representación gráfica - Wikimates

Funciones
y su
representación gráfica
Este tema está pensado para que construyas el siguiente conocimiento matemático:
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Cómo representar e interpretar puntos en el plano.
Graduar, según las magnitudes, los ejes de coordenadas utilizando las escalas adecuadas.
Leer, describir, interpretar y construir tablas y gráficas a partir de unos datos.
Analizar las variaciones de una gráfica:
- Crecimiento y decrecimiento.
- Valores máximos y mínimos, y su significado.
Percibir cuáles son los intervalos donde toman valores las variables en una tabla o gráfica.
Analizar qué tipo de valores toman las variables dentro de sus intervalos de trabajo.
Decidir si es posible prolongar una gráfica dentro o fuera del intervalo de trabajo.
Captar las discontinuidades en el contexto de la gráfica.
Significación de los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas en la situación del problema.
Expresar mediante enunciados, tablas y gráficas, la misma información.
Decidir, entre varias gráficas, cuál responde a un enunciado o tabla.
Decidir, entre varios enunciados o tablas, cuál responde a una gráfica.
Describir globalmente el fenómeno que representa una gráfica o una tabla.
Estudio de la relación de dependencia entre dos variables.
- Dependencias funcionales.
- Dependencias no funcionales.
Representación gráfica de dependencias funcionales.
- A partir de un enunciado.
- A partir de una tabla.
¿QUÉ RECUERDAS SOBRE TABLAS
Y GRÁFICAS?
L
a profesora comenta a la clase, donde se encuentran nuestros
amigos, que según comprobaron el curso pasado, las tablas y
gráficas son muy útiles porque transmiten de forma fácil y rápida la información que contienen, permitiendo observar regularidades y tendencias e
incluso hacer predicciones.
209
Convenios:
Acuerdos que se adoptan
para unificar criterios.
Ahora, continúa diciéndoles, profundizaréis sobre lo ya aprendido, analizando “aspectos” que os ayudarán a comprender mejor
las tablas y las gráficas.
Para llegar a leer e interpretar las gráficas es necesario conocer unos signos
y convenios distintos del lenguaje habitual. Es en este camino de profundización
en el que vamos a avanzar durante el curso, analizando no sólo aspectos ya
conocidos sino otros nuevos, tales como: las variaciones, discontinuidades,
tipos de dependencias,...
REPRESENTANDO NÚMEROS
EN LA RECTA
Como recordarás, en el tema de números has aprendido a representarlos
sobre la recta numérica. Practica estos conocimientos contestando a las siguientes cuestiones.
a) Representa los números 3, -2, 1.5, -2.7, 3/4 y 7/3 sobre la recta
0
1
b) ¿Sabes a qué números corresponden los puntos A, B, C, D, E, F y G
señalados sobre la siguiente recta numérica?
REPRESENTACIÓN DE
PAREJAS DE NÚMEROS
En esta gráfica aparece una pajarita de
papel que queremos que reproduzcas
en tu cuaderno. Sería pues conveniente que conocieras las coordenadas de
sus puntos clave A, B, C,...
210
Como ya sabes, un punto sobre el plano está perfectamente localizado si
conocemos sus coordenadas en un determinado sistema de referencia.
Observa la gráfica y responde:
a) ¿Qué coordenadas tienen los vértices A, B, C, D, E, G, H e I de la pajarita?
Con el conocimiento de estas coordenadas reprodúcela en tu cuaderno.
¿Te ha sido fácil? ¿En qué cuadrante está la pajarita?
b) Si consideras que el eje de abscisas actúa como un espejo, dibuja la imagen que se reflejaría. Calcula la coordenadas de los puntos clave de esta
nueva pajarita. ¿En qué cuadrante la has dibujado?
c) Haz lo mismo si el espejo es el eje de ordenadas.
d) ¿Cuál es la abscisa del vértice A?, ¿y su ordenada?
Un repaso sobre lo aprendido en el curso anterior.
Recuerda
COORDENADAS CARTESIANAS
- Para localizar un punto en el plano utilizamos dos ejes, uno horizontal que
llamamos de “abscisas” y otro vertical de “ordenadas”, que se cortan en un
punto “el origen”.
- Cada punto P viene determinado por un par de números (abscisa, ordenada)
que llamamos coordenadas cartesianas del punto P.
- Convenimos en nombrar a la abscisa con la letra x, y a la ordenada con y.
- Los ejes dividen al plano en cuatro regiones que llamaremos cuadrantes.
Observa
A cada par de números le corresponde un punto en el plano y a cada punto un par
de números.
211
Dados los puntos A(-1, 3.5), B(0, 3.5), C(0, 2), D(0.5, 2.5), E(3, 0), F(2, 0),
G(2, -2), H(-2, -2), I(-2, 0), J(-3, 0) y K(-1, 2), contesta a las siguientes
cuestiones.
a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.
b) Indica en qué cuadrante está cada punto.
c) Únelos en orden mediante segmentos conectando al final el punto K con
el A, ¿qué figura obtienes?
ORGANIZACIÓN DE DATOS.
MANEJO DE TABLAS SENCILLAS
Una atleta realiza un entrenamiento mientras su preparador controla el tiempo
y el espacio recorridos. En la tabla siguiente puedes observar las anotaciones realizadas por el entrenador.
tiempo (en minutos)
2
4
6
espacio (en metros)
300
700
1000
8
10
1200 1500
12
14
1900 2350
a) Representa los datos de esta tabla en un sistema de ejes coordenados.
Ponle una etiqueta a cada uno de los ejes para diferenciarlos.
b) ¿Qué tipo de gráfica has obtenido?
Une los puntos de la gráfica anterior mediante segmentos.
c) Describe y anota las peculiaridades referentes al tipo de unidades de
medida que has tomado para representar los datos numéricos de la tabla.
Observa
La unidad que podemos utilizar de espacio, tiempo, ..., puede ser muy diversa
(metros, kilómetros, ..., minutos, segundos, ...) dependiendo de la situación real
en la que nos encontremos.
Al representar los números, el tamaño de la unidad elegida será distinto según se
trate de números grandes o pequeños.
PUNTOS CON
SIGNIFICADO
En una papelería disponen de 5 tipos de libretas, de similares calidades, A,
B, C, D y E, de tres precios 4, 4.25 y 5 euros y de tres distintos números de
hojas 100, 150 y 225.
212
La representación gráfica de puntos relaciona las magnitudes precio y número de hojas.
precio
F
D
A
B
C
nº de hojas
Observa que el punto A se corresponderá con la libreta
más barata y de menor número de hojas.
a) Escribe en tu cuaderno la información que puedes obtener de la gráfica.
b) Asigna a cada punto, que representa una libreta, su precio y el número de hojas que tiene.
Observa
1º. Representar y manipular coordenadas, permite comparar y ordenar con relación a las dos magnitudes
representadas en los ejes.
2º. A cada punto de una gráfica le asocias sus coordenadas, el significado de las mismas viene expresado
por las magnitudes representadas en los ejes.
c) Construye una tabla donde recojas la información que
se encuentra en el enunciado.
d) Mejora la gráfica anterior graduando los ejes y tomando unas unidades adecuadas.
Además de las coordenadas
cartesianas, que usan ejes perpendiculares, existen otros procedimientos
para situar puntos en el plano y en el
espacio:
Radar:
Abreviatura de la frase inglesa “Radio
detection and ranging”, que en español significa “Detección y localización
por ondas radioeléctricas”.
Es una técnica que permite la
radiolocalización de objetos, mediante la emisión de unas ondas de radio
de determinada frecuencia que al reflejarse sobre un cuerpo sólido vuelve
al aparato emisor. El tiempo que transcurre desde la emisión hasta la recepción de dicha onda por un aparato receptor, proporciona información sobre
la distancia a que se encuentra el objeto y si está en movimiento, y su dirección en el espacio.
Los primeros experimentos sobre
radiolocalización se iniciaron durante
la Primera Guerra Mundial, pero fue
en 1935 cuando se concibió el aparato que lleva el nombre de radar, que
permitía obtener automáticamente
tanto el ángulo de situación (el vertical y el horizontal) como la distancia.
Para ello, los científicos se basaron en
el vuelo que los murciélados realizan
en la oscuridad, ya que emiten un grito supersónico siendo el eco del mismo el que les previene de obstáculos y
peligros.
La técnica de estos radares se perfeccionó y utilizó mucho en la Segunda
Guerra Mundial, especialmente por
Inglaterra.
El radar se ha desarrollado hasta límites inimaginables.
GRADUACIÓN DE LOS EJES.
CAMBIOS EN LA UNIDAD
UNA ISLA CURIOSA
Hay una isla de origen volcánico que a lo largo del tiempo aparece y desaparece.
213
En el gráfico siguiente puedes observar su evolución en los últimos 36
siglos.
a) ¿A qué altura se encontraba el punto más alto de la isla al comienzo del
siglo sexto antes de Cristo?
b) ¿En qué momento dicho punto se encuentra a 90 metros sobre el nivel
del mar?
c) ¿Qué coordenadas tiene el punto A? ¿Qué indican?
d) ¿Durante qué periodos de tiempo ha estado la isla sumergida?
e) ¿Qué magnitudes aparecen en los ejes de coordenadas? ¿Qué unidades
se han utilizado?
f) La unidad en cada uno de los ejes ¿tiene el mismo tamaño?, es decir,
¿están graduados los ejes de la misma forma?
g) Con los datos de la gráfica anterior construye una nueva gráfica duplicando el tamaño de la unidad sólo en el eje de abscisas.
h) Compara la gráfica obtenida con la inicial.
i) Ahora, con los mismos datos de la gráfica inicial construye otra triplicando
el tamaño de la unidad sólo en el eje de ordenadas.
j) Compara esta nueva gráfica que has obtenido con la inicial. ¿Qué efecto
produce el cambio de escala?
• Al representar los valores de una magnitud, la unidad que tomemos ha de estar en
concordancia con su tamaño.
• Las unidades que elijamos en cada eje pueden ser de igual o distinto tamaño, dependiendo de las magnitudes representadas y de los valores numéricos que tomen.
Observa
Es importante expresar cuál es la unidad que se toma en cada eje a la hora de la construcción de una gráfica.
214
OBSERVANDO
GRÁFICAS
La siguiente actividad es para que recuerdes cómo leer, describir e interpretar gráficas.
NOS VAMOS DE EXCURSIÓN
Una excursión en bicicleta de montaña viene descrita por la gráfica que
aquí se muestra:
distancia al punto de partida
(en km)
20
15
10
1
1,5
2
3
3,5
5
tiempo
(en horas)
a) ¿Qué magnitudes se relacionan en la gráfica? ¿En qué unidades se
expresan?
b) Describe textualmente dicha excursión.
c) ¿A qué distancia del punto de partida se encuentran los excursionistas al
cabo de una hora?
d) ¿Qué tiempo ha transcurrido cuando los excursionistas se encuentran a
20 kilómetros del punto de partida?
e) ¿Cuánto tiempo duró la excursión?
f) ¿Cuál fue la distancia más lejana del punto de partida a la que se encontraron?
Recuerda
A las magnitudes, como tiempo, distancia al punto de partida,..., que
venimos utilizando y representando en los ejes de coordenadas, las llamamos variables, porque pueden tomar distintos valores.
215
CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
La primera impresión que nos ofrece una gráfica son las variaciones que
presenta. Vamos a interpretarlas expresándolas matemáticamente y en términos del contexto en el que se desarrollan.
EN UNA GASOLINERA
Al cerrar caja al término de cada uno de los días de la primera quincena de
julio de este año, el dueño de una gasolinera anota el número de litros de
gasolina vendidos y con esta información construye la gráfica siguiente:
a) Describe la evolución de las ventas de gasolina.
b) En el intervalo que va desde el 1 al 3 de julio la gráfica es descendente,
lo que significa que decrecen las ventas de gasolina en ese periodo de
tiempo. Di otros intervalos de tiempo en que ocurra lo mismo.
c) ¿En qué intervalos la gráfica es ascendente? ¿Coinciden con aquellos en
los que la cantidad de gasolina vendida aumenta?
d) ¿En qué días cambia la gráfica de descendente a ascendente?
e) ¿En qué días ocurre lo contrario?
f) ¿Qué ocurre en los días 10, 11 y 12 del mes de julio?
g) ¿Pueden unirse los puntos de la gráfica?
h) ¿Tienes una información precisa de la evolución de la cantidad de gasolina vendida?
216
EL CONSUMO DE AGUA
El contador de agua de un lavadero de coches que abre las 24 horas nos
permite anotar el consumo de agua en todo instante, Quini y Eva recogen
toda esta información y elaboran la gráfica siguiente:
a) ¿En qué intervalo de tiempo se estudia el consumo?
b) ¿Entre qué valores varía el consumo de agua?
c) Explica en tu libreta de actividades la evolución del consumo de agua a
lo largo del día.
d) ¿En qué intervalos de tiempo la gráfica es ascendente? ¿Y descendente?
¿Qué significado tiene con respecto al consumo de agua?
e) ¿En qué intervalo el consumo no varía?
Definición
Una gráfica es creciente en un intervalo
cuando al aumentar el valor de la variable
representada en el eje de abscisas, aumenta el valor de la variable representada en
el eje de ordenadas.
El aspecto de un gráfica creciente puede
ser, por ejemplo:
217
Definición
Una gráfica es decreciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de
la variable representada en el eje de abscisas,
disminuye el valor de la variable representada en el eje de ordenadas.
El aspecto de un gráfica decreciente puede
ser, por ejemplo:
f) Señala los tramos de la gráfica en los que el consumo sea creciente.
g) Señala igualmente los tramos en los que el consumo sea decreciente.
Definición
Una gráfica es constante en un intervalo si
todos los puntos de la gráfica tienen la misma
ordenada.
El aspecto de una gráfica constante puede ser,
por ejemplo:
h) Señala el tramo de la gráfica en el que el consumo se mantenga
constante.
Observa
La gráfica del “consumo de agua”, que estamos estudiando, no siempre es ascendente o descendente. Hay puntos de la misma en los que cambia de creciente a
decreciente, o viceversa.
i) ¿En qué instantes el consumo pasa de disminuir a aumentar?
j) ¿En qué momento el consumo para de aumentar a disminuir?
Definición
Un punto en el que la gráfica cambia de creciente a decreciente o viceversa es
un “extremo”.
Si a la izquierda del punto la gráfica es creciente y a la derecha decreciente,
tal punto “extremo” es un máximo relativo.
Si a la izquierda del punto la gráfica es decreciente y a la derecha creciente,
tal punto “extremo” es un mínimo relativo.
218
k) Localiza los puntos de la gráfica que sean “extremos”.
l) Señala los máximos y mínimos relativos que presenta la gráfica del
consumo de agua.
m) ¿A qué hora se gastó más agua? ¿Cuál fue el consumo?
n) ¿A que hora se gasta menos agua? ¿Cuánto se consumió?
Definición
La mayor ordenada correspondiente a un punto de una gráfica, caracteriza a
ese punto como máximo absoluto de entre los de la gráfica.
La menor ordenada correspondiente a un punto de una gráfica, caracteriza a ese
punto como mínimo absoluto de entre los de la gráfica.
ñ) ¿Cuáles son el máximo y el mínimo absoluto del consumo de agua?
DISTINTAS FORMAS DE
CRECIMIENTO
UNA VISITA AL LABORATORIO
En un laboratorio hay tres recipientes de igual capacidad y altura pero con
distintas formas.
Los llenas de agua a través de un grifo de caudal constante y vas
observando cómo varían sus alturas a lo largo del tiempo.
a) Haz una gráfica para cada recipiente en la que se relacione, de
forma aproximada, el tiempo y la altura que va alcanzando el
liquido.
Caudal:
Cantidad de líquido que
sale, pasa o corre por unidad de tiempo.
219
b) Dispones de estas otras gráficas:
Asocia a cada recipiente la gráfica que representa mejor cómo se llena.
c) Las gráficas anteriores son siempre crecientes.
¿Qué diferencias observas entre las distintas formas de crecimiento de
dichas gráficas?
CONTINUAMOS EN EL LABORATORIO
Una vez llenos los recipientes hay que vaciarlos, para lo cual abrimos los
grifos, que tienen igual caudal de salida.
Describe el vaciado contestando a las siguientes cuestiones:
a) Haz una gráfica para cada recipiente en la cual se relacione, de forma
aproximada, el tiempo con la altura que marca el nivel del líquido a lo
largo del vaciado.
b) ¿Cómo es cada gráfica? ¿Siempre crecen? ¿Siempre decrecen?
c) ¿Lo hacen al mismo ritmo?
d) Discute dentro de tu grupo de trabajo las opciones que los demás hayan
adoptado.
Observa
Una gráfica al crecer puede hacerlo de una forma más rápida, menos rápida o
manteniendo el mismo ritmo.
Idénticas consideraciones podemos hacer para las gráficas decrecientes.
220
GRÁFICAS
DISCONTINUAS
EL COSTE DEL TELÉFONO
Eva cuenta a Nico que una llamada telefónica urbana cuesta 20
céntimos de euro al inicio y permite hablar durante 1 minuto;
por cada nuevo minuto, 8 céntimos de euro más.
Con esta información:
a) Haz una tabla en la cual se muestre el precio de una llamada a lo largo de
los 15 primeros minutos.
b) ¿Cuánto cuesta una llamada de 4 minutos?, ¿y de 4 minutos y medio?
c) ¿Puedes calcular el precio de una llamada cualquiera que sea su duración? ¿Cómo?
d) Con 90 céntimos de euro, ¿cuántos minutos podrías hablar?, ¿y con 1
euro?
e) Haz una gráfica relacionando las variables tiempo transcurrido y el precio de la llamada. (Sugerencia: utiliza la tabla del apartado a)).
f) ¿Qué ocurre en la gráfica cuando el tiempo es 1, 2, 3,... minutos?
Para los valores del tiempo, 1, 2, 3,..., minutos en la gráfica se produce un salto ya que el
precio sufre un aumento brusco, un salto. En dichos valores la gráfica se dice que es discontinua
y los puntos de abscisa 1, 2, 3,..., se llaman puntos de discontinuidad.
g) ¿Puedes prolongar la gráfica?
LOS TIPOS DE INTERÉS
El gráfico de la evolución de los distintos tipos de interés en
España, reflejado en la prensa, durante un cierto periodo de tiempo, es el siguiente:
Evolución de los tipos de interés
tipos de
interés
11
10
9
8
8,00%
7,75% 7,50%
7,35%
8,50%
9,25%
9,00% 8,75%
8,25%
7,75% 7,50%
7
6
22
Abril
94
13
3
4
14
2
Mayo Agost Enero Marzo Junio
94
94
95
95
95
22
Dic
95
12
13
4
7
Enero Marzo Abril Mayo
96
96
96
96
221
a) Comenta cómo ha sido la evolución.
b) ¿Qué cambios consideras más importantes?
c) ¿Cuál ha sido el máximo tipo de interés?
¿En qué mes se alcanzó?
El Banco de España presta
d) ¿Cuál ha sido el mínimo tipo de interés?
dinero a los Bancos y Cajas
de Ahorros a un tipo de in¿En qué mes se alcanzó?
terés que es el que muestra
e) ¿Cuál sería el tipo de interés el 15 de Febrero de 1996?
la gráfica. Los Bancos y
¿Podrías deducirlo de la gráfica?
Cajas, a su vez, prestan el
f) Teniendo presente la cuestión anterior, ¿piensas que la repredinero a los demás pero a
sentación es correcta? ¿Da la gráfica una imagen deformada
un precio superior.
de la realidad?
g) ¿Qué opinas de los intervalos de tiempo que se han tomado en el eje de
abscisas?
h) Haz otra gráfica con los datos que aparecen en la gráfica anterior, que se
ajuste mejor a la realidad.
i) ¿Hay puntos de discontinuidad en la gráfica que acabas de realizar? ¿Cuáles
son?
j) ¿Puedes prolongar la gráfica?
Tipo de interés:
Rédito o tanto por ciento al
que se presta un dinero.
Observa
Las gráficas que aparecen en los medios de comunicación, a veces, no están bien
construidas, como ocurre en la anterior. Por eso hay que mirarlas con espíritu
crítico y ojo matemático.
PROLONGANDO
GRÁFICAS
UNA REPRODUCCIÓN POR BIPARTICIÓN
Escherichia coli:
Bacteria más utilizada en lo laboratorios para la investigación
biológica, médica, farmaceútica, etc. Incluso se utiliza para
medir la potabilidad del agua.
222
Ya sabes que la bacteria Escherichia coli se reproduce por
bipartición; es decir, bajo condiciones adecuadas, esta bacteria
cada 30 minutos, aproximadamente, da lugar a dos nuevas bacterias. Teniendo en cuenta esto y partiendo de una de ellas, mediante técnicas de reproducción en un laboratorio, se ha observado que en un determinado momento existen 32 bacterias. Este
momento lo consideramos como punto de partida para contar el
tiempo y le asignamos el valor 0 (t = 0).
a) ¿Cuántas bacterias había hace 30 minutos? ¿y hace una hora?
b) ¿Cuántas habrá dentro de 2 horas?
c) Con la información anterior, completa la tabla:
-30
tiempo (en min.)
nº de bacterias
0
60
32
128
120
d) Haz una gráfica con los datos de la tabla anterior.
e) ¿Puedes prolongar la gráfica?
f) ¿Pueden unirse los puntos de la gráfica?
Observa
La posibilidad de ampliación o no de la gráfica, fuera del intervalo de trabajo o
dentro de él, debe tener sentido para el problema que queramos resolver.
EL JUEGO DE LOS CUADRADOS
Nuestra amiga Eva se entretiene haciendo cuadrados de diferentes lados y
va calculando el área de dichos cuadrados.
a) Recoge esta información y complétala en la tabla siguiente donde se relaciona el lado del cuadrado con su superficie.
Hemos anotado algunos datos que nos ha dicho Eva.
lado (en cm)
0.8
l.5
superficie (en cm2)
0.64
2.25
b) Partiendo de esta tabla, haz una gráfica situando la longitud del lado en
el eje de abscisas y la superficie en el de ordenadas.
c) Haz otra gráfica pero colocando ahora la longitud del lado en el eje de
ordenadas y la superficie en el de abscisas.
d) ¿Ambas gráficas son crecientes?, ¿decrecientes?
e) ¿Lo hacen siempre al mismo ritmo?
f) ¿Existen puntos de discontinuidad?
g) ¿Podemos prolongar las gráficas?
Observa
En algunas ocasiones, es posible cambiar el orden de las variables representadas
en los ejes; es decir, podemos, como en esta actividad, representar en el eje de
abscisas la longitud del lado y en el eje de ordenadas el área, o al contrario.
223
INTERVALO DONDE SE
DESARROLLA LA GRÁFICA.
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
En la gráfica siguiente se relacionan el tiempo con la cantidad de gasóleo
que hay en cada momento y a lo largo de un día en la caldera de calefacción
del edificio de una comunidad de vecinos.
a) Comenta la evolución de esta gráfica.
b) Expón el significado de los puntos B, C, E, F y G de la gráfica.
c) En los puntos A y D la gráfica corta a los ejes de coordenadas. Interpreta
el significado de cada uno de ellos.
d) ¿Qué intervalo de tiempo se considera en la gráfica?
e) ¿En qué intervalo varía la cantidad de gasóleo en la caldera de calefacción a lo largo de todo el día?
Observa
Es importante conocer y precisar el intervalo donde se desarrolla la variable representada en el eje horizontal, así como los valores que toma la variable representada en el eje vertical.
Asimismo, hay que comprender e interpretar el significado de los puntos de corte
de la gráfica con los ejes.
f) Di en qué intervalos de tiempo la gráfica es creciente, decreciente o
constante.
g) ¿En qué puntos hay máximos o mínimos relativos?
224
TRADUCCIONES
Hasta ahora has estado trabajando simultánea y fundamentalmente con datos, enunciados, tablas y gráficas; en cada caso el lenguaje utilizado es diferente.
Traducir significa pasar lo expresado en un lenguaje a otro distinto. Así
aprenderás a pasar de un enunciado a una tabla, de una tabla a una gráfica,
de una gráfica a una tabla,...
DECIDIR, ENTRE VARIAS
GRÁFICAS, CUÁL RESPONDE A UN
ENUNCIADO O TABLA
A la vuelta de las vacaciones Eva le escribió a un amigo lo siguiente:
“Durante un viaje en avioneta tuve la ocasión de estar junto al piloto y
poder observar de cerca sus maniobras. El despegue fue suave y alcanzamos poca altura aunque inmediatamente después ascendimos bruscamente consiguiendo situarnos a una gran altitud que la mantuvimos durante cierto tiempo hasta que una ráfaga de viento nos hizo perder un
poco de altura y con esta nueva altura continuamos otro rato. Al divisar
la ciudad de destino el piloto descendió muy brusca y rápidamente hasta
una altura relativamente cercana al suelo y con esta altitud comenzó la
maniobra de aproximación que duró bastante tiempo pues el tráfico del
aeropuerto estaba saturado. A continuación aterrizó muy lentamente”.
Decide cuál de la gráficas siguientes se ajusta mejor al enunciado que acaba
de narrar Eva.
225
El mismo piloto realizó, al día siguiente, un nuevo viaje a otra ciudad y
anotó esta tabla de vuelo.
tiempo (en minutos)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
altura (en metros)
0
5
100 100 100 125 125
75
75
0
Decide cuál de las gráficas de la actividad anterior se adapta mejor a esta
tabla. Justifícalo razonadamente.
Inventa enunciados y tablas que se adapten a las gráficas que no hayas elegido en las actividades anteriores.
Observa
Con estas actividades estás pasando de un lenguaje a otro, o sea, estás traduciendo.
226
DECIDIR, ENTRE VARIOS
ENUNCIADOS O TABLAS, CUÁL
RESPONDE A UNA GRÁFICA
La profesora muestra a la clase la GRÁFICA I que describe cómo evoluciona, generalmente, la estatura de una persona con la edad, y le pide a cada
uno que relate cómo ha sido la de su abuelo o abuela.
Nuestros amigos escriben los siguientes enunciados.
Ana:
“Mi abuela cuando nació era muy pequeña pero como le gustaba mucho
comer creció muy rápidamente. Cuando alcanzó los 30 años su estatura
se quedó estable”.
Nico:
“Mi abuelo es un atleta. Nació ya siendo un niño muy fuerte y alto. Como
además siempre ha ido a un gimnasio, su crecimiento a partir de los 25
años aunque más lento, nunca se ha detenido”.
Quini:
“Mi abuelo debido a su trabajo lleva una vida muy tranquila. El dice
que creció hasta que hizo la mili, se mantuvo hasta los 35 años y a partir
de esa edad su estatura decreció muy lentamente”.
a) ¿Cuál de estos enunciados se adapta mejor a la GRÁFICA I?
b) Explica razonadamente tu decisión anterior.
c) Construye una gráfica para cada enunciado que no hayas elegido.
227
Varios libros nos muestran las siguientes tablas relativas a dicha evolución:
Edad
Estatura
Edad
Estatura
Edad
Estatura
(años)
(cm)
(años)
(cm)
(año)
(cm)
1
70
1
75
60
163
5
72
5
110
50
162
10
120
10
130
40
161
20
160
14
160
30
160
30
165
18
175
20
159
40
170
25
176
10
158
50
175
40
174
5
150
60
178
60
170
1
120
d) ¿Cuál de estas tablas se adapta mejor a la GRÁFICA I?
e) Explícalo razonadamente.
f) Construye gráficas que se adapten a las tablas que nos hayas elegido de
la actividad anterior.
LECTURA DE UNA GRÁFICA
Y DE UNA TABLA
A la vuelta de una excursión, la profesora pide a la clase que se la describan
de la forma más breve.
Nico, al que le gustan mucho las gráficas y que es muy original, entregó
ésta:
distancia recorrida
(en km)
tiempo
(en horas)
En ella se muestra la relación entre el tiempo transcurrido y la distancia
recorrida, incluida la vuelta que se hizo por un camino más corto.
228
A la profesora le gusta mucho el lenguaje utilizado por Nico y se lo muestra
a la clase, haciéndoles las siguientes preguntas a las que tú debes también
responder:
a) Describe qué representan los segmentos AB, BC, y CD en la gráfica.
b) ¿Qué significado tiene la mayor o menor inclinación de dichos
segmentos?
c) ¿Puedes deducir de esta gráfica la velocidad con la que hemos recorrido
cada tramo?
d) ¿En qué tramo se ha ido más de prisa?
e) Inventa una excursión cuyo itinerario responda a la gráfica anterior y
escríbela textualmente.
En la siguiente gráfica se relacionan el tiempo transcurrido y la distancia al
punto de partida en otra excursión. Obsérvala detenidamente.
distancia al punto de partida
(en km)
tiempo
(en horas)
Contesta ahora a las preguntas:
a) ¿Qué tiempo hemos empleado en el trayecto ?
b) ¿Qué hacíamos a las 2 horas de salir?
c) ¿A qué hora estábamos más lejos del punto de partida?
d) Inventa un itinerario que responda a la gráfica anterior.
e) Compáralo con los de tu grupo de trabajo. ¿Hay más soluciones?
Observa
Es importante analizar el significado de las variables representadas en los ejes
coordenados. En las gráficas de las dos últimas actividades, no es lo mismo hablar de distancia recorrida, que de distancia al punto de partida.
229
La siguiente tabla muestra cómo es izada la bandera de nuestra Comunidad
durante unos campeonatos:
tiempo
(en segundos)
0
5
10 15
20
25 30
35 40
45
50
55 60
65 70 75
1
3
4
4
4.7 5.4 6.1 6.8 7.5
altura
(en metros)
0
0.2 0.4 0.6 0.8
2
4
a) ¿Puedes deducir de esta tabla la velocidad con que fue izada la bandera?
b) ¿En qué momentos se ha ido más de prisa?
c) ¿Qué tiempo hemos empleado en el trayecto?
d) ¿Qué pasaba con la bandera a los 45 segundos de iniciarse el himno?
e) Describe con un enunciado cómo fue izada la bandera.
f) Mejora la descripción anterior haciendo una gráfica.
A PARTIR DE UN ENUNCIADO,
HACER UN BOCETO DE LA
GRÁFICA
Imagínate cómo evoluciona tu apetito a lo largo de las 24 horas
de un día normal de clase y describe textualmente dicha evolución. Partiendo de ese enunciado, realiza un boceto de la gráfica que relacione las variables tiempo y apetito. Para que te sea
más fácil, sitúa la variable tiempo sobre el eje de abscisas.
tiempo
¿Has hecho el boceto de la gráfica? ¿Puedes hacer una tabla?
¿Puedes entonces mejorara el boceto?
Observa
En este caso no puedes hacer una tabla ni mejorar el boceto que hayas podido
realizar, ya que una de las variables, la del apetito, es cualitativa y no se le puede
asignar una cantidad o número.
En una tienda de golosinas hay un cartel que dice: “TODO a 3 euros el
kilogramo”. Nuestros cuatro amigos compran cada uno 0.125 kg, 0.5 kg,
0.25 kg y 0.375 kg.
a) Haz un boceto de la gráfica de puntos que relacione las variables peso e
importe.
b) ¿Podrías unir los puntos de la gráfica?
230
c) Completa la siguiente tabla:
peso (en kilogramos)
0.125
0.25
0.375
0.5
importe (en euros)
d) Mejora la gráfica que hiciste a la vista de la tabla, si lo necesitas amplía
previamente dicha tabla.
e) ¿Cómo es la gráfica que obtienes? ¿Qué tiene de particular?
Observa
En este caso el poder hacer la tabla te ha permitido mejorar el boceto inicial de la
gráfica, ya que las dos variables, peso e importe, son cuantitativas y se pueden medir.
f) ¿Tendrías que pagar el doble si el peso es el doble?, ¿y el triple para el
triple de peso?
g) ¿Por qué número has multiplicado los kilogramos comprados para obtener el importe de la compra?
h) ¿Puedes expresar la relación de dependencia entre peso e importe de
alguna forma?
i) ¿Se puede saber el importe de 2.75 kilogramos?, ¿y el de cualquier otra
cantidad?
A PARTIR DE UNA TABLA: CONSTRUIR
LA GRÁFICA DE PUNTOS Y DECIDIR SI
PUEDEN UNIRSE
Un coche circulando a una determinada velocidad consume 8 litros cada
100 kilómetros.
a) Completa la siguiente tabla:
distancia (en kilómetros)
consumo (en litros)
100
200
300
400
500
750
875 1200
8
b) Representa la gráfica de puntos.
c) ¿Cómo has elegido las unidades para representar cada una de las
variables?
d) Comprueba si se pueden unir dichos puntos y de qué manera se puede
hacer.
e) ¿Se puede predecir el consumo a los 125000 kilómetros?
231
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
DEPENDENCIAS
UNA OFERTA DE “VALES DE GASOLINA”
Ana y Quini van a un hipermercado. Les llama la atención una oferta basada
en un anuncio que dice: “Le regalamos el 5% del importe de su compra, en
vales de gasolina”.
a) Haz un boceto de la gráfica de puntos que relacione las variables importe y vales.
b) ¿Podrías unir los puntos de la gráfica?
c) Completa la siguiente tabla:
importe (en euros)
1
vales (en céntimos)
5
2
3
4
6
9
38
d) A la vista de la tabla mejora la gráfica que hiciste. Si lo necesitas, amplía
previamente dicha tabla.
e) ¿Cómo es la gráfica que obtienes? ¿Qué tiene de particular?
En esta actividad hemos relacionado las variables importe y vales. La variable vales “depende” del importe de la compra; por eso, a la variable vales la
llamamos “variable dependiente” y a la variable importe que puedo elegir
“libremente”, la llamamos “variable independiente”.
Definición
En una gráfica se relacionan dos variables; a la que elegimos libremente y la
representamos en el eje de abscisas, la llamamos variable independiente, y
a la que depende de la otra, que representamos en el eje de ordenadas, la llamamos variable dependiente.
A la variable dependiente vales la podemos nombrar de esa misma forma,
es decir, por su propio nombre, o bien de forma más simplificada con la
letra inicial “v” si interviene en una expresión algebraica.
A la variable independiente importe la podemos nombrar de esa misma forma, es decir, por su propio nombre, o bien de forma más simplificada con la
letra incial “i” si interviene en una expresión algebraica.
232
LA RELACIÓN DE DEPENDENCIA
IMPORTANTE: FUNCIÓN
Dibuja varios cuadros sobre papel cuadriculado y halla sus perímetros. Construye una tabla donde se relacionen las variables lado del cuadrado y perímetro del mismo.
lado
perímetro
a) ¿Cómo has calculado el perímetro?
b) Si el lado de un cuadrado es el doble que el de otro ¿lo es también su
perímetro?
c) Si el lado de un cuadrado es el triple que el de otro ¿qué ocurre con su
perímetro? ¿Y si es la mitad?
d) Haz una gráfica donde se relacionen el lado con el perímetro de cada
cuadrado.
e) ¿Cómo es la gráfica?
f) Para cada longitud del “lado” ¿cuántos valores encuentras para “el perímetro”?
g) La relación de dependencia entre ambas variables viene expresada por:
perímetro=
lado, o también
p=
l
Escribe el número que debes poner en el recuadro anterior.
Cuando hayas escrito dicho número en la expresión anterior, haFórmula:
brás descubierto la “fórmula” que te permite calcular el perímeResultado de un cálculo,
tro de cualquier cuadrado conocido el lado del mismo.
cuya expresión matemática
sirve de regla general para
Las letras l y p, que aparecen en la fórmula no son “incógnitas” a
la resolución de todos los
determinar sino “variables”.
casos análogos.
Esta fórmula permite calcular, cada vez que le asignemos un valor a la variable l, el valor correspondiente para la variable p.
Así, para cada valor de l, obtenemos un único valor para p.
Compruébalo eligiendo un valor para el lado, por ejemplo, l = 70, y haciendo uso de la fórmula calcula el valor del perímetro p.
La variable l que elegimos libremente es la variable independiente, y la
variable p que calculamos a partir de l es la variable dependiente.
233
Definición
La relación de dependencia entre dos variables se llama función cuando a cada
valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la
variable dependiente.
h) ¿Es una función la relación de dependencia entre las variables perímetro
y lado del cuadrado?
Observa
La fórmula que has obtenido te ha permitido definir una función.
DEPENDENCIAS
NO FUNCIONALES
Ana ve en una revista
científica una gráfica
donde se relaciona la
“edad cronológica”
con la “edad mental”
de un grupo de estudiantes de
E.S.O.
edad mental
edad
cronológica
Edad mental:
Edad de una persona como resultado de aplicar una escala
métrica de la inteligencia, no
coincidiendo siempre con la
edad cronológica.
Edad cronológica:
Tiempo que una persona ha vivido, a contar desde que nació.
Observa la gráfica detenidamente y contesta a las cuestiones
siguientes.
a) Una alumna tiene 12 años de edad cronológica, ¿cuál es su
edad mental?
b) Otro alumno tiene 15 años de edad cronológica, ¿cuál es su
edad mental?
c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?
d) Presta atención a los puntos representados en la gráfica.
¿Corresponde a cada valor de la variable edad cronológica
un único valor de la variable edad mental?
e) ¿Es funcional esta relación de dependencia?
Observa
No todas las relaciones de dependencia entre dos variables son funcionales.
234