Producto Escalar parte 1
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El Producto escalar para “las comunicaciones” (parte 1) Luca Mar9no Apuntes no revisados Cuidado! Producto Escalar • El “producto escalar”, también conocido como “producto interno” o “producto punto”, es una operación matemá9ca definida sobre dos elementos cuyo resultado es un número (un escalar). Producto Escalar (def. genérica) • El producto escalar entre 2 genéricos elementos x y z, 9ene las siguientes propiedades: 1. Definido Posi9vo < x, x >= 0 < x, x > ≥ 0 El producto escalar dado 2 elementos nos proporciona un numero, un escalar. Si y solo si x=0 < x,z >= es un valor escalar 2. Hermi9cidad (simetría en campo real) € € < x,z >= (< z, x >) * 3. Linealidad € < ax + by,z >= a < z, x > +b < y, x > € Producto Escalar entre vectores • Consideremos 2 vectores de dimensión N x = [a1,a2 ,....aN ] z = [b1,b2 ,....bN ] • Un posible producto escalar en este caso es € N < x, z >= ∑ aibi = a1b1 + a2b2 + ....+ aN bN ai y bi valores reales i=1 N N < x, z >= ∑ aibi* i=1 2 < x, x >= x = ∑ ai2 € valores complejos i=1 Producto Escalar entre vectores • Consideremos ahora 2 vectores de dimensión 2 x = [a1,a2 ] z = [b1,b2 ] < x, z >= a1b1 + a2b2 b2 a2 € € € € € x a1€ z b1 Producto Escalar entre vectores • Hay otra manera de expresarlo < x, z >= a1b1 + a2b2 = < x, z >= x z cos ϑ x = a12 + a22€ 2 2 z = b1 + b2 € € x € x = [a1,a2 ] z = [b1,b2 ] z ϑ x cosϑ € € Por esto si los vectores son ortogonales (cosϑ = 0) < x, z >= 0 € z cosϑ z x ϑ € € € π x ϑ= 2 € z Producto Escalar con un vector unitario • Si un vector es unitario por ejemplo z =1 < x, z >= x ⋅ 1⋅ cosϑ = = x cosϑ € € • € x z ϑ x cosϑ € En este caso el producto escalar € coincide con la proyección de x sobre z donde z = 1 . € € € € € Producto Escalar con vectores unitarios (base ortonormal) • Los ejes en un sistema de referencia están definidos por vectores unitarios v1 = 1 v 2 = 1 < v1, v 2 >= 0 < x, v1 >= x ⋅ 1⋅ cosϑ1 = = x cos € € ϑ1 = €a1 < x, v 2 >= x ⋅ 1⋅ cosϑ 2 = € = x cosϑ 2 = a2 • x a2 v 1 2 ϑ2 ϑ1 € € € v1 1 a1 € € En este caso el producto escalar de x con v 1 y v 2 coincide con las € a x . coordenadas del punto correspondiente < x, v1 >= a1 € < x, v 2 >= a2 € € € € Base ortonormal • Este concepto es muy importante, pues, lo vamos a evidenciar. • Dada una base ortonormal (vectores ortogonales y unitarios) < v v1 = 1 v 2 = 1 1, v 2 >= 0 • Un vector genérico x = ( a 1 ,a 2 ) se puede expresar así: € € € € x = ( < x, v1 >,< x, v 2 >) < x, v€1 >= a1 < x, v 2 >= a2 x a2 v 1 2 ϑ2 ϑ1 € € v1 1 a1 € es un c€oncepto muy importante. • Lo repe9mos porque € € € € Producto Escalar entre vectores infinitos • Se podría incluso pensar a unos vectores infinitos N x = [a1,a2 ,a3 ,....,ai ,...] z = [b1,b2 ,b3 ,....,bi ,...] →+∞ Pensar a señales discretas infinitas (un tren de deltas infinito). € • Y claramente el producto escalar pasará a ser una serie (suma infinita) ∞ < x, z >= ∑ aibi = a1b1 + a2b2 + ....+ aibi + .... i=1 • En este caso se pone el problema de convergencia de la serie. Es decir, en general, esta suma podría divergir a infinito. La convergencia dependerá si la “señales discretas” x y z 9enen “energía finita”. Producto Escalar entre matrices • Para evidenciar que el producto escalar puede ser definido sobre elementos de diferente 9po, como ejemplo damos una la definición de un producto escalar entre matrices llamado “producto interno de Frobenius”. • Dada 2 matrices A, B de dimensiones n × m [ ] A = aij [ ] B = bij i = 1,....,n j = 1.....,m € • El producto escalar de Frobenius está definido como € n m m n T T € < A,B >= tr(AB ) = tr(BA ) = ∑ ∑ aij bij = ∑ ∑ aij bij € i=1 j =1 j =1 i=1 € Producto Escalar entre matrices Claramente, este producto escalar respecta las propiedades definidas en las primeras trasparencias. • Ejemplo ⎡1 6 3 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣7 1 4 ⎦ ⎡8 2 1 ⎤ B = ⎢ ⎥ ⎣0 5 9 ⎦ < A,B >= 1⋅ 8 + 6⋅ 2 + 3⋅ 1+ 7⋅ 0 +1⋅ 5 + 4⋅ 9 = 64 Solo para comprobar la definición podemos calcular € ⎡23€ 57 ⎤ T AB = ⎢ ⎥ ⎣62 41⎦ T tr(AB ) = 23 + 41 = 64 ⎡23 62 ⎤ BA = ⎢ ⎥ ⎣57 41⎦ T T tr(BA ) = 23 + 41 = 64 Producto Escalar entre funciones (señales con9nuas) • Ahora consideraremos señales de energía finita, es decir ∫ +∞ 2 x(t) dt < +∞ −∞ Para señales a valores complejos Que se reduce a +∞ 2 ∫ x(t) dt < +∞ −∞ para señales a valores reales € • En este caso el producto escalar está definido como < x(t),z(t) >= € < x(t),z(t) >= € ∫ +∞ x(t)z * (t)dt −∞ ∫ +∞ x(t)z(t)dt € −∞ señales a valores complejos señales a valores reales Función de correlación como Producto Escalar • Para señales de energía finita, ∫ +∞ 2 x(t) dt < +∞ −∞ • La correlación entre 2 señales está definida como RXZ (τ ) = € € ∫ +∞ −∞ señales a valores complejos x(t)z * (t − τ )dt • Esto es claramente un producto escalar entre una señal y la otra desplazada, € RXZ (τ ) =< x(t),z * (t − τ ) >= ∫ +∞ x(t)z * (t − τ )dt −∞ Función de correlación como Producto Escalar • La autocorrelación queda RX (τ ) =< x(t), x * (t − τ ) >= € ∫ +∞ x(t)x * (t − τ )dt −∞ Convolución como producto escalar • Sabemos que la convolución entre 2 señales está definida como CXY (τ ) = x(t) ∗ y(t) = ∫ +∞ −∞ x(t)y * (τ − t)dt • Se puede ver como un producto escalar € € CXY (τ ) = ∫ +∞ −∞ x(t)y * (τ − t)dt =< x(t), y * (τ − t) > Transformada de Fourier como Producto Escalar • La trasformada de Fourier está definida (una de las muchas posible definiciones) F( f ) = ∫ +∞ −∞ x(t)e − j 2πft dt • Podemos expresarlo como producto escalar entre x(t) y la exponencial compleja e j 2πft € F( f ) =< x(t), (e € j 2πft ) * > ∫ +∞ x(t)e −∞ € − j 2πft dt Recordar que está el conjugado! • En termino de senos y cosenos seria € F( f ) =< x(t),cos(2πft) > − j < x(t),sin(2πft) > Significado del Producto Escalar • El producto escalar, en un cierto sen9do, mide el parecido entre dos vectores/funciones/ señales. • El producto escalar compara dos vectores/funciones/señales. • Cuando 2 elementos son ortogonales (producto escalar nulo) podemos afirmar que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (es decir, NO CORRELACIONADOS). • La correlación (y la autocorrelación) es un producto escalar entre versiones desplazadas de las señales. • La trasformada de Fourier mide el parecido entre la señal y un seno y un coseno (a frecuencia establecida), a través de un producto escalar. Pequeño resumen • Hemos visto diferentes productos escalares entre 2 elementos: Tipo elemento Producto escalar Vectores finitos Suma finita entre las coordenadas Vectores infinitos (señales discretas) Matrices (finitas) Funciones (señales con9nuas) Formula N ∑a b * i i i=1 Suma infinita entre las coordenadas (serie) € Doble suma entre las coordenadas € Integral del producto de las funciones € € +∞ ∑a b * i i i=1 n m ∑∑ a b * ij ij i=1 i=1 ∫ +∞ −∞ x(t)z * (t)dt
