480 - Maralboran.org

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 60
FACILIDADES DE PAGO
FRIGORÍFICO
EN TODOS LOS ARTÍCULOS:
480 €
25%
A LA ENTREGA
RESTO: EN 12 MENSUALIDADES SIN RECARGO
En esta unidad vas a revisar algunas técnicas y razonamientos que se utilizan en la
resolución de situaciones cotidianas. Es decir, vas a fijar procedimientos que tienen una aplicación inmediata en problemas a los que nos enfrentamos todos los
días. Y ahí radica su importancia: vas a trabajar con matemáticas prácticas; matemáticas para la vida.
¿Qué cantidad, de entrada, debe pagar un cliente que compre el frigorífico?
¿Qué cantidad pagará en cada una de las doces mensualidades pendientes?
25% de 480 € = 25 · 480 = 120 €
100
480 – 120 = 360 €
ENTRADA:
Cada mensualidad será de: 360 = 30 €
12
Un cliente ha pagado una entrada de 80 € en la compra de un televisor. ¿Cuál
era el precio del aparato?
El 25% del precio del televisor son 80 €.
El televisor cuesta 80 · 100 = 320 €.
25
¿Cuál es el precio de una lavadora, sabiendo que cada una de las doce mensualidades aplazadas asciende a 39 €?
Las doce mensualidades suponen el 75% del precio de la lavadora.
12 MENSUALIDADES → 39 · 12 = 468 €
PRECIO TOTAL
= 468 · 100 = 624 €
75
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 2
Página 61
1 Una sandía de 3,4 kg ha costado 2,21 €. ¿Cuánto costará otra sandía de 4,8 kg?

A más kilos de sandía, más dinero

A menos kilos de sandía, menos dinero 
(kg)
3,4
4,8
PESO
PRECIO (€)
2,21
x
El precio de la sandía es directamente proporcional a su peso.

 3,4
= 2,21 → x = 4,8 · 2,21 = 3,12

x
3,4
 4,8

Una sandía de 4,8 kg costará 3,12 €.
2 Si cada día gasto 3,6 €, mis ahorros durarán 15 días. ¿Cuánto durarían si gastase 4,5 € diarios?
A más gasto diario, menos días durarán los ahorros; a menos gasto diario, más
días durarán los ahorros. La duración del dinero ahorrado es inversamente proporcional al gasto diario de ellos.
GASTO DIARIO
DÍAS QUE DURAN
3,6
4,5
15
x

 3,6
= x

15
 4,5

→ x = 3,6 · 15 = 12
4,5
Gastando 4,5 € al día, los ahorros durarían 12 días.
3 Un hortelano tiene agua almacenada en su pilón para regar un campo de dos
hectáreas durante tres días. ¿Cuánto le duraría el agua si decidiera regar solamente 1,2 ha?
A más hectáreas, menos días 

A menos hectáreas, más días 
El número de días para regar un campo con una cantidad fija de agua, es inversamente proporcional al número de hectáreas del campo.
No- DE HECTÁREAS
No- DE DÍAS
2
1,2
3
x

 2
= x

 1,2 3

→ x= 2·3 =5
1,2
El agua le duraría 5 días si decidiese regar 1,2 ha.
4 En el comedor del colegio se han consumido 132 barras de pan durante tres
días. ¿Qué presupuesto debe destinar el administrador del comedor para la
compra de pan cada semana, sabiendo que una barra cuesta 0,35 €?

A más días, más barras de pan se consumen

A menos días, menos barras de pan se consumen 
El número de días es directamente proporcional al número de barras de pan
consumidas. Consideramos que, durante una semana, solo 5 días se abre el comedor del colegio.
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 3
No- DE DÍAS
BARRAS DE PAN
3
5
132
x

 3 132
=
→ x = 132 · 5 = 220

x
3
 5

En una semana se consumirán 220 barras de pan.
Presupuesto = 220 · 0,35 = 77 € a la semana.
5 Ricardo compra en la pescadería tres cuartos de kilo de calamares a 8,60 €/kg
y una pescadilla de 650 gramos a 6,20 €/kg. ¿Cuánto le devolverán si paga
con un billete de 20 euros?
 El precio de un producto es directamente
A más peso, más precio

A menos peso, menos precio  proporcional al peso que tenga.
Calamares
PESO
(kg)
(€)
8,60
x


 → x = 8,60 · 0,75 = 6,45 €


(€)
6,20
x


 → x = 6,20 · 0,650 = 4,03 €


PRECIO
1
3/4 = 0,75
Pescadilla
PESO
(kg)
PRECIO
1
0,650
TOTAL PAGADO
= 6,45 + 4,03 = 10,48 €
Pagando con un billete de 20 €, le devolverán 9,52 €.
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6 Una empresa de jardinería ha cobrado 30 € por el alquiler de una máquina
cortacésped durante 5 días. ¿Cuánto recibirá por el alquiler de dos cortacésped
durante 4 días?
El número de máquinas cortacésped y el número de días son directamente proporcionales al coste del alquiler.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
N-o DE MÁQUINAS
N-o DE DÍAS
1
2
5
4
COSTE
30
x
(€) 
 1·5
= 30

x
 2·4

→
→ x = 30 · 2 · 4 = 48
1·5
La empresa ha cobrado 48 € por el alquiler de 2 máquinas durante 4 días.
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 4
7 Con un caño que arroja un caudal de medio litro por segundo, se llena un camión cisterna en 3 horas. ¿Qué caudal debería proporcionar el caño para llenar dos cisternas a la hora?
El número de cisternas que se llenan es directamente proporcional al caudal. El
tiempo que tarda en llenarse una cisterna es inversamente proporcional al caudal.
P. DIRECTA
P. INVERSA
N-o DE CISTERNAS
TIEMPO
1
2
(h)
CAUDAL
3
1
(l/s) 
 1·1
= 0,5

x
 2·3

0,5
x
→
→ x = 2 · 3 · 0,5 = 3
1
Para llenar dos cisternas en una hora, es necesario un caudal de 3 l/s.
8 Una pieza de tela de 2,80 m por 1,20 m cuesta 42 €. ¿Cuál será la longitud de
otra pieza de la misma tela que mide 0,80 m de ancha y cuesta 16,5 €?
El precio de la tela es directamente proporcional a su longitud. El ancho es inversamente proporcional a la longitud.
P. INVERSA
P. DIRECTA
(cm)
120
80
ANCHO
PRECIO (€)
LONGITUD
42
16,5
(cm) 

80 · 42 = 280 →

x
 120 · 16,5

280
x
→ x = 120 · 16,5 · 280 = 165
80 · 42
La longitud de la pieza ha de ser de 1,65 m.
9 Un pintor ha cobrado 480 € por cuatro jornadas de 8 horas. ¿Cuánto cobrarán dos pintores por tres jornadas de 10 horas?
El número de pintores que trabajan y el número de jornadas trabajadas son directamente proporcionales al sueldo cobrado.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
N-o DE PINTORES
JORNADAS
SUELDO
1
2
4
3
480
x

 1·4
= 480 →

x
 2·3

→ x = 480 · 2 · 3 = 720 € trabajando 3 jornadas de 8 h
1·4
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 5
Por 3 jornadas de 1 h cobrarían 720 = 90 €.
8
Por 3 jornadas de 10 h cobrarían 90 · 10 = 900 €.
Dos pintores por tres jornadas de 10 h cobrarían 900 €.
10 Un taller de reprografía, trabajando 8 horas al día, ha obtenido un beneficio
de 1 120 € en 12 días. ¿Qué beneficio obtendrá en los próximos 10 días si
aumenta la jornada laboral en una hora diaria?
El número de horas trabajadas diariamente y el número de días trabajados son
directamente proporcionales al beneficio.
P. DIRECTA
P. DIRECTA
HORAS/DÍA
8
9
N-o DE DÍAS BENEFICIO (€)
12
10
1 120
x

 8 · 12 1 120
=

x
 9 · 10

→
→ x = 9 · 10 · 1 120 = 1 050
8 · 12
Trabajando 9h/día, en los próximos 10 días se obtendrá un beneficio de 1 050 €.
11 Un coche consume 6,5 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Si la gasolina
está a 0,82 € el litro, ¿cuál será el presupuesto para el combustible de un viaje de 480 km?
El consumo de gasolina es directamente proporcional a la distancia recorrida.
CONSUMO
(l )
DISTANCIA
6,5
x
100
480
(km) 




6,5 = 100
x
480
→ x = 6,5 · 480 = 31,2 l
100
El presupuesto es directamente proporcional al número de litros:
31,2 · 0,82 = 25,58 €
Para un viaje de 480 km, el presupuesto es de 25,58 €.
Página 63
12 Una tienda de música vende una partida de discos a 8 € la unidad, y además,
si compras tres, te regalan uno. ¿A cómo le sale cada disco a un cliente que
aprovecha la oferta?
Comprando 3 discos se pagan 8 · 3 = 24 €.
Regalan 1 disco, luego por 4 discos se pagan 24 € → Un disco sale a 24 = 6 €.
4
Aprovechando la oferta, un disco sale a 6 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 6
13 Un estudiante ha realizado cinco exámenes de matemáticas y ha obtenido
tres “cincos” y dos “sietes”. ¿Cuál es su nota media?
Nota media = 3 · 5 + 2 · 7 = 15 + 14 = 29 = 5,8
5
5
5
La nota media es de 5,8.
14 El dueño de un restaurante mezcla 3 litros de aceite que cuesta a 4 € el litro
con 2 litros de otro aceite de mejor calidad que cuesta a 7 € el litro. ¿A cómo
le sale el litro de mezcla?
LITROS
ACEITE INFERIOR
ACEITE SUPERIOR
MEZCLA
3
2
5
€/l
4
7
(€)
3 · 4 = 12
2 · 7 = 14
26
COSTE
Precio mezcla = Coste = 26 = 5,2
Litros
5
El litro de mezcla le sale a 5,2 €/l.
15 Dos hermanas, aprovechando una oferta, compran cinco juegos de toallas
por 175 €. La casada se queda con tres juegos, y la soltera, con dos. ¿Cuánto
debe pagar cada una?
Cinco juegos de toallas cuestan 175 €.
Cada juego de toallas cuesta 175 = 35 €.
5
La cantidad pagada por cada hermana será:
• La casada → 3 · 35 = 105 €
• La soltera → 2 · 35 = 70 €
16 Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica
por un importe de 62,4 €. Amelia llegó al piso hace 60 días; Laura, 20 días
después, y Cristina solo lleva en la casa 20 días. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Amelia lleva en el piso 60 días  Se divide el importe de la

Laura lleva en el piso 40 días  factura entre el número total

Cristina lleva en el piso 20 días  de días 60 + 40 + 20 = 120
62,4 = 0,52 € por día
120
El pago de la factura se hará como sigue:
Amelia → 60 · 0,52 = 31,2 €
Laura → 40 · 0,52 = 20,8 €
Cristina → 20 · 0,52 = 10,4 €
Unidad 4. Problemas aritméticos
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Pág. 7
Página 65
17 Dos hermanos compran un balón que cuesta 42 €. El mayor paga el 60%.
¿Qué porcentaje paga el pequeño? ¿Cuánto supone este porcentaje?
Si el mayor paga el 60%, el pequeño paga el 40%.
40% de 42 € = 0,4 · 42 = 16,8
El pequeño paga 16,8 €.
18 Un ama de casa inicia la compra en la frutería, gastando el 20% del dinero
que llevaba. ¿Con cuánto dinero salió de casa, sabiendo que el gasto en fruta
fue de 15 €?
El 20% del total son 15 € → 0,2 · TOTAL = 15 →
TOTAL
= 15 : 0,2 = 75
Salió de casa con 75 €.
19 Hace un año compré un coche que me costó 8 000 €. Si lo vendiera ahora, me
darían un 35% menos de su valor inicial. ¿Cuál es el precio actual del coche?
El precio actual del coche será el 100% – 35% = 65% del precio inicial:
65% de 8 000 = 0,65 · 8 000 = 5 200
El precio actual del coche es de 5 200 €.
20 Elena tenía en su cuenta 5 000 € y ha adquirido un televisor por 750 €.
¿Qué porcentaje de sus ahorros ha gastado?
De un total de 5 000 €, se han gastado 750 €; ¿cuánto se ha gastado de cada
100 €?
TOTAL
5 000
100

750  5 000 = 750 → x = 750 · 100 = 15
x
5 000
x  100
PARTE
Se ha gastado el 15% de sus ahorros.
21 Alejandro quiere comprar una bicicleta que cuesta 360 €. Su padre se compromete a pagar el 50%, y su abuela, el 30%. ¿Cuánto pagará Alejandro?
Alejandro pagará el 100% – 50% – 30% = 20% de 360 €:
0,2 · 360 = 72 → Alejandro pagará 72 €.
22 Un fontanero cobra 15 € por hora en horario normal, y un 18% más si se le
llama fuera de horario. ¿A cuánto subirá la factura para un arreglo que le ha
exigido dos horas y media de trabajo en la mañana de un domingo?
Unidad 4. Problemas aritméticos
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DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 8
Fuera de horario cobraría 15 + 18% de 15 euros por hora, es decir:
118% de 15 = 1,18 · 15 = 17,7 € por hora
Como trabaja 2 h y media, cobrará: 2,5 · 17,7 = 44,25
Cobrará 44,25 €.
Página 67
1 Calcula el interés simple que produce un capital de 300 000 €, colocado al
2,5%, durante cuatro años.
C = 300 000 €
r = 2,5
t=4


C · r · t = 300 000 · 2,5 · 4 = 30 000
 I=
100
100


El interés que produce es de 30 000 €.
2 Una persona gana un premio de 24 000 € en la lotería y decide colocarlo en
un banco que le ofrece un 4% anual. ¿Qué interés le paga el banco cada año?
¿Qué beneficio obtendrá en cinco años?
Cada año le pagarán de interés el 4% de 24 000:
4% de 24 000 = 4 · 24 000 = 960 €
100
En 5 años, el beneficio que obtendrá será 960 · 5 = 4 800 €.
3 Calcula el interés que producen 40 000 €, colocados al 3% anual, en los siguientes casos:
a) Durante un año
b) Durante un mes
c) Durante cinco meses.
a) Durante un año, el beneficio será:
C = 40 000
r=3
t=1


C · r · t = 40 000 · 3 · 1 = 1 200 €
 I=
100
100


b) Beneficio en 1 mes → 1 200 : 12 = 100 €
c) Beneficio en 5 meses → 100 · 5 = 500 €
4 Un deudor se retrasa tres meses en la devolución de una deuda que tiene unos
intereses de demora del 12% anual. ¿Qué penalización debe pagar por el retraso?
Si los intereses de demora son, en 1 año, el 12% de la deuda, en 1 mes serán el
1% de la deuda y, en 3 meses, la penalización será del 3% de la deuda.
El deudor será penalizado por el retraso en el pago con el 3% de la deuda.
Unidad 4. Problemas aritméticos
41
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Pág. 9
5 Un inversor coloca 40 000 € al 4,5% de interés compuesto anual durante tres
años. ¿Qué capital retirará al cabo de dicho periodo?
Capital inicial = 40 000 €
r = 4,5
t = 3 años
Como los beneficios se suman al capital, este aumenta un 4,5% cada año, esto
es, se multiplica por 1,045. Si se mantiene así durante tres años:
Capital final = 40 000 · 1,045 3 = 45 646,65
Al cabo de 3 años, el capital retirado será de 45 646,65 €.
6 ¿En cuánto se transforman 280 000 € al 6% de interés compuesto al cabo de
diez años?
Capital inicial = 280 000 €
r=6
t = 10 años
Por tratarse de un interés compuesto, el capital aumenta un 6% cada año, es decir, se multiplica por 1,06. Si se mantiene así durante diez años:
Capital final = 280 000 · 1,06 10 = 501 437,36 €
Al cabo de 10 años, 280 000 € se transforman en 501 437,36 €.
7 Calcula la diferencia en los beneficios que se obtendrían con un capital de
8 000 € colocado al 4% durante tres años, según se contrate el depósito a interés simple o compuesto.
Capital inicial = 8 000 €
r=4
t = 3 años
Interés simple
En este caso, los 8 000 € permanecen constantes y los beneficios se retiran
anualmente. Al cabo de 3 años, los beneficios obtenidos serán:
I = C · r · t = 8 000 · 4 · 3 = 960 €
100
100
Interés compuesto
En este caso, los beneficios se suman al capital, luego este aumenta un 4% cada
año, manteniéndose así durante 3 años. El capital final será:
Capital final = 8 000 · 1,04 3 = 8 998,91
Diferencia obtenida = 8 998,91 – 8 000 = 998,91 €
El beneficio es mayor contratando un depósito con interés compuesto, con una
diferencia de 998,91 €.
Unidad 4. Problemas aritméticos
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DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 10
Página 69
1 Un coche viaja a 90 km/h. ¿Qué distancia recorre en 2 h 20 min? ¿Y en 2 h
12 min?
Expresamos el tiempo en una sola unidad:
• 2 h y 20 min → 2 h + 20 h = 2 h + 1 h = 7 h
60
3
3
• 2 h y 12 min → 2 h + 12 h = 2 h + 1 h = 11 h
60
5
5
La distancia recorrida se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo invertido: e = v · t
• Distancia recorrida en 2 h 20 min → e = 90 · 7 = 210 km
3
• Distancia recorrida en 2 h 12 min → e = 90 · 11 = 198 km
5
2 Un camión, a 80 km/h, ha completado el recorrido entre dos poblaciones en
dos horas y cuarto. ¿A qué velocidad debería haber ido para hacerlo en dos horas? ¿Cuánto habría tardado si la velocidad hubiera sido de 100 km/h?
A mayor velocidad, menor es el tiempo invertido. La velocidad y el tiempo son
magnitudes inversamente proporcionales.
Expresamos el tiempo en una sola unidad de medida (horas): 2 h y 15' = 2,25 h
P. INVERSA
(h)
TIEMPO
VELOCIDAD
2,25
2
(km/h) 
 2,25
= x

80
 2

80
x
→ x = 2,25 · 80 = 90
2
Para tardar 2 h debería haber ido a 90 km/h.
P. INVERSA
VELOCIDAD
(km/h)
TIEMPO
80
100
2,25
x
(h) 
 80
= x
→ x = 80 · 2,25 = 1,8

100
 100 2,25

1,8 h = 1 h + 0,8 h = 1 h + 0,8 · 60 min = 1 h 48 min
Si hubiera ido a 100 km/h habría tardado 1 h 48 min.
3 ¿Cuánto tardará una moto, que va a 100 km/h, en alcanzar a un camión que
lleva una velocidad de 65 km/h y tiene una ventaja de 14 km?
MOTO
CAMIÓN
100 km/h
65 km/h
14 km
Unidad 4. Problemas aritméticos
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 11
La moto persigue al camión: vaproximación = 100 – 65 = 35 km/h
A 35 km/h, el tiempo que se tarda en recorrer los 14 km que les separan es:
t = e = 14 = 0,4 h → 0,4 · 60 min = 24 min
v 35
La moto tardará 24 min en alcanzar el camión.
4 Un camión sale de la ciudad A hacia la ciudad B a 80 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un coche a 120 km/h. ¿Cuánto tardarán en encontrarse sabiendo que la distancia entre A y B es de 240 km?
80 km/h
120 km/h
A
B
240 km
El coche y el camión se aproximan a una velocidad de 80 + 120 = 200 km/h.
El tiempo que tardan en recorrer los 240 km que les separan, a 200 km/h, es:
t= e
v
→ t = 240 = 1,2 h = 1 h + 0,2 h = 1 h + 0,2 · 60 min = 1 h 12 min
200
Tardarán en encontrarse 1 h 12 min.
5 Un ciclista hace el recorrido entre A y B en 6 minutos y un peatón el recorrido inverso, de B a A, en 18 minutos. Si salen simultáneamente uno de A
y otro de B, ¿cuánto tardarán en encontrarse?
El ciclista recorre, en 1 min, 1 del recorrido.
6
El peatón recorre, en 1 min, 1 del recorrido.
18
Entre los dos, en 1 min, recorren 1 + 1 = 4 del recorrido
6 18 18
Por tanto, recorren 1 del camino en 1 de min.
18
4
Recorren 18 del camino en 18 de min = 4,5 min
18
4
El ciclista y el peatón tardan en encontrarse 4 minutos y medio.
Unidad 4. Problemas aritméticos