1/n) es también una
sucesión convergente y converge a (1 + 1/n)n → e.
n
Ejemplo 62 Sin embargo, la sucesión en (Q, ρ) , dada por xn = (1 + 1/n) no
es una sucesión convergente, ya que (1 + 1/n)n → e y e ∈
/ Q. Esta sucesión no
es convergente pero si es de Cauchy.
n
Ejercicio 63 Muestren que la sucesión en (Q, ρ) , dada por xn = (1 + 1/n) es
de Cauchy.
Ejercicio 64 Den ejemplos de:
a) Dos sucesiones divergentes (xn ), (yn ) tales que la sucesión (xn + yn ) es
convergente.
b) Sucesiones divergentes (xn ), (yn ) tales que la sucesión (xn · yn ) es convergente.
c) Una sucesión acotada que no es convergente.
15
Ejercicio 65 Establecer la convergencia (entonces determinar lı́mites) o divergencia de las siguientes sucesiones:
2
+5
a) xn = 3n
n2 +1 ,
4n
,
b) xn = n+1
c) xn =
(−1)n n
n+3 .
Como vemos, la sucesión xn = 1/n es de Cauchy y es convergente. Existe una
conección entre ambos conceptos. Para esto se tiene la siguiente proposición.
Proposición 66 En un espacio métrico o normado, toda sucesión convergente
es de Cauchy.
Dem. 67 Sea xi sucesión convergente a x en (X, ρ) . Entonces xi ⇀ x implica
que para toda ǫ > 0 existe N = N (x, ǫ) ∈ Z + tal que ρ (xn , x) < ǫ/2 si n ≥ N ,
por tanto ρ (xn , xm ) ≤ ρ (xn , x) + ρ (xm , x) < ǫ si n, m ≥ N. Por supuesto, como ya vimos con un ejemplo, lo contrario de esta proposición
no siempre es verdad. Las sucesiones de Cauchy no siempre son convergentes.
Los espacios en los que toda sucesión de Cauchy converge son muy especiales y
tienen un nombre particular, se tiene la siguiente definición.
Definición 68 Un espacio métrico o normado es completo si toda sucesion de Cauchy converge.
Ejemplo 69 Se puede mostrar que los números reales con su norma canónica
es un espacio completo, pero como ya vimos, los racionales no es un espacio
completo. Claro, les faltan los irracionales para serlo.
De hecho, cualesquier norma sobre ℜn generan el mismo comportamiento
de convergencia sobre sucesiones, implicando que ℜn con cualquier norma es
completo. Sin embargo, esto no es valido si trabajamos en espacios métricos,
vamos a ver uno ejemplo:
Ejemplo 70 Considerese (ℜ, dE ), dE (x, y) = |x − y|, y la sucesión xn = n, n ∈
N . Claro que lim xn = ∞, es decir, (xn ) no converge en ℜ con respecto
n→∞
a dE , también es claro que (xn ) no es de Cauchy en (ℜ, dE ), debido a que
|xn − xm | ≥ 1 para todo n, m ∈ N , m 6= n. Ahora tomemos la distancia en ℜ
da (x, y) = |arctan(x) − arctan(y)|
y consideramos el espacio métrico (ℜ, da ). La sucesión (xn ) si es de Cauchy,
pues
lim |arctan(n) − arctan(m)| = 0,
n,m→∞
sin embargo, aquı́ igualmente vale que lim xn = ∞, es decir, (xn ) es una
n→∞
sucesión de Cauchy que no converge. Por lo tanto, (ℜ, da ) no es completo, es
decir, los reales no son un espacio completo con esta distancia. Por cierto,
observese que este da no genera una norma sobre ℜ.
16
Lo que nos dice el ejemplo anterior es que un conjunto puede ser completo
con una distancia y no serlo con otra, incluso esto puede suceder en ℜn . Sin
embargo, en ℜn todas las normas nos dicen que ℜn es completo.
En ocaciones hay espacios en donde las métricas se conservan o hay funciones
en un espacio que conseva la métrica. A estas funciones que conservan las
métricas se les conoce como isometrı́as. Veamos su definición formal.
Definición 71 Sean (X, ρ) y (X ′ , ρ′ ) espacios métricos y f : X ⇀ X ′
funcion. f es una isometrı́a si ρ′ (f (x) , f (y)) = ρ (x, y) .
Las isometrias son funciones muy especiales, son inyectivas y uniformemente
continuas, se tiene para ello la siguiente proposición.
Proposición 72 Sea f : X ⇀ X ′ isometrı́a. Se tiene
i) f es inyectiva
ii) f es uniformemente continua
Dem. 73 i) Sean x, y, ∈ X con x 6= y, entonces 0 6= ρ (x, y) = ρ′ (f (x) , f (y)) ,
es decir, f (x) 6= f (y) .
ii) Sea ǫ > 0 y x ∈ X. ρ (x, y) < ǫ implica que ρ′ (f (x) , f (y)) < ǫ = δ. Es más, la composición de isometrı́as, es isometrı́a. Es por eso que con la
composición de funciones se puede defirnir un producto. Primero veamos la
siguiente proposición.
Proposición 74 La composición de isometrı́as es una isometrı́a.
Dem. 75 Sean (X, ρ) , (Y, ρ′ ) , (Z, ρ′′ ) espacios métricos y f : X ⇀ Y y g : Y ⇀
Z isometrı́as. Entonces
ρ (x, y) = ρ′ (f (x, ) f (y)) = ρ′′ (g(f (x)) , g (f (y))
= ρ′′ (g ◦ f (x) , g ◦ f (y))
Con este producto se define entonces un grupo con el conjunto de isometrı́as
sobre. Veamos esto en la siguiente proposición.
Proposición 76 Sea (X, ρ) espacio métrico y sea el par
Iso (X, ρ) = ({f : X ⇀ X | f es isometrı́a sobre } , ◦)
donde ◦ es la composición de funciones. Iso (X, ρ) es un grupo, llamado grupo
de isometrı́as del espacio métrico (X, ρ) .
Dem. 77 Demostremos las propiedades de grupo de Iso :
i) Asociatividad: es claro que (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para cualquier función
f, g, h ∈ Iso (X, ρ)
ii) id|X ∈ Iso (X, ρ) , pues ρ (Id|X (x) , id|X (y)) = ρ (x, y) , por lo que Id|X
es isometrı́a.
iii) f sobre, como f es isometria, es inyectiva, por tanto f es bijectiva por
lo tanto, existe f −1 tal que f ◦ f −1 = id |X llamada la inversa. 17
En general Iso (X, ρ) no es abeliano, ya que f ◦ g 6= g ◦ f . El grupo de
isometrı́as es de suma importancia en fı́sica, tanto en teorı́as de campo como en
gravitación.
Pn
Ejercicio 78 Para x ∈ ℜn , se define k x k= i=1 | xi |, con x = (x1 , · · · , xn )
a) Demuestra para el caso n = 2 que eso define una norma sobre ℜn .
b) Cuales son los puntos de ℜn que tienen norma 1?
En ℜ2 hay 4 puntos x con k x k= 1, por eso esa norma se denota por k x k4 .
c) Considera k · k4 sobre Z 2 ( x ∈ ℜn con coordenadas enteras), ası́ que
para x = (x1 , x2 ) :k x k4 =| x1 | + | x2 | .
Aplicando que cada norma k · k genera una métrica d por d (x, y) =k x − y k,
la métrica correspondiente a k · k4 es d4 , dada por d4 (x, y) =| x1 − y1 | + |
x2 − y2 |, x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 )
¿Cómo se ven las circunferencias con respecto a esta métrica?
(Circunferencia con centro x y radio r es entonces el conjunto Cr (x) = {
y ∈ Z 2 | d4 (x, y) = r},) estudielo para x = (0, 0) , r = 1, 2, 3, 4.
Ejercicio 79 Aplicando el lema 6, demuestre que d (x, y) =| f (x) − f (y) | es
una métrica sobre ℜ para
ln (x)
para x ≥ 1
f (x) =
(x − 1) para x < 1
Definase para x ∈ ℜ, tal que k x k no es una norma sobre ℜ (¿Cual axioma
falla?)
Eso se debe al hecho que nuestra métrica, por ejemplo, no es invariante bajo
traslación, es decir, existen x, t, a ∈ ℜ tales que d (x + a, y + a) 6= d (x, y) .
Encuentre tales x, t y a.
4
Espacios Euclideanos.
En esta sección vamos a estudiar espacios vectoriales con una estructura muy
particular. Se trata de espacios vectoriales en donde se ha definido una distancia
ó una norma, es decir, el tamaño de un vector. Estas estructuras son muy
comunes en ciencias naturales y muy útiles para definir movimiento en estos
conjuntos. Primero introducimos el concepto de producto escalar.
Definición 80 Sea V un espacio vectorial real y B : V × V ⇀ ℜ para toda
x, y ∈ V una función bilineal tal que
1) B(x, y) = B(y, x) , i.e. B es simétrica
2) B (x, x) ≥ 0, i.e. B positiva definida
3) B (x, x) = 0, sı́ y sólo sı́ x = 0.
A B se le llama un producto escalar o producto interno en V .
Con esta definición de producto en espacios vectoriales podemos definir el
concepto de espacio euclideano
18
Definición 81 Al par (V, B) donde V es un espacio vectorial real y B un producto escalar, se le llama espacio euclideano.
Notación 82 A B también se le denota como (·, ·) , hx, yi , [x, y] , x · y, etc.
Veamos algunos ejemplos de productos internos y de espacios euclideanos.
Ejemplo 83 (ℜn , (·, ·)) con (x, y) = l1 m1 + · · · + ln mn , con x, y ∈ ℜn tales que
x = (l1 , · · · , ln ) y y = (m1 , · · · , mn )
P∞ 2
Ejemplo 84 Sea L2 = {(l1 , l2 , · · · ) | li ∈ ℜ tal que
i=1 li < ∞} con el
producto interno
(x, y) =
∞
X
l i mi ,
i=1
x = (l1 , l2 , · · · ) y = (m1 , m2 , · · · )
Pn
Entonces (L2 , (·, ·)) es un espacio euclideano ya que i=1 li mi es absolutamente
convergente. L2 es de dimensión infinita.
Ejemplo 85 Sea (Pn , ·) el espacio de los polinomios, con el producto interno
· definido por x · y = a0 b0 + a1 b1 + · · · + an bn , para x, y ∈ Pn , donde x =
a0 + a1 x, · · · , an xn y y = b0 + b1 x, · · · , bn xn . Se puede demostrar que con este
producto interno, Pn es un espacio euclideano.
Ejemplo 86 Sea CR ([a, b]) el conjunto de las funciones continuas en [a, b]. Sea
(f, g) =
Z
b
f (x) g (x) dx,
a
f, g ∈ CR ([a, b])
entonces (f, g) es un producto escalar. Veamos esto
Dem. 87 (f, g) es bilineal, ya que, para la primera entrada de (·, ·) se tiene
Rb
(α1 f1 + α2 f2 , g) = a (α1 f1 (x) + α2 f2 (x)) g (x) dx = α1 (f1 , g) + α2 (f2 , g) y
análogamente para la segunda entrada
(·, ·) es simétrico
Rb
Rb
(f, f ) = a f 2 (x) dx ≥ 0. Ademas si (f, f ) = 0 esto es sı́ y sólo sı́ a f 2 (x) dx =
0 sı́ y sólo sı́ f 2 (x) = 0 para toda x ∈ [a, b] . Habiendo introducido el concepto de producto escalar entre vectores, podemos ahora introducir el concepto de tamaño de un vector, que es el producto
interno del vector consigo mismo, o sea
Definición 88 Sea (V, (·, ·)) un espacio euclideano. A
1/2
k x k= ((x, x))
se le llama la norma compatible de x.
19
x∈V
También es posible definir el tamaño de un vector, su norma, sin necesidad
de definir el producto interno, utilizando la definición 40 de norma en espacios vectoriales, no necesariamente con producto interno. De hecho, la norma
compatible es una norma en el espacio vectorial, pero que es compatible con el
producto interno. Vamos a ver esto, pero antes veamos la siguiente proposición:
Proposición 89 (Desigualdad de Schwarz) El valor absoluto del producto
interno de dos vectores es menor o igual que el producto de las normas, i.e.
| (x, y) |≤k x k · k y k .
Dem. 90 Sean x′ , y′ ∈ V y tomemos x =
k x k=k y k= 1. Sea t ∈ ℜ, se sigue que
x′
kx′ k
,
y=
y′
ky′ k
de tal forma que
0 ≤ (x − ty, x − ty) = (x, x) − (x, ty) − (ty, x) + (ty, ty)
= (x, x) − 2t (x, y) + t2 (y, y)
=k x k2 −2t (x, y) + t2 k y k2
= 1 − 2t (x, y) + t2
2
2
= (t − (x, y)) + 1 − ((x, y))
El término (t − (x, y))2 es siempre positivo o puede ser cero. Si hacemos
2
2
t = (x, y) obtenemos que 0 ≤ 1 − ((x, y)) , lo que implica que
≤
′ ((x, y))
′
1, o sea | (x, y) |≤ 1. Entonces se tiene que en general | kxx′ k , kyy′ k |=
1
kx′ kky′ k
(x′ , y′ ) ≤ 1 La relación entre espacios normados y euclidianoes es que todo espacio euclideano es un espacio normado, pero no alrevés. Esto lo vemos en la siguiente
propisición.
1/2
Proposición 91 Sea (V, (·, ·)) espacio euclideano y k x k= ((x, x))
tonces (V, k · k) es un espacio normado.
. En-
Ejercicio 92 Demostrar la proposición. (Usar la desigualdad de Schwarz)
Vamos a ver algunos ejemplos, pero iniciemos presisamente con un ejemplo en
donde el espacio no es euclidiano, pero es un espacio sumamente interesante e
importante en todas las áreas del conocimiento.
Ejemplo 93 Sea L = ℜ2 , (·, ·) , con el producto (x, y) = l1 m1 − l2 m2 donde
x = (l1 , l2 ) y y = (m1 , m2 ). Este no es un producto interno ya que (x, x) =
l12 − l22 no es mayor que cero y (x, x) = l12 − l22 = 0 no implica que x = 0. Un
espacio con este pseudo-producto interno se conoce como espacio Pseudoeuclideano o Espacio de Lorentz. A la norma generada por este producto
interno se le llama Norma de Lorentz. Estos espacios son de vital importancia en fı́sica puesto que son un modelo del espacio tiempo real y por eso les
20
daremos un lugar especial. Observemos entonces que con la norma de Lorentz,
hay vectores que no son cero, pero tienen norma (tamaño) igual a cero. A estos
vectores se les conoce como vectores nulos. Generalmente un vector en este
espacio se denota como v = (x, t), se tiene que k v k= x2 − t2 . Los vectores
nulos cumplen con la relación x = ±t, es decir, son los vectores tangente a
trayectorias sobre el cono de luz.
Ejemplo 94 (ℜn , (·, ·)) con el producto interno canónico. Entonces se puede
definir
una norma y con esta una métrica. La norma será N (x) = (x, x) =
p
l12 + · · · + ln2 , con x =q
(l1 , · · · , ln ). Entonces la métrica canónica está dada por
2
2
ρ (x, y) = N (x − y) = (l1 − m1 ) + · · · + (ln − mn ) para y = (m1 , · · · , mn ).
Esta es la métrica canónica de ℜn .
Ejemplo 95 Sea (Pn , ·), con el producto interno · canónico. Hagamos lo mismo
que para (ℜn , (·, ·)). Se tiene que x·y = a0 b0 + a1 b1 + · · ·+ an bn , para x, y ∈ Pn ,
donde x = a0 + a1 x+,q
· · · , +an xn y y = b0 + b1 x+, · · · , +bn xn . Entonces
2
2
2
ρ (x, y) = N (x − y) = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 ) + · · · + (an − bn ) . La cual es
la métrica canónica para Pn .
Ejemplo 96 Sea C ([a, b]) el conjunto de las funciones continuas en [a, b] . De
nuevo podemos construir una métrica en el espacio de funciones como
ρ (f, g) = N (f − g)
= (f − g, f − g)
!1/2
Z b
2
=
(f (x) − g (x)) dx
,
a
f, g ∈ C ([a, b])
la cual es la métrica canónica para C ([a, b]).
Ejemplo 97 Sea (Fp , ρ), el espacio de las funciones periodicas definidos entre
[0, 2π] con esta distancia canónica podemos ver cual es la distancia entre cos(ix)
y cos(jx), se tiene:
ρ (cos(ix), cos(jx))
=
=
Z
√
2π
0
2
(cos(ix) − cos(jx)) dt
2π, para i 6= j
1/2
√
Ejercicio 98 Demostrar que ρ (sin(ix), cos(jx)) = 2π y ρ (sin(ix), sin(jx)) =
√
2π para i 6=√j. Es decir, la distancia entre los vectores base de las funciones
periodicas es 2π.
Ejemplo 99 Sea L el espacio de Lorentz.
q Entonces se puede construir la
2
2
métrica ρ (x, y) = NL (x − y) =k x − y k= (x1 − y1 ) − (x2 − y2 ) . Observen
que se pueden tener dos vectores diferentes, pero separados una distancia 0.
21
Ejercicio 100 Demuestre lo siguiente: Si p
V es un espacio vectorial sobre ℜ
con producto interno (·, ·) , entonces k x k= (x, x) define una norma sobre V .
Nota: aplicar la desigualdad de Schwarz: | (x, y) |≤k x k · k y k .
5
Espacios Unitarios
En esta sección vamos a generalizar los espacios Euclidianos al caso en el que
el campo del espacio vectorial no sean los números reales, sino el campo de
los complejos. Como veremos, existen varias diferencias interesantes que hacen
a estos espacios sobre los complejos importantes, sobre todo en la mecánica
cuántica, que es importante en fı́sica, quı́mica, ingenierı́a, etc. Su definición es
como sigue.
Definición 101 Sea E un espacio vectorial sobre C y x, y ∈ E. Sea B :
E × E → C un mapeo lineal en el primer argumento tal que
1) B (x, y) = B (y, x) es antisimétrico
2) B (x, x) ≥ 0 es real
3) B (x, x) = 0 sı́ y sólo sı́ x = 0
A B (x, y) = (x, y) se le llama producto escalar sobre E, y a (E, (·, ·)) se
le llama espacio unitario.
Comentario 102 Algunas consecuencias inmediatas de la definición anterior
son las siguientes:
1) (x, αy) = (αy, x) = α (y, x) = α(y, x) = α (x, y) α ∈ C
2) (x, y1 + y2 ) = (y1 + y2 , x) = (y1 , x) + (y2 , x) = (y1 , x) + (y2 , x) =
(x, y1 ) + (x, y2 )
3) |Re (x, y) |≤k x kk y k
Ejercicio 103 Demostrar 3)
Veamos algunos ejemplos de espacios unitarios.
Ejemplo 104 Sea el P
espacio vectorial C n con el producto interno para x, y ∈ C n
n
definido por (x, y) = i=1 li · mi , donde x = (l1 , · · · , ln ) y y = (m1 , · · · , mn ),
entonces (C n , (·, ·)) es un espacio unitario.
Ejemplo 105 Sea de nuevo L2 , pero ahora sobre el campo de los complejos, es
decir,
)
(
∞
X
2
| li | < ∞
(1)
L2 = li , para i = 1, · · · , ∞ | li ∈ C,
i=1
P∞
Entonces (L2 , (·, ·)) con (x, y) = i=1 li · mi es un espacio unitario, con x y y
definidos como en el ejemplo anterior.
22
Rb
Ejemplo 106 CC ([a, b]) y (f, g) = a f (x) g (x)dx, con f, g ∈ CC ([a, b]) es un
Rb
espacio unitario, ya que si f = u + iv, u, v ∈ CR ([a, b]), entonces a f (x) dx =
Rb
Rb
a u (x) dx+i a v (x) dx, y la parte real y la imaginaria forman espacios euclidianos por separado, entonces no es dificil ver que con este producto (CC ([a, b]) , (·, ·))
es un espacio unitario.
En este capı́tulo vamos a usar la notación de espacio para designar a un
espacio euclideano o a un espacio unitario. En los casos en que se trate de
alguno en particular, se dirá explicitamente.
La noción de que dos vectores son perpendiculares en el espacio es un concepto muy usado en geometrı́a euclidiana y en la vida cotidiana. Sin embargo,
en un espacio vectorial arbitrio este concepto no es tan claro, al menos no se
pude deducir intuitivamente. Por ejemplo, que significa que dos funciones o dos
polinomios son perpendiculares. Este concepto nos conduce a la geometrización
del espacio vectorial en cuestion. Veamos las siguientes definiciones sobre perpendicular u ortogonal, que serán muy importantes para la geometrización del
espacio.
Definición 107 Sea (E, (·, ·)) espacio unitario y sean x, y ∈ E, con x 6= 0 y
y 6= 0. Si
1.- (x, y) = 0, x y y se dicen ortogonales o perpendiculares. Se simboliza x ⊥ y.
2.- Sean H ⊆ E y G ⊆ E. Se dice que H es perpendicular u ortogonal a
G, si para toda x ∈ H y y ∈ G, (x, y) = 0. Se simboliza H ⊥ G.
3.- Sea H ⊆ E y H ⊥ = {x ∈ E | (x, y) = 0 y ∈ H} se llama el complemento ortogonal de H.
Ejemplo 108 Sea el espacio (ℜn , (·, ·)). Los vectores {ei }i=1,··· ,n definidos por
ei = (0, · · · , 1, · · · , 0), con el 1 en la i − esima posición, son todos perpendiculares entre si.
Ejemplo 109 Sea (Pn , ·), con su producto interno canónico. Entonces los polinomios 1, x, · · · , xn son todos perpendiculares entre si.
Ejemplo 110 Sea Fp ([0, 2π]) el conjunto de la funciones periodicas en [0, 2π] .
Entonces las funciones cos(t), cos(2t), · · · sin(t), sin(2t), · · · son perpendiculares
entre si. Esto se ve, si hacemos
Z 2π
(cos(it), cos(jt)) =
cos(it) cos(jt)dt
0
=
πδij
donde δij es la delta de Kroneker.
Ejercicio 111 Demostrar que (cos(it), cos(jt)) = πδij , lo mismo que (sin(it), sin(jt)) =
πδij y (sin(it), cos(jt)) = 0.
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Estas definiciones tienen consecuencias inmediatas, veamos ahora dos de
ellas:
Proposición 112 .
1) H ⊥ es subespacio de E
⊥
2) H ⊆ H ⊥
Ejercicio 113 Demostrar la proposición anterior
En lo que sigue vamos a introducir uno de los conceptos más importantes con
el que vamos a trabajar en este capı́tulo y el de ecuaciones diferenciales. La idea
es tener un espacio vectorial con vectores perpendiculares que sean solución de
un cierto problema. Para introducir poco a poco estos espacios, vamos a iniciar
con la siguiente definición. Cuando en un espacio vectorial un conjunto de
vectores son perpendiculares entre sı́, este conjunto recibe un nombre especial,
este es:
Definición 114 Sea (E, (·, ·)) espacio unitario. Sea {xi }i∈I una familia de
elementos de E. Si xi ⊥ xj para todos i, j ∈ I, I un conjunto de indices, i 6= j
se dice que {xi }i∈I es un sistema ortogonal. Si ademas k xi k= 1 para todo
i ∈ I, entonces {xi }i∈I se llama sistema ortonormal.
0, si i 6= j
Observemos que en este caso se sigue (xi , xj ) = δij =
1, si i = j
En un espacio euclidiano la geometrı́a de éste se construye, por ejemplo,
utilizando el teorema de Pitágoras. Este teorema utiliza fuertemente el concepto
de lineas o vectores perpendiculares. Vamos a ver ahora que este teorema se
cumple en los espacios euclidianos y unitarios y es la base de su geometrización.
Su enunciado es como sigue.
Teorema 115 (de Pitágoras) Sea (E, (·, ·)) espacio. Sean x1 , · · · , xn ∈ E,
que {xi }i=1,··· ,n es un sistema ortogonal. Entonces
tal
k x1 + · · · + xn k2 =k x1 k2 + · · · + k xn k2
Dem. 116 Vamos a realizar el producto interno de la suma de todos
Pn los vectores
del sistema ortogonoal, es decir, (x1 + · · · + xn , x1 + · · · + xn ) = i,j=1 (xi , xj ) =
Pn
Pn
2
i=1 k xi k , se sigue entonces el teorema. i=1 (xi , xi ) =
Como ya habiamos visto anteriormente, en todo espacio vectorial existe al
menos una base. Lo que veremos a continuación es que en todo espacio vectorial
existe al menos una base ortogonal. Este resultado se discute en el siguiente
teorema.
Teorema 117 (de Schmidt) Sea (E, (·, ·)) espacio unitario y {yi }i∈1 vectores
lienalmente independiente de E con H = L ({y1 , y2 , · · · }) ⊂ E. Entonces existe
un sistema ortogonal {xi }i∈1 con H = L ({x1 , x2 , · · · }) .
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Dem. 118 El teorema se demuestra construyendo la base. La idea de la demostración es que se toma una base arbitraria del espacio vectorial y se construye la nueva base ortogonal vector por vector, usando combinaciones lineales
de la base origianal, haciendo que cada nuevo vector base sea perpendicular a
los otros. Ejemplo 119 Sea el espacio (ℜn , (·, ·)). Los vectores {ei }i=1,··· ,n son perpendiculares todos entre si y su norma es 1. Por lo que esta base forma un sistema
ortonormal en ℜn .
Ejemplo 120 Sea (Pn , ·), con su producto interno canónico. Entonces los polinomios 1, x, · · · , xn son todos perpendiculares entre si y forma un sistema
ortonormal en Pn .
Ejemplo 121 Sea Fp ([0, 2π]) el conjunto de las funciones periodicas en [0, 2π].
Entonces las funciones cos(t), cos(2t), · · · sin(t), sin(2t), · · · son perpendiculares
entre si y forman un sistema ortogonal en Fp ([0, 2π]). Oberven que el conjunto
de vectores no tiene norma 1, sino π.
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