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COMBINATORIA
con la calculadora ClassPad
Autor: Luis Barrios Calmaestra.
Combinatoria
ClassPad
INTRODUCCIÓN.
Esta unidad didáctica pretende realizar un estudio de la Combinatoria, conocer las distintas
formas de agrupar los elementos de un conjunto, calcular el número y saber construirlas, así como su
aplicación a situaciones reales.
Para esto, la calculadora ClasPad300 ofrece, en un principio pocas posibilidades; solamente
tres operadores “!”, “nPr” y “nCr”, en el teclado del menú “Principal”, que son suficientes para
realizar el cálculo del número de todas los tipos de agrupaciones que se pueden realizar.
Sin embargo, para desarrollar esta unidad de forma detallada, se ha aprovechado una potente
aplicación de la calculadora, el menú “Programa”, que va a permitir definir las funciones que
consideremos convenientes y realizar sencillos programas con unas pocas instrucciones lógicas, que
permitirán realizar la construcción de todas las agrupaciones que deseemos conocer.
Además se ha diseñado otro programa que permite resolver en pocos pasos un problema de
Combinatoria distinguiendo, mediante sencillas preguntas, el tipo de agrupación que tenemos que
aplicar.
Por último se ha utilizado la aplicación “Geometría” para diseñar algunos gráficos que ayuden
en la realización de los ejemplos y ejercicios resueltos en la unidad.
Esta unidad está realizada para que el alumno la pueda estudiar de forma autónoma, con la
ayuda de la calculadora y realizando siempre los ejemplos en el cuaderno con lápiz y papel y
posteriormente, haciendo las comprobaciones oportunas con la calculadora.
Los programas utilizados para la construcción de las distintas agrupaciones no vienen
incluidos en la calculadora. Se han diseñado por el autor de la unidad y se detallan al final de la
misma.
1. ¿QÚE ES LA COMBINATORIA?
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se ocupa de estudiar
procedimientos y estrategias para contar las posibles agrupaciones de los elementos de un
conjunto.
Si tenemos un conjunto, por ejemplo A = {1, 2, 3, 4} y queremos realizar agrupaciones
con sus elementos, necesitaremos distinguir algunas ideas fundamentales para realizarlas.
Una de ellas será si se pueden o no cambiar de orden los elementos. Los grupos 123 y
321 unas veces corresponderán a agrupaciones distintas y otras veces a la misma.
Dentro de cada grupo, unas veces se podrán repetir sus elementos y otras veces no será
posible y tendrán que ser todos los elementos distintos.
Una vez determinadas las características de las agrupaciones que se van a realizar, se
podrá calcular el número de ellas. Algunos ejemplos. ¿Cuántos coches se pueden matricular?
¿Cuántas quinielas distintas de fútbol se pueden rellenar? ¿Cuántas posibles apuestas se
pueden realizar en la Lotería Primitiva?
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2. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL. NÚMERO COMBINATORIO.
2.1. Factorial de un número natural.
Se llama factorial de un número natural n al producto de los n primeros números naturales. Se
representa por n!.
n! = n ⋅ (n -1) ⋅ (n - 2) ⋅⋅⋅ 1
Para el número 0 no tiene sentido esta definición. Se define factorial de 0 como 1. 0! = 1 .
Las siguientes pantallas muestran la localización del símbolo ! en el teclado matemático y el
cálculo del factorial de algunos números con la calculadora:
2.2. Número combinatorio.
Se llama número combinatorio m sobre n, con m¥n, a la expresión:
m!
m
 n  = n! ⋅ (m - n)!
 
Para el cálculo de números combinatorios con la calculadora se utiliza “nCr”, que se puede
encontrar junto al símbolo del factorial, o se puede escribir con el teclado alfabético. Las siguientes
pantallas muestran algunos ejemplos de cálculos con números combinatorios.
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Si se colocan los números combinatorios formando el siguiente triángulo, conocido como
triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal, se obtiene un método rápido para calcularlos. En este
triángulo, cada número combinatorio se obtiene sumando los dos que tiene sobre él.
2.3. Propiedades de los números combinatorios.
m
1.   = 1 ∀ m ∈ ℕ . El primer elemento de cada fila del triángulo de Tartaglia es igual a 1.
0
m
2.   = 1 ∀ m ∈ ℕ . El último elemento de cada fila del triángulo de Tartaglia es igual a 1.
m
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m
3.   = m
1
número superior m.
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∀ m ∈ ℕ . El segundo elemento de cada fila del triángulo de Tartaglia es igual al
 m 
4. 
 = m ∀ m ∈ ℕ . El penúltimo elemento de cada fila del triángulo de Tartaglia es
 m -1 
igual al número superior m.
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m  m 
5.   = 
 ∀ m, n ∈ ℕ, m ≥ n . Cada fila del triángulo de Tartaglia se lee igual de
 n  m-n
izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
 m   m   m +1 
6. 
+  = 
 ∀ m, n ∈ ℕ, m ≥ n . Cada número combinatorio se puede
 n -1   n   n 
obtener sumando los dos que tiene sobre él en el triángulo.
En este caso, la calculadora no puede realizar la suma de los dos números combinatorios con
m y n indeterminados.
m
7.
m
∑  n  = 2
m
∀ m ∈ ℕ . La suma de todos los números combinatorios que tienen como
n =0
número superior m, es igual a 2m.
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m
8.
∑ (-1)
n =0
m
m
 n  = 0 ∀ m ∈ ℕ . Si en cada una de las filas del triángulo de Tartaglia, se
 
alternan consecutivamente signos de sumar y restar, y se realizan las operaciones resultantes, el
resultado es 0.
3. PRINCIPIOS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.
3.1. Principio de adición.
Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que tiene dicho conjunto. Se
representa por card(A) o también por |A|.
Principio de adición. Para contar los elementos de dos o más conjuntos hay que tener en
cuenta si tienen o no elementos comunes.
Si A ∩ B = ∅
Si A ∩ B ≠ ∅
⇒ | A ∪ B |=| A | + | B |
⇒ | A ∪ B | = | A | + | B |-| A ∩ B |
Para tres conjuntos | A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C | - | A ∩ B | - | A ∩ C | - | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
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Ejemplo 1. Se lanzan dos dados y se suman los resultados de las caras superiores.
a) ¿De cuántas formas se puede obtener siete u ocho?
b) ¿De cuántas formas se puede obtener múltiplo de 4 o múltiplo de 6?
Solución.
A = {suma 7} fl
A = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} fl
|A| = 6
B = {suma 8} fl
A = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
fl
|B| = 5
A∩B=∅
⇒ | A ∪ B |=| A | + | B | = 6 + 5 = 11
C = {múltiplo de 4} fl C = {(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6)} fl |C| = 9
D = {múltiplo de 6} fl D = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)} fl |D| = 6
C…D = {múltiplo de 4 y 6} = {múltiplo de 12} fl C…D = {(6,6)} fl |C…D| = 1
C∩D ≠ ∅
⇒ | C ∪ D | = | C | + | D | - | C ∩ D | = 9 + 6-1 = 14
3.2. Principio de multiplicación.
Se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B a un conjunto formado por pares de
elementos de forma que en cada par, el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo
elemento pertenece al conjunto B. Se representa por AxB.
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A × B = { (a, b) / a ∈ A, b ∈ B }
Para más de dos conjuntos:
A1 × A 2 ×… × A n = { (a1 , a 2 , … , a n ) / a1 ∈ A1 , a 2 ∈ A 2 ,… , a n ∈ A n }
Principio de multiplicación. El cardinal del producto cartesiano de dos o más conjuntos es
igual al producto de los cardinales de los conjuntos.
| A × B |=| A | × | B |
| A1 × A 2 × ⋯ × A n | = | A1 | × | A 2 | ×⋯ × | A n |
Ejemplo 2. La matrícula de un coche está compuesta de un número de cuatro cifras (del 0 al
9) y un grupo de tres consonantes (de veinte posibles). ¿Cuántos coches se pueden matricular?
Solución.
Posibilidades para los números:
10 · 10 · 10 · 10 = 10000
Posibilidades para las consonantes:
20 · 20 · 20 = 8000
Número total de matrículas:
10 · 10 · 10 · 10 · 20 · 20 · 20 = 80000000
4. VARIACIONES SIN REPETICIÓN.
Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, o de orden n, con n
menor o igual que m, son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer
con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento
o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m). Otra forma de representarlas, y es
la que vamos a utilizar con la calculadora, es V(m,n).
Vamos a construir todas las variaciones sin repetición posibles con los elementos del conjunto
A = {1, 2, 3, 4} .
Hay 4 variaciones sin repetición de orden 1.
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V(4,1) = 4
Hay 12 variaciones sin repetición de orden 2. Por cada una de las variaciones de orden 1, se
pueden construir tres variaciones de orden 2, añadiendo a cada una los tres elementos restantes.
V(4, 2) = 4 · 3 = 12
Hay 24 variaciones sin repetición de orden 3. Por cada una de las variaciones de orden 2, se
pueden construir dos variaciones de orden 3, añadiendo a cada una los dos elementos que faltan.
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V(4, 3) = 4 · 3 · 2 = 24
Hay 24 variaciones sin repetición de orden 4. Por cada una de las variaciones de orden 3, sólo
se puede construir una variación de orden 4, añadiendo a cada una el elemento que falta.
V(4, 4) = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
De las expresiones anteriores se puede deducir:
V(m, n) = m ⋅ (m -1) ⋅⋅⋅ (m - n +1) =
m!
(m - n)!
El número de variaciones sin repetición se puede calcular también aplicando el principio de
multiplicación.
Para calcular directamente el número de variaciones sin construirlas, la calculadora dispone de
la función nPr, que se encuentra entre ! y nCr. También se puede definir la función “V” con los
parámetros “m” y “n”.
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Ejemplo 3. Con los elementos del conjunto A= {a,b,c,d,e,f } , construir todas las variaciones
sin repetición de orden 2.
Solución.
Ejemplo 4. Calcular: a) V(7,4)
b) V(15,5)
c) V(20,3)
d) V(30,2)
Solución.
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Ejemplo 5. ¿Cuántos números de cuatro cifras hay con todas sus cifras distintas?
Solución. Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 hay que formar números de cuatro cifras
distintas. En principio sería V(10,4), pero tenemos que descontar los números que empiezan por 0,
V(9,3).
5. VARIACIONES CON REPETICIÓN.
Variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, o de orden n, son los
distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos, de forma
que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n.
Otra forma de representarlas, y es la que vamos a utilizar con la calculadora, es VR(m,n).
Vamos a construir todas las variaciones con repetición posibles con los elementos del conjunto
A = {1, 2, 3, 4} .
Hay 4 variaciones con repetición de orden 1.
VR(4,1) = 4
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Hay 16 variaciones con repetición de orden 2. Por cada una de las variaciones de orden 1, se
pueden construir cuatro variaciones de orden 2, añadiendo a cada una los cuatro elementos.
VR(4, 2) = 4 · 4 = 4 2 = 16
Hay 64 variaciones con repetición de orden 3. Por cada una de las variaciones de orden 2, se
pueden construir cuatro variaciones de orden 3, añadiendo a cada una los cuatro elementos.
VR(4, 3) = 4 · 4 · 4 = 43 = 64
Hay 256 variaciones con repetición de orden 4. Por cada una de las variaciones de orden 3, se
pueden construir cuatro variaciones de orden 4, añadiendo a cada una los cuatro elementos.
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VR(4, 4) = 4 · 4 · 4 · 4 = 44 = 256
Al construir variaciones con repetición, los elementos se pueden repetir y se pueden continuar
construyendo grupos de orden 5, 6, …
Hay 1024 variaciones con repetición de orden 5: VR(4, 5) = 45 = 1024 . Para mostrarlas todas,
se necesitarían dieciséis pantallas completas, por lo que se muestran la primera y la última.
…
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De las expresiones anteriores se puede deducir:
VR(m, n) = m n
El número de variaciones con repetición se puede calcular también aplicando el principio de
multiplicación.
Para calcular el número de variaciones con repetición, se puede hacer directamente como una
potencia. También se puede definir la función “VR” con los parámetros “m” y “n”.
Ejemplo 6. Con los elementos del conjunto A = {1, 2}, construir todas las variaciones con
repetición de orden 5.
Solución.
Ejemplo 7. Calcular: a) VR(4,7)
b) VR(7,4)
c) VR(10,5)
d) VR(15,3)
Solución.
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Ejemplo 8. En una quiniela de fútbol hay que rellenar quince casillas con los signos 1, X, 2.
¿Cuántas quinielas distintas se pueden hacer?
Solución. Con los signos 1, X, 2 hay que formar grupos de quince elementos, VR(3,15).
Observación. Consulta el precio de cada quiniela y calcula el dinero que valdría rellenarlas
todas. Calcula también el tiempo que puedes tardar en hacer una y haz cuentas sobre lo que se tardaría
en realizarlas todas.
6. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN.
6.1. Permutaciones sin repetición
Permutaciones sin repetición de n elementos, o de orden n, son los distintos grupos de n
elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el
orden de colocación de los elementos. Se representa por Pn. Otra forma de representarlas, y es la
que vamos a utilizar con la calculadora, es P(n).
Vamos a construir todas las permutaciones sin repetición con algunos elementos.
Con 1 elemento, sólo hay una forma de ordenarlo.
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P(1) = 1
Hay 2 permutaciones sin repetición con dos elementos. Las permutaciones de dos elementos
coinciden con las variaciones sin repetición de 2 elementos tomados de dos en dos.
P(2) = V(2,2) = 2! = 2
Hay 6 permutaciones sin repetición con tres elementos. Las permutaciones de tres elementos
coinciden con las variaciones sin repetición de 3 elementos tomados de tres en tres.
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P(3) = V(3,3) = 3! = 6
Hay 24 permutaciones sin repetición con cuatro elementos. Las permutaciones de cuatro
elementos coinciden con las variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de cuatro en cuatro.
P(4) = V(4,4) = 4! = 24
Hay 120 permutaciones sin repetición con cinco elementos. Las permutaciones de cinco
elementos coinciden con las variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de cinco en cinco.
P(5) = V(5,5) = 5! = 120
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De las expresiones anteriores se puede deducir:
P(n) = V(n, n) = n!
El número de permutaciones sin repetición se puede calcular también aplicando el principio de
multiplicación.
Para calcular directamente el número de permutaciones sin repetición, se puede utilizar en la
calculadora la función “!”. También se puede definir la función “P” con un parámetro “n”.
Ejemplo 9. Con los elementos del conjunto A = {x, y, z, t} , construir todas las permutaciones
sin repetición.
Solución.
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Ejemplo 10. Calcular:
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a) P(7)
b) P(10)
c) P(12)
d) P(20)
Solución.
Ejemplo 11. Una baraja española tiene 40 cartas. ¿De cuántas formas pueden quedar
ordenadas después de barajarlas? ¿Y si las diez cartas de cada palo deben estar juntas?
Solución. Las 40 cartas se pueden ordenar de 40! formas.
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P(40) = 40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000
Las 10 cartas de cada palo se pueden ordenar de 10! formas. Los 4 palos se pueden ordenar de
4! formas. En total, para que las cartas de cada palo queden juntas, habrá:
P(4) · P(10) · P(10) · P(10) · P(10) = 4!·10!·10!·10!·10! = 4161629115065460326400000000
formas posibles de ordenarlas.
6.2. Permutaciones circulares.
Un caso particular de permutaciones son las permutaciones circulares. Si colocamos n objetos
alrededor de una circunferencia se obtiene una permutación circular. Dos permutaciones circulares
son iguales si cualquiera de ellas se obtiene a partir de la otra mediante un giro. Las vamos a
representar por PC(n).
Según esto, en las dos permutaciones circulares de orden 2 dibujadas son iguales, por tanto
PC(2) = 1 .
En las permutaciones circulares de orden 3, si partimos de las permutaciones ordinarias de
orden 3, se puede observar que las tres situadas la primera columna son iguales, pues coinciden al
hacer un giro de 120º. Igual sucede con las tres situadas en la segunda columna. Por tanto PC(3) = 2 .
En general se verifica que: PC(n) = P(n-1) = (n - 1)!
Ejemplo 12. Construye las permutaciones circulares con cuatro elementos.
Solución. Se verifica que PC(4) = P(3) = 3! = 6 . Basta dejar uno fijo y permutar los demás.
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6.3. Desordenaciones.
Al realizar las permutaciones sin repetición con números naturales, en cada una de ellas, habrá
elementos que queden en su lugar de orden y otros que no. Los siguientes gráficos muestran las
permutaciones de orden 2 y 3, indicando el número de elementos que quedan fijos, es decir, que
ocupan su lugar de orden.
Se llama desordenación a una permutación que no tiene ningún elemento fijo.
El número de desordenaciones D(n) que hay en las permutaciones de n elementos se puede
calcular, aplicando la fórmula del principio de adición, con la fórmula:
n
(-1) k
 1 1
n 1 
D(n) = n!⋅  1- + -... + (-1)
 = n!⋅ ∑
n! 
k!
 1! 2!
k=0
Con la calculadora se puede definir una función, “D”, que calcule el número de
desordenaciones para las permutaciones de cualquier orden.
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Ejemplo 13. Si ordenamos de todas las formas posibles las cinco vocales, ¿en cuántas
ordenaciones no hay ninguna vocal en su lugar alfabético?
Solución. Hay que calcular D(5), que ya tenemos en los ejemplos anteriores.
D(5) = 5!⋅
5
∑
k =0
(-1) k
k!


= 5!⋅  1-
1
+
1
-
1
1! 2! 3!
+
1
- 
4! 5! 
1
 1 1 1 1 1 
D(5) = 120 ⋅  1- + - +  = 120 -120 + 60 -20 + 5 -1 = 44
 1 2 6 24 120 
Con la calculadora, se puede diseñar un programa para calcularlas.
7. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
Permutaciones con repetición de n elementos, en las que el primer elemento se repite
n1 veces, el segundo se repite n2 veces, ... y el último se repite nk veces, son los distintos
grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento
aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden
de colocación de los elementos. Se representa por PRnn1,n2,...,nk. Para trabajar con la
calculadora, las vamos a representar por PR(n,n1,n2,…,nk,).
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Vamos a construir las permutaciones con repetición con cinco elementos.
a) Un elemento se repite dos veces y los demás una sola vez. PR(5,2,1,1,1). Hay 60
permutaciones con repetición. Si los dos elementos iguales fuesen distintos, por cada permutación con
repetición, se podrían obtener P(2) permutaciones sin repetición, obteniendo las permutaciones sin
repetición de 5 elementos.
PR(5, 2,1,1,1) ⋅ P(2) = P(5) fl
PR(5, 2,1,1,1) =
P(5)
P(2)
=
5!
2!
= 60
b) Un elemento se repite tres veces y los demás una sola vez. PR(5,3,1,1). Hay 20
permutaciones con repetición. Si los tres elementos iguales fuesen distintos, por cada permutación con
repetición, se podrían obtener P(3) permutaciones sin repetición, obteniendo las permutaciones sin
repetición de 5 elementos.
PR(5, 3,1,1) ⋅ P(3) = P(5) fl PR(5, 3,1,1) =
P(5)
P(3)
=
5!
3!
= 20
c) Un elemento se repite cuatro veces y el otro una sola vez. PR(5,4,1). Hay 5 permutaciones
con repetición. Si los cuatro elementos iguales fuesen distintos, por cada permutación con repetición,
se podrían obtener P(4) permutaciones sin repetición, obteniendo las permutaciones sin repetición de 5
elementos.
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PR(5, 4,1) ⋅ P(4) = P(5) fl PR(5, 4,1) =
P(5)
P(4)
=
5!
4!
=5
d) Un elemento se repite dos veces, otro se repite dos veces y el que falta una sola vez.
PR(5,2,2,1). Hay 30 permutaciones con repetición. Si los elementos que se repiten dos veces fuesen
distintos, por cada permutación con repetición, se podrían obtener P(2) permutaciones sin repetición
por uno y otras P(2) permutaciones por el otro, obteniendo las permutaciones sin repetición de 5
elementos.
PR(5, 2, 2,1) ⋅ P(2) ⋅ P(2) = P(5) fl PR(5, 2, 2,1) =
P(5)
P(2) ⋅ P(2)
=
5!
2! ⋅ 2!
= 30
e) Un elemento se repite tres veces y otro se repite dos veces. PR(5,3,2). Hay 10
permutaciones con repetición. Si los dos elementos iguales fuesen distintos, por cada permutación con
repetición, se podrían obtener P(2) permutaciones sin repetición. Análogamente, si los tres elementos
iguales fuesen distintos, por cada permutación con repetición, se podrían obtener P(3) permutaciones
sin repetición. Si todos fuesen distintos se obtendrían las permutaciones sin repetición de 5 elementos.
PR(5, 3, 2) ⋅ P(3) ⋅ P(2) = P(5) fl PR(5, 3, 2) =
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P(5)
P(3) ⋅ P(2)
=
5!
3!⋅ 2!
= 10
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De las expresiones anteriores se puede deducir:
PR(n, n1 , n 2 , ... , n k ) =
P(n)
P(n1 ) ⋅ P(n 2 ) ⋅⋅⋅ P(n k )
=
n!
n1! ⋅ n 2!⋅⋅⋅ n k!
Para simplificar la notación, se pueden excluir los valores de ni=1, puesto que 1!=1.
Para calcular directamente el número de permutaciones con repetición, se pueden hacer los
correspondientes cocientes con factoriales. También se definir una función “PR” o varias funciones
“PR2”, “PR3”, “PR4”, … con los parámetros necesarios “n”, “n1”, “n2”, “n3”, “n4”, ...
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Ejemplo 14. Construir todos los números posibles de 6 cifras, utilizando una vez el número 1,
dos veces el número 2 y tres veces el número 3.
Solución.
Ejemplo 15.
Calcular: a) PR(7,5,2)
b) PR(9,3,3,3)
c) PR(10,1,2,3,4)
d) PR(20,3,5,4,2,6)
Solución.
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Ejemplo 16. ¿Cuántas palabras con o sin significado se pueden formar con las letras de la
palabra CALCULADORA?
Solución. Hay que ordenar 11 letras, de forma que la letra “C” se repite dos veces, la letra “A”
se repite tres veces y la letra “L” se repite dos veces. PR(11,2,3,2,1,1,1,1) = PR(11,2,3,2).
8. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN.
Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, o de orden n, con n
menor o igual que m, son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los
m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento pero no en el
orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m). Otra forma de representarlas, y es la que
vamos a utilizar con la calculadora, es C(m,n).
Vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles con los elementos del
conjunto A = {1, 2, 3, 4} .
Hay 4 combinaciones sin repetición de orden 1.
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C(4,1) = 4
Hay 6 combinaciones sin repetición de orden 2. Se obtienen añadiendo a cada
combinación de orden 1, todos los elementos siguientes, en los casos en los que sea posible.
Si para cada una de las combinaciones sin repetición de orden 2, C(4,2), se cambian de orden
los 2 elementos, P(2), se obtienen las variaciones sin repetición de orden 2, V(4,2).
C(4, 2) ⋅ P(2) = V(4, 2) fl C(4, 2) =
V(4, 2)
P(2)
=
4⋅3
2
=6
Hay 4 combinaciones sin repetición de orden 3. Se obtienen añadiendo a cada
combinación de orden 2, todos los elementos siguientes, en los casos en los que sea posible.
Si para cada una de las combinaciones sin repetición de orden 3, C(4,3), se cambian de orden
los 3 elementos, P(3), se obtienen las variaciones sin repetición de orden 3, V(4,3).
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29
Combinatoria
ClassPad
V(4, 3)
C(4, 3) ⋅ P(3) = V(4, 3) fl C(4, 3) =
P(3)
=
4 ⋅3⋅ 2
3 ⋅ 2 ⋅1
=4
Hay una combinación sin repetición de orden 4. Se obtiene añadiendo a cada
combinación de orden 3, todos los elementos siguientes, en los casos en los que sea posible.
Si en esta combinación sin repetición de orden 4, C(4,4), se cambian de orden los 4
elementos, P(4), se obtienen las variaciones sin repetición de orden 4, V(4,4).
C(4, 4) ⋅ P(4) = V(4, 4) fl C(4, 4) =
V(4, 4)
P(4)
=
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=1
De las expresiones anteriores se puede deducir:
C(m, n) ⋅ P(n) = V(m, n)
C(m, n) =
V(m, n)
P(n)
=
m!
(m - n)!⋅ n!
m

n
=
Para calcular directamente el número de combinaciones sin repetición, se puede utilizar la
misma función que para los números combinatorios, nCr. También se puede definir la función “C” con
los parámetros “m” y “n”.
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30
Combinatoria
ClassPad
Ejemplo 17. Con los elementos del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} , construir todas las
combinaciones sin repetición de orden 5.
Solución.
Ejemplo 18. Calcular:
a) C(6,3)
b) C(9,4)
c) C(12,8)
d) C(20,13)
Solución.
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31
Combinatoria
ClassPad
Ejemplo 19. Una apuesta de lotería primitiva consiste en elegir seis números del 1 al 49.
¿Cuántas apuestas distintas hay que hacer para tener la seguridad de acertar la combinación ganadora?
Solución. Hay que elegir 6 números de 49 sin que se puedan repetir y sin que influya el orden.
Observación. Consulta el precio de cada apuesta y calcula el dinero que valdría rellenarlas
todas. Calcula también el tiempo que puedes tardar en hacer una y haz cuentas sobre lo que se tardaría
en realizarlas todas.
9. COMBINACIONES CON REPETICIÓN.
Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, o de orden n, son los
distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que
tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación.
Se representa por CRm,n. Otra forma de representarlas, y es la que vamos a utilizar con la
calculadora, es CR(m,n).
Vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles con los elementos del
conjunto A = {1, 2, 3, 4} .
Hay 4 combinaciones con repetición de orden 1.
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32
Combinatoria
ClassPad
CR(4,1) = 4
Hay 10 combinaciones con repetición de orden 2. Se obtienen añadiendo a cada combinación
de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. Es igual que construir las combinaciones sin
repetición con un elemento más. CR(4, 2) = C(4 +1, 2) .
5!
5
CR(4, 2) = C(5, 2) =   =
= 10
 2  2!⋅ 3!
Hay 20 combinaciones con repetición de orden 3. Se obtienen añadiendo a cada combinación
de orden dos, el último elemento y todos los siguientes. Es igual que construir las combinaciones sin
repetición con dos elementos más. CR(4, 3) = C(4 + 2, 3) .
Luis Barrios Calmaestra
33
Combinatoria
ClassPad
6!
6
CR(4, 3) = C(6, 3) =   =
= 20
 3  3!⋅ 3!
Hay 35 combinaciones con repetición de orden 4. Se obtienen añadiendo a cada combinación
de orden tres, el último elemento y todos los siguientes. Es igual que construir las combinaciones sin
repetición con tres elementos más. CR(4, 4) = C(4 + 3, 4) .
7!
7
CR(4, 4) = C(7, 4) =   =
= 35
 4  4!⋅ 3!
Al construir combinaciones con repetición, los elementos se pueden repetir y se pueden
continuar construyendo grupos de orden 5, 6, …
Hay 56 combinaciones con repetición de orden 5. Igual que en los casos anteriores.
Luis Barrios Calmaestra
34
Combinatoria
ClassPad
8!
8
CR(4, 5) = C(8, 5) =   =
= 56
 5  5!⋅ 3!
De las expresiones anteriores se puede deducir:
 m + n-1  (m + n-1)!
=
 n  n! ⋅ (m-1)!
CR(m, n) = C(m + n-1, n) = 
Para calcular directamente el número de combinaciones con repetición, se puede utilizar la
misma función que para los números combinatorios, nCr. También se puede definir la función “CR”
con los parámetros “m” y “n”.
Ejemplo 20. Con los elementos del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} , construir todas las
combinaciones con repetición de orden 3.
Solución.
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35
Combinatoria
Ejemplo 21. Calcular:
ClassPad
a) CR(4,7)
b) CR(7,4)
c) CR(10,5)
d) CR(15,15)
Solución.
Ejemplo 22. ¿Cuántas fichas tiene un dominó?
Solución. Cada ficha es una pareja de dos números en la que puede haber repetición y no
influye el orden. Los números pueden ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
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36
Combinatoria
ClassPad
10. DIFERENCIAS.
En la resolución de ejercicios la principal dificultad es distinguir entre variaciones y
combinaciones. A continuación se presentan cuatro casos con los mismos valores de m y n, para que
ayuden a comprender las diferencias.
11. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.
Hasta ahora se han resuelto ejemplos de cada uno de los tipos de agrupaciones dentro de los
apartados correspondientes, por tanto era fácil saber como resolverlos. El problema se presenta cuando
tenemos que distinguir entre variaciones, permutaciones o combinaciones.
Un método bastante útil es reducir la actividad a realizar agrupaciones con letras o números,
así será fácil conocer el número de elementos que disponemos y el número de elementos de cada
agrupación. Después habrá que plantearse si influye o no el orden en los grupos y si se pueden repetir
o no los elementos.
Para ayudar en los pasos a seguir en la resolución, se va a utilizar un programa diseñado para
esta situación, que no figura en la calculadora.
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37
Combinatoria
Ejercicio 1.
ClassPad
a) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados?
b) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
c) ¿Cuántos lados tiene un polígono con 434 diagonales?
Solución.
Una diagonal une dos vértices no consecutivos. En el pentágono podemos representar las
diagonales trazadas como AC, AD, BD, BE y CE. Las diagonales AC y CA son iguales (no influye el
orden) y no se pueden repetir (AA no es una diagonal). Además los lados no son diagonales.
Aunque ya podemos deducir la forma de resolver este ejercicio, vamos a ver la forma de
hacerlo con un programa de ayuda.
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38
Combinatoria
ClassPad
Al número de combinaciones obtenido, tenemos que restarle el número de lados, porque un
lado no es una diagonal.
 10 
-10 = 45-10 = 35 diagonales
2
n!
n ⋅ (n-1)
n ⋅ (n-3)
n
b) C(n, 2) - n =   - n =
-n =
-n =
diagonales
2! ⋅ (n - 2)!
2
2
 2
a) C(10, 2) - 10 = 
c) C(n, 2) - n = 434 ⇒
n ⋅ (n-3)
2
= 434 ⇒ n = 31 lados
Ejercicio 2. En una cuadrícula de 5 x 4, ¿cuántos caminos de longitud mínima, siguiendo los
lados de los cuadrados, hay para desplazarse desde el vértice inferior izquierdo al vértice superior
derecho?
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39
Combinatoria
ClassPad
Solución.
Un camino de longitud mínima está formado por cuatro pasos a la derecha y cinco pasos hacia
arriba. El camino del gráfico se puede representar por DAADADDAA. Cualquier otro camino es
cualquier ordenación posible de estos elementos.
Aplicamos el programa diseñado para resolver el ejercicio.
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40
Combinatoria
ClassPad
Ejercicio 3. En un pasillo hay 10 luces de forma que cada una se puede encender o apagar
independientemente de las demás. ¿Cuántas iluminaciones distintas se pueden dar?
Solución.
Si se representa por E cuando la lámpara está encendida y por A cuando está apagada, cada
iluminación consiste en un grupo de diez elementos formado por las letras A y E. Al cambiar los
elementos de orden se obtiene un grupo distinto y puede haber repetición.
Lo resolvemos con el programa:
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41
Combinatoria
ClassPad
Ejercicio 4. En una final olímpica de 100 metros lisos participan ocho atletas. ¿De cuántas
formas se pueden obtener las medallas de oro, plata y bronce?
Solución.
El resultado final de las medallas se puede expresar como un grupo de tres elementos FBC de
un total de ocho. Influye el orden (FBC y CFB son resultados distintos) y no se pueden repetir los
elementos (un corredor no se puede llevar dos medallas en una misma carrera).
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42
Combinatoria
ClassPad
Utilizamos el programa para resolverlo.
Ejercicio 5. Tenemos en el bolsillo tres monedas de 1 euros y tres monedas de 2 euros. Si
sacamos sin mirar tres monedas, ¿cuántas cantidades distintas podemos obtener?
Solución.
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43
Combinatoria
ClassPad
Hay que formar grupos de tres elementos con los números 1 y 2. Si se cambian los elementos
de orden el obtiene el mismo grupo y puede haber repetición.
Utilizamos el programa para resolverlo:
Como hay pocas cantidades, se puede hacer la comprobación de forma sencilla.
Ejercicio 6. Dos amigas y cinco amigos van al cine y se sientan en butacas consecutivas.
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44
Combinatoria
ClassPad
a) ¿De cuántas formas pueden hacerlo sin ninguna condición?
b) ¿De cuántas formas si las chicas se sientan en los extremos?
c) ¿De cuántas si las chicas se sientan juntas?
Solución.
a) Como no hay ninguna condición en la forma de sentarse hay que ordenar de todas las
formas posibles las siete personas.
Veámoslo con el programa.
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45
Combinatoria
ClassPad
b) Para resolver este apartado y el siguiente hay que hacer operaciones con los agrupamientos,
por lo que no se puede resolver en un solo paso.
En este caso, si las chicas se sientan en los extremos, hay P(2) formas de hacerlo y para cada
una de ellas, los chicos se pueden ordenar de P(5) formas posibles. Por tanto, habrá
P(2) · P(5) = 2! · 5! = 240 formas de sentarse.
c) Ahora, según se ve en el dibujo, las chicas tienen en principio 6 posibilidades para estar
juntas, pero por cada una de estas posibilidades, ellas se podrán ordenar de P(2) Formas y ellos de P(5)
formas. En total se tienen 6· P(2) · P(5) = 6· 2!·5! = 1440 formas.
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46
Combinatoria
ClassPad
12. ACTIVIDADES PROPUESTAS.
1.
Un juego educativo contiene figuras con forma de triángulos, cuadrados y círculos, en dos
tamaños, grandes y pequeñas, y en cuatro colores, amarillo, azul, rojo y verde. ¿Cuántas figuras
distintas hay?
2.
¿Cuántos números capicúas hay de seis cifras?
3.
Lanzamos dos dados al aire y sumamos los resultados obtenidos en las caras superiores. ¿De
cuántas formas se puede obtener múltiplo de 2? ¿De cuántas múltiplo de 3? ¿Y múltiplo de 2 y 3? ¿Y
múltiplo de 2 ó 3?
4.
En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. En el curso actual,
66 alumnos estudian al menos inglés, 55 francés y 55 alemán, 17 inglés y francés, 22 inglés y alemán,
19 francés y alemán y 7 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian únicamente inglés?
¿Cuántos alumnos estudian un único idioma?
5.
Una urna contiene 100 bolas numeradas de la forma: 00, 01, ... 98, 99. Se saca una bola al
azar, sea M la primera cifra y N la segunda. Determinar en cuántos casos se pueden dar las siguientes
situaciones:
a) M = 7
b) N = 4
c) M ≠N
d) M < N
e) M + N = 9
f) M · N > 49
g) M + N ≠8
e) M2 + N2 < 100
6.
Con los elementos del conjunto A={1,3,5,7}, construir todas las variaciones sin repetición de
orden tres.
7.
Con los elementos del conjunto A={a,e,i,o,u}, construir todas las variaciones sin repetición de
orden dos.
8.
Con los elementos del conjunto A={x,y}, construir todas las variaciones con repetición de
orden cuatro.
9.
Con los elementos del conjunto A={a,b,c,d}, construir todas las variaciones con repetición de
orden dos.
10.
Con los elementos del conjunto A={1,2,3}, construir todas las permutaciones sin repetición de
orden tres.
11.
Con los elementos del conjunto A={a,b,c,d}, construir todas las permutaciones sin repetición
de orden cuatro.
12.
Con los elementos del conjunto A={1,2}, construir todas las permutaciones con repetición en
las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo tres veces.
13.
Con los elementos del conjunto A={a,b}, construir todas las permutaciones con repetición en
las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo dos veces.
14.
Con los elementos del conjunto A={1,2,3,4,5}, construir todas las combinaciones sin
repetición de orden tres.
15.
Con los elementos del conjunto A={a,b,c,d,e,f}, construir todas las combinaciones sin
repetición de orden cuatro.
16.
Con los elementos del conjunto A={1,2,3}, construir todas las combinaciones con repetición
de orden tres.
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47
Combinatoria
ClassPad
17.
Con los elementos del conjunto A={a,b,c,d}, construir todas las combinaciones con repetición
de orden dos.
18.
Calcular:
a) V7,5
b) V10,4
c) V15,8
d) V20,3
19.
Calcular:
a) VR4,6
b) VR6,4
c) VR10,5
d) VR2,10
20.
Calcular:
a) P7
b) P10
c) P15
d) P18
21.
Calcular:
a) PR105,3,2
b) PR126,6
c) PR82,2,2,2
d) PR104,3,2,1
22.
Calcular:
a) C7,0
b) C10,5
c) C17,12
d) C20,15
23.
Calcular:
a) CR7,5
b) CR5,7
c) CR10,6
d) CR6,10
24.
Calcular:
a) V8,3
b) VR8,3
c) C8,3 d) CR8,3
25.
¿Cuántas banderas con tres franjas horizontales de colores distintos se pueden formar
utilizando los siete colores del arco iris? ¿Y si las franjas extremas pueden ser del mismo color?
26.
Se lanza una moneda cinco veces consecutivas y se anotan los resultados en el orden en que
aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar?
27.
Un estudiante debe elegir ocho de las diez preguntas de un examen. ¿De cuántas formas
distintas puede contestar el examen? ¿Y si las tres primeras son obligatorias?
28.
¿Cuántas palabras con o sin significado se pueden formar con las letras de la palabra
ESTADÍSTICA?
29.
¿Cuántos grupos de signos se pueden formar en el alfabeto Morse utilizando tres puntos y dos
rayas?
30.
Una persona ha escrito cinco cartas dirigidas a cinco personas diferentes, pero luego las
introduce en los sobres al azar. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer? ¿En cuántas de éstas, a
una persona determinada le llegará su carta?
31.
¿Cuántas cantidades exactas podemos pagar con las ocho monedas que tenemos en circulación
utilizando desde una hasta ocho monedas distintas?
32.
¿Cuántas cantidades exactas podemos pagar con los siete billetes existentes en la actualidad
utilizando desde uno hasta siete billetes distintos?
33.
Con los alumnos de la clase, ¿de cuántas formas se puede elegir delegado y subdelegado? ¿Y
si el delegado debe ser una alumna y el subdelegado debe ser un alumno?
34.
¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro alumnos de la clase para realizar un trabajo? ¿Y si
queremos elegir dos alumnos y dos alumnas?
35.
¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra AURELIO? ¿Cuántas de ellas
tienen las consonantes juntas? ¿Cuántas tienen las cinco vocales juntas?
36.
Un entrenador de fútbol tiene una plantilla formada por dos porteros, siete defensas, seis
medios y cinco delanteros. ¿Cuántas alineaciones puede hacer para un partido determinado si quiere
poner un portero, cuatro defensas, tres medios y tres delanteros?
Luis Barrios Calmaestra
48
Combinatoria
ClassPad
37.
En un plano tenemos siete puntos de forma que no hay tres de ellos alineados. ¿Cuántas rectas
distintas se pueden trazar? ¿Cuántos triángulos distintos podemos construir?
38.
Supongamos ahora siete puntos en el espacio de forma que no hay cuatro cualesquiera que
sean coplanarios, ¿cuántos planos distintos podríamos trazar?
39.
En una jornada de un congreso se van a dar seis conferencias por seis personas distintas. ¿De
cuántas formas distintas se pueden organizar? ¿Y si las conferencias de inauguración y clausura deben
estar en su lugar?
40.
Al comprar diez libros de texto de su curso, un estudiante se da cuenta que tiene dinero nada
más que para comprar siete, ¿cuántas comprar puede hacer?
41.
¿De cuántas formas se pueden sentar los alumnos de la clase si no sobran pupitres? ¿De
cuántas formas se pueden sentar en una mesa redonda comparando únicamente los compañeros que
tiene a su lado?
42.
Un alumno que cursa 2º Bachillerato tiene nueve asignaturas. ¿Cuántas calificaciones distintas
puede obtener en la primera evaluación distinguiendo únicamente aprobado o suspenso?
43.
En una cuadrícula de siete por tres nos desplazamos siguiendo los lados de los cuadrados que
la forman. ¿Cuántos caminos de longitud mínima existen para ir del vértice inferior derecho al vértice
superior izquierdo?
44.
En la final olímpica de 100 metros lisos participan ocho atletas. ¿De cuántas formas se pueden
repartir las tres medallas? ¿Cuántas clasificaciones distintas puede haber? Si de los ocho atletas, tres
son americanos y cinco europeos, ¿cuántas clasificaciones puede haber si sólo observamos los
continentes de procedencia?
45.
a) En una reunión a la que asisten veinte amigos, ¿cuántos saludos habrá?
b) En una reunión hubo 595 saludos, ¿cuántas personas había?
46.
Un partido de fútbol ha terminado con el marcador de 2 a 4 a favor de los visitantes. ¿De
cuántas formas se puede haber llegado al resultado final?
47.
Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6
a) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar?
b) ¿Cuántos empiezan por 1?
c) ¿Cuántos acaban en 24?
d) ¿En cuántos está el número 5?
e) ¿En cuántos no está el número 5?
f) Calcular la suma de todos los números del apartado a)?
48.
Con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos se pueden formar?
b) ¿En cuántos está el número 1?
c) ¿En cuántos no está el número 2?
d) ¿En cuántos está el 3 y no está el 5?
49.
Utilizando las cinco vocales
a) ¿Cuántas palabras con o sin significado podemos construir utilizando tres letra iguales o
distintas?
b) ¿Cuántas empiezan por a?
c) ¿Cuántas acaban por u?
Luis Barrios Calmaestra
49
Combinatoria
ClassPad
d) ¿Cuántas empiezan por a y acaban por u?
e) ¿Cuántas no contienen la letra o?
50.
En una estantería hay cuatro libros de Matemáticas de los cursos primero, segundo, tercero y
cuarto de ESO; tres libros de Ciencias Naturales de los cursos segundo, tercero y cuarto de ESO; y dos
libros de Inglés de los cursos tercero y cuarto de ESO. ¿De cuántas formas se pueden ordenar con las
siguientes condiciones?
a) Los libros de la misma asignatura deben estar juntos.
b) Los libros del mismo curso deben estar juntos.
c) Sin ninguna condición.
51.
¿De cuántas formas se pueden ordenar cuatro libros de Matemáticas, tres de Inglés y dos de
Historia, siendo todos de segundo de Bachillerato?
Luis Barrios Calmaestra
50
Combinatoria
ClassPad
13. PROGRAMAS
No es posible construir directamente todas las agrupaciones estudiadas con la calculadora,
pero sí se pueden diseñar programas utilizando la ClassPad para conseguirlas. Esto se hace desde el
Menú Programación.
Todos los programas diseñados funcionan de forma similar. Al ejecutarlo, pide que se
introduzca el valor de m, después pide el valor de n y una vez introducidos los valores correctos,
aparece una primera pantalla con las agrupaciones que se van a calcular y el número de agrupaciones
que hay. El programa hace una pausa. Para continuar, tanto en esta pausa como en cualquier otra, hay
que pulsar el icono
que aparece en la esquina inferior derecha de la pantalla. En la ventana se ven
todas las agrupaciones, que aparecerán en una o varias pantallas, según el número, a las que se accede
pulsando . Una vez finalizada la ejecución del programa aparece un menaje indicándolo. Al pulsar
aceptar, desaparece la ventana del mensaje y se pueden consultar las últimas agrupaciones.
En algunas agrupaciones con un mayor número, las primeras tardarán unos pocos segundos en
aparecer, pero se puede comprobar que la calculadora está trabajando porque en la parte inferior
derecha aparecen de forma intermitente los símbolos y .
Por facilidad en los programas de construcción de agrupaciones, los elementos son los
números naturales. Si tenemos que hacer agrupaciones con letras o símbolos, basta sustituir el número
1 por el primer elemento, el número 2 por el segundo elemento y así sucesivamente.
A continuación se muestran la secuencia de pantallas que aparecen para el cálculo de V(6,3).
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51
Combinatoria
ClassPad
Al final de todos los programas aparece una secuencia de instrucciones similar a:
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,VS[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause: ClrText: IfEnd
Next
La función de estas instrucciones es la presentación en la pantalla de las agrupaciones. En este
caso particular, aparecen “70” agrupaciones por pantalla, distribuidas en “5” columnas. Es fácil
modificar, esta presentación, a gusto o necesidad de cada persona. En esta caso habría que ajustar
también los parámetros “27a-20” y “13b-12” de la instrucción “Locate”, para que las columnas y las
filas se presenten con mayor o menor separación.
Triángulo de Tartaglia. Programa: “TRIANG”.
ClrText
Locate 7,3,"Triángulo de TARTAGLIA"
For 0fli To 7
For 0flj To i
Locate 71+20*(j-i/2),25+20i,nCr(i,j)
Next:Next
Agrupaciones de un elemento. Programa: G1.
Este programa no funciona de forma independiente. Es una subrutina que se ejecuta desde otro
programa principal.
ClrText
For 1flj To m
1+int((j-1)/6)flb
j-6*int((j-1)/6)fla
Locate 25a-20,13b-12,j
Next
Variaciones sin repetición. Programa de inicio: VARSIN.
ClrText
Print "Variaciones sin repetición"
Print "de m elementos tomados"
Print "de n en n."
Lbl A:Input m, "Valor de m. Introduce un número de 1 a 9."
If m<1 or m>9: Then:GoTo A:IfEnd
Lbl B:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a m."
If n<1 or n>5 or n>m: Then:GoTo B:IfEnd
Locate 20,35, "Valor de m:":Locate 90,35,m
Locate 20,50, "Valor de n:":Locate 90,50,n
m!/(m-n)!flt
Locate 20,70,"V( , )=":Locate 32,70,m:Locate 44,70,n:Locate 64,70,t
Locate 5,90, "Puedes pulsar Resize en"
Locate 5,100, "la barra inferior para ver"
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52
Combinatoria
ClassPad
Locate 5,110, "la pantalla completa."
Locate 5,125, "Cuando la pantalla esté"
Locate 5,135, "completa, haz click en "
Locate 5,145, "el icono de la esquina"
Locate 5,155, "inferior derecha para"
Locate 5,165, "continuar." :Pause
If n=1: Then: G1(): IfEnd
If n=2: Then: VS2(): IfEnd
If n=3: Then: VS3(): IfEnd
If n=4: Then: VS4(): IfEnd
If n=5: Then: VS5(): IfEnd
Variaciones sin repetición de orden 2. Programa: VS2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m*(m-1)flt
0fli
fill(t,1) flVS
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
i+1fli
10*e1+e2flVS[i]
Lbl A:Next
Next
For 1flj To t
1+int((j-1)/6)flb
j-6*int((j-1)/6)fla
Locate 25a-20,13b-12,VS[j]
Next
Variaciones sin repetición de orden 3. Programa: VS3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m*(m-1)*(m-2)flt
0fli
fill(t,1)flVS
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To m
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
i+1fli
100*e1+10*e2+e3flVS[i]
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
Luis Barrios Calmaestra
53
Combinatoria
ClassPad
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,VS[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Variaciones sin repetición de orden 4. Programa: VS4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m*(m-1)*(m-2)*(m-3)flt
0fli
fill(t,1)flVS
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To m
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To m
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
i+1fli
1000*e1+100*e2+10e3+e4flVS[i]
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,VS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Variaciones sin repetición de orden 5. Programa: VS5.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*(m-4)flt
0fli
fill(t,1)flVS
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To m
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To m
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
For 1fle5 To m
If e5=e1 or e5=e2 or e5=e3 or e5=e4:Then: GoTo D:IfEnd
i+1fli
Luis Barrios Calmaestra
54
Combinatoria
ClassPad
10000*e1+1000*e2+100e3+10e4+e5flVS[i]
Lbl D: Next
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,VS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Variaciones con repetición. Programa de inicio: VARCON.
ClrText
Print "Variaciones con repetición"
Print "de m elementos tomados"
Print "de n en n."
Lbl A:Input m, "Valor de m. Introduce un número de 1 a 9."
If m<1 or m>9: Then:GoTo A:IfEnd
Lbl B:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a 5."
If n<1 or n>5: Then:GoTo B:IfEnd
Locate 20,35, "Valor de m:":Locate 90,35,m
Locate 20,50, "Valor de n:":Locate 90,50,n
m^nflt
Locate 20,70,"VR( , )=":Locate 38,70,m:Locate 50,70,n:Locate 70,70,t
Locate 5,90, "Puedes pulsar Resize en"
Locate 5,100, "la barra inferior para ver"
Locate 5,110, "la pantalla completa."
Locate 5,125, "Cuando la pantalla esté"
Locate 5,135, "completa, haz click en "
Locate 5,145, "el icono de la esquina"
Locate 5,155, "inferior derecha para"
Locate 5,165, "continuar." :Pause
If n=1: Then: G1(): IfEnd
If n=2: Then: VC2(): IfEnd
If n=3: Then: VC3(): IfEnd
If n=4: Then: VC4(): IfEnd
If n=5: Then: VC5(): IfEnd
Variaciones con repetición de orden 2. Programa: VC2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARCON” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m^2flt
0fli
fill(t,1)flVC
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
i+1fli
10*e1+e2flVC[i]
Luis Barrios Calmaestra
55
Combinatoria
ClassPad
Next:Next
For 1flj To t
1+int((j-1)/6)flb
j-6*int((j-1)/6)fla
Locate 25a-20,13b-12,VC[j]
Next
Variaciones con repetición de orden 3. Programa: VC3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARCON” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m^3flt
0fli
fill(t,1)flVC
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
For 1fle3 To m
i+1fli
100*e1+10*e2+e3flVC[i]
Next:Next:Next
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,VC[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Variaciones con repetición de orden 4. Programa: VC4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARCON” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m^4flt
0fli
fill(t,1)flVC
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
For 1fle3 To m
For 1fle4 To m
i+1fli
1000*e1+100*e2+10*e3+e4flVC[i]
Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4) flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,VC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Variaciones con repetición de orden 5. Programa: VC5.
Luis Barrios Calmaestra
56
Combinatoria
ClassPad
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “VARCON” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m^5flt
0fli
fill(t,1)flVC
For 1fle1 To m
For 1fle2 To m
For 1fle3 To m
For 1fle4 To m
For 1fle5 To m
i+1fli
10000*e1+1000*e2+100*e3+10*e4+e5flVC[i]
Next:Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,VC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones sin repetición. Programa de inicio: PERSIN.
ClrText
Print "Permutaciones sin repeti-"
Print "ción de n elementos"
Lbl A:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a 5."
If n<1 or n>5: Then:GoTo A:IfEnd
Locate 20,35, "Valor de n:":Locate 90,35,n
n! flt
Locate 20,60,"P =":Locate 25,65,n:Locate 40,60,t
Locate 5,90, "Puedes pulsar Resize en"
Locate 5,100, "la barra inferior para ver"
Locate 5,110, "la pantalla completa."
Locate 5,125, "Cuando la pantalla esté"
Locate 5,135, "completa, haz click en "
Locate 5,145, "el icono de la esquina"
Locate 5,155, "inferior derecha para"
Locate 5,165, "continuar." :Pause
If n=1: Then: 1flm: G1(): IfEnd
If n=2: Then: PS2(): IfEnd
If n=3: Then: PS3(): IfEnd
If n=4: Then: PS4(): IfEnd
If n=5: Then: PS5(): IfEnd
Permutaciones sin repetición de orden 2. Programa: PS2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERSIN” cuando n=2.
ClrText
2!flt
0fli
Luis Barrios Calmaestra
57
Combinatoria
ClassPad
fill(t,1)flPS
For 1fle1 To 2
For 1fle2 To 2
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
i+1fli
10*e1+e2flPS[i]
Lbl A:Next
Next
For 1flj To t
1+int((j-1)/6)flb
j-6*int((j-1)/6)fla
Locate 25a-20,13b-12,PS[j]
Next
Permutaciones sin repetición de orden 3. Programa: PS3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERSIN” cuando n=3.
ClrText
3! flt
0fli
fill(t,1)flPS
For 1fle1 To 3
For 1fle2 To 3
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 3
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
i+1fli
100*e1+10*e2+e3flPS[i]
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,PS[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones sin repetición de orden 4. Programa: PS4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERSIN” cuando n=4.
ClrText
4!flt
0fli
fill(t,1)flPS
For 1fle1 To 4
For 1fle2 To 4
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 4
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 4
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
Luis Barrios Calmaestra
58
Combinatoria
ClassPad
i+1fli
1000*e1+100*e2+10*e3+e4flPS[i]
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,PS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones sin repetición de orden 5. Programa: PS5.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERSIN” cuando n=5.
ClrText
5!flt
0fli
fill(t,1)flPS
For 1fle1 To 5
For 1fle2 To 5
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 5
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 5
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
For 1fle5 To 5
If e5=e1 or e5=e2 or e5=e3 or e5=e4:Then: GoTo D:IfEnd
i+1fli
10000*e1+1000*e2+100*e3+10*e4+e5flPS[i]
Lbl D: Next
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,PS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Desordenaciones de 5 elementos. Programa: DESORD.
ClrText
120flt
0fli:0flz
fill(120,1) flPS
fill(44,1) flDS
For 1fle1 To 5
For 1fle2 To 5
Luis Barrios Calmaestra
59
Combinatoria
ClassPad
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 5
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 5
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
For 1fle5 To 5
If e5=e1 or e5=e2 or e5=e3 or e5=e4:Then: GoTo D:IfEnd
i+1fli
10000e1+1000e2+100e3+10e4+e5flPS[i]
If e1≠1 and e2≠2 and e3≠3 and e4≠4 and e5≠5:Then
z+1flz:
10000e1+1000e2+100e3+10e4+e5⇒DS[z]
IfEnd
Lbl D: Next
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
For 1flk To 44
k-56*int((k-1)/56) flj
1+int((j-1)/4) flb
j-4*int((j-1)/4) fla
Locate 35a-30,16b-11,DS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones con repetición. Programa de inicio: PERCON.
ClrText
Print "Permutaciones con repeti-"
Print "ción de n elementos"
0fln1:0fln2:0fln3:0fln4:0fln5:0fln6
Lbl A:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a 6."
If n<1 or n>6: Then:GoTo A:IfEnd
Lbl B: Input n1, "Número de veces que se repite e1"
If n1>n:Then:GoTo B: IfEnd
Lbl C: If n>1:Then: Input n2, "Número de veces que se repite e2":IfEnd
If n1+n2>n:Then:GoTo C: IfEnd
Lbl D: If n>2:Then: Input n3, "Número de veces que se repite e3":IfEnd
If n1+n2+n3>n:Then:Goto D: IfEnd
Lbl E: If n>3:Then: Input n4, "Número de veces que se repite e4":IfEnd
If n1+n2+n3+n4>n:Then:GoTo E: IfEnd
Lbl F: If n>4:Then: Input n5, "Número de veces que se repite e5":IfEnd
If n1+n2+n3+n4+n5>n:Then:GoTo F: IfEnd
Lbl G: If n>5:Then: Input n6, "Número de veces que se repite e6":IfEnd
If n1+n2+n3+n4+n5+n6>n:Then:GoTo G: IfEnd
Locate 30,25, "Valor de n:":Locate 100,25,n
Locate 5,40, "Número de veces que se"
Locate 5,50, "repite cada elemento"
Locate 50,65,"e1:":Locate 70,65,n1
If n>1: Then: Locate 50,75,"e2:":Locate 70,75,n2: IfEnd
If n>2: Then: Locate 50,85,"e3:":Locate 70,85,n3: IfEnd
If n>3: Then: Locate 50,95,"e4:":Locate 70,95,n4: IfEnd
If n>4: Then: Locate 50,105,"e5:":Locate 70,105,n5: IfEnd
If n>5: Then: Locate 50,115,"e6:":Locate 70,115,n6: IfEnd
Luis Barrios Calmaestra
60
Combinatoria
ClassPad
n1!*n2!*n3!*n4!*n5!*n6! fld
n!/dflt
Locate 30,130,"PR ="
Locate 44,135,n
Locate 51,135,",..."
Locate 90,130, t
fill(n,1) flR
For 1fli To n1:1flR[i]:Next
For 1+n1fli To n1+n2:2flR[i]:Next
For 1+n1+n2fli To n1+n2+n3:3flR[i]:Next
For 1+n1+n2+n3fli To n1+n2+n3+n4:4flR[i]:Next
For 1+n1+n2+n3+n4fli To n1+n2+n3+n4+n5:5flR[i]:Next
For 1+n1+n2+n3+n4+n5fli To n:6flR[i]:Next
Locate 5,150, "Haz click en el icono"
Locate 5,160, "de la esquina inferior"
Locate 5,170, "derecha para continuar":Pause
If n=1: Then: 1flm: G1(): IfEnd
If n=2: Then: PC2(): IfEnd
If n=3: Then: PC3(): IfEnd
If n=4: Then: PC4(): IfEnd
If n=5: Then: PC5(): IfEnd
If n=6: Then: PC6(): IfEnd
Permutaciones con repetición de 2 elementos. Programa: PC2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERCON” para los valores
correspondientes de los parámetros.
ClrText
0fli
fill(n!,1)flPS
For 1fle1 To 2
For 1fle2 To 2
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
i+1fli
10*R[e1]+R[e2]flPS[i]
Lbl A: Next
Next
fill(t,1)flPC:1flr
PS[1] flPC[1]
For 2flh To n!
If PS[h]>PC[r]
Then
r+1flr
PS[h]flPC[r]
IfEnd
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,PC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Luis Barrios Calmaestra
61
Combinatoria
ClassPad
Permutaciones con repetición de 3 elementos. Programa: PC3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERCON” para los valores
correspondientes de los parámetros.
ClrText
0fli
fill(n!,1)flPS
For 1fle1 To 3
For 1fle2 To 3
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 3
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
i+1fli
100*R[e1]+10*R[e2]+R[e3]flPS[i]
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
fill(t,1)flPC:1flr
PS[1]flPC[1]
For 2flh To n!
If PS[h]>PC[r]
Then
r+1flr
PS[h] flPC[r]
IfEnd
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,PC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones con repetición de 4 elementos. Programa: PC4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERCON” para los valores
correspondientes de los parámetros.
ClrText
0fli
fill(n!,1)flPS
For 1fle1 To 4
For 1fle2 To 4
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 4
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 4
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
i+1fli
1000*R[e1]+100*R[e2]+10*R[e3]+R[e4]flPS[i]
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Luis Barrios Calmaestra
62
Combinatoria
ClassPad
Next
fill(t,1) flPC:1flr
PS[1]flPC[1]
For 2flh To n!
If PS[h]>PC[r]
Then
r+1flr
PS[h] flPC[r]
IfEnd
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56) flj
1+int((j-1)/4) flb
j-4*int((j-1)/4) fla
Locate 35a-30,13b-12,PC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones con repetición de 2 elementos. Programa: PC5.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERCON” para los valores
correspondientes de los parámetros.
ClrText
0fli
fill(n!,1)flPS
For 1fle1 To 5
For 1fle2 To 5
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 5
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 5
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
For 1fle5 To 5
If e5=e1 or e5=e2 or e5=e3 or e5=e4:Then: GoTo D:IfEnd
i+1fli
10000*R[e1]+1000*R[e2]+100*R[e3]+10*R[e4]+R[e5]flPS[i]
Lbl D: Next
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
fill(t,1)flPC:1flr
PS[1] flPC[1]
For 2flh To n!
If PS[h]>PC[r]
Then
r+1flr
PS[h]flPC[r]
IfEnd
Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Luis Barrios Calmaestra
63
Combinatoria
ClassPad
Locate 35a-30,13b-12,PC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Permutaciones con repetición de 2 elementos. Programa: PC6.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “PERCON” para los valores
correspondientes de los parámetros.
ClrText
0fli
fill(n!,1)flPS
For 1fle1 To 6
For 1fle2 To 6
If e2=e1:Then: GoTo A:IfEnd
For 1fle3 To 6
If e3=e1 or e3=e2:Then: GoTo B:IfEnd
For 1fle4 To 6
If e4=e1 or e4=e2 or e4=e3:Then: GoTo C:IfEnd
For 1fle5 To 6
If e5=e1 or e5=e2 or e5=e3 or e5=e4:Then: GoTo D:IfEnd
For 1fle6 To 6
If e6=e1 or e6=e2 or e6=e3 or e6=e4 or e6=e5:Then: GoTo E:IfEnd
i+1fli
100000*R[e1]+10000*R[e2]+1000*R[e3]+100*R[e4]+10*R[e5]+R[e6]flPS[i]
Lbl E: Next
Lbl D: Next
Lbl C: Next
Lbl B: Next
Lbl A: Next
Next
fill(t,1)flPC:1flr
PS[1] flPC[1]
For 2flh To n!
If PS[h]>PC[r]
Then
r+1flr
PS[h]flPC[r]
IfEnd
Next
For 1flk To t
k-42*int((k-1)/42)flj
1+int((j-1)/3)flb
j-3*int((j-1)/3)fla
Locate 47a-42,13b-12,PC[k]
If int(k/42)=k/42: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones sin repetición. Programa de inicio: COMSIN.
ClrText
Print "Combinaciones sin repetición"
Print "de m elementos tomados"
Print "de n en n."
Lbl A:Input m, "Valor de m. Introduce un número de 1 a 9."
Luis Barrios Calmaestra
64
Combinatoria
ClassPad
If m<1 or m>9: Then:GoTo A:IfEnd
Lbl B:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a m."
If n<1 or n>m or n>5: Then:GoTo B:IfEnd
Locate 20,35, "Valor de m:":Locate 90,35,m
Locate 20,50, "Valor de n:":Locate 90,50,n
m!/(n!×(m-n)!)flt
Locate 20,70,"C( , )=":Locate 32,70,m:Locate 44,70,n:Locate 64,70,t
Locate 5,90, "Puedes pulsar Resize en"
Locate 5,100, "la barra inferior para ver"
Locate 5,110, "la pantalla completa."
Locate 5,125, "Cuando la pantalla esté"
Locate 5,135, "completa, haz click en "
Locate 5,145, "el icono de la esquina"
Locate 5,155, "inferior derecha para"
Locate 5,165, "continuar." :Pause
If n=1: Then: G1(): IfEnd
If n=2: Then: CS2(): IfEnd
If n=3: Then: CS3(): IfEnd
If n=4: Then: CS4(): IfEnd
If n=5: Then: CS5(): IfEnd
Combinaciones sin repetición de orden 2. Programa: CS2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m×(m-1)/2flt
0fli
fill(t,1)flCS
For 1fle1 To m
For 1+e1fle2 To m
i+1fli
10*e1+e2flCS[i]
Next:Next
For 1flj To t
1+int((j-1)/6) flb
j-6*int((j-1)/6) fla
Locate 25a-20,13b-12,CS[j]
Next
Combinaciones sin repetición de orden 3. Programa: CS3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m!/(n!×(m-n)!)flt
0fli
fill(t,1)flCS
For 1fle1 To m
For 1+e1fle2 To m
For 1+e2fle3 To m
i+1fli
100*e1+10*e2+e3flCS[i]
Luis Barrios Calmaestra
65
Combinatoria
ClassPad
Next:Next:Next
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,CS[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones sin repetición de orden 4. Programa: CS4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m!/(n!×(m-n)!)flt
0fli
fill(t,1)flCS
For 1fle1 To m
For 1+e1fle2 To m
For 1+e2fle3 To m
For 1+e3fle4 To m
i+1fli
1000*e1+100*e2+10e3+e4flCS[i]
Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4) fla
Locate 35a-30,13b-12,CS[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones sin repetición de orden 5. Programa: CS5.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMSIN” para los valores
correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
m!/(n!×(m-n)!)flt
0fli
fill(t,1)flCS
For 1fle1 To m
For 1+e1fle2 To m
For 1+e2fle3 To m
For 1+e3fle4 To m
For 1+e4fle5 To m
i+1fli
10000*e1+1000*e2+100*e3+10*e4+e5flCS[i]
Next:Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4) fla
Locate 35a-30,13b-12,CS[k]
Luis Barrios Calmaestra
66
Combinatoria
ClassPad
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones con repetición. Programa de inicio: COMCON.
ClrText
Print "Combinaciones con repetición"
Print "de m elementos tomados"
Print "de n en n."
Lbl A:Input m, "Valor de m. Introduce un número de 1 a 9."
If m<1 or m>9: Then:GoTo A:IfEnd
Lbl B:Input n, "Valor de n. Introduce un número de 1 a 5."
If n<1 or n>5: Then:GoTo B:IfEnd
Locate 20,35, "Valor de m:":Locate 90,35,m
Locate 20,50, "Valor de n:":Locate 90,50,n
(m+n-1)!/(n!×(m-1)!)flt
Locate 20,70,"CR( , )=":Locate 38,70,m:Locate 50,70,n:Locate 70,70,t
Locate 5,90, "Puedes pulsar Resize en"
Locate 5,100, "la barra inferior para ver"
Locate 5,110, "la pantalla completa."
Locate 5,125, "Cuando la pantalla esté"
Locate 5,135, "completa, haz click en "
Locate 5,145, "el icono de la esquina"
Locate 5,155, "inferior derecha para"
Locate 5,165, "continuar." :Pause
If n=1: Then: G1(): IfEnd
If n=2: Then: CC2(): IfEnd
If n=3: Then: CC3(): IfEnd
If n=4: Then: CC4(): IfEnd
If n=5: Then: CC5(): IfEnd
Combinaciones con repetición de orden 2. Programa: CC2.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMCON” para los
valores correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
(m+n-1)!/(n!×(m-1)!)flt
0fli
fill(t,1)flCC
For 1fle1 To m
For e1fle2 To m
i+1fli
10*e1+e2flCC[i]
Next:Next
For 1flj To t
1+int((j-1)/6)flb
j-6*int((j-1)/6)fla
Locate 25a-20,13b-12,CC[j]
Next
Combinaciones con repetición de orden 3. Programa: CC3.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMCON” para los
valores correspondientes de los parámetros m y n.
Luis Barrios Calmaestra
67
Combinatoria
ClassPad
ClrText
(m+n-1)!/(n!×(m-1)!)flt
0fli
fill(t,1)flCC
For 1fle1 To m
For e1fle2 To m
For e2fle3 To m
i+1fli
100*e1+10*e2+e3flCC[i]
Next:Next:Next
For 1flk To t
k-70*int((k-1)/70)flj
1+int((j-1)/5)flb
j-5*int((j-1)/5)fla
Locate 27a-20,13b-12,CC[k]
If int(k/70)=k/70: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones con repetición de orden 4. Programa: CC4.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMCON” para los
valores correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
(m+n-1)!/(n!×(m-1)!)flt
0fli
fill(t,1)flCC
For 1fle1 To m
For e1fle2 To m
For e2fle3 To m
For e3fle4 To m
i+1fli
1000*e1+100*e2+10*e3+e4flCC[i]
Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,CC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Combinaciones con repetición de orden 5. Programa: CC5.
Este programa es una subrutina que se ejecuta desde el programa “COMCON” para los
valores correspondientes de los parámetros m y n.
ClrText
(m+n-1)!/(n!×(m-1)!)flt
0fli
fill(t,1)flCC
For 1fle1 To m
For e1fle2 To m
For e2fle3 To m
Luis Barrios Calmaestra
68
Combinatoria
ClassPad
For e3fle4 To m
For e4fle5 To m
i+1fli
10000*e1+1000*e2+100*e3+10*e4+e5flCC[i]
Next:Next:Next:Next:Next
For 1flk To t
k-56*int((k-1)/56)flj
1+int((j-1)/4)flb
j-4*int((j-1)/4)fla
Locate 35a-30,13b-12,CC[k]
If int(k/56)=k/56: Then: Pause:ClrText:IfEnd
Next
Resolución de ejercicios. Programa: “res”.
ClrText
Locate 5,5,"¿Al cambiar de orden los"
Locate 15,15,"elementos se obtiene"
Locate 25,25,"el mismo grupo?"
Locate 50,45, "0. No"
Locate 50,60, "1. Sí"
Lbl A:Input a,"Introduce la respuesta a la pregunta","0: No 1: Sí"
If a<0 or a>1: Then: GoTo A: IfEnd
If a=1: Then: Goto D: IfEnd
ClrText
Locate 22,5,"¿En cada muestra"
Locate 25,15,"intervienen todos"
Locate 30,25,"los elementos?"
Locate 50,45, "0. No"
Locate 50,60, "1. Sí"
Lbl B: Input b,"Introduce la respuesta a la pregunta","0: No 1: Sí"
If b<0 or b>1: Then: GoTo B: IfEnd
Lbl D: ClrText
Locate 22,10,"¿Se pueden repetir"
Locate 30,20,"los elementos?"
Locate 50,45, "0. No"
Locate 50,60, "1. Sí"
Lbl C: Input c,"Introduce la respuesta a la pregunta","0: No 1: Sí"
If c<0 or c>1: Then: GoTo C: IfEnd
ClrText
If a=0 and b=0: Then: Locate 42,5,"VARIACIONES":IfEnd
If a=0 and b=1: Then: Locate 33,5,"PERMUTACIONES":IfEnd
If a=1: Then: Locate 33,5,"COMBINACIONES":IfEnd
If c=0: Then: Locate 32,15,"SIN REPETICIÓN":IfEnd
If c=1: Then: Locate 32,15,"CON REPETICIÓN":IfEnd
Lbl E:If a=0 and b=0 and c=0: Then: Input m, "Introduce el valor de m","V(m,n)"
If m<1: Then: GoTo E:IfEnd
Lbl F:Input n, "Introduce el valor de n","V(m,n)"
If n<1 or n>m: Then: GoTo F:IfEnd
Locate 30,40,"m =":Locate 85,40,"n =":Locate 55,40,m:Locate 110,40,n
Locate 30,60,"V(m,n) =":Locate 85,60,V(m,n)
IfEnd
Lbl G:If a=0 and b=0 and c=1: Then: Input m, "Introduce el valor de m","VR(m,n)"
If m<1: Then: GoTo G:IfEnd
Lbl H:Input n, "Introduce el valor de n","VR(m,n)"
Luis Barrios Calmaestra
69
Combinatoria
ClassPad
If n<1: Then: GoTo H:IfEnd
Locate 30,40,"m =":Locate 85,40,"n =":Locate 55,40,m:Locate 110,40,n
Locate 27,60,"VR(m,n) =":Locate 88,60,VR(m,n)
IfEnd
Lbl I:If a=1 and c=0: Then: Input m, "Introduce el valor de m","C(m,n)"
If m<1: Then: GoTo I:IfEnd
Lbl J:Input n, "Introduce el valor de n","C(m,n)"
If n<1 or n>m: Then: GoTo J:IfEnd
Locate 30,40,"m =":Locate 85,40,"n =":Locate 55,40,m:Locate 110,40,n
Locate 30,60,"C(m,n) =":Locate 85,60,C(m,n)
IfEnd
Lbl K:If a=1 and c=1: Then: Input m, "Introduce el valor de m","CR(m,n)"
If m<1: Then: GoTo K:IfEnd
Lbl L:Input n, "Introduce el valor de n","CR(m,n)"
If n<1: Then: GoTo L:IfEnd
Locate 30,40,"m =":Locate 85,40,"n =":Locate 55,40,m:Locate 110,40,n
Locate 27,60,"CR(m,n) =":Locate 88,60,CR(m,n)
IfEnd
Lbl M:If a=0 and b=1 and c=0: Then: Input n, "Introduce el valor de n","Pn"
If n<1: Then: GoTo M:IfEnd
Locate 50,40,"n =":Locate 76,40,n
Locate 40,60,"Pn =":Locate 70,60,P(n)
IfEnd
0fln1:0fln2:0fln3:0fln4:0fln5
Lbl N:If a=0 and b=1 and c=1: Then: Input n, "Introduce el valor de n","PRn,n1,n2,..."
If n<1: Then: GoTo N:IfEnd
Lbl O:Input n1, "Nº veces que se repite el primer elemento","PRn,n1,n2,..."
If n1<1 or n1>n: Then: GoTo O:IfEnd
If n1=n:Then:GoTo T:IfEnd
Lbl P:Input n2, "Nº veces que se repite el segundo elemento","PRn,n1,n2,..."
If n2<1 or n1+n2>n: Then: GoTo P:IfEnd
If n1+n2=n:Then:GoTo T:IfEnd
Lbl Q:Input n3, "Nº veces que se repite el tercer elemento","PRn,n1,n2,..."
If n3<1 or n1+n2+n3>n: Then: GoTo Q:IfEnd
If n1+n2+n3=n:Then:GoTo T:IfEnd
Lbl R:Input n4, "Nº veces que se repite el cuarto elemento","PRn,n1,n2,..."
If n4<1 or n1+n2+n3+n4>n: Then: GoTo R:IfEnd
If n1+n2+n3+n4=n:Then:GoTo T:IfEnd
Lbl S:Input n5, "Nº veces que se repite el quinto elemento","PRn,n1,n2,..."
If n5<1 or n1+n2+n3+n4+n5>n: Then: GoTo S:IfEnd
Lbl T:Locate 50,35,"n =":Locate 76,35,n
If n1=n:Then:Locate 50,50,"n1=":Locate 76,50,n1:IfEnd
If n2≠0 and n3=0:Then:Locate 20,50,"n1=
n2=":Locate 40,50,n1:Locate 100,50,n2:IfEnd
If n3≠0 and n4=0:Then:Locate 10,50,"n1= n2= n3=":Locate 30,50,n1:Locate 79,50,n2:Locate
126,50,n3:IfEnd
If n4≠0 and n5=0:Then:Locate 5,50,"n1= n2= n3= n4=":Locate 25,50,n1:Locate 61,50,n2:Locate
97,50,n3:Locate 133,50,n4:IfEnd
If n5≠0:Then:Locate 1,50,"n1= n2= n3= n4= n5=":Locate 19,50,n1:Locate 49,50,n2:Locate
79,50,n3:Locate 109,50,n4:Locate 139,50,n5:IfEnd
Locate 15,70,"PRn,n1,n2,... =":Locate 110,70,PR5(n,n1,n2,n3,n4,n5)
IfEnd
Luis Barrios Calmaestra
70