leyes de kepler por medio de simulaciones

REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2. 2001
EL COMPUTADOR EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSCA: LEYES DE KEPLER
POR MEDIO DE SIMULACIONES
W. O. Urrego *, J. C. Giraldo, J. M. Flores, M. H. González.
* Universidad central
* Universidad Distrital Francisco José de Caldas
RESUMEN
Se hace él calculo de las órbitas planetarias solucionando las ecuaciones diferenciales
que describen el movimiento planetario por medio del método de Runge-Kuta [1].
Estos valores numéricos son recogidos en librerías que permiten hacer una
simulación del movimiento planetario en lo que concerniente a la traslación, de
acuerdo a la interacción que sufren con los otros planetas. La simulación fue hecha
bajo el programa Visual-Basic, dado la facilidad para programar y la gran variedad de
objetos que este posee. Por su sencillo manejo este software es una alternativa como
herramienta en la enseñanza de los movimientos planetarios.
INTRODUCCIÓN
Al igual que un libro, el computador permite representar textos y graficas,
adicionalmente se pueden generar con el, animaciones y efectos sonoros similares a los
de una televisión o una grabadora, también el material computarizado puede incluir una
serie de ejercicios y ejemplos variados como los que podría presentar el profesor en el
curso o los que provee un libro de ejercicios. Desde el punto de vista pedagógico la
simulación computacional se convierte en un laboratorio “ ideal”, más aun en el campo
de la mecánica celeste que difícilmente se encuentran ayudas que permitan observar y
hacer cálculos simultáneamente.
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Se consideran las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de los planetas
de acuerdo a la variación temporal de la
Velocidad. m(dv x / dt ) = −GMmx / r , m( dv y / dt ) = −GMmy / r
3
3
[1]
Dadas las condiciones iniciales, el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede
resolver aplicando un procedimiento numérico, en nuestro caso se ha considerado más
adecuado el procedimiento de Runge-Kutta. Para las interacciones con todos los planetas
estarán dadas por:
Mi dvix/dt =
∑ − (Gmimj( xi − xj)) / r ij
[2]
Mi dvyx/dt =
∑ − (Gmimj( yi − yj)) / r ij
[3]
Mi dvzx/dt =
∑ − (Gmimj( zi − zj )) / r ij
[4]
3
3
3
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Donde se encuentran en principio las posiciones x, y, z junto con sus respectivas
velocidades y aceleraciones haciendo uso del método de Runge-Kuta.
SIMULACIÓN EN EL COMPUTADOR
El objetivo de la simulación es mostrar la el movimiento planetario mediante las leyes de
Kepler, teniendo en cuenta la interacción de todos los planetas que conforman el sistema
solar, se obtienen tablas y ventanas donde se muestran los diferentes valores arrojados por
estos cálculos.
Aquí se muestra la representación grafica de la primera ley de Kepler ( figura 1) donde
se expone la trayectoria dada por un planeta y segunda ley de Kepler ( figura 2) donde
se ve que las áreas son iguales en periodos de tiempo igual.
Para un solo planeta, se muestra en las barras los valores en unidades astronómicas de la
posición del planeta con respecto al sol. En la segunda ley de Kepler se muestra los
valores del área correspondientes a cualquier intervalo de tiempo. En las figuras se puede
apreciar las trayectorias, en partículas de un planeta.
Existen el menú leyes de Kepler en donde: Si oprime la opción de segunda ley se
mostrara el planeta barriendo áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. También se
muestra un cuadro exponiendo los valores correspondientes al área mayor, el área
menor y el área promedio de la trayectoria del planeta. Los tiempos entre punto y punto
de la simulación son iguales de acuerdo a la selección hecha anteriormente.
Si oprime la opción tercera ley se muestran los resultados obtenidos en el cuadro
etiquetado como “tercera ley” allí se encuentra un valor para el periodo ( medido en
segundos) y un valor para la distancia que existe entre el planeta seleccionado y el sol,
en el cuadro inferior correspondiente a la tercera ley comprueba que: el cuadrado del
periodo del planeta en trono al sol es proporcional al cubo de la distancia promedio del
planeta al sol.
E
do del pío
d
Figura 1. Tercera ley de Kepler
t3
Donde aparece la relación k = 2 , su valor se muestra en la parte inferior de la figura 1.
r
Desde el punto de vista de la dinámica, si la fuerza es atractiva la energía de la partícula
puede ser positiva o negativa. El valor de la energía total no puede ser menor que el
mínimo de la energía potencial efectiva[2]. Si la energía de la partícula es positiva su
movimiento no está acotado, del mismo modo que para el caso de fuerzas repulsivas una
partícula procedente del infinito se puede acercar hasta una distancia r0 del centro de
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fuerzas para alejarse posteriormente de dicho centro[3]. En la simulación esto se puede
apreciar mediante las barras de progresión en donde la barra incrementa su valor a medida
que el planeta se aleja más del sol, en los extremos se evidencia que su energía potencial
aumenta, mientras que cuando el planeta se acerca al sol su energía potencial disminuye.
Figura 2. primera ley de Kepler
Figura 3.Segunda ley de Kepler
En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento que tienen las orbitas centrales, aquí
se muestran las orbitas de Marte saturno, Urano. Al seleccionar para cada una la opción
de tercera ley se mostraría un cuadro donde se hace la relación entre el periodo y el
radio del planeta de tal manera que el cuadrado del periodo del planeta en trono al sol es
proporcional al cubo de la distancia promedio del planeta al sol.
Si oprime la opción tabla muestra la tabla de valores correspondiente a la posición
,velocidad y aceleración del planeta expuesto en ese momento (figura 4)
Figura 4. tabal de valores de posición, velocidad, aceleración
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Figura 5. movimiento de planetas centrales
CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS
A partir de los cálculos realizados por el software desarrollado en visual-Basic podemos
destacar los siguientes:
Los movimientos de los planetas no tienen exactamente una forma elíptica, pues como
el movimiento evoluciona con la presencia de los demás planetas[4], la interacción
proporcionada por estos logra que el plano sobre el cual se encuentra la elipse cambie
constantemente.
Las áreas que muestran la trayectoria de los planetas en la segunda ley de Kepler no
son completamente iguales. Él calculo se hace mediante un producto vectorial, se halla
el valor del área del triangulo más aproximado al arco formado por la órbita, esto hace
que unas áreas sean ligeramente mayores. En la figura 32 las áreas mayores estarán
cerca al sol mientras que las áreas menores estarán en la posición opuesta.
La distancia de Plutón al Sol es aproximadamente 101.91 veces más grande que la que
existe de Mercurio al sol, en cuanto a su periodo, es el de Plutón 1028 veces mayor
que el de Mercurio, es decir mientras Plutón gira una vez alrededor del sol Mercurio lo
hace 1028.94 veces aproximadamente.
REFERENCIAS
[1]. BERNARD Cohen. Descubrimiento Newtoniano de la gravitación. Investigación y Ciencia, No 56,
Mayo 1981, Pp. 111-120.
[2]. CARCAVILLA a. Explicación elemental de la presesión de algunas órbitas. Revista Española de Física,
V5 No 2, pp. 45-47.
[3]. DRAKE S. La manzana de Newton y el diálogo de Galileo. Investigación y Ciencia No 49, octubre de
1980, pp. , 106-112.
[4]. HYMÁN A.T.A. Simple Cartesian treatment of planetary motion. European Journal of Physics, 14
(1993), Pp 145-147.
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