Colegio San Esteban Diácono Deptp. de Matemática Guía de

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Deptp. de Matemática
Guía de Progresiones Aritméticas Geométricas y Sumatoria
Nombre……………………………………………………………………….fecha 29/06/2014
I.- Progresiones
1.- Si A = {a1, a2, . . . } es una Progresión Aritmética que verifica simultáneamente las
condiciones:
 d=40
 La suma de los 20 primeros términos es 650.
Encuentra el décimo término.
2.- La suma de tres números en P. A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.
Determina tales números
3.- La suma de tres números en P. A. es 30. Si al primero de ellos se le agrega 1, al
segundo 5 y al tercero 29 se obtiene una P. G, determina ambas progresiones.
4.- Si en una progresión aritmética P. A. se verifica que: El producto del segundo con
el quinto término es 364 y además la diferencia de estos mismos términos es 15,
determina si es posible la progresión.
5.- Si la suma de tres números en P.A. es 24. Si además el primero de ellos se le
resta 1, al segundo se le suma 4, y al tercero se le suma 25, se obtiene una
progresión geométrica. Encuentra ambas progresiones.
6.- Determina 5 números reales en progresión geométrica, tales que la suma de los
dos primeros es 24, y la razón es la cuarta parte del primer número.
7.- Si en una P.G. se tiene:
𝑎1 = 4, 𝑎𝑛 =
243
8
, 𝑆𝑛 =
665
8
.
Determina 𝑛 y su
razón 𝑟.
8.- Si la suma de tres números en P. G. es 26 y su producto es 216. ¿cuáles son los
números?
9.- Si G = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , }, es una progresión geométrica que satisface las siguientes
condiciones:

𝑎2 = 4
𝑎4
25

=
𝑎6
4
Encuentra la progresión G.
10.- Determina, si es posible una progresión geométrica tal que verifica las siguientes
Propiedades:
a) La diferencia entre el tercer y el primer término es igual a 9 y
b) la diferencia entre el quinto y el tercero es 36.
11.- Tres números forman una progresión geométrica. Si al tercero de ellos le
restamos 64, se transforma en progresión aritmética. Y realizado esto, le
restamos 8 al segundo, entonces volvemos a tener una progresión geométrica.
Determina los tres números iniciales. (0ptativo)
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12.- Una máquina costó $4.500.000. Se calcula que al final de cada año sufre una
depreciación igual al 5% del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su
valor al cabo de 15 años?
13.- Una ciudad tiene 600.000 habitantes. La tasa de crecimiento de ese población es
2% anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de veinte años?
14.- Calcula el capital final que se obtendrá si se invierten $2.000.000 a interés
compuesto al 16% anual al cabo de tres años.
II.- Sumatoria:
1.- Calcula el término general y el valor de los n primeros términos de las siguientes
sumas.
a) 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + 5 ∙ 6 + 6 ∙ 7 +….
b) 3 + 5 + 7 + 9 +……
c) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 6 + 4 ∙ 7 +……
d) 1 ∙ 2 + 4 ∙ 3 + 9 ∙ 4 + 25 ∙ 5 + 36 ∙ 6 + 49 ∙ 7 + …….
2.- .- Aplicando las propiedades resolver
45
a)
i =
i 1
50
b)
u =
i 10
12
c)
i
3
=
i4
5
d)
 3(i
2
 1)
i 1
3.- Calcula
31
a)
 (2i  9)
i 6
40
b)
 i(i  1)
2
i 10
4.- Calcula mediante
sumatoria la suma de todos los números de dos dígitos.4905
 3i  1 
  13
2 
i 1
n
5.- Determina el valor de 𝑛 en la expresión
 
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10
6.- Encuentra el valor de “c” para que se cumpla la igualdad
 (k
2
 2k  c)  245
k 1
7.- Calcula la suma de los 80 primeros múltiplos de 5.
8.- Calcula la suma de todos los múltiplos de 3 de tres cifras.
9.- ¿Cuántos números entre 10 y 200 son divisibles exactamente por 7. Calcula la suma.
10.- ¿Cuántos números entre 25 y 400 son divisibles exactamente por 11. Calcula la suma.
11.-
12.-
13.-
14.- Optativo
15.- Optativo
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16.- Observa la siguiente secuencia de figuras realizadas con palitos de helado.
fig 1
fig. 2
fig. 3
……..
¿Cuántos palitos de helados hay acumulados en total hasta la figura 100, si hasta la figura 3
hay en total acumulados 21 palitos?
Soluciones I.Progresiones
1. 25/2
2. 4, 9 y 14
ó
14, 9 y 4
3. P.A.: 44; 10 ; -24 y P.G.: 45; 15; 5
P.A.: 4; 10; 16
y P. G.: 5; 15; 45
4. 8; 13; 18; 23; 28 ó
con d = -34
con d= 6.
-33;-28; -23-18; -13.
5.
𝑎1 = -12 ; r= -3 PG: -12; 36; -108; 324; -972.
𝑎1 = 8 ; r = 2 P.G. : 8, 16, 32, 64, 128.
6.
7. .
n = 6 y r =3/2.
8.
18; 6; 2
9.
ó 2; 6 ; 18.
𝑎1 = ±10 Así G ={10, 4,
8
5
,…} ó
8
G ={−10, 4, − 5 , … }
10. para r =2 una progresión es G = {3, 6, 12, 24, 48,…} y para r = -2 otra
progresión es G = {3,-6, 12, -24, 48,…}.
11.
r = 5 se tiene que x =4 y G = {4, 20, 100 }
En otro caso para r = 13, se tiene que x =
12. $2.194.537 aprox.
13. 874.087 habitantes ap.
14. $3.121.79
II.- Sumatoria
4.
5.
6.
7.
8.
9.
12.
13.
4.905
n =4
c = -3
16.200
165.150
6721
n =3
1.600
4
9
y G=
4
{9 ,
52
9
,
676
9
}
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