FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD 0 227.5 1 ( ) 227.5

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
1.- La cantidad real de café (en gramos) en un recipiente de 230 gramos llenado por cierta máquina es una variable
aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
x ≤ 227.5
⎧0
⎪1
⎪
f ( x) = ⎨
227.5 < x < 232.5
⎪3
x ≥ 232.5
⎪⎩ 0
a) Calcule y represente la función de distribución de dicha variable.
b) Determine la probabilidad de que un recipiente llenado por esta máquina contenga cuando mucho 228.65
gramos de café
c) Entre 229.34 y 231.66 gramos de café
d) Cuando menos 229.85 gramos de café
e) Cuál es la mediana, media y varianza de esta distribución.
2.- El retraso o adelanto (en minutos) de un vuelo de Granada a Madrid es una variable aleatoria cuya densidad de
⎧ 1
(36 − x 2 ) −6 < x < 6
⎪
donde los valores negativos son
probabilidad viene dada por: f ( x ) = ⎨ 288
⎪⎩
0
en otro caso
indicativos de adelantos y los positivos señalan que el vuelo llega retrasado. Determine las siguientes
probabilidades:
a) Un avión llegue cuando menos dos minutos antes
b) Cuando menos un minuto retrasado
c) Entre uno y tres minutos de adelanto
d) Exactamente cinco minutos tarde
e) Más de cinco minutos de retraso
f) Cuál es el retraso medio de estos vuelos
3.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X es:
P(0.4 < X ≤ 1.3)
b) P ( X > 0.5)
c) P (1 < X < 3)
x <0
⎧ 0
⎪ x
⎪
0≤ x<1
⎪ 2
Obtener:
F ( x )=⎨
⎪ x − 1 1≤ x<1.5
⎪ 2
⎪ 1
x≥1.5
⎩
a)
d) Calcule la mediana de esta distribución
⎧1
0 < x <1
⎪3
⎪
⎪1
4.- La función de densidad de la variable X está dada por f ( x ) = ⎨
2< x<4 :
⎪3
⎪ 0 en otro caso
⎪
⎩
a)
b)
c)
d)
Obtenga la función de distribución de la variable X
Calcule P (0.5 < X < 3)
Trace las gráficas de las funciones de densidad y de distribución.
Calcule la mediana de esta distribución
0 < x <1
⎧6 x(1 − x)
en otro caso
⎩ 0
5.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X es f ( x ) = ⎨
a)
Obtenga la función de distribución de esta variable aleatoria.
b)
P( X >
c)
Calcule la mediana de esta distribución (F(m)=0.5) ,la media y la varianza
d)
1
3
P( < X < )
4
4
1
)
2
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
x < −1
⎧ 0
⎪ x +1
⎪
6.- La función de distribución de la variable X está dada por F ( x ) = ⎨
−1 < x < 1 :
2
⎪
x ≥1
⎪⎩ 1
a) Calcule P (−0.5 < X < 0.5)
b) Trace la gráfica de la función de densidad
c) P(2< X < 3)
d) ¿La mediana de la distribución coincide con la media?
7.- El número de días laborables en una empresa en los que no se ha de producir ninguna baja por enfermedad es
⎧ K + 0, 04 x
0
⎩
una variable discreta con función de probabilidad P ( X = x ) = ⎨
x = 0,1, 2,3, 4,5
en otro caso
a) Calcula el valor de K
b) Representa gráficamente la función de probabilidad y la de distribución de esta variable.
c) Calcula la esperanza matemática y varianza de esta variable aleatoria.
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
1.- La cantidad real de café (en gramos) en un recipiente de 230 gramos llenado por cierta máquina es una variable
aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
x ≤ 227.5
⎧0
⎪1
⎪
f ( x) = ⎨
227.5 < x < 232.5
⎪5
x ≥ 232.5
⎪⎩ 0
a) Calcule y represente la función de distribución de dicha variable.
b) Determine la probabilidad de que un recipiente llenado por esta máquina contenga cuando mucho 228.65
gramos de café
c) Entre 229.34 y 231.66 gramos de café
d) Cuando menos 229.85 gramos de café
e) Cuál es la mediana, media y varianza de esta distribución.
0
x ≤ 227.5
⎧
⎪ x
1
x − 227.5
⎪
La función de distribución será F ( x ) = ⎨ ∫
dy =
227.5 < x < 232.5
5
5
227.5
⎪
⎪⎩
1
x ≥ 232.5
228.65 − 227.5
= 0.23
P ( X ≤ 228.65) = F (228.65) =
5
231, 66 − 229.34
= 0.464
P (229,34 ≤ X ≤ 231, 66) = F (231, 66) − F (229,34) =
5
229.34 − 227.5
P (229,34 ≤ X ) = 1 − F (229,34) = 1 −
= 0.53
5
Por la simetría de esta distribución la mediana y la media serán X=230, de todas formas la media será
232,5
x2 ⎤
1
232.52 − 227.52 54056.25 − 51756.25
=
=
= 230
μ[ X ] = ∫ x dx = ⎥
5
10 ⎦ 227,5
10
10
227,5
232,5
La mediana será la solución de la ecuación F(x)=0.5, es decir,
232,5
x − 227.5 1
5
= ⇒ x = 227.5 + = 230
5
2
2
x3 ⎤
1
dx − 2302 = ⎥
− 2302 = 2, 083
Y la varianza σ [ X ] = ∫ x
5
15 ⎦ 227,5
227,5
232,5
2
2
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
2.- El retraso o adelanto (en minutos) de un vuelo de Granada a Madrid es una variable aleatoria cuya densidad de
⎧ 1
(36 − x 2 ) −6 < x < 6
⎪
donde los valores negativos son
probabilidad viene dada por: f ( x) = ⎨ 288
⎪⎩
0
en otro caso
indicativos de adelantos y los positivos señalan que el vuelo llega retrasado. Determine las siguientes
probabilidades:
a) Un avión llegue cuando menos dos minutos antes
b) Cuando menos un minuto retrasado
c) Entre uno y tres minutos de adelanto
d) Exactamente cinco minutos tarde
e) Más de cinco minutos de retraso
f) Cuál es el retraso medio de estos vuelos
2
1
1 ⎛
x3 ⎞
7
2
P ( X ≤ −2) = ∫
(36 − x )dx =
⎜ 36 x − ⎟ =
288
288 ⎝
3 ⎠ −6 27
−6
2
6
1
1 ⎛
161
x3 ⎞
2
(36 − x )dx =
P( X ≥ 1) = ∫
⎜ 36 x − ⎟ =
288
288 ⎝
3 ⎠1 432
1
6
−1
−1
1
1 ⎛
95
x3 ⎞
2
(36 − x )dx =
P (−3 ≤ X ≤ −1) = ∫
⎜ 36 x − ⎟ =
288
288 ⎝
3 ⎠ −3 432
−3
La probabilidad de que llegue exactamente 5 minutos tarde es cero al ser una distribución continua.
6
1
1 ⎛
17
x3 ⎞
(36 − x 2 )dx =
36
P ( X ≥ 5) = ∫
x
−
⎜
⎟ =
288
288 ⎝
3 ⎠5 864
5
6
Podríamos haber calculado la función de distribución y evaluarla para el cálculo de estas probabilidades.
x<0
⎧ 0
⎪ x
⎪
0 ≤ x <1
3.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X es: F ( x) = ⎪ 2
Obtener:
⎨
1
⎪x −
1 ≤ x < 1.5
⎪ 2
⎪ 1
x ≥ 1.5
⎩
P(0.4 < X ≤ 1.3)
b) P ( X > 0.5)
c) P (1 < X < 3)
a)
d) Calcule la mediana de esta distribución
1
0.4
P (0.4 < X ≤ 1.3) = F (1.3) − F (0.4) = (1.3 − ) − ( ) = 0.6
2
2
0.5
P ( X > 0.5) = 1 − F (0.5) = 1 −
= 0.75
2
1 1
P (1 < X < 3) = F (3) − F (1) = 1 − =
2 2
Con el cálculo realizado en el apartado anterior,(F(1)=1/2) sabemos que la mediana es 1. En general
resolveríamos la ecuación F(x)=0.5.
⎧1
0 < x <1
⎪3
⎪
⎪1
4.- La función de densidad de la variable X está dada por f ( x ) = ⎨
2< x<4 :
⎪3
⎪ 0 en otro caso
⎪
⎩
a)
Obtenga la función de distribución de la variable X
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
b) Calcule P (0.5 < X < 3)
c) Trace las gráficas de las funciones de densidad y de distribución.
d) Calcule la mediana de esta distribución
x<0
0
⎧
⎪
x
⎪
0 ≤ x ≤1
3
⎪
⎪⎪
1
Calculamos la función de distribución: F ( x) = ⎨
1≤ x ≤ 2
3
⎪
⎪1 1
⎪ + ( x − 2) 1 ≤ x ≤ 2
⎪3 3
1
2< x
⎩⎪
⎛1 1
⎞ 0.5 1
P (0.5 < X < 3) = F (3) − F (0.5) = ⎜ + (3 − 2) ⎟ −
=
2
⎝3 3
⎠ 3
La función de densidad será:
y la función de distribución:
Para calcular la mediana resolvemos la ecuación F(x)=0.5,
1 1
1
1 1
1
5
+ ( x − 2) = 0.5 ⇒ ( x − 2) = − ⇒ x − 2 = 3 ⇒ x =
3 3
3
2 3
6
2
5.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X es
0 < x <1
⎧6 x(1 − x)
f ( x) = ⎨
en otro caso
⎩ 0
a)
Obtenga la función de distribución de esta variable aleatoria.
b)
P( X >
c)
Calcule la mediana de esta distribución (F(m)=0.5) ,la media y la varianza
d)
1
3
P( < X < )
4
4
1
)
2
x
∫
La función de distribución: F ( x) = 6 y (1 − y ) dy =
0
6 y 2 6 y3
−
2
3
x
= 3x 2 − 2 x3
0
3
⎛ ⎛ 1 ⎞2
1
1
1 1
⎛1⎞ ⎞
P( X > )=1-F( ) = 1 − ⎜ 3 ⎜ ⎟ − 2 ⎜ ⎟ ⎟ = 1 − = , con lo que ya sabemos también que la
⎜ ⎝2⎠
2
2
2 2
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
⎝
mediana de la distribución es 0.5.
1
6 x3 6 x 4
−
La media: μ[ x] = ∫ x ⋅ 6 x(1 − x)dx =
3
4
0
1
=
0
6 6 1
− =
3 4 2
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
1
2
4
6 x5
1 6 6 1 1
⎛ 1 ⎞ 6x
Y la varianza: σ [ x] = ∫ x ⋅ 6 x(1 − x) dx − ⎜ ⎟ =
−
− = − − =
4
5 0 4 4 5 4 20
⎝2⎠
0
1
2
2
1
3
⎛3⎞
⎛ 1 ⎞ 11
P( < X < ) = F ⎜ ⎟ − F ⎜ ⎟ =
4
4
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠ 16
x < −1
⎧ 0
⎪ x +1
⎪
−1 < x < 1 :
6.- La función de distribución de la variable X está dada por F ( x ) = ⎨
2
⎪
x ≥1
⎪⎩ 1
a)
b)
c)
d)
Calcule P (−0.5 < X < 0.5)
Trace la gráfica de la función de densidad
P(2< X < 3)
¿La mediana de la distribución coincide con la media?
P (−0.5 < X < 0.5) = F (0.5) − F (−0.5) =
0.5 + 1 −0.5 + 1 1
−
=
2
2
2
La gráfica de la función de distribución será
Con lo que nos damos cuenta que entre -1 y 1 la función de densidad debe ser constante (uniforme), con lo
⎧0
⎪1
⎪
que debe ser la función f ( x ) = ⎨
⎪2
⎪⎩ 0
x < −1
−1 < x < 1 cuya gráfica es
x ≥1
P (2 < X < 3) = 0 , ya que sólo se acumula probabilidad en el intervalo (-1,1).
Claramente por la simetría de la distribución la media y la mediana coinciden Me[ X ] = μ[ X ] = 0
7.- El número de días laborables en una empresa en los que no se ha de producir ninguna baja por enfermedad es
⎧ K + 0, 04 x
0
⎩
una variable discreta con función de probabilidad P ( X = x ) = ⎨
x = 0,1, 2,3, 4,5
en otro caso
a) Calcula el valor de K
b) Representa gráficamente la función de probabilidad y la de distribución de esta variable.
c) Calcula la esperanza matemática y varianza de esta variable aleatoria.
Para que sea una función de probabilidad la suma de todas las probabilidades debe ser 1.
P ( X = 0) + P ( X = 1) + … + P ( X = 4) + P ( X = 5) = K + 0.04 ⋅ 0 + K + 0.04 ⋅ 1 + … + K + 0.04 ⋅ 4 + K + 0.04 ⋅ 5 =
= 6 K + 0.04(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6 K + 15 ⋅ 0.04 ⇒ 6 K + 15 ⋅ 0.04 = 1 ⇒ K =
1
15
μ[ X ] = 0 ⋅ P( X = 0) + 1 ⋅ P( X = 1) + … + 4 ⋅ P( X = 4) + 5 ⋅ P( X = 5) = 3, 2
σ 2 [ X ] = 02 ⋅ P ( X = 0) + 12 ⋅ P( X = 1) + … + 42 ⋅ P ( X = 4) + 52 ⋅ P ( X = 5) − 3.22 = 2.4267
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD
⎧ 1
x=0
15
⎪
⎪ 1 + 0.04 x = 1
⎪ 15
⎪ 1 + 0.08 x = 2
⎪ 15
La función de probabilidad será P ( X = x) = ⎨
cuya gráfica es
⎪ 115 + 0.12 x = 3
⎪
⎪ 1 + 0.16 x = 4
⎪ 15
⎪ 1 + 0.20 x = 5
⎩ 15
0
⎧
⎪ 1
⎪
15
⎪
⎪ 215 + 0.04
⎪⎪
La función de distribución será: F ( x ) = ⎨ 3 + 0.12
15
⎪
⎪ 415 + 0.24
⎪
⎪ 5 + 0.4
⎪ 15
1
⎪⎩
x<0
0 ≤ x <1
1≤ x < 2
2 ≤ x < 3 cuya gráfica será
3≤ x < 4
4≤ x<5
5≤ x