B0. Distribuciones de probabilidad

Estadística
B0. Distribuciones de probabilidad
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Estadística
Distribución Normal
Dada una variable aleatoria X ≡ N ( µ , σ ) es el modelo de probabilidad
caracterizado por la función de densidad:
⎡ 1 ⎛ x− µ
⎢ − ⎜
⎢ 2 ⎝ σ
⎣
1
f ( x) =
e
σ 2p
⎞
⎟
⎠
2 ⎤
⎥
⎥
⎦
• Distribución de probabilidad más importante en estadística
• Modelo general pero no universal
• Su adecuación debe contrastarse siempre que sea posible a través de
técnicas de Inferencia Estadística
Estadística
Distribución Normal
Propiedades
El dominio de la variable es cualquier valor real (-∞, +∞).
Simétrica respecto a la media µ.
P( X < µ − 1) = P( X > µ + 1)
Tiene su máximo en la media µ.
Crece hasta la media y decrece a partir de ella.
Estadística
Distribución Normal
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva:
P(µ-σ < X ≤ µ+σ)=0.6826
68.26%
P(µ-2σ < X ≤ µ+2σ)=0.954
95.45 %
P(µ-3σ < X ≤ µ+3σ)=0.997
99.73 %
Estadística
Distribución Normal
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
Distribución Normal Estándar
N(0,1)
Su media µ=0
Su desviación típica σ=1
f ( x) =
1
2p
x2
−
e 2
Estadística
Distribución Normal
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
Tipificación de la variable x
Dada una variable X que sigue una distribución N(µ,σ), se transforma
en otra variable Z que sigue una distribución N(0,1).
X
N(µ,σ)
Z
z=
Ventaja: Valores tabulados
N(0,1)
x−µ
σ
Estadística
Ejercicios
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Ejercicios propuestos
La longitud X en mm de una población de lubinas sigue una
distribución N(3,5). Calcular la probabilidad de que la lubina que
pesquemos mida 6 mm o menos.
⎛ x − 3 6 − 3 ⎞
P( X ≤ 6) = P⎜
≤
⎟ = P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
5 ⎠
⎝ 5
¿Y la probabilidad de que esté entre 1 y 6 mm?
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Teorema del límite central
Para cualquier variable con E(X) µ y n lo bastante grande, la
distribución de la variable (X − µ )/(errorest) es una normal estándar.
Binomial
np = λ > 1
Poisson
p < 0.1
µ = np
σ = npq
A partir de Peña, 2001
npq > 5
Normal
λ >5
µ =λ
σ= λ
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Aproximación de la binomial a la normal
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Si n es grande, entonces la distribución de X es aproximadamente
normal con esperanza µ = np y varianza σ 2 = np (1 − p )
Se suele utilizar esta aproximación cuando np y n(1 – p) son mayores
que 5, o bien cuando n > 30.
Como alternativa se puede coger directamente npq > 5
Tener en cuenta que para pasar de discretas a continuas se debe hacer
corrección de continuidad:
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Fuente: Plaza 1999
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Aproximación de la binomial a la normal
ComparaciÛn B(20,0.1)-N(m,s)
ComparaciÛn B(100,0.1)-N(m,s)
0.5
1.0
1.5
n
2.0
2.5
3.0
0.10
0.08
0.04
0.00
0.02
0.05
0.00
0.0
0.06
Probabilidad
0.15
0.10
Probabilidad
0.4
0.2
0.0
Probabilidad
0.20
0.6
0.25
0.12
ComparaciÛn B(3,0.1)-N(m,s)
0
5
10
n
15
20
0
20
40
60
n
80
100
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Aproximación de la poisson a la normal
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Ejemplo:
Del ejemplo que teníamos para el apartado de distribución binomial,
con una población de cetáceos en la que se sabe que el 60% son
machos, ahora se extraen un conjunto de 100,
¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 32?
X = Nº de hembras en el conjunto
n = 100
p = 0.4
⎛100 ⎞ 30 100−30
⎟⎟0.4 0.6
P( X = 32) = ⎜⎜
= 0.0216
⎝ 30 ⎠
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Alternativa aproximando por una normal:
1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema:
npq = 100 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6 = 24 > 5
2. Calculamos los parámetros de la normal
µ = np = 40
σ = npq = 24 = 4.90
3. Calculamos a partir de la Normal
P( X = 32) = P(32 − 0.5 ≤ X ≤ 32 + 0.5)
32.5 − 40 ⎞
⎛ 31.5 − 40
P( X = 32) = P⎜
≤X≤
⎟ = P(− 1.7347 ≤ Z ≤ −1.5306 ) =
4.90 ⎠
⎝ 4.90
0.95818 − 0.93699 = 0.02119
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
¿Y si ajustamos por Poisson?
f (k , λ ) =
λk
k!
e −λ
1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema:
np = 100 ⋅ 0.4 = 40 > 1
p = 0.4 > 0.1
Apliquémoslo de todos modos, a ver qué sale:
4032 −40
P( X = 32) =
e = 0.02978
32!
λ = np = 100 ⋅ 0.4 = 40
Estadística
Normal como aproximación a otras distribuciones
Estadística
Distribuciones continuas: Normal
Comando a utilizar con R:
• dnorm(x,media,sd): Función de densidad
• pnorm(x,media,sd): F. distribución
• qnorm(prob.media,sd): Quantiles
• rnorm(nobs,media,sd): Números pseudoaleatorios
Estadística
Distribuciones discretas: Binomial
Comando a utilizar con R:
• dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad
• pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada
• qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles
• rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios