Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos
Funciones reales
1. Encuentra todos los números reales x que verifican:
a) (x − 1)(x − 3) > 0
1
1
b)
>
x+1
1−x
c) |x − 1| + |x + 1| < 1
d ) 5 < x2 − 14x + 50 < 26
2. Si la gráfica de f (x) es la de la de la figura, esboza las gráficas de:
1
d) y = f (x + 1) e) y = |f (x)|
f (x)
h) y = f (x/3) i) y = f (−x)
j) y = f (2 − x).
a) y = 2f (x) b) y = 2 − f (x) c) y =
f ) y = f (|x|) g) y = f (2x)
0
1
3. Representa las funciones f1 (x) = sen2 x, f2 (x) = | sen x| y f3 (x) = sen |x|.
4. Representa las funciones f (x) =
1
x
y g(x) =
2x+1
x−1
.
5. Esboza las gráficas de las funciones y = 5 sen 2t; y = 1 + 2 sen t.
6. Esboza las gráficas de las funciones y = ex−4 ; y = e−x .
2
1
7. Encuentra fórmulas tipo seno que pudieran responder a las siguientes gráficas:
i)
ii)
iii)
Ejercicios de reserva
x − 1
< 2.
8. Encuentra todos los números reales x que verifican la desigualdad x + 3
t
2x + 5
9. Esboza las gráficas de las funciones y = sen x2 , y = −5 sen , y =
, y = e2x ,
2
x−1
y = ex/2 , y = e−3x .
8. Considera, para distintos valores de b, la función f definida por
 2
si x < 2
 x −4
f (x) =

b(x − 2)
si x ≥ 2
a) Representa la gráfica de f para los valores de b = −1, 0, 2.
b) ¿Para qué valores de b es f continua? ¿Para qué valores de b es f derivable?
9. Se considera la función f (x) = x2 + 1
a) Para cada a ∈ R, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
f (x) en el punto (a, f (a)). ¿Para qué valores de a la recta tangente pasa por
el origen?
b) Determina la recta tangente a la gráfica de f (x) que es paralela a y = −4x.
10. Si f (x) = ax2 + bx + c, ¿qué puedes decir sobre a, b y c en cada uno de los casos
siguientes?
2
a) (1, 1) está en la gráfica de f .
b) (1, 1) es el vértice de la gráfica de f .
c) El punto de corte de la gráfica de f con el eje y es (0, 6).
Encuentra una función que satisfaga las tres condiciones anteriores.
11. Determina todas las funciones f de la forma f (x) = ax3 + bx2 + cx + d con
a ̸= 0 y que verifican f ′ (−1) = f ′ (1) = 0. ¿Alguna de las funciones determinadas
anteriormente verifica f (0) = f (1)? Justifica las respuestas.
12. Supón que cada una de las gráficas siguientes responde a un polinomio. Contesta,
para cada una de ellas, a las cuestiones siguientes:
a) ¿Cuál es el menor grado posible de dicho polinomio?
b) ¿Qué signo tiene el coeficiente principal?
13. Sea f : R → R una función derivable en R; sean a y b dos raı́ces de la derivada
f ′ tales que entre ellas no hay ninguna otra raı́z de f ′ (x). Razonar debidamente
si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades:
a) Entre a y b no existe ninguna raı́z de f (x).
b) Entre a y b existe una sola raı́z de f (x).
c) Entre a y b existen dos o más raı́ces de f (x).
14. ¿Cuántos puntos x del intervalo [0, 1] satisfacen la igualdad x = cos x? Justifica
la respuesta y enuncia los teoremas que utilices.
15. Una de las siguientes gráficas es parte de la gráfica de la función f (x) = sen 2x +
2e−x . Decide cuál y justifica tu respuesta.
i)
ii)
3
iii)
16. Las gráficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de
una función derivable f , su función derivada f ′ y una primitiva F de f . Identifica
cada gráfica con la función justificando la respuesta.
i)
ii)
0.4
0.5
0.2
0
iii)
0.6
0.4
0.2
0
−0.5
0
−0.2
−1
−0.2
−0.4
−1.5
−0.4
−0.6
−0.6
−2
−0.8
−0.8
−2.5
−1
−1
−3
−1.2
−1.4
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−3.5
−2
−1.2
−1
0
1
2
3
4
5
−1.4
−2
6
−1
0
1
2
3
4
5
6
17. La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [0, 7] → R .
2
1
0
−1
−2
0
2
4
6
Sea F : [0, 7] → R la función definida por F (x) =
8
∫x
0
f (t)dt.
a) Calcula F (4), F (5), F (6) y F (7).
b) Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces.
18. De una función continua f : [−1, 1] → R se sabe que para cada x en dicho
intervalo se tiene |f (x)| ≤ 1 + x2 . ∫De los números −3, −2, −1, 2′ 5 y 2′ 75, ¿cuáles
1
pueden ser el valor de la integral −1 f (x)dx? Justifica la respuesta.
∫π
19. Tres estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral 0 sen4 xdx.
3π
3π
Antonio dice que es igual a π, Beatriz dice que vale
y Carlos que vale ( −1).
8
90
Uno de ellos está en lo cierto. ¿Quién es? No intentes calcular esta integral.
Elimina, justificadamente, las dos respuestas erróneas.
∫a
20. Sea f : [−a, a] → R con a > 0 una función continua tal que −a f (x) dx = 0.
Responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Es necesariamente f (x) = 0 para todo x ∈ [−a, a]?
4
∫a
b) ¿Es necesariamente −a |f (x)|dx = 0?
∫a
c) ¿Cuánto vale −a (f (x) + 2x)dx?
21.
a) Representa la función f para los valores b = −1, 0, 1, 2.
 1

si x < 0

x−1
f (x) =

 2
x + bx − 1
si x ≥ 0
b) Estudia,
según los valores de b, la derivabilidad de la función f . Calcula
∫3
f (x)dx cuando f es derivable.
−1
22. Considera la función f : R → R definida por f (x) = |x + 2||x − 2|. Determina
∫los3 puntos donde f es derivable y halla sus máximos y mı́nimos locales. Calcula
2f (x) dx.
0
23. De entre todos los triángulos isósceles de perı́metro 60 cm, calcula las dimensiones
del de mayor área.
24. Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para
formar con la primera un cuadrado y con la segunda un cı́rculo. Hallar la longitud
de cada parte resultante para que la suma de las áreas de las dos figuras sea: a)
máxima; b) mı́nima.
25. Para cada r ≥ 1 se define la función fr : [0, ∞) → [0, ∞) mediante fr (x) = xr .
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fr en el punto
(1, 1).
b) Calcula el área A(r) de la región limitada por la gráfica de fr , su tangente
en el punto (1, 1) y el eje OX.
c) ¿Para qué valor de r ≥ 1 es el área A(r) máxima?
Ejercicios de reserva
26. Justifica que el polinomio P (x) = x3 + x + 1 tiene una raı́z en el intervalo [−1, 0].
¿Posee alguna raı́z más?
27. El caudal de agua que sale de un depósito de 200 litros es variable y viene dado
por la ecuación C(t) = 5 − 0, 1t (t en minutos, C en litros/minuto).
a) Dibuja la gráfica del caudal en función del tiempo.
b) Calcula el área bajo la curva en el intervalo [0, 50]. Interpretar el resultado.
5
c) Dibuja la función que determina el volumen de agua del depósito en función
del tiempo.
28. Supón que cada una de las gráficas siguientes responde a un polinomio. ¿Cuál
es el menor grado posible de dicho polinomio? ¿Qué signo tiene el coeficiente
principal?
29. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la gráfica.
3
2
1
0
−1
0
1
2
3
4
5
6
a) Calcula la función espacio recorrido.
b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido-tiempo.
c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio
total recorrido.
30. De todas las primitivas de la función f : R → R dada por f (x) = 1 + x|x|,
determina aquella cuya gráfica pasa por el punto (1, 0).
31. Sea
∫ 0 f una función
∫ xcontinua tal que para cualquiera que sea x > 0 se cumple que
f (t) dt = − 0 f (t) dt. Prueba que en ese caso f (−x) = −f (x) para todo
−x
x > 0.
32.
1
a) Esboza la gráfica de la función dada por f (x) = 2
x −4
∫1
b) ¿Qué signo tiene −1 f (x) dx? Justifica tu respuesta.
6
c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el integrando
en fracciones simples.
33. Supón que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condiciones siguientes:
1) f (0) = 0 y g(0) = 1
2) f ′ (x) = g(x) y g ′ (x) = −f (x).
a) Sea h(x) = f 2 (x) + g 2 (x). Calcula h′ (x) y utiliza el resultado que obtengas
para demostrar que f 2 (x) + g 2 (x) = 1 para todo x.
b) Supón que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las
condiciones 1) y 2) y sea k(x) = [F (x) − f (x)]2 + [G(x) − g(x)]2 . Calcula
k ′ (x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir qué relación existe
entre f (x) y F (x) y entre g(x) y G(x).
c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y 2).
¿Puede haber otras? Justifica tu respuesta.
34. Demuestra que la ecuación cos x + x sen x − x2 = 0 tiene exactamente dos raı́ces
reales.
35. Dada la función f : R → R definida por

(x − 1) + cos(x − 1) si x ≤ 1


f (x) =

 sen(x − 1)
si x > 1
x−1
a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es
derivable.
b) ¿Cumple f en [0, 2] las condiciones del teorema de Rolle?
36. Considera la función f : R → R definida por f (x) = 5 + (x − 1)4 (x + 2)3 .
a) Demuestra que la ecuación f ′ (x) = 0 tiene al menos una solución en el
intervalo (−2, 1).
b) Demuestra que la ecuación f (x) = 0 tiene exactamente una solución menor
que −2.
c) Demuestra que f (x) = 0 no tiene ninguna solución mayor que −2.
37. Para cada una de las dos condiciones siguientes, encuentra todos los polinomios
P , de grado ≤ 2, que las satisfacen para todo x,
a) P (x) = P (−x).
7
b) P (2x) = 2P (x).
38. Halla el punto de la parábola x2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de
(0, 23 ).
39. Calcula las dimensiones del trapecio de perı́metro máximo que se puede inscribir
en una semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa todo el
diámetro de la semicircunferencia.
40. El número de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la fórmula
N = 1000(25 + t·e−t/20 ) para 0 ≤ t ≤ 100.
a) ¿En qué instantes de ese intervalo, 0 ≤ t ≤ 100, hay un número máximo y
un número mı́nimo de bacterias?
b) ¿En qué instante es más lento el crecimiento o decrecimiento del número de
bacterias?
Números complejos
26. Resuelve las siguientes cuestiones.
a) Determina los números complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.
b) Encuentra los números complejos cuyo conjugado coincide con su inverso.
c) Halla los números complejos que son iguales al cuadrado de su conjugado.
d ) Encuentra los números complejos cuyo cuadrado coincide con el cuadrado
de su conjugado.
e) Encuentra los números complejos z tales que la suma (respectivamente, la
diferencia) de z y su conjugado es nula.
f ) Halla los números complejos cuyos inversos son iguales a sus opuestos.
g) Determina los números complejos cuyo cuadrado sea:
imaginario puro
real positivo
real negativo
27. Si z ̸= 0 es un número complejo, prueba que z, z1 , 0, −z, −1
están alineados. Decide
z
cuáles están en la misma semirrecta que z de las dos que determina el origen 0.
Escribe −z, 1/z, z y 1/z en forma módulo-argumental.
28. Sea z ∈ C \ {1} y tal que |z| = 1. Prueba que z + z −1 es real y que
imaginario puro.
8
1+z
1−z
es
29. a) Considera z, w ∈ C distintos, no nulos y no alineados con 0, y el cuadrilátero
K que tiene como vértices 0, z, w, z + w. Justifica que K es un paralelogramo.
Calcula las longitudes de los lados de K. Comprueba que las diagonales de K
miden |z + w| y |z − w|.
b) Identidad del paralelogramo. Prueba que para todos z, w ∈ C se verifica
que 2(|z|2 + |w|2 ) = |z + w|2 + |z − w|2 . Interpreta este resultado a la vista del
apartado anterior.
30. Calcula las raı́ces cúbicas de la unidad y represéntalas gráficamente. Calcula el
producto de las dos raı́ces distintas de 1 y el cuadrado de cada una de ellas.
31. Determina las tres raı́ces cúbicas de −64 y sus seis raı́ces sextas.
√
32. Sean z = 1−i y w = 1+ 3i. Determina los números p, q ∈ N tales que z p , wq ∈ R.
33. Determina, en√cada caso,
√ los números reales x, y que cumplen
∑ a) xk+ iy = |x + iy|,
b) x + iy = (( 2 − i 2)/2)8n+3 , con n ≥ 1, c) x + iy = 100
k=0 i .
34. a) Sean n ≥ 2 y P (z) = z n−1 + z n−2 + z n−3 + .... + z 2 + z + 1. Demuestra que
las raı́ces n-ésimas de la unidad distintas de 1 son las soluciones de la ecuación
P (z) = 0. [Sugerencia: usa que 1 es solución de z n − 1 = 0].
b) Prueba que si w = cos(2π/5) + i sen(2π/5), entonces w satisface la ecuación
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
35. a) Justifica que si w es raı́z de un polinomio P con coeficientes reales, entonces
w también lo es.
b) Calcula las soluciones de la ecuación z 7 + z 5 − z 2 − 1 = 0. [Observa que i es
solución].
c) Razona por qué al menos una de las raı́ces de la ecuación 2z 3 − 3z 2 − 4z + 1 = 0
debe ser real.
36. En el conjunto C de los números complejos se define la relación ≤ definida por

 a<c
o bien
a + bi ≤ c + di (o, equivalentemente, c + di ≥ a + bi) si

a=cyb≤d
a) Analiza si ≤ es una relación de orden C y si es total o parcial. Comprueba que
−i ≤ 0 ≤ i.
b) Recuerda que si x, y son números reales positivos, entonces x + y y x·y son
también positivos. Para la relación ≤ introducida en C, comprueba que se cumple
que z + w ≥ 0 si z, w ≥ 0. ¿Se verifica que el producto z·w ≥ 0 cuando z, w ≥ 0?
9
37. Comprueba las siguientes afirmaciones, para la transformación T :
z
1
=
2
|z|
z
a) T (T (z)) = z, para todo z =
̸ 0 ; T (z) = z si |z| = 1 y |T (z)| < 1 ⇔ |z| > 1.
T : C \ {0} → C , dada por T (z) =
b) Si z = x + iy ̸= 0 está en la recta y = x, entonces T (z) también.
c) Si z = x + iy está en la recta x = 1, entonces T (z) está en la circunferencia de
centro 1/2 y radio 1/2.
d) Si z ̸= 0 está en la circunferencia |z − 2| = 2, entonces T (z) está en la recta
x = 1/4.
e) Si z está en la circunferencia |z − 2| = 1, entonces T (z) está en una circunferencia: ¿en cuál?
Ejercicios de reserva
38. Dadas f (z) = z 3 − 2iz 2 − (1 − i)z − 2i y g(z) = 2z 3 + (1 + i)z 2 − (3 + 2i)z − 7 + 16i
calcula f (i), f (1−i), g(1+i), g(2−i) y g(2i). [Solución: f (i) = −1−2i, f (1−i) =
−6 − 2i, g(1 + i) = −14 + 17i, g(2 − i) = −4 − 8i y g(2i) = −7 − 10i].
√
√
39. a) Halla el valor de E = (1 + 3i)n − (1 − 3i)n , siendo n un número natural.
b) Halla los valores de n naturales para los que (1 + i)n es un número real
positivo.
40.
a) Prueba que si el número complejo z es solución de la ecuación ax2 +bx+c = 0,
siendo a, b y c números reales, también es solución su conjugado z.
b) Razona por qué al menos una de las raı́ces de la ecuación 2z 3 −3z 2 −4z+1 = 0
debe ser real.
41. Determina los conjuntos C1 = {z ∈ C : |z −3i| = 2}, C2 = {z ∈ C : |z −3ieiπ/4 | =
2} y C3 = {z ∈ C : |eiπ/3 z − 3i| = 2}.
42. Se consideran un número real r ∈ (0, 1) y w ∈ C tal que |w| < 1.
a) Describe el conjunto {eit + re−it : t ∈ [0, 2π]}.
b) Describe el conjunto {eit + we−it : t ∈ [0, 2π]}. [Sugerencia: si w = |w|eiθ ,
escribe eit + we−it = ei(θ/2) (ei(t−θ/2) + |w|e−i(t−θ/2) ) ].
10