Unidad XIII: Flujo Interno con Fricción Algunos problemas

Unidad XIII: Flujo Interno con Fricción
Algunos problemas desarrollados
Problema 95: Calcule el mínimo diámetro de una tubería de acero comercial (ε = 0.046 mm) que
debe transportar un caudal de 8 m3/min de aceite de viscosidad cinemática 10-5 m2/s y densidad
relativa 0.8 asumiendo que la pérdida de energía mecánica a lo largo de 300 m de tubería no debe
superar 25 kgf.m/seg
Sol. : aprox. 800 mm
Debe tenerse cuidado con las unidades. El dato provisto de la pérdida de energía mecánica está en
términos de energía por unidad de tiempo. La “pérdida de carga” como energía por unidad de masa
se obtiene de dividir la energía perdida por unidad de tiempo por el caudal másico.
25 kgf.m/seg = 245.25 Joule/seg
8 m3/min = 0.13333 m3/seg
hf =
ΔE ΔE
245.25 J / s
J
=
=
= 2.3
3
3
Δm m
800 kg / m 0.1333 m / s
kg
hf = f
V2 L
8 Q2 L
= f 2 5
2 D
π D
Se debe iterar con ésta ecuación. Para ello la escribimos de manera numérica, en el sistema S.I.:
2.3 = f
o:
8 (0.13333) 2 300
4.323
= f
2
5
π D
D5
D = (1.87958 f )
1/ 5
Iteramos proponiendo un valor de f inicial.
Número de Reynolds:
Rugosidad relativa:
Re =
VD
ε
0.046 10−3
D
D
=
ν
=
4 Q 16976.5
=
D
πν D
f
D
Re
ε/D
f nuevo
0.0200
0.0232
0.0233
0.519
0.534
0.535
32721
31791
8.863e-5
8.614e-5
0.0232
0.0233
Se observa que las iteraciones se estabilizan rápidamente en el diámetro 535 mm
Problema 96: Considere la siguiente tubería lisa de diámetro 10 cm inclinada 30º por las que circula
agua (20ºC). En dos secciones distantes 50 m se han medido las presiones mostradas. Determine el
sentido de circulación del agua y el caudal circulante.
Sol.: 39 litros/seg hacia abajo
80 kPa
50 m
30º
243.4 kPa
Se asume arbitrariamente un sentido de circulación del flujo y se calcula la pérdida de carga con los
datos que se poseen. Si el valor calculado resulta de signo positivo, la suposición ha sido correcta y
se continúa el problema.
Si el valor resulta negativo, eso indica que el sentido de circulación es el opuesto al asumido.
Por ejemplo asumamos que el flujo es ascendente, de manera que:
p1man = 243400 Pa
z1 = 0
p2 man = 80000 Pa
z2 = +50sin 30o = +25 m
La definición de pérdida de carga (energía por unidad de masa) es:
p1 − p2
α1V12 − α 2V22
+ g ( z1 − z2 )
2
243400 − 80000
=
+ 0 + 9.81( 0 − 25 ) = −81.85 J / kg
1000
hl =
ρ
+
El signo negativo indica que el flujo desciende, con hl = +81.85 J / kg
El cálculo del caudal se realiza a través de la velocidad media, resolviendo la ecuación:
hf = f
V2 L
2 D
Para ello la escribimos de manera numérica, en el sistema S.I.:
81.85 = f
V 2 50
0.5722
o V =
2 0.1
f
Iteramos proponiendo un valor de f inicial, como indica la tabla más abajo. El número de Reynolds
está dado por: Re =
VD
ν
=
V 0.1
= 100000 V . La rugosidad relativa es nula: conducto liso.
10−6
f
V(m/s)
Re
f nuevo
0.0200
0.0136
0.0131
4.046
4.906
4.993
404599
490642
499266
0.0136
0.0131
0.0131
La velocidad media converge a 5 m/s de dónde el caudal volumétrico es:
Q =V
π D2
4
= 0.0393 m3 / s
Problema 101 : Un equipo industrial requiere de un caudal de agua de 5.7 m3/min que será obtenido
desde una línea de alimentación principal cuya presión es 800 kPa(man). En el equipo se requiere
una presión de entrada mínima de 500 kPa(man). La disposición de la línea de alimentación está
fijada y posee una longitud total de 65 m con 4 codos estándares.
Determine el diámetro de tubería de hierro galvanizado (ε = 0.152 mm) que satisface a este
requerimiento.
Sol. : D = 6 pulg (5.2 pulg del cálculo)
Entrada del equipo:
p2
Alimentación: p1
Q
Equipo
Se trata de un problema de tipo indirecto en el cuál deberá aplicarse un método iterativo para
aproximar el diámetro.
La ecuación de la energía se escribe:
No hay máquina en el tramo
El diámetro es constante
La línea está toda en el mismo plano
⎡ p − p1 1
⎤
−We = ρ Q ⎢ 2
+ (α 2 V22 − α1 V12 ) + g ( z2 − z1 ) + h f ⎥
2
⎣ ρ
⎦
p2 − p1
0=
+ hf
ρ
Si se desprecian las pérdidas de entrada a la línea frente al resto tenemos sólo los 4 codos como
fuente de pérdidas locales: (L/D)eq = 30 cada uno
0=
p2 − p1
ρ
( )
⎡L
+ f ⎢ +4 L
D
⎣D
⎤V
eq codo 90 ⎥
⎦ 2
2
Como la incógnita es D y el dato dado es el caudal Q debe reemplazarse la velocidad media por su
definición:
0=
p2 − p1
ρ
( )
⎡L
+ f ⎢ +4 L
D
⎣D
2
⎤ 8Q
2 4
eq codo 90 ⎥
⎦π D
Reemplazando valores numéricos, en el sistema de unidades S.I.:
⎡ 65
⎤ 0.0073154
0 = −300 + f ⎢ + 120 ⎥
D4
⎣D
⎦
A ésta ecuación debe aplicarse algún método iterativo con a fin de aproximar el D que cumpla con el
requerimiento mínimo.
Un método que funciona es el siguiente:
⎡ 65
⎤ 0.0073154
0 = −300 + f ( i ) ⎢
+ 120 ⎥
4
⎢⎣ D(i )
⎥⎦ D(i +1)
Conviene re-ordenar la ecuación numérica anterior de la siguiente forma:
D( i +1) = 0.0702715
4
⎛ 65
⎞
f (i ) ⎜
+ 120 ⎟
⎜ D( i )
⎟
⎝
⎠
[1]
El cálculo debe iniciarse con un f(0) inicial (por ejemplo 0.02) y un diámetro D(0) inicial (por ejemplo
un valor ∞, lo cuál anula un término de la ecuación). Con el nuevo diámetro obtenido de [1] se
recalcula el factor de fricción. Se sigue entonces el ciclo.
El número de Reynolds está dado por:
Re =
VD
ν
=
4Q 120958
=
D
πν D
La rugosidad relativa:
ε
D
=
[2]
0.152 10−3
D
[3]
El cálculo puede organizarse en la tabla siguiente:
i
f(i)
D(i)
de [1]
D(i+1)
de [2]
Re
de [3]
ε/D
f(i+1)
0
1
2
3
4
0.0200
0.0228
0.0202
0.0208
0.0207
10000
0.087
0.148
0.129
0.133
0.087
0.148
0.129
0.133
0.132
1382919
817409
938582
906454
914546
0.001738
0.001027
0.001179
0.001139
0.001149
0.0228
0.0202
0.0208
0.0207
0.0207
El diámetro se estabiliza en 132 mm lo cuál equivale a 5.2 pulg.
Evidentemente se debe seleccionar un diámetro igual o mayor a dicho valor, pues se requiere de una
presión de entrada al equipo no menor a 500 kPa. Además debe adoptarse un valor estandarizado
de diámetro. Por ejemplo se elije 6 pulg
Problema 102 : Un ventilador de flujo axial de marca y modelo dados trabajando a 900 rpm posee la
siguiente performance presión - caudal volumétrico provista por su fabricante:
Δp = 30 − 10−7 Q 2
[pulgadas de agua ; pies3/min ].
El ventilador toma el aire de la atmósfera en reposo y lo descarga a un recinto a presión atmosférica
a través de un tubo de sección rectangular 8 x 16 pulg de chapa lisa, de longitud total 200 pies.
Despreciando las pérdidas menores determine qué caudal volumétrico de aire entrega en
condiciones estándar
Sol.: 4.134 m3/seg
p2 = pamb
pamb
Vent.
V
16
V=0
8
’’
sección
L = 200 pies
Se trata de un problema realista pues del ventilador no se provee la potencia del mismo sino una
característica de funcionamiento más general.
Se empleará la siguiente definición de la potencia útil del ventilador: Putil = η Peje = Δp Q
El punto 1 en el balance de energía conviene ubicarlo en la atmósfera en reposo, por lo tanto:
p1 = pamb y V1 = 0
El punto 2 se ubica en el chorro de aire de salida, dónde: p2 = pamb = p1 y V2 es incógnita.
La ecuación de la energía se escribe entonces:
⎡ p − p1 1
⎤
−We = ρ Q ⎢ 2
+ (α 2 V22 − α1 V12 ) + g ( z2 − z1 ) + h f ⎥
2
⎣ ρ
⎦
2
⎡α V
⎤
Δp Q = ρ Q ⎢
+ hf ⎥
⎣ 2
⎦
⎡α V 2
⎤
Δp = ρ ⎢
+ hf ⎥
⎣ 2
⎦
Esta ecuación es la que se empleará de forma iterativa para aproximar el caudal. Al ser sección
constante, conviene trabajar con velocidad media como incógnita. Por lo tanto se debe escribir el Δp
del ventilador en término de la velocidad media en lugar de Q además de convertir las constantes al
sistema internacional de unidades:
Δp = K1 − K 2 Q 2 = K1 − K 2 A2 V 2
Donde: K1 = 30 in H 2O = 7475 Pa
K 2 = 10−7
in H 2O
⎛ pie ⎞
⎜
⎟
⎝ min ⎠
3
2
= 10−7
249 Pa
⎛ (0.3048 m) ⎞
⎜
⎟
60 s
⎝
⎠
3
2
= 111.8
Pa
⎛ m3 ⎞
⎜
⎟
⎝ s ⎠
2
’’
A = 128 in 2 = 0.0825805 m 2
Resulta finalmente en unidades S.I.:
Δp = 7475 − 0.7624 V 2
Se presupone flujo turbulento de manera que se asume α = 1
La única fuente de pérdida es pérdida primaria por longitud, de manera que:
El diámetro hidráulico es: Dh = 4
hf = f
L V2
Dh 2
A
0.0825805
=4
= 0.271 m
P
1.2192
Reemplazando en la ecuación de la energía, siempre en unidades S.I.:
V2
[1 + 224.945 f ]
2
1.225
⎡
7475 = V 2 ⎢ 0.7624 +
(1 + 224.945 f )⎤⎥
2
⎣
⎦
2
7475 = V (1.3749 + 137.78 f )
7475 − 0.7624 V 2 = 1.225
A fin de iterar conviene escribirla de la forma siguiente:
86.458
1.3749 + 137.78 f
V =
[1]
Número de Reynolds: Re =
Rugosidad relativa:
ε
Dh
V Dh
ν
= 18650 V
[2]
=0
Se realizan las iteraciones partiendo de un f inicial (0.02 por ejemplo) y se organiza el cálculo en una
tabla:
f
de [1]
V
de [2]
Re
f
0.02
0.01207
0.01176
42.54
49.60
49.96
793383
925065
931685
0.01207
0.01176
0.01175
El caudal volumétrico es entonces: Q = 4.126 m3/seg. Se confirma que el flujo es turbulento.
Problema 103 : Se tiene un conducto que transporta kerosene. Es accesible sólo parcialmente pues
atraviesa una serranía como se muestra. Lo mostrado es un tramo dentro de una extensión de
tubería horizontal muy grande en la cual el conducto no posee ninguna clase de accesorio y el flujo
es totalmente desarrollado.
Se desea verificar si existen o no pérdidas de líquido en la parte inaccesible del conducto. Para
determinar ello se han medido las presiones manométricas en los puntos A, B, C y D .
a) Con el conjunto de datos suministrado determine si existen o no pérdidas de gasolina.
b) En caso de existir pérdidas, estime la magnitud de la misma.
c) En caso de existir un solo punto de pérdida, ¿podría estimar dónde se produce?.
El diámetro es D = 5 cm y la tubería es lisa. Asuma flujo turbulento totalmente desarrollado.
Las propiedades del kerosene son : ρ = 800 kg/m3
μ = 0.002 N.s/m2
pA = 600 kPa
pB = 400 kPa
pC = 150 kPa
B
A
pD = 100 kpa
D
C
L1 = 1000 m
L2 = 1500 m
L3 = 1000 m
Parte a)
En una tubería horizontal de sección constante, la pérdida de carga se traduce directamente a caída
de presión estática. Dicha caída de presión estática es proporcional a la longitud, de manera que para
un caudal dado, tramos de tubería de igual longitud deben producir igual caída de presión.
Se observa que los tramos A-B y C-D son de igual longitud. Sin embargo la caída de presión en A-B
es de 200 kPa y en C-D es 50 kPa.
Esto implica que el caudal que pasa en el tramo C-D es menor que el de A-B y por lo tanto hay fugas
de líquido en una o varias partes entre B y C.
Parte b)
Debe plantearse el cálculo de caudal Q1 entre A y B y el cálculo de Q2 entre C y D, de acuerdo al
método iterativo usual de problema indirecto. Finalmente hacer la diferencia de caudales.
Calculo de Q1 entre A y B
0=
0=
pB − p A
ρ
+ f1
L1 V12
D 2
400000 − 600000
1000 V12
+ f1
800
0.05 2
Nro. de Reynolds: Re =
0.025 = f1 V12
f
V
Re
f
0.02
0.0251
0.0258
1.118
0.998
0.984
22361
19958
19677
0.0251
0.0258
0.0259
Entonces Q1 = 1.93 litros/seg
ρV D
= 20000 V
μ
Calculo de Q2 entre C y D
0=
pD − pC
ρ
+ f2
L3 V22
D 2
100000 − 150000
1000 V22
+ f2
800
0.05 2
2
0.00625 = f 2 V2
0=
Nro. de Reynolds : Re = 20000 V
f
V
Re
f
0.02
0.030
0.0318
0.559
0.456
0.444
11180
9122
8871
0.0300
0.0318
0.0320
Entonces Q2 = 0.87 litros/seg
Por lo tanto se fuga perdiéndose un caudal de 1.06 litros/seg de kerosene.
Parte c)
Suponiendo que la fuga de líquido se produce en un único punto del tramo B-C puede estimarse el
punto en que se produce en base a la consideración de caída de presión proporcional a la longitud:
B
A
C
D
p(x) (kPa)
600
Ecuación de la recta 1
400
Ecuación de la recta 2
150
100
x (m)
0
1000
x0
2500
3500
La variación de presión estática, expresada en kPa, en el tramo A-B está dada por la ecuación de la
recta siguiente:
p ( x) = 600 −
600 − 400
x = 600 − 0.2 x
1000
La variación de presión estática, expresada en kPa, en el tramo C-D está dada por la ecuación de la
recta siguiente:
p ( x) = 150 −
150 − 100
( x − 2500 ) = 275 − 0.05 x
1000
Igualando ambas ecuaciones se determina el punto donde ambas se cortan, es decir el punto dónde
tiene lugar un cambio de pendiente de la variación de presión con la longitud:
600 − 0.2 x = 275 − 0.05 x
x = 2167 m desde el punto A