algebra lineal

ESCUELA DE CIENCAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTON
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
Este material es propiedad de la Corporación Universitaria Remington (CUR), para los estudiantes de la CUR
en todo el país.
2010
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Algebra Lineal
CRÉDITOS
El módulo de estudio de la asignatura Algebra Lineal es propiedad de la Corporación Universitaria
Remington. Las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos
de autor y las citas se relacionan en la bibliografía. El contenido del módulo está protegido por las
leyes de derechos de autor que rigen al país.
Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propósitos económicos o comerciales.
AUTOR
Elkin Ceballos Gómez
Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional de Colombia
Especialista en Matemáticas Aplicadas y Pensamiento Complejo
[email protected]
Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio
o vicios de autoría; en caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Corporación Universitaria
Remington, y se declaró como el único responsable.
Primera versión. Febrero de 2010.
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Algebra Lineal
TABLA DE CONTENIDO
Contenido
1.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 5
1.1.
IMPORTANCIA ......................................................................................................................... 5
2.
PROPÓSITO GENERAL DEL MÓDULO .............................................................................. 6
2.1.
OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 6
2.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 6
2.3.
COMPETENCIAS DE EGRESO.................................................................................................... 6
2.4.
REQUISITOS DE INGRESO ........................................................................................................ 7
3.
METODOLOGÍA.............................................................................................................. 8
4.
EVALUACIÓN ................................................................................................................. 9
5.
FICHA TÉCNICA DEL MÓDULO ...................................................................................... 10
6.
MAPA DEL MÓDULO .................................................................................................... 11

Conocer el concepto de matriz y su importancia en la solución de sistemas de ecuaciones
lineales................................................................................................................................... 11

Solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de técnicas matriciales y plantear
situaciones problémicas que se resuelvan utilizando sistemas n X n. ........................................ 11

Determinar la ecuación de rectas y planos en el espacio. .............................................. 11
7.
UNIDAD I – SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 ............................ 12
7.1.
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 12
7.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 12
7.3.
PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 13
7.4.
TEMAS ................................................................................................................................... 14
7.4.1.
Conceptos relacionados con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .... 14
7.4.2.
2x2
Métodos de solución de sistmas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas ó sistema
14
7.4.3.
Ejercicios por temas .......................................................................................................... 40
7.5.
PRUEBA FINAL ....................................................................................................................... 42
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8.
UNIDAD II – MATRICES................................................................................................. 46
8.1.
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 46
8.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 46
8.3.
PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 47
8.4.
TEMAS ................................................................................................................................... 49
8.4.1.
Conceptos y definiciones .................................................................................................. 49
8.4.2.
Algebra de matrices .......................................................................................................... 59
8.4.3.
Ejercicios por temas .......................................................................................................... 73
8.5.
8.5.1.
PRUEBA FINAL ....................................................................................................................... 75
Actividad Final ................................................................................................................... 75
9.
UNIDAD III - SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO TÉCNICAS
MATRICIALES. Y APLICACIONES ............................................................................................... 80
9.1.
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 80
9.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 80
9.3.
PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 81
9.4.
TEMAS ................................................................................................................................... 82
9.4.1.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ...................................................................... 82
9.4.2.
Métodos matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales ............................ 87
9.4.3.
Sistemas de ecuaciones lineales solucionados con la matriz inversa ............................. 111
9.4.4.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes ........................ 128
9.4.5.
Aplicaciones: problemas que se resuelven planteando sistemas de ecuaciones lineales
132
9.4.6.
Ejercicios por temas ........................................................................................................ 138
9.5.
9.5.1.
10.
PRUEBA FINAL ..................................................................................................................... 140
Actividad Final ................................................................................................................. 140
UNIDAD IV – VECTORES. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ......................................... 145
10.1.
OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................... 145
10.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................. 145
10.3.
PRUEBA INICIAL ............................................................................................................... 146
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10.4.
TEMAS ............................................................................................................................. 147
10.4.1.
Vectores en R2 y R3......................................................................................................... 147
10.4.2.
Rectas y Planos en R3 ...................................................................................................... 167
10.4.3.
Ejercicios por temas ........................................................................................................ 176
10.5.
PRUEBA FINAL ................................................................................................................. 178
10.5.1.
Actividad.......................................................................................................................... 178
11.
11.1.
12.
RESUMEN .................................................................................................................. 182
RELACIÓN CON OTROS TEMAS........................................................................................ 182
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................ 183
12.1.
Documentos Digitales ..................................................................................................... 184
12.2.
Citas ................................................................................................................................. 185
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1. INTRODUCCIÓN
El desarrollo de la ciencia ha sido posible gracias a muchas disciplinas, entre ellas el ALGEBRA
LINEAL, podemos afirmar que el Algebra Lineal, ha tenido una alta contribución en este
desarrollo. Es por esto que el aprendizaje del Algebra Lineal debe ser una fuente que contribuya a
la formación de todo estudiante que pretenda incursionar en áreas tales como: Ingenierías,
administración, contaduría, costos, presupuestos, sistemas, entre otros; y además, es una
herramienta de trabajo para la solución de situaciones problémicas propias del área que el
estudiante trabaje.
1.1. IMPORTANCIA
El advenimiento de los computadores le ha dado al algebra lineal un sitio de privilegio en el
trabajo científico, ya que con esta poderosa herramienta de cálculo se han podido solucionar
problemas que en la práctica eran no soluble por su tamaño. Cada vez más con el enfoque de
nuevos paradigmas como lo son la teoría de la complejidad y desde la dinámica de sistemas se
propone estudiar los sistemas desde una perspectiva más compleja, generando modelos más
grandes y de más variables.
La parte algorítmica del algebra lineal además de ser un fundamento en las ciencias de la
computación, permite modelar situaciones a partir de sistemas de ecuaciones.
Con este programa se busca brindar al alumno las herramientas matemáticas para sea capaz de
modelar sistemas a partir de un conjunto de ecuaciones lineales y encontrar por medio de técnicas
matriciales soluciones dichas ecuaciones, creando así horizontes de predicción y mejorando a
toma de decisiones.
Para acompañar el curso se recomienda utilizar el software matlab o derive con el objeto de
liberar tiempo y ahorrar esfuerzo para ser invertido en una mejor comprensión de la parte
conceptual y en la realización de aplicaciones a situaciones problémicas.
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2. PROPÓSITO GENERAL DEL MÓDULO
2.1. OBJETIVO GENERAL
Estudiar la representación matricial del modelo lineal para optimizar el manejo operativo del
mismo, describiendo las técnicas matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Y
posteriormente modelar situaciones reales por medio de sistemas de ecuaciones y encontrar sus
soluciones
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estudiar los conceptos fundamentales del modelo de transformación propuesto por el
álgebra lineal.
Desarrollar las técnicas analíticas para solucionar sistemas de ecuaciones.
Formular sistemas de ecuaciones a problemas propuestos.
Manejo conceptual de los algoritmos del algebra lineal.
2.3. COMPETENCIAS DE EGRESO
Análisis de situaciones problema donde las herramientas fundamentales será la solución
de sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas de ecuaciones m x n, utilizando las matrices, sus operaciones y
propiedades.
Saber manejar adecuadamente el lenguaje matemático, simbólico y los procesos
deductivos del algebra lineal.
Emplear adecuadamente los elementos del álgebra lineal en la resolución de problemas.
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EL Algebra Lineal aporta al proceso de formación de estructuras de pensamiento analíticas
en torno a la representación de situaciones problémicas.
2.4. REQUISITOS DE INGRESO
Matemáticas Generales.
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3. METODOLOGÍA
PRESENCIAL
Estudio teórico-práctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de
definiciones de situaciones problémicas cotidianas para ser representados por medio del modelo.
La metodología del curso está fundamentada en un proceso interactivo de búsqueda de
implementación de las características de un modelo a la cotidianidad.
Se desarrolla un trabajo riguroso y dinámico de exploración en los conceptos y su operatividad
matemática, así como un trabajo de campo.
DISTANCIA
Estudio teórico-práctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de
definiciones de situaciones problémicas cotidianas para ser representados por medio del modelo.
La metodología del curso está fundamentada en un proceso interactivo de búsqueda de
implementación de las características de un modelo a la cotidianidad.
Se desarrolla un trabajo riguroso y dinámico de exploración en los conceptos y su operatividad
matemática, así como un trabajo de campo.
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4. EVALUACIÓN
La evaluación del curso será de la siguiente manera:
Seguimiento: Valor 30%. Consiste en evaluaciones cortas y/o en trabajos cortos. Mínimo se
tomarán 5 notas durante el período.
Parcial número 1: Valor 20% consiste en una evaluación escrita que se realizará en las fechas
establecidas por la Universidad.
Parcial número 2: Valor 20% consiste en una evaluación escrita que se realizará en las fechas
establecidas por la Universidad.
Coevaluación: Valor 20%.
La coevaluación es un proceso continuo que se inicia desde el primer día de clase y se termina el
último día de clase. Para la coevaluación se tiene en cuenta los siguientes parámetros: Asistencia,
la cual es obligatoria cancelándose una asignatura con el 20% de inasistencia ó con el 30% de
inasistencia si se tiene excusa. Logro de objetivos. Rendimiento académico. Solución de los talleres
propuestos. El interés y la participación en las actividades de clase, entre otros.
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5. FICHA TÉCNICA DEL MÓDULO
Nivel de Formación Objetivos
General
Perceptual
Explorar
Describir
X Aprehensivo
Comparar
X Analizar
Comprensivo
Explicar
Predecir
Proponer
Integrativo
Modificar
Confirmar
Evaluar
Específica
Administración de personal
Administración
Área
Global
Específicos
X Explorar
X Describir
X Comparar
Analizar
Explicar
Predecir
Proponer
Modificar
Confirmar
Evaluar
Indicadores Metodológicos
Propósito de Formación
Competencias a Desarrollar
Uso del Conocimiento
Uso de Procedimientos
X Fundamentación Conceptual
X Fundamentación Procedimental
Aplicación en el Saber Específico
X Interpretativas
Argumentativas
Propositivas
Capacidad para Representar
X Capacidad para Reconocer Equivalencias
X Capacidad para Recordar Objetos y sus propiedades
Habilidad y Destreza para Usar Equipos
X Habilidad y Destreza para Usar Procedimientos de Rutina
Habilidad y Destreza para Usar Procedimientos Complejos
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6. MAPA DEL MÓDULO
ÁLGEBRA LINEAL
El álgebra lineal es una herramienta de uso cotidiano en la elaboración de diseños y la
implementación y desarrollo de proyectos. El manejo de la conceptualización y aplicación de este
modelo permitirá un ejercicio versátil de la acción en las diferentes áreas del conocimiento.
OBJETIVO GENERAL
Estudiar la representación matricial del modelo lineal para optimizar el manejo operativo del mismo,
describiendo las técnicas matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Y posteriormente
modelar situaciones reales por medio de sistemas de ecuaciones y encontrar sus soluciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS




Solucionar sistemas de ecuaciones lineales ó 2X2 utilizando varios métodos y plantear
situaciones problémicas que se resuelven utilizando sistemas 2X2.
Conocer el concepto de matriz y su importancia en la solución de sistemas de ecuaciones
lineales.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de técnicas matriciales y plantear
situaciones problémicas que se resuelvan utilizando sistemas n X n.
Determinar la ecuación de rectas y planos en el espacio.
UNIDAD 1
UNIDAD 2
UNIDAD 3
UNIDAD 4
Estudio teóricopráctico de las
características
fundamentales
del modelo.
Búsqueda
de
definiciones de
situaciones
problémicas.
Estudio teóricopráctico de las
características
fundamentales
del modelo.
Búsqueda
de
definiciones de
situaciones
problémicas.
Estudio teóricopráctico de las
características
fundamentales
del modelo.
Búsqueda
de
definiciones de
situaciones
problémicas.
Estudio teóricopráctico de las
características
fundamentales
del modelo.
Búsqueda
de
definiciones de
situaciones
problémicas.
la situación
problémica.
Búsqueda
situaciones
de
problémicas
definiciones
cotidianas
de
para
ser
situaciones
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problémicas
os
por
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cotidianas
medio
del
para
ser
modelo.
representad
Intervenció
os
por
n
de
la
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7. UNIDAD I – SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2
7.1. OBJETIVO GENERAL
Formular sistemas de ecuaciones a problemas propuestos.
7.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método gráfico.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método igualación.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método sustitución.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método reducción.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando determinantes.
Plantear situaciones problémicas que se resuelven por sistemas 2X2.
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7.3. PRUEBA INICIAL
a. Grafique la línea recta:
b. Grafique la línea recta:
c. En un mismo plano cartesiano grafique las dos siguientes líneas rectas:
d. En mismo plano cartesiano grafique las
coordenadas del punto de corte:
dos siguientes líneas rectas e indique las
e. En un mismo plano cartesiano grafique las dos siguientes líneas rectas e indique el punto de
corte de ambas rectas.
y  2 x  1  y  2 x  1
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7.4. TEMAS
7.4.1. Conceptos relacionados con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas
SITEMA DE ECUACIONES: Lo afirma BALDOR “Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas” 1
Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones con varias incógnitas. Cuando el sistema
tiene dos ecuaciones lineales con dos incógnitas recibe el nombre de sistema lineal 2X2.
2 x  3 y  5
, es un sistema 2X2.
 x  4 y  10
Por ejemplo: El sistema 
El objetivo al solucionar un sistema 2 X 2 es encontrar las parejas que al reemplazarlas en la
ecuación se obtiene una identidad, es decir una igualdad verdadera.
Al solucionar un sistema de ecuaciones puede suceder:
Que el sistema tenga una única solución, en este caso se encuentra un valor para cada
incógnita.
Que el sistema no tenga solución, esto se presenta cuando en el proceso de solución del
sistema se llega a una igualdad falsa. No hay valor para cada incógnita que al
reemplazarlos en cada ecuación produzca identidades.
Que el sistema tenga infinitas soluciones, esto se presenta cuando en el proceso de
solución del sistema llegamos a una igualdad verdadera (o a una identidad). Existen
muchos valores para cada incógnita que al reemplazarlos en cada ecuación se producen
identidades.
7.4.2. Métodos de solución de sistmas lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas ó sistema 2x2
1
BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo. p. 320.
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Para solucionar sistemas 2X2 vamos a ver cinco métodos diferentes que son:
1.
2.
3.
4.
5.
Método gráfico.
Método por igualación.
Método por sustitución.
Método por reducción.
Método por regla de Cramer o determinantes.
7.4.2.1 Método gráfico
Este método consiste en graficar en un mismo plano cartesiano cada ecuación, y luego determinar
las coordenadas del punto de corte, los valores de dicho punto corresponden a la solución del
sistema.
“…hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones de un sistema:
(i) Las rectas se intersecan en un solo punto,
(ii) Las ecuaciones describen la misma recta. O
(iii) Las dos rectas son paralelas” 2
Cuando las rectas son paralelas, es decir no se cortan, esto quiere decir que el sistema no tiene
solución.
Cuando al graficar ambas rectas solo se observa una sola, esto quiere decir que el sistema tiene
infinitas soluciones.
No olvide que para graficar una línea recta, es suficiente con conocer las coordenadas de dos
puntos sobre la línea recta, en muchos casos estas coordenadas corresponden a las intersecciones
con los ejes.
Ejemplos: Utilizando el método gráfico solucione los siguientes sistemas 2 X 2
Ejemplo1:
2
ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill.
1995. p. 413.
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Algebra Lineal
Puntos para graficar
Si
, el punto tiene coordenadas:
Si
, el punto tiene coordenadas:
Puntos para graficar
Si
Si
, el punto tiene coordenadas:
,
el
punto
tiene
coordenadas:
La gráfica la podemos ver en la figura1:
Figura 1.
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Algebra Lineal
Podemos observar que las dos rectas se cortan en el punto
Prueba:
Lo cual es verdadero
Lo cual es verdadero.
La solución del sistema es:
Ejemplo2:
SOLUCIÓN
Puntos para graficar:
Si
Tenemos que:
Las coordenadas del punto son:
Si
Tenemos que
Las coordenadas del punto son:
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Puntos para graficar:
Si
,
El punto tiene coordenadas:
Si
El punto tiene coordenadas:
La gráfica de estas dos rectas se puede ver en la figura 2
Figura 2.
Podemos ver que ambas rectas se cortan en el punto de coordenadas
Prueba en ecuación 1.
Prueba en ecuación 2
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La solución del sistema es:
Ejemplo3:
La representación gráfica de estas dos ecuaciones se ve en la figura 3.
Figura 3.
Podemos ver que estas dos rectas son paralelas, es decir no se cortan por lo tanto el sistema no
tiene solución.
Ejemplo 4:
La representación gráfica de estas dos ecuaciones se puede observar en la figura 4.
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Figura 4.
Sólo se observa una sola recta, ya que las dos rectas coinciden, esto quiere decir que el sistema
tiene infinitas soluciones.
NOTA:
La forma de indicar las soluciones de un sistema de ecuaciones, cuando este tiene infinitas
soluciones, la veremos en la unidad 3.
7.4.2.2 Método igualación
Vamos a explicar el desarrollo del método con un ejemplo:
Solucione los siguientes sistemas 2 X 2 utilizando el método igualación:
Ejemplo 1:
PROCEDIMIENTO:
1. Es conveniente que enumere cada ecuación y cada resultado obtenido:
2. Despeje la misma variable de ambas ecuaciones.
De ecuación 1 despejamos
De ecuación 2 despejamos la :
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3. Iguale las dos ecuaciones anteriores, resulta una ecuación con una incógnita, soluciónela.
Para el ejemplo vamos a igualar la ecuación 3 con la ecuación 4
Solucionamos esta ecuación para :
4. Reemplace el resultado anterior en cualquiera de las ecuaciones anteriores,
preferiblemente en la ecuación 3 ó en la ecuación 4. Resulta una ecuación con una
incógnita, soluciónela.
Reemplacemos ecuación 5 en ecuación 3.
5. Se debe dar la prueba en las ecuaciones originales.
Con
Prueba en ecuación 1
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Prueba en ecuación 2
La solución del sistema es:
Ejemplo 2:
SOLUCIÓN
De ecuación 1 despejamos x.
De ecuación 2 despejamos x:
Igualemos la ecuación 3 y la ecuación 4
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Reemplazamos la ecuación 5 en la ecuación 3.
Prueba.
En ecuación 1:
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En ecuación 2:
La solución del sistema es:
Ejemplo 3:
SOLUCIÓN
De ecuación 1 despejamos x
De ecuación 2 despejamos x.
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Igualamos ecuación 3 con ecuación 4
Falso
Podemos ver que se eliminó la variable y se llegó a una igualdad falsa, esto quiere decir que el
sistema no tiene solución, ya terminamos.
7.4.2.3 Método sustitución
Expliquemos el desarrollo del método con un ejemplo:
Solucione el siguiente sistema 2X2.
2 x  3 y  5

 x  4 y  10
PASOS:
1. Para identificar las ecuaciones es conveniente numerarlas.
 2 x  3 y  5

 x  4 y  10
Ecuación
#1
Ecuación
#2
2. De una de las ecuaciones despeje una de las variables. Por facilidad despeje de la ecuación #2
la x, queda:
De ecuación #2, x  10  4 y
Ecuación
#3
3. Sustituya o reemplace la expresión anterior en la otra ecuación.
La ecuación #3 se reemplaza en la ecuación #1:
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Algebra Lineal
Queda: 2(10  4 y)  3 y  5
Resulta una ecuación lineal con una incógnita.
4. Despejamos la variable de la ecuación anterior.
Queda:
 20  8 y  3 y  5  20  3 y  5  5 y  15
y  3
Ecuación
#4
5. El resultado anterior se reemplaza o sustituye en cualquiera de las ecuaciones anteriores,
preferiblemente en la ecuación #3.
Sustituyendo ecuación #4 en la ecuación #3, queda:
x  10  4(3)  10  12
x2
PRUEBA
En ecuación 1: 2 x  3 y  5
22  3 3  5  4  9  5  5  5
En ecuación 2: x  4 y  10
2  4 3  10  2  12  10  10  10
Entonces la solución del sistema es: x = 2, y = - 3 que se puede dar también como (2, - 3)
correspondiendo siempre el primer valor a x, el segundo valor a y.
Ejemplo 1:
Utilizando el método sustitución solucione el sistema:
3x  5 y  10

 y  2 x  11
SOLUCIÓN
3x  5 y  10 Ecuación 1

 y  2 x  11 Ecuación 2
De ecuación 2 despejamos y
y  11  2 x Ecuación 3
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Algebra Lineal
Reemplazamos ecuación 3 en la ecuación 1
3x  5 y  10 ecuación 1
3x  511  2 x  10  3x  55  10 x  10  13x  10  55  13x  65  x  65 / 13
x  5 ecuación 4
Reemplazamos ecuación 4 en ecuación 3
y  11  2 x Ecuación 3
y  11  25  y  11  10
y 1
Demos la prueba:
En ecuación 1:
3x  5 y  10 ecuación 1
35  51  10  15  5  10  10  10
En ecuación 2:
y  2 x  11 Ecuación 2
1  25  11  1  10  11  11  11
La solución del sistema es:
x  5  y 1
Ejemplo 2:
Utilizando el método sustitución solucione el sistema:
3x  4 y  2

6 x  8 y  4
SOLUCIÓN
 3x  4 y  2 Ecuación 1

6 x  8 y  4 Ecuación 2
De ecuación 1 despejamos la x:
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Algebra Lineal
3x  4 y  2 Ecuación 1
3x  2  4 y  x 
2  4y
Ecuación 3
3
Reemplacemos la ecuación 3 en la ecuación 2
6 x  8 y  4 ecuación 2
 2  4y 
6
  8 y  4  22  4 y   8 y  4  4  8 y  8 y  4  4  4
 3 
Podemos ver que se eliminó la variable y se llegó a una igualdad verdadera (4 = 4), por lo tanto el
sistema tiene infinitas soluciones.
Cuando un sistema 2 X 2 tiene infinitas soluciones, para dar la solución se acostumbra despejar la
primera variable de la última ecuación.
Para nuestro sistema tenemos:
De ecuación 2 despejamos x:
6 x  8 y  4 ecuación 2
6x  4  8 y  x 
4  8y
2  4y
x
6
3
Como y puede asumir cualquier valor, decimos que la solución es:
y  t, x 
2  4t
, t  lR
3
Es decir, La solución del sistema es:
x
2  4t
 y  t , con t  lR
3
Para determinar las diferentes soluciones se le debe asignar valores a t.
Por ejemplo:
Para t = 0, la solución es:
x
2  40
 y  0 x  2/3t  0
3
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Algebra Lineal
Para t = 1, la solución es:
x
2  41
 y  1  x  2 / 3  t  1
3
Si queremos más soluciones le debemos dar valores a t.
7.4.2.4 Método reducción (o método de eliminación)
Para resolver un sistema con el método eliminación se combinan las ecuaciones, con sumas o
diferencias, de tal manera que se elimina una de las variables.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN
1.
IGUALAR LOS COEFICIENTES. Se multiplica una o más de las ecuaciones por números
adecuados para que el coeficiente de una de las variables en una de las ecuaciones sea el
negativo del coeficiente correspondiente de la otra.
2.
SUMAR LAS ECUACIONES. Se suman las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y
a continuación se despeja la variable que queda.3
Con este método se busca que los coeficientes de una de las variables sean iguales en ambas
ecuaciones y luego se restan o se suman término a término ambas ecuaciones.
Ejemplos: Utilizando el método reducción, solucione cada una de las siguientes ecuaciones.
Ejemplo1:
4x  3 y  5
2x  y  7
SOLUCIÓN
4 x  3 y  5 Ecuación 1
2 x  y  7 Ecuación 2
3
STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International
Thomson Editores, 2001. p. 535.
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Algebra Lineal
Inicialmente vamos a eliminar la x
Ecuación 1 (2)  8 x  6 y  10
Ecuación 2 (4)  8 x  4 y  28
Luego sumamos ambas ecuaciones término a término:
8x
 8x
 10 y  18  y 
 6y
 4y
 10
 28
 10 y
 18
 18
9
y
 10
5
Realizamos el mismo proceso para eliminar la y
Ecuación 1 (1)  4 x  3 y  5
Ecuación 2 (3)  6 x  3 y  21
Ahora sumamos ambas ecuaciones término a término:
4x
6x
5
3y
 21
 26
10 x
10 x  26  x 
 3y
26
13
x
10
5
PRUEBA:
En ecuación 1:
4 x  3 y  5 Ecuación 1
52 27
25
 13   9 
4   3   5 

5
555
5
5
5
 5  5
En ecuación 2.
2 x  y  7 Ecuación 2
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Algebra Lineal
26 9
35
 13   9 
2      7 
 7
777
5 5
5
 5  5
La solución del sistema es:
x
13
9
y
5
5
Ejemplo2:
3
1
x y4
2
3
x  y  1
SOLUCIÓN
3
1
x  y  4 Ecuación 1
2
3
x  y  1
Ecuación 2
Ecuación 1 1 
3
1
x y4
2
3
3
3
3
 3
Ecuación 2      x  y 
2
2
2
 2
Sumando término a término:
3
x
2
3
 x
2
1
y
3
3
 y
2
 2y  9y
11y
1
3
 y y

3
2
6
6

4

3
2
4
3 8  3 11


2
2
2
Hay que resolver la ecuación:

11y  11  y  116  y  3
2
2 11
6
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Algebra Lineal
Aplicamos el mismo proceso para eliminar la otra variable:
Ecuación 1 1 
3
1
x y4
2
3
1
1
1 1
Ecuación 2    x  y  
3
3
 3 3
Sumando término a término:
3
x
2
1
x
3
3
1
9 x  2 x 11
 x
x  x
2
3
6
6

1
y
3
1
y
3
4

1
3
4
1 12  1 11


3
3
3
Se debe resolver la ecuación:
11
116
11
x
x2
x
3
311
6
PRUEBA:
En ecuación 1:
Ecuación 1 
3
2  1  3  4  3  1  4  4  4
2
3
En ecuación 2:
Ecuación 2  2   3  1  2  3  1  1  1
La solución del sistema es:
x  2  y  3
Ejemplo3:
2x  2 y  1
x y7
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Algebra Lineal
SOLUCIÓN
2 x  2 y  1 Ecuación 1
x y7
Ecuación 2
Ecuación 1 12 x  2 y  1
 2x  2 y  1
Ecuación 2  2 x  y  7  2 x  2 y  14
Sumando término a término:
2x
 2x
2y
 2y
 1
0
  13
 14
Resulta la siguiente ecuación:
0   13
Podemos ver que se eliminaron ambas variables y se llegó a una igualdad falsa. Por lo tanto el
sistema no tiene solución, ya se terminó.
Respuesta: El sistema no tiene solución.
7.4.2.5 Método determinantes
Un determinante 2 X 2 es una expresión de la forma:
En la columna 1 tenemos las entradas
En la columna 2 tenemos las entradas
El determinante es un número que se obtienen como:
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Más adelante profundizaremos más sobre los determinantes.
Ejemplos: Calcule los siguientes determinantes:
Ejemplo 1:
SOLUCIÓN
Ejemplo 2:
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DETERMINANTES:
Dado un sistema 2 X 2 de la forma:
ax  by  E
cx  dy  F
Se debe cumplir que:
 Las variables estén en el mismo orden en las dos ecuaciones.
 El término independiente este en el lado izquierdo de la ecuación.
 Se deben reducir términos semejantes.
Para este sistema podeos escribir 3 determinantes así:
D
a b
c d
, D1 
E
b
F
d
 D2 
a
E
c
F
Dónde:
Se forma poniendo los coeficientes de las variables.
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Se forma cambiando las entradas de la primera columna del determinante D con las entradas
del término independiente.
Se forma cambiando las entradas de la segunda columna del determinante D con las entradas
del término independiente.
La solución del sistema es:
x
D1
D
y 2
D
D
Ejemplos: Utilizando determinantes, solucione los siguientes sistemas de ecuaciones:
Ejemplo 1:
5x  3 y  6
2x  7 y  4
SOLUCIÓN
5 3
D
2
D1 
D2 
7
 57   2 3  35  6  41  D  41
6 3
4
7
5 6
2 4
 67   4 3  42  12  54  D1  54
 54  26  20  12  8  D2  8
La solución del sistema es:
x
D1 54
D
8

y 2 
D 41
D 41
PRUEBA:
En ecuación 1:
270 24
246
 54   8 
5   3   6 

6
666
41 41
41
 41   41 
En ecuación 2:
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108 56
164
 54   8 
2   7   4 

4
444
41 41
41
 41   41 
La solución del sistema es:
x
54
8
y
41
41
Ejemplo 2:
3x  2 y  20
5x  2 y  8
SOLUCIÓN
D
3 2
5
D1 
D2 
2
 32  5 2  6  10  16  D  16
20  2
8
2
3 20
5
8
 202  8 2  40  16  56  D1  56
 38  520  24  100  76  D2  76
La solución del sistema es:
x
D1 56 7
 76
19

 y

D 16 2
16
4
PRUEBA:
En ecuación 1:
3x  2 y  20
21 19
40
 7   19 
3   2    20    20 
 20  20  20
2
2
2
2  4 
En ecuación 2:
5x  2 y  8
35 19
16
 7   19 
5   2    8 
 8 888
2
2
2
2  4 
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La solución del sistema es:
x
7
19
 y
2
4
7.4.2.6 Aplicaciones
Para la solución de problemas, se sugiere el siguiente procedimiento:
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. ASIGNAR LETRAS A LAS VARIABLES. Se asignan letras para representar las cantidades
variables del problema. Por lo general, la última oración del problema indica lo que se
pregunta, de modo que eso es lo que debe representar las letras asignadas.
2. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA. Si es posible, trazar un diagrama, o formar
una tabla que ayude a visualizar la relación entre las cantidades que intervienen en el
problema.
3. TRADUCIR LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN ECUACIONES. Traducir la información
sobre las variables que aparecen en el problema. Recuerde que una ecuación sólo es una
afirmación escrita, usando los símbolos de las matemáticas.
4. RESOLVER LAS ECUACIONES E INTERPRETAR LOS RESULTADOS. Resolver las ecuaciones
formuladas en el paso 3 y expresar con palabras lo que significan las soluciones, en
términos de los significados originales de las variables4
Ejemplo 1:
Una mujer planea invertir un total de US$ 2.500. Parte de él lo pondrá en un certificado de ahorros
que paga una tasa de interés del 9.5% anual y el resto lo pondrá en un fondo de inversiones que
paga una tasa de interés del 13% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada uno para obtener una
ganancia del 11.6% sobre su dinero después de un año?
SOLUCIÓN:
Sea x: Cantidad invertida en el certificado de ahorros
Sea y: Cantidad invertida en el fondo de inversiones.
Se tiene que:
4
Ibíd., p. 543.
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x  y  2500 ecuación #1
9.5
x
El dinero ganado en un año en el certificado de ahorros es el 9.5% de x, es decir 100
13
y
El dinero ganado en un año en el fondo de inversiones es el 13% de y, es decir 100
11.6
* 2.500  290
La ganancia total es del 11,6% de US$ 25000, es decir: 100
9.5
13
x
y  290 ecuación # 2
100
Se tiene que 100
Se debe solucionar el sistema:
x  y  2500 ecuación #1
9.5
13
x
y  290 ecuación # 2
100
100
Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente.
La solución es:
US$ 1.000 en el certificado y US$ 1.500 en el fondo de inversiones.
Ejemplo 2:
“Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por 514 dólares y más tarde, a los mismos precios,
compró 8 vacas y 9 caballos por 818 dólares. Halle el costo de una vaca y el costo de un caballo.”5
SOLUCIÓN
Sea x: el costo de una vaca en dólares.
Sea y: el costo de un caballo, en dólares.
Se tiene que:
4 x  7 y  514 ecuación # 1
8x  9 y  818 ecuación # 2
5
BALDOR. Op. Cit., p. 358.
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Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente.
La solución es:
Una vaca cuesta 55 dólares, un caballo cuesta 42 dólares.
Ejemplo 3:
Una persona tiene 4100 $ en 13 monedas de 500 $ y de 200 $. Determine cuantas monedas de
500 $ y cuantas monedas de 200$ tiene la persona.
SOLUCIÓN
Sea x: Cantidad de monedas de 200 pesos que tiene la persona.
Sea y: Cantidad de monedas de 500 pesos que tiene la persona.
Se tiene que:
x  y  13 ecuación # 1
200 x  500 y  4100 ecuación # 2
Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente.
La solución es:
La persona tiene 8 monedas de 200 pesos y 5 monedas de 500 pesos.
Ejemplo 4:
“La diferencia de dos números es 40 y de su suma es 11. Halle los dos números.”6
SOLUCIÓN
Sea x: Uno de los números.
Sea y: El otro número.
Se tiene que:
x  y  40 ecuación # 1
6
Ibíd., p. 357.
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Algebra Lineal
1
x  y   11  x  y  88
8
x  y  88 ecuación # 2
Se debe solucionar el sistema:
x  y  40 ecuación # 1
x  y  88 ecuación # 2
Cuya respuesta es: x = 64, y = 24.
7.4.3. Ejercicios por temas
3x  2 y  10

7 x  6 y  62 indique si el punto (2,8) es o no es solución del sistema.
Dado el sistema: 
Justifique su respuesta.
a. Solucione los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando dos métodos diferentes.

 6 x  9 y  15

 4 x  3 y  21

7
3
5
x y 
5
4
6
3
1
12 x  y 
7
2

 x  11y  18

6 x  12 y  21
b. Para solucionar las siguientes situaciones problémicas, plantee sistemas de ecuaciones 2X2
y resuélvalas utilizando el método que desee:
1. En 30 billetes de 10 mil pesos y de 5 mil pesos se tienen 210 mil pesos. Diga cuantos
billetes de 10 mil pesos y cuantos billetes de 5 mil pesos hay.
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Algebra Lineal
2. En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 7 mil pesos y cada
niño pagó 5 mil pesos por su entrada. La recaudación es de $ 4’100 000. ¿Cuántos adultos
y cuántos niños hay en el cine?
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7.5. PRUEBA FINAL
1. Solucione los siguientes sistemas 2 X 2 y las situaciones problémicas planteadas, utilizando
el método que desee.
a.
 3x  11y  20  14 x  5 y  42
3
 12
 5 x  41  2

4
 8 x  y  10
7
b. 
2. Una persona tiene $ 7’000.000 para invertir. Una parte la invierte a una tasa de interés del
4.5% anual, el cuádruple de la parte anterior la invierte a una tasa de interés del 6% anual
y el resto lo invierte a una tasa de interés del 5% anual. Si el interés total ganado en un
año es de $ 435.000, Determine el interés ganado en cada una de las inversiones.
3. Una fábrica dispone de dos máquinas para producir dos artículos A y B. Para producir una
unidad del artículo A se requiere utilizar la máquina I cinco horas y la máquina II seis horas
30 minutos. Para producir una unidad del artículo B se necesita tres horas y media y dos
horas en cada máquina respectivamente. Si la máquina I se encuentra disponible al mes
715 horas y la máquina II 700 horas. Determine cuantas unidades de cada artículo se
pueden producir mensualmente.
4. Actividad: Resuelva los siguientes sistemas 2X2 y las situaciones problémicas utilizando el
método que desee:
a. 13x  14 y  0  2 x  y  15
4

 x  2y  5
7
5
 x  y  4
9
b.  6
c.
2
5
7 15
7
5
x y   x y 
9
6
4 2
18
4
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4
 4
 7 x  8y  3
7
5
 x  y  11
18
d. 12
2
5
7 5
17
5
x y   x y 
4
10 4
18
9
e. 5
5. Una persona invirtió $ 3’800.000: Parte a una tasa de interés del 6% anual y el resto a una
tasa de interés del 7% anual. El interés ganado al final de un año, fue equivalente a una
tasa del 6.5% de la inversión inicial. ¿Cuánto fue invertido a cada tasa?
6. 6 Libras de café y 5 libras de azúcar costaron $ 8100 y 5 libras de café y 4 libras de azúcar
costaron $ 6650. Halle el precio de una libra de café y el precio de una libra de azúcar.
7. Una persona tiene:
a.
b.
$ 3400 en monedas de $ 50 y $100. Si tiene en total 47 monedas. ¿Cuántas monedas
tienen de cada denominación?
$ 99000 en billetes de $ 1000, $ 5000 y $ 10000; si tiene 26 billetes, y la cantidad de
billetes de $ 1000 es el doble de la de $ 5000. ¿Cuántos billetes tiene de cada
denominación?
8. Un hacendado compró 5 vacas y 7 caballos por $ 44.5 millones, luego a los mismos precios
compró 8 vacas y 3 caballos por $ 26.1 millones. Halle el costo de cada vaca y de cada
caballo.
9. El doble de un número menor más el triple de otro número mayor es 44. El doble del
número mayor menos el triple del número menor es igual a -1. ¿Cuáles son los números?
10. “La suma de dos números es 190 y
86.”7
de su diferencia es 2. Halle los números. R: 104 y
11. En un cine 15 entradas de adulto y 20 entradas de niño cuestan $ 220 000. 12 entradas de
adulto y 25 entradas de niño cuestan $ 221000. Determine el valor de la entrada para niño
y el valor de la entrada para adulto.
7
Ibíd., p. 357
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12. “Las edades de A y de B están en la relación 5 a 7. Dentro de 2 años la relación entre la
edad de A y la edad de B será de 8 a 11. Halle las edades actuales. R: 30 y 42 años.”8
13. “La edad actual de A guarda con la edad actual de B la relación 2 a 3. Si la edad que tenía A
hace 4 años se divide por la edad que tendrá B dentro de 4 años, el resultado es . Halle
las edades actuales de A y de B.”9
14. “Cuando empiezan a jugar A y B la relación de lo que tiene A y lo que tiene B es 10 a 13.
Después que A le ha ganado 10 mil pesos a B la relación entre lo que tiene A y lo que le
queda a B es 12 a 11. ¿Con cuánto dinero empezó a jugar cada uno? R: 50 mil pesos y 65
mil pesos.”10
15. “Si A le da a B 1 millón de ambos quedan con lo mismo. Si B le da a A 1 millón de pesos, A
quedará con el triple de lo que le queda a B. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?”11
16. Si B le da a A 2 dólares ambos quedan con lo mismo y si A le da a B 2 dólares; B queda con
el doble de lo que le queda a A. ¿Cuánto tienen cada uno?
17. “Si Pedro le da a Juan 3 millones de pasos, ambos quedan con igual cantidad de dinero. Si
Juan le da a Pedro 3 millones de pasos, este tiene 4 veces lo que le queda a Juan. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno?”12
18. Si A le da a B 50 mil pesos, ambos quedan con el mismo dinero. Si B le da a A 50 mil pesos,
A queda con 5 veces el dinero de B, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
19. “Hace 10 años la edad de A era el doble que la edad de B; dentro de 10 años la edad de B
será los de la edad de A. Halle las edades actuales.”13
20. “Hace 6 años la edad de A era el doble que la edad de B; dentro de 6 años será los
edad de B. Halle las edades actuales. R: 42 y 24 años.”14
de la
8
Ibíd., p. 360
Ibíd., p 360.
10
Ibíd., p 360.
11
Ibíd., p. 364.
12
Ibíd., p 364.
13
Ibíd., p. 364.
14
Ibíd., p 364
9
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21. “La edad actual de un hombre es los de la edad actual de su esposa. Dentro de 4 años la
edad de su esposa será los de la edad de su esposo. Halle las edades actuales. R: 36 y 20
años.”15
22. “Un padre le dice a su hijo: Hace 6 años tu edad era de la mía; dentro de 9 años será los
. Halle ambas edades.”16
23. “Pedro le dice a Juan: Si me das 15, tendré 5 veces lo que tú. Juan le dice a Pedro: Si me
das 20, tendré 3 veces lo que tú. ¿Cuánto tiene cada uno?” 17
24. Un grupo de 65 personas, entre adultos y niños entraron a cine. Si la entrada para adultos
cuesta a $7.500 y tiene un costo de $2.000 más que la entrada para niños y en total se
obtuvo un ingreso por entradas de $ 407.500. Determine: ¿Cuál fue el ingreso obtenido
por la entrada de los niños?
15
Ibíd., p. 364
Ibíd., p. 364
17
Ibíd., p. 364
16
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8. UNIDAD II – MATRICES
8.1. OBJETIVO GENERAL
Estudiar los conceptos fundamentales del modelo de transformación propuesto por el álgebra
lineal.
8.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Realizar operaciones básicas con matrices.
Identificar algunos tipos de matrices y sus propiedades.
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8.3. PRUEBA INICIAL
1. Para cada una de los siguientes arreglos rectangulares indique el número de columnas y el
número de renglones que tiene:
 4 5  3


 2 7 8 
 5 4 6 

a. 
8 
 9 0
 7 1
0 

 6 3 / 2 1 / 4


16
8
7


b.
 53 


 3 
  12 

c. 
 2 8 7 9 4 


2
 1 20 0 3
 21 16 7 5  1

d. 
2. Dada el siguiente arreglo:
 6 20 


A   5  4
  7 18 


3. Indique el valor de las siguientes entradas:
Entrada que se encuentra en el renglón tres y columna 2.
Entrada que se encuentra en el renglón 2 columna 2.
Entrada que se encuentra en el renglón 1 columna 1
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4. Dado el siguiente arreglo:
0 
 6  1/ 2 5


7 1 
3 / 4 5 / 3
B 2
8
9 11 


7
6
3 
 1
 4
 3  8 120 

Indique el valor de las siguientes entradas:
Entrada que se encuentra en el renglón 5 y columna 3.
Entrada que se encuentra en el renglón 2 columna 2.
Entrada que se encuentra en el renglón 1 columna 4.
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8.4. TEMAS
8.4.1. Conceptos y definiciones
8.4.1.1 Algo de historia
Los orígenes de cada una de las áreas que componen el álgebra lineal se diluyen a través de la
historia de la humanidad. En textos chinos y babilonios de más de 2000 años de antigüedad se han
encontrado sistemas de ecuaciones lineales enunciados a partir de problemas reales, pero con el
indudable propósito de educar al estudiante en los procedimientos matemáticos. El término
matriz se mencionó por primera vez en un artículo escrito por el matemático inglés James
Sylvester en 1850, pero el concepto de producto de matrices fue desarrollado por “El Principe de
la matemática” Karl Friederich Gauss (1777 – 1855), quién lo presento en su obra Disquisitiones
Arithmeticae a partir de la composición de transformaciones lineales. Por su parte, el también
matemático inglés Arthur Cayley introdujo en un artículo publicado en 1855 la noción de Inversa
de una matriz. Al igual que Sylvester, Calyley se hizo abogado y durante los primeros años de
ejercicio profesional conoció a Sylvester, con quien entabló una am amistad que permaneció
durante 40 años y fue muy fructífera para el desarrollo del álgebra lineal.18
MATRIZ:
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos, llamados entradas de la matriz. Para la
representación simbólica de matrices se utilizan letras mayúsculas en negrita como A, B, C, etc.
Los elementos dentro de la matriz se encierran entre paréntesis o entre corchetes, entre llaves no.
Cada elemento se distribuye en renglones (o filas) y en columnas
LOS RENGLONES: Son los arreglos horizontales.
LAS COLUMNAS: Son los arreglos verticales.
Los renglones se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas se enumeran de izquierda a
derecha.
18
BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con
tecnología aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977. p. 177.
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Algebra Lineal
Cada elemento dentro de la matriz tiene una posición definida esta posición se identifica por el
renglón y la columna a la cual pertenece.
Para nombrar un elemento cualquiera, se utiliza la notación de doble subíndice:
aij , bij
Por lo tanto cada elemento de una matriz se identifica por su fila y su columna. Por ejemplo el
elemento
a37 se ubica en el renglón 3 y en la columna 7.
Siempre el primer subíndice corresponde al renglón y el segundo subíndice corresponde a la
columna.
Ejemplo 1:
Para la matriz:
 42 6  2 
B   5
1  14
 33 15 0 
Identifique el elemento correspondiente a las siguientes posiciones:
b23 , b33 , b12  b31
Solución
b23 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 3, es decir –
b  14
14, esto implica que 23
La entrada
La entrada
b33 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 3, es decir 0,
b33  0
esto implica que
La entrada b12 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 1 y columna 2, es decir 6,
esto implica que b12  6
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Algebra Lineal
b31 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 1, es decir –
b  33
33, esto implica que 31
La entrada
Ejemplo 2:
Para la matriz:
 10  2 
 3 43 

C
 51 60 


 70  88
Identifique el elemento correspondiente a las siguientes posiciones:
c22 , c33 , c21  c42
Solución
La entrada c 22 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 2, es decir
43, esto implica que c22  43
c33 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 3, como esta
c
matriz sólo tiene 2 columnas, la entrada 33 no existe.
La entrada
La entrada c 21 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 1, es decir 3, esto implica que c21  3
La entrada c 24 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 4 y columna 2, es decir 88, esto implica que c42  88
En términos generales una matriz tiene m renglones y n columnas. Donde m y n son enteros
positivos.
Orden de una matriz:
Se dice que el orden de una matriz (es decir el número de elementos que tiene) se obtiene al
multiplicar el número de renglones por el número de columnas.
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Algebra Lineal
Una matriz A de m renglones y n columnas se denota por
Amxn y se dice que su orden es m X n.
A  aij
 
Una matriz A de orden m X n también se puede simbolizar como:
Siempre el primer valor corresponde al número de renglones y el segundo valor al número de
columnas.
Matriz cuadrada:
Una matriz donde el número de renglones es igual al número de columnas, se llama una matriz
cuadrada y se denota como An, siempre se especifica que es una matriz cuadrad.
Ejemplo 1:
La matriz:
7  6
 5

A 0
18
9 
7 / 5 9 / 4 30 
Es una matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplo 2:
La matriz:
 0 17  3 5 


73
1
 91 8
B
2 50 4  3 0 


  8 9  10 21


Es una matriz cuadrada de orden 4
Ejemplo 3:
La matriz:
 18  6 28 


53
0 
 0
C 
92
0
71 


  35 2  10 


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Algebra Lineal
No es cuadrada, ya que tiene 4 renglones y 3 columnas, decimos que es una matriz de orden 4 x 3.
NOTA:
Una matriz A de orden m X n se escribe en términos generales como:
 a11
a
A   21
 

a m1
a12
a13
a 22
a 23


a32
am3
... a1n 
... a 2 n 
 

... a mn 
El primer índice indica el renglón y el segundo índice indica la columna. De esta manera se puede
indicar exactamente la posición de la entrada o elemento. Generalizando, se dice que el símbolo
a ij
denota la entrada en el renglón i y en la columna j
Ejemplo1:
Construya una matriz A 3 X 5 donde a14 es 2, a11 es 1, a22  3 y el resto son ceros.
SOLUCIÓN
 a11 a12
A  a 21 a 22
a31 a32
a13
a14
a 23
a 24
a33
a34
a15 
a 25 
a35 
0
0 a14  2 0
a11  1

A 0
a 22  3 0
0
0
 0
0
0
0
0
La matriz queda:
1 0 0 2 0
A  0  3 0 0 0
0 0 0 0 0
Ejemplo2:
Construya una matriz columna de tres entradas, tal que
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a21  16, a11  20  a31  0
20
16 
 
 0 
Ejemplo3:
Si
  tiene orden 3 X 4 y a
A  aij
ij
i j
para todo i y para todo j, escriba la matriz A.
SOLUCIÓN
 a11 a12
A  a 21 a 22
a31 a32
a13
a 23
a33
Aplicando la fórmula:
a14 
a 24 
a34 
aij  i  j
 a11  1  1 a12  1  2 a13  1  3 a14  1  4 
A  a 21  2  1 a 22  2  2 a 23  2  3 a 24  2  4
 a31  3  1 a32  3  2 a33  3  3 a34  3  4 
La matriz queda:
2 3 4 5
A  3 4 5 6
4 5 6 7
Ejemplo4:
Construya la matriz I de 3 X 3, con
aij  1, para i  j  aij  0, para i  j
SOLUCIÓN
 a11 a12
I  a 21 a 22
a31 a32
a13 
a 23 
a33 
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Algebra Lineal
a11  1, a22  1  a33  1 , ya que en estas entradas i  j , es decir, en estas entradas el renglón y
la columna tienen el mismo sub índice.
a12  0, a13  0, a21  0, a23  0, a31  0  a32  0 , ya que en estas entradas i  j , es decir, en
estas entradas el renglón y la columna tienen diferente sub índice.
La matriz queda:
1 0 0
I  0 1 0
0 0 1
Matriz nula ó matriz cero:
Es una matriz de orden mxn donde todas las entradas son iguales a cero.
Ejemplo1:
La matriz nula de orden 5 X 4 es:
0

0
0

0
0

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0
0 0 0 
Ejemplo3:
La matriz nula de orden 2 X 2 es:
0 0 
0 0 


Matriz identidad
Se simboliza con la letra I . Es una matriz cuadrada en la cual todas las entradas de la diagonal son
iguales a uno y las demás entradas son iguales a cero.
Ejemplos:
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Algebra Lineal
1 0
I2  

0 1 : Matriz identidad de orden 2
1 0 0
I 3  0 1 0
0 0 1
: Matriz identidad de orden 3
1

0
I4  
0

0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1  : Matriz identidad de orden 4
1

0
0
In  
0


0

0 0 0  0

1 0 0  0
0 1 0  0

0 0 1  0
  
 
0 0 0  1  : Matriz identidad de orden n.
Diagonal principal de una matriz:
La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos:
a11 , a22 , ..., ann
Transpuesta De Una Matriz
  matriz de orden m X n. La transpuesta de A , que se simboliza A
A  aij
 AT , es la matriz
de orden n X m, obtenida al intercambiar los renglones y las columnas en la matriz A .
Sea
De manera breve se puede escribir:
t
 Podemos decir que: Si
AT  a ji
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Algebra Lineal
 a11
a
A   21
 

a m1
a12
a 22

am2
 a1n 
 a 2 n 
 

 a mn 
Entonces:
 a11
a
T
A   12
 

a1n
a 21  a m1 
a 22  a m 2 

 

a 2 n  a mn 
NOTA:
Para determinar la transpuesta de una matriz A, basta con poner las columnas como renglones ó
los renglones como columnas.
Ejemplos: Dadas las siguientes matrices, escriba la transpuesta de cada una de ellas:
Ejemplo1:
6 
5 7


 2 40 8 
A
19 6
5 


  1 2  3


SOLUCIÓN:
La matriz A es de orden 4 X 3, entonces su transpuesta debe ser de orden 3 X 4. Para hallar AT,
se debe escribir las columnas como renglones, esto es:
 5 2 19  1 


A   7 40 6 2 
 6 8 5  3


T
Ejemplo2:
8 / 3 5  6 


B   3 2 1/ 4 
 4 7 5 / 3


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Algebra Lineal
Escribiendo los renglones en las columnas, tenemos:
4 
8 / 3 3


B  5
2
7 
  6 1 / 4 5 / 3


T
Ejemplo3:
 8 
3 / 5

C
 2


100 
Escribiendo la columna como renglón, tenemos:
C T  8 3 / 5  2 100
Matriz Simétrica
T
La matriz cuadrada A de orden n se llama matriz simétrica si: A  A
Ejemplos:
 5
2 3 8
 9


A  AT   3  1 6 , B  B T  
 4
8 6 2



 10
9 4  10
3 0 1 
0 9
8 

1 8
0 
Matriz Triangular Superior
Una matriz cuadrada es triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal son iguales
a cero.
Ejemplo:
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Algebra Lineal
5

0
0

0

9 

3 5 8 
0 2  3

0 0  3 
4 7
Matriz Triangular Inferior
Una matriz cuadrada es triangular inferior si todas las entradas arriba de la diagonal son iguales a
cero
Ejemplo:
 8 0 0
  3 2 0


 5 6 1
Matriz Triangular
Cuando la matriz es triangular superior o inferior.
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada es diagonal si los elementos por fuera de la diagonal son todos cero.
Ejemplo:
0
0
0 
15
 0  27 0
0 

0
0
22 0 


0
0  16
0
8.4.2. Algebra de matrices
8.4.2.1 Igualdad de matrices
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Algebra Lineal
Si
  y B  b , son matrices, A es igual a B si se cumple que:
A  aij


ij
A y B tienen el mismo orden
Si las entradas correspondientes de A y de B son iguales, esto es:
A  B  aij  bij Para todo i  j
Nota:
Si dos matrices tienen diferente orden, no pueden ser iguales
Ejemplo1:
Las matrices:
 3  2
 3  2


15 0 
15
0


B
A

8
6
8
6 




 3 21 
 3 21 


Son iguales, ya que tienen el mismo orden (ambas son matrices 4 X 2) y además sus entradas
correspondientes son iguales.
Podemos ver que:
a11  b11  3, a12  b12  2, a21  b21  15, a22  b22  0, y así sucesivamente
Ejemplo2:
16 x y 
 z 10 3
A
B


 8 5 9  y la matriz
 w p 9 , sean iguales, se debe cumplir
Para que la matriz
que: z  16, x  10, y  3, w  8, p  5  9  9
Suma De Matrices
Para que la suma de matrices se pueda efectuar, se debe cumplir que las matrices deben tener
igual orden, si esto no se cumple, la suma de matrices no se puede efectuar.
 
A a
 
B b
ij
ij
Si
y
, son matrices de orden m X n, la suma A + B es una matriz de orden m X n
obtenida al sumar las entradas correspondientes, esto es:
    
A  B  aij  bij  aij  bij

Ejemplos
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Algebra Lineal
2 3
9 5
A
7  3

5 6
Si
8
9
5


4
8 6
B
 2  5
2


1
3
6
4
3
9

2 , Halle: A  B
SOLUCIÓN
 25
 9   8
A B  
7   2

 56
 7 12
 1 11
A B  
5 8

11 9
39
56
 3   5
63
8  4
12
12
 7


4  3
98
11
7 

7  2  3  5 11
2  9



1 2
9
3
 11
12
7 
11

3
Ejemplo2:
 5 7
 5  7


A   3 2   B   3 8 
 9 10
 6 15 
Si:
Halle:
a. A  B
b. B  A
c. A  B
d. A  A
SOLUCIÓN
A B
7  7   10 0 
 55

A  B   3  3 2  8    6 10 
 9  6 10  15  15 25
b. B  A
 5  5  7  7   10 0 
B  A   3  3 8  2    6 10 
 6  9 15  10  15 25
c. A  B
a.
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Algebra Lineal
7   7  0 14 
 55

A  B   3   3
2  8   0  6
 9  6
10  15  3  5
d. A  A
7  7   10 14 
 55

A  A   3  3 2  2    6 4 
 9  9 10  10  18 20
Multiplicación Por Un Escalar
En matrices a los números se le llama escalares, y por lo general son números reales.
Para indicar que un número k es un escalar, se escribe: k  lR
Sea k  lR .
Sea A una matriz de orden mxn
El producto kA  Ak se llama multiplicación por escalar.
Se obtiene al multiplicar cada entrada de la matriz A por el escalar, es decir,
   
kA  k aij  kaij
Ejemplo1:
8  3 9 
A  9 6
7 
0 5  1
Si
Halle:
2
A
a.
b.  3 A
SOLUCIÓN
 28 2 3 29  16  6 18 
 29 26 27    18 12 14 
2 A 20 25 2 1  0 10  2
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Algebra Lineal
  38  3 3  39   24 9  27
  39  36  37     27  18  21
 15
3 
 3 A  30  35  3 1  0
8.4.2.2 Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por escalar
Sean A, B  C Tres matrices de orden mxn , sean   k dos escalares. Entonces:
A 0
A
mn
mn
mn
1.
2. 0 A  0
3. A  B  B  A
4. kA  Ak
5. 1A  A
6. 1A   A
7.
8.
9.
k  A  B  kA  kB
k   A  kA  A
 A  BT  AT  BT
Multiplicación de matrices ó producto matricail
Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al
número de renglones de la segunda matriz. La matriz producto tendrá el número de renglones de
la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz.
Amn Bnq  Cmq
Ejemplo:
A3 x5 B5 x 4  C3 x 4
A2 x1 B1x 6  C2 x 6
A4 x 7 B4 x3 No se puede realizar
, ya que las columnas de la primera matriz (7), son diferentes a
los renglones de la segunda matriz (4)
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Algebra Lineal
Procedimiento para multiplicar matrices
Si
Amn es una matriz de orden m X n, y Bnq es una matriz de orden n X q, la multiplicación de la
C mq
matriz A por la matriz B dará una matriz
matriz
Amn Bnq  Cmq
Amxn
Si:
 a11
a
  21
 

a m1
a12
a 22

am2
, se procede de la siguiente manera:
 a1n 
b11 b12  b1q 
b

b22  b2 q 
 a2n 
21

Bnxq 
 

 
 



 a mn 
bn1 bn 2  bnq 
 a11
a
  21
 

A B
a
La multiplicación mn nq  m1
Dará una matriz
C mq
 c11
c
21

 

c m1
C mq
c12
c 22

cm 2
de orden m X q, para determinar las entradas de la
a12
a 22

am2
 a1n 
 a 2 n 
 

 a mn 
b11 b12  b1q 
b

 21 b22  b2 q 
 

 


bn1 bn 2  bnq 
de la forma:
 c1q 
 c 2 q 
 

 c mq 
Las entradas de la matriz
Renglón 1
C mq
se obtienen de la siguiente manera:
c11 Se obtiene multiplicando las correspondientes entradas del primer renglón de la primera
matriz por las correspondientes entradas de la primera columna de la segunda matriz como se
puede observar en la figura1:
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Algebra Lineal
Figura 1
Es decir
c11  a11b11  a12b21  a13b31  ...  a1n bm1
Para obtener c12 se efectúa la multiplicación que muestra la figura2
Figura 2
Es decir
c12  a11b12  a12b22  a13b32  ...  a1n bm1
De igual manera se obtienen las demás entradas del primer renglón de la matriz C
Renglón 2:
Para hallar c 21 , se efectúa la multiplicación que muestra la figura 3
Figura 3
Es decir:
c21  a21b11  a22b21  ...  a2n bn1
Para hallar c 22 utilizamos la figura 4
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Algebra Lineal
Figura 4
Es decir:
c22  a21b12  a22b22  ...  a2n bn 2
Todas las entradas de la matriz C se hallan utilizando la secuencia anterior.
Ejemplo1:
 1 0  3
 2 1  6
A
 B   0 4 2 

1  3 2 
 2 1 1 
Halle: AB  BA
SOLUCIÓN
Cálculo de AB:
Como A es de orden 2 x 3 y B es de orden 3 X 3, la multiplicación se puede efectuar y dará una
matriz C de orden 2 x 3
La matriz C es de la forma:
c
c
C   11 12
c21 c22
c13 
c 23 
Cálculo de las entradas de la matriz C
Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación:
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Algebra Lineal
c11  21  10   6 2  2  12  14
Para hallar c12 se debe efectuar la siguiente operación:
c12  20  14   61  4  6  2
Para hallar
c13 se debe efectuar la siguiente operación:
c13  2 3  12   61  6  2  6  10
Para hallar c 21 se debe efectuar la siguiente operación:
c21  11   30  2 2  1  4  3
Para hallar c 22 se debe efectuar la siguiente operación:
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Algebra Lineal
c22  10   34  21  12  2  10
Para hallar
c 23 se debe efectuar la siguiente operación:
c23  1 3   32  21  3  6  2  7
De tal manera que la respuesta es:
 1 0  3
 2 1  6 
  14  2  10
1  3 2   0 4 2    3  10  7 

  2 1 1  



Es decir:
 14  2  10
AB  C  

 3  10  7 
Cálculo de BA:
Como B es de orden 3 x 3 y A es de orden 2 X 3, la multiplicación no se puede efectuar. Ya se
terminó.
Ejemplo2:
 4 3
  3 2
  B  

A  
  2 5
 6 7
Halle: AB  BA
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Algebra Lineal
SOLUCIÓN
Cálculo de AB:
Como A es de orden 2 X 2 y B es de orden 2 X 2, la multiplicación se puede hacer y dará una matriz
C de orden 2 X 2.
La matriz C tiene la forma:
c 
c
C   11 12 
c 21 c 22 
Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación:
c11  4 3  36  12  18  6
Para hallar c12 se debe realizar la siguiente operación:
c12  42  37  8  21  29
Para hallar c 21 se debe realizar la siguiente operación:
c21  2 3  56  6  30  36
Para hallar c 22 se debe realizar la siguiente operación:
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Algebra Lineal
c22  22  57  4  35  31
La matriz C queda:
 6 29
C

36 31
Cálculo de BA:
Como B es de orden 2 X 2 y A es de orden 2 X 2, la multiplicación se puede hacer y dará una matriz
C de orden 2 X 2.
La matriz C tiene la forma:
c 
c
C   11 12 
c 21 c 22 
Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación:
c11  34  2 2  12  4  16
Para hallar c12 se debe realizar la siguiente operación:
c12  33  25  9  10  1
Para hallar c 21 se debe realizar la siguiente operación:
c21  64  7 2  24  14  10
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Algebra Lineal
Para hallar c 22 se debe realizar la siguiente operación:
c22  63  75  18  35  53
La matriz C queda:
 16 1 
C

 10 53
NOTA:
Podemos ver que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, que en términos
generales AB  BA
8.4.2.3 Propiedades de la multiplicación de matrices
Sean: A, B, C Tres matrices cuyos productos se pueden efectuar y k  lR , entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AB  BA
ABC    AB C
k  AB   AkB   AB k
AB  C   AB  AC
 A  BC  AC  BC
AI  A
IA  A
 AB T
 B T AT
Potencia De Una Matriz
Sea A una matriz cuadrada de orden n .
1.
2.
3.
4.
A0  I
A1  A
A2  AA
A3  AA 2  A2 A Y así sucesivamente.
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Algebra Lineal
Ejemplo1:
 1 10
A

 4 5
Sea la matriz
0
1
2
3
Halle: A , A , A  A
SOLUCIÓN
1 0
A0  I 2  

0 1
 1 10
A1  A  

 4 5
 1 10  1


A2  AA  4 5   4
 1 10 41
A3  AA 2  

 4 5  16
10  1 1  104  110  105 41 40


 A2



5   4 1  54
410  55  16 65
40  141  1016  140  1065 119 610


 A3



65  441  516
440  565  244 485
Ejemplo2:
3 0
B  2  8
5 4
Si
1
0
B  I 3  0
0
1
9
3
0 0
1 0
0 1
 3 0 1
 2  8 9




1
5
4
3
B B
Compruebe que:
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4
6 
14

B  35 100  43
38  20 50 
2
8
68 
 80
B 3   90  972 806
324 360
8 
31616
 464 
 27712

B  180864 1234224  770864
 60912  349632 312256 
4
8.4.3. Ejercicios por temas
1. Escriba la matriz en cada caso:
Matriz A de orden 4X7 tal que:
aij  5i  j para i  j aij  i  j para i  j
aij   1
i j
Matriz cuadrada B de orden 5 tal que:
aij   3
j i
para i  j
para i  j
,
aij  i  j para i  j
.
2. Algebra de matrices.
Para las matrices:
 5 5 2 
 11 4  8
A   0 4  7  B   10 15 5 
 6 7 6 
 0
5 4 
Halle:
 A  B A  B
 A  B T
 A  B 2
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y
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A2  B 2
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8.5. PRUEBA FINAL
1. Encuentre los valores de x, y, z, w; de tal manera que se cumpla cada igualdad:
 x y  12  3 1 0
 z w  9 5   0 1


 

y  2 y  1 4 x  3   2 x
3 y  12 
x
5
 2



 z   w  3 z  w  20
4 z 5w  w
8.5.1. Actividad Final
1. Escriba la matriz A de orden 6X 6 tal que
a  j i
cuando i  j y ij
cuando i  j
i j
i j
2 cuando i  j y aij   1
aij 
aij  (i  j ) 2
aij  2i  5 j
i

j
4X
5
A
2. Escriba la matriz de orden
tal que
cuando
y
i

j
cuando
a   1
a  i 3j
3. Escriba la matriz A de orden 5X 3 tal que ij
cuando i  j , ij
1 j
i j y
aij 
cuando
i2j
3 cuando i  j
aij   1
i j
4. Escriba la matriz A de orden 6X 6 tal que
cuando i  j ,
aij 
i j
2 cuando
i  j y aij  j  4i cuando i  j
a  i* j
5. Escriba la matriz A de orden 4X 5 tal que ij
cuando i  j ,
y
aij  2 j  3i
aij 
j
i cuando i  j
cuando i  j
6. Halle los valores correspondientes de cada letra:
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b
 5  31 2  a  5
 12


0
4   d
e3

 2 13 5  g  4
h
c   2 4 1 
f    3 1  5
i   10 4 23 
0 4
1
 1  2 0

2
b
c9
2
1
g
h  10
6
0
j 3
1
k  c
 e
a
2
3
d
f
3
3  a

1   5
b   1
7    3
4   1
1   0
e7


d  f 5
3
2
g
4 
1 
5 
i  12 
m 
7. Halle x, y, w, z, de tal manera que se cumpla la igualdad:
6  5w 
 3x  y  3 z  1  5

  

10   2  7 z 2 x  y  z 
 w2
4   8
w
 5x  y  4

  

z
x  2 y   7 y  3 15 

x  y    3 4x  3 y  5
 w  3z

  

3w  2 
 2 x  3 y 5 z  10   20
 3  5z   x  3 y
zw 
 7  3x
4  5 y 10  2w  z   2 y  x 2 z  w  7

 

1 2  x y  1 0
3 4  z w  0 1


 

3 4   x y  51 19 
9  5  z w   0  62


 

T
T
8. Halle: A , B , A  B, 2 A  3B  4B  3 A
Con:
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3 5 8 
  3 12 6 
 0  9  3
 8
6
7 



A  13 14 7   B   5
 14 7 




9
9
8 0
 34 7
12 5  9
 12
9 13
T
T
T
9. Halle: A , A  B, B  A,  A  B  , A  B  2 A  3B Con:
T
 4 9 10  5 
 34  2 4 6 




A   2 45 6  7   B   7  6 7  8 
 9 4  9 23 
5
5 7 43 



10.Halle AB  BA Para las matrices:
 3

8  9
2


3
 5 10 7 
A
B 9

1 6
7 


 7
 4 9 3 


 6

6
4
0
3
5
8

6
7
 4 23 

8
9
4
7 
7
11.Halle CD  DC Con:
4  9 0 
1 7 9 4
5 8  2

C  6 7 3 2  D  
6  5 2 
0 8 9 4


6
7 8
12.Dadas las matrices:
 7  3
12 7 
  B  

A  
5 9 
 0  4
Halle:
AB  BA
2 AB
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 A  B A  B
A2  B 2
 A  B 2
 A  B 2
A
T
 BT

T
A2  AB  BA  B 2
A2  AB  BA  B 2
A2  AB  BA  B 2
 4 2
  5 12 
  B  

A  
7 5
 1 6  compruebe que:
13.Para las matrices:
 A  B A  B  A2  B 2
 A  B2
 A2  2 AB  B 2
 A  B2
 A2  AB  BA  B 2
 A  B2
 A2  AB  BA  B 2
 A  B2
 A2  2 AB  B 2
AI 2  A
BI 2  B
 A  B A  B  A2  AB  BA  B 2
14. Encuentre los valores de x, y, z  w de manera que se cumpla la igualdad:
 x y  4 3   1 0 


  

 z w   2 5   0 1 
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15. Encuentre los valores de x, y, z  w tal que se cumpla la igualdad:
 x y  3 6  10 45 


  

 z w  7 10   6 23 
16.Encuentre los valores de x, y, z  w tal que se cumpla la igualdad:
 x y 11  4   4 5 


  

 z w  3 2   6 3 
17. Encuentre los valores de x, y, z  w tal que se cumpla la igualdad:
 3  2  x y   8 10 


  

 4 13  z w    4 13 
18. Escriba las siguientes matrices:
No referenciar
Identidad de orden 6
Identidad de orden 4
Nula de orden 5X3
Nula de orden 3X6
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9. UNIDAD III - SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
UTILIZANDO TÉCNICAS MATRICIALES. Y APLICACIONES
9.1. OBJETIVO GENERAL
Desarrollar las técnicas analíticas para solucionar sistemas de ecuaciones.
9.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar cuándo un sistema de ecuaciones tiene solución única, infinitas soluciones o
no tiene solución.
Solucionar sistemas de ecuaciones por medio de eliminación Gaussiana.
Estudio de los sistemas de ecuaciones homogéneos.
Solucionar sistemas de ecuaciones por medio de eliminación Gauss-Jordan.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la factorización de matrices.
Solucionar sistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de determinantes.
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9.3. PRUEBA INICIAL
Efectúe las siguientes operaciones con números fraccionarios.
5 7
3  
4 5
8  4
 6  
3  9
9 4
  7 
5  11 
 8 
16  9 
 27 
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9.4. TEMAS
9.4.1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Definición de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas: Un sistema de ecuaciones lineales
consiste en varias m ecuaciones y cada ecuación con n incógnitas, el sistema se caracteriza por que
las variables tienen potencia uno, no existe producto entre ellas y además no existen variables en
el denominador.
t , t , t ,..., t
n que
Solucionar un sistema de ecuaciones consiste en encontrar una serie de valores 1 2 3
simultáneamente son solución de cada una de las ecuaciones, es decir si se remplazan todos lo ti
en una ecuación se obtiene una igualdad verdadera.
Ejemplo1:
3x1  5 x 2  4 x3  10
 5 x1  7 x 2  110 x3  1
El sistema:
12 x1  x 2  7 x3  12
Es un sistema 3 X 3
Ejemplo2:
12 x1  3x2  17 x3  8 x4  15

11x1  4 x2  12 x3  10 x4  42
Es un sistema 2 X 4
NOTA:
Cuando en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se llega a una igualdad falsa, esto
quiere decir que el sistema no tiene solución.
Cuando en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se llega a una igualdad verdadera,
esto quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones.
Sistemas consistentes e inconsistentes
1. Un sistema es consistente cuando tiene una única solución, es decir las ecuaciones
son independientes.
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Algebra Lineal
2. Un sistema es inconsistente cuando No tiene solución.
3. Si el sistema Tiene infinitas soluciones, se dice que el sistema es consistente pero
las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones.
Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales
La forma matricial de un sistema de ecuaciones es: AX  B
Dónde:
A : Es la matriz de coeficientes, tiene orden m X n
X : Es la matriz de variables tiene orden n X 1
B : Es la matriz en la cual se pone el término independiente de cada una de las ecuaciones. Es de
orden m X 1.
NOTAS:
Para construir matrices a partir de sistemas de ecuaciones, se debe tener en cuenta lo siguiente:
a. El término independiente debe estar aislado (o despejado casi siempre a la derecha
de la ecuación).
b. Las variables deben tener el mismo orden en todas las ecuaciones.
c. Es obligatorio llenar con ceros los espacios donde falte una de las variables.
n : Es el número de variables.
m : Es el número de ecuaciones.
Ejemplo:
Un sistema de la forma:
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
Se puede escribir como:
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 a11 a12
a
 21 a 22
a31 a32
a13   x   b1 
a 23   y   b2 
a33   z  b3 
Donde el primer arreglo se llama matriz de coeficientes.
El segundo arreglo se llama matriz de variables, note que las variables se colocan en el mismo
orden o secuencia en que se encuentran en las ecuaciones.
El tercer arreglo se llama matriz de constantes ó matriz del término independiente.
También se puede escribir la matriz aumentad, que consiste en agregar a la matriz de coeficientes,
la matriz de constantes en el lado derecho, así.
Matriz aumentada
Ejemplos:
Construya la matriz de coeficientes, la matriz de constantes, la matriz de variables y la matriz
aumentada en cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo1:
 2 z  10
3x

5 x  2 y  4 z  0

7 y  5z  4

SOLUCIÓN
El sistema se puede escribir como:
3x  0 y  2 z  10

5 x  2 y  4 z  0
0 x 7 y  5 z  4

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La matriz de coeficientes es:
3 0  2
A  5  2 4 
0 7  5
La matriz de variables es:
 x
X   y 
 z 
La matriz del término independiente es:
10
B   0 
 4 
La matriz aumentada es:
Ejemplo2:
 10
 2x  y

 5 x  2 z  4 y  11
10 x  7 y  5 z  4

SOLUCIÓN
El sistema se puede escribir como:
 y  0 z  10
 2x

 5 x  4 y  2 z  11
 3x  7 y  5 z  4

La matriz de coeficientes es:
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 2 1 0 
A   5
4  2
 3 7  5
La matriz de variables es:
 x
X   y 
 z 
La matriz del término independiente es:
 10 
B   11 
 4
La matriz aumentada es:
Pivote
Un pivote en una matriz es la primera entrada distinta de cero en un renglón
Forma escalonada por renglón de una matriz
Una matriz está en su forma escalonada por, renglón, si tiene la siguiente apariencia:
*
0

0

0
* * *
* * *
0 * *

0 0 0
Los pivotes son los primeros asteriscos de cada renglón (si son diferentes de cero) y los asteriscos
restantes pueden ser o no ser ceros, de esta manera podemos decir que:
UNA MATRIZ ESTA EN FORMA ESCALONADA POR RENGLON SI:
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Algebra Lineal
i.
Todos los renglones que contienen solo ceros están agrupados en la parten inferior de la
matriz.
ii. En cada renglón que no contiene solo ceros, el pivote se encuentra a la derecha del pivote
de cada renglón por encima de él.
Ejemplo:
Las siguientes matrices están en su forma escalonada, verifique que cumplen con las propiedades
anteriores.
12 72  4
 0 0  45

0 0
0

0
0 0
3 9 6
2 3 1
,
1 1 1

0 0 0
 13 2 3 8
 0 34 1 2


 0
0 52 9
TEOREMA PARA TRANSFORMAR LAS FILAS DE UNA MATRIZ
Dada la matriz de un sistema de ecuaciones lineales, las siguientes transformaciones conducen a la
matriz de un sistema de ecuaciones equivalente:
(i)
(ii)
(iii)
Intercambiar dos filas cualesquiera.
Multiplicar todos los elementos de una fila por el mismo número real k distinto de cero.
Sumar a los elementos de una fila, k veces los correspondientes elementos de cualquier
otra fila, en donde k es un número real.19
Operaciones elementales en una Matriz
En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales
(por renglón), y la matriz no se altera.
i. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
ii. Intercambiar dos renglones.
iii. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero.
9.4.2. Métodos matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales
19
SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo
Editorial Iberoamérica, 1986. p. 422.
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Algebra Lineal
Método 1: Eliminación Gaussiana
PROCEDIMEINTO PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE
REDUCCIÓN GAUSSIANA:
Expliquemos el desarrollo del método mediante un ejemplo:
Procedimiento para solucionar un sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción
gaussiana:
Expliquemos el desarrollo del método mediante un ejemplo:
Ejemplo1:
Utilizando ELIMINACIÓN GAUSSIAN, Resuelva el sistema:
 2 x1  x2  x3  3

 6 x1  6 x2  5 x3  3
 4x  4x  7x  3
2
3
 1
PASOS:
1. Escriba la matriz aumentada asociada:
 2 1 1 3 
 6 6 5  3


 4
4 7
3 
2. Reduzca la matriz aumentada a su forma escalonada. Para ello realice los siguientes pasos.
i. Convierta en 1 La entrada a11 , esta entrada debe ser distinta de cero, esta entrada se
llama el ELEMEMTO PIVOTE.
Para el ejemplo tenemos que:
1
R1  R1 , R2  R2  R3  R3
2
La matriz queda:
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Algebra Lineal
 1  1 / 2  1 / 2 3 / 2
 6
6
5
 3 

 4
4
7
3 
ii. Si la entrada a11 , es igual a cero, se necesita hacer un intercambio de renglones.
Para el ejemplo este paso no es necesario efectuarlos.
iii. Con el 1 que hay en la entrada a11 , haga cero todas las demás entradas en la primera
columna, para ello sume un múltiplo apropiado del primer renglón a los demás
renglones.
Para el ejemplo tenemos:
R1  R1
R 2  R 2  R16
R3  R3  R1 4
Efectuando estas operaciones en cada renglón.
Primer renglón:
a11  a11
a12  a12
a13  a13
b1  b1
Segundo renglón:
a 21  6  16  6  6  0
a 22  6   1 / 26  6  3  3
a 23  5   1 / 26  5  3  2
b2  3 
3
6  3  9  6
2
Tercer renglón:
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Algebra Lineal
a31  4  1 4  4  4  0
a32  4   1 / 2 4  4  2  6
a33  7   1 / 2 4  7  2  9
b3  3 
3
 4  3  6  3
2
La matriz queda:
1  1 / 2  1 / 2 3 / 2
0
3
2
6 

0
6
9
 3 
iv. Repita los pasos anteriores ignorando el primer renglón.
R1  R1
1  1 / 2  1 / 2 3 / 2
1
R 2  R 2   0
1
2/3
2 

3
0
6
9
 3 
R3  R3
Debemos volver cero todas las entradas debajo de la entrada a 22 , para ello utilizamos el 1 de la
entrada a 22
Se debe efectuar las siguientes operaciones en la matriz:
R1  R1
R2  R2
R3  R3  R 2 6
Para el tercer renglón tenemos:
a31  0  0 6  0  0  0
a32  6  1 6  6  6  0
2
 6  9  4  5
3
b3  3  2 6  3  12  15
a33  9 
La matriz queda:
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Algebra Lineal
1  1 / 2  1 / 2 3 / 2 
0
1
2/3
2 

0
0
5
 15
Convierta en 1 la entrada
a33
R1  R1
1  1 / 2  1 / 2 3 / 2

1
2/3
2 
 1  0
R3  R3 
0
1
 3 
 5  0
R2  R2
La matriz está en la forma escalonada.
3. Reescriba el sistema y resuélvalo por sustitución hacia atrás:
x1 
1
1
3
x 2  x3 
Ecuación 1
2
2
2
2
x 2  x3  2 Ecuación 2
3
x3   3
Tenemos que:
x3   3
Reemplazando en la ecuación 2 y despejando x2 .
x2

2
x3  2  x 2
3

2
 3  2  x2  2  2  x2  2  2
3
x2  4
x3   3  x2  4 en la primera ecuación y despejemos x1
1
1
3
1
1
3
3 3
3
3
x1  x2  x3   x1  4   3   x1  2    x1   2 
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
x1  2
Reemplacemos
PRUEBA
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Algebra Lineal
22  4   3 
3 443333
 62  64  5 3  3  12  24  15  3  3  3
42  44  7 3  3  8  16  21  3  3  3
La solución del sistema es: x1  2,
x 2  4  x3   3
Ejemplo2:
Utilizando ELIMINACIÓN GAUSSIANA Resuelva el sistema:
2x  8 y  z  w  0
4 x  16 y  3z  w  10
 2 x  4 y  z  3w  6
 6 x  2 y  5z  w  3
SOLUCIÓN
La matriz aumentada es:
0 
 2 8 1 1
 4 16  3  1  10


 2 4  1 3  6 


1
3 
 6 2 5
Convertimos en 1 la entrada a11
1
R1  R1 , R2  R2, R3  R3  R4  R4
2
La matriz queda:
4  1/ 2 1/ 2 0 
1
 4 16  3
 1  10

 2 4
1
3
6


5
1
3 
 6 2
Se convierte en cero cada entrada debajo del 1 anterior.
R1  R1
R2 = R2 + R1(- 4)
R3 = R3 + R1 (2)
R4 = R4 + R1 (6)
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Algebra Lineal
Para el renglón 2 tenemos
a 21  4  1 4  4  4  0
a 22  16  4 4  16  16  0
 1
a 23  3     4  3  2  1
 2
1
a 24  1   4  1  2  3
2
b 2  10  0 4  10  0  10
Para el renglón 3 tenemos
a 31  2  12  2  2  0
a 32  4  42  4  8  12
 1
a 33  1    2  1  1  2
 2
1
2  3  1  4
2
b 3  6  02  6  0  6
a 34  3 
Para el renglón 4 tenemos:
a 41  6  16  6  6  0
a 42  2  46  2  24  26
 1
a 43  5    6  5  3  2
 2
1
a 44  1   6  1  3  4
2
b 4  3  06  3  0  3
La matriz queda:
1 4  1 / 2 1 / 2 0 
0 0
1
 3  10

0 12  2
4
6


2
4
3 
0 26
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Algebra Lineal
Como la entrada a 22 es igual a cero, se debe hacer intercambio de renglón.
Cambiamos R2 con R3
La matriz queda:
1 4  1 / 2 1 / 2 0 
0 12  2
4
 6 

0 0
1
 3  10


2
4
3 
0 26
Convertimos en 1 la entrada a 22
Para ello efectuamos la siguiente operación:
1
R 2  R 2 
 12 
0 
1 4  1 / 2 1 / 2
0 1  1 / 6 1 / 3  1 / 2 


0 0
1
 3  10 


2
4
3 
0 26
Debemos convertir en cero las demás entradas debajo del 1 anterior.
R1  R1
R2  R2
R3  R3
R 4  R 4  R 2 26
Para el renglón 4 tenemos:
a 41  0  0 26  0
a 42  26  1 26  26  26  0
13 6  13 19
 1
a 43  2     26  2  

3
3
3
 6
1
26 12  26
14
a44  4   26  4 


3
3
3
3
 1
b4  3     26  3  13  16
 2
La matriz queda:
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Algebra Lineal
1
0

0

0
4  1/ 2
0 
1  1/ 6 1/ 3
 1 / 2
0 1
3
 10 

0 19 / 3  14 / 3 16 
1/ 2
Se debe convertir en 1 la entrada
1
0

0

R3  R3 1  0
a33
4  1/ 2
0 
1  1/ 6 1/ 3
 1 / 2
0
1
3
10 

0 19 / 3  14 / 3 16 
1/ 2
Se debe convertir en cero las entradas debajo del 1 anterior:
R1  R1
R2  R2
R3  R3
R 4  R 4  R3 19 / 3
Para el renglón 4
a 43 
19  19  19 19
 1   

0
3
 3 3 3
a44  
14  19 
14 57  14  57
71
 3     


3
3
3
3
3
 3
190 48  190
142
 19 
ab4  16  10    16 


3
3
3
 3
La matriz queda:
1
0

0

0
4  1/ 2

1  1/ 6
1/ 3
 1 / 2 
0
1
3
10 

0
0
 71 / 3  142 / 3
Se debe convertir en 1 la entrada a44  R4  R4 3 / 71
1/ 2
0
La matriz queda:
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Algebra Lineal
1
0

0

0
4  1/ 2 1/ 2
0 
1  1 / 6 1 / 3  1 / 2
0
1
3
10 

0
0
1
2 
Reescribiendo el sistema de ecuaciones:
1
1
z  w  0 Ecuación 1
2
2
1
1
1
y  z  w   Ecuación 2
6
3
2
z  3w  10 Ecuación 3
w  2 Ecuación 4
x  4y 
Solución del sistema:
Reemplazamos ecuación 4 en ecuación 3
z  3(2)  10  z  6  10  z  10  6  z  4 Ecuación 5
Reemplazamos ecuación 5 y ecuación 4 en ecuación 2
y
1
4  1 2   1  y  2  2   1  y   1 Ecuación 6
6
3
2
3 3
2
2
Reemplazamos ecuación 6, ecuación 5 y ecuación 4 en ecuación 1
1
 1 1
x  4    4  2  0  x  2  2  1  0  x  3  0  x  3
2
 2 2
Prueba: Se deja al estudiante para que de la prueba.
1


 3,  , 4, 3 
2

La solución del sistema es: 
Ejemplo3:
Encuentre la solución del sistema:
 x  2 y  z  6

4 x  2 y  z  4
 2 x  y  3z  19

La solución del sistema es:  2,  5, 6
Ejemplo de solución de sistemas de ecuaciones lineales con infinitas soluciones:
Ejemplo4:
Solucione el sistema:
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Algebra Lineal
 x yz 2

5 x  2 y  2 z  0
 8x  y  5z  6

SOLUCIÓN
La matriz de aumentada es:
1 1 1 2


5  2 2 0
8 1 5 6


1
2 
1 1


R 2  R 2  R1 5   0  7  3  10 
 0  7  3  10 
R3  R3  R1 8


R1  R1
1 1
1
2 
 1 
R 2  R 2     0 1 3 / 7 10 / 7 

 7 
 0  7  3  10 


R3  R3
R1  R1
2 
1 1 1


R2  R2
  0 1 3 / 7 10 / 7 

0 
R3  R3  R 27   0 0 0
R1  R1
Reescribiendo el sistema
x  y  z  2 Ecuación 1
3
10
y z 
Ecuación 2
7
7
0  0 Igualdad verdadera
Como se llega a una igualdad verdadera, el sistema tiene infinitas soluciones.
De la ecuación 2 despejamos.
Ecuación 2 y 
3
10
10 3
z
y
 z Ecuación 3
7
7
7 7
Reemplazamos ecuación 3 en ecuación 1
10 3
 10 3 
Ecuación 1  x  y  z  2  x    z   z  2  x   z  z  2
7 7
7 7 
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Algebra Lineal
x
10 3
4 4
 zz2 x   z
7 7
7 7
Para indicar una solución más general, hacemos z = k, donde k es cualquier número real, entonces
 4 4 10 3

 k, k 
  k,
7 7

la solución del sistema es:  7 7
Para cada número real k se obtiene una solución del sistema dado.
 4 10 
 , , 0

Por ejemplo para k = 0 la solución es:  7 7
 4 4 
  , , 2
Para k = 2 la solución es:  7 7 
Para k = 1 la solución es: 0, 1, 1
Ejemplo5:
Solucione el sistema:
2 x  y  z  0

 2x  3y  1
 8 x  3z  4

SOLUCIÓN
La matriz aumentada es:
 2 1 1 0


0 1
2 3
 8 0  3 4


 1  1/ 2  1/ 2 0 


3
0
1
2
1
R1  R1   
0
 3 4 
8
2
 1  1/ 2  1/ 2 0 


4
1
1
R 2  R 2  R1 2   0
0
4
1
4 
R3  R3  R1 8

R1  R1
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Algebra Lineal
R1  R1
1  1/ 2  1/ 2 0 
1 

R 2  R 2    0
1
1
/
4
1
/
4


4
 
0
4
1
4 

R3  R3
 1  1/ 2  1/ 2 0 


1
1/ 4 1/ 4
R2  R2
 0

0
0
3 
R3  R3  R 2 4  0
R1  R1
Reescribiendo el sistema:
1
1
y z 0
2
2
1
1
y z 
4
4
0  3 Igualdad falsa
x
Como se llega a una igualdad falsa, el sistema es inconsistente, quiere decir que no tiene solución.
Ya terminamos.
Sistemas Homogéneos
Se dice que un sistema de la forma:
ax  by  cz  0

ex  fy  gz  0
 ix  jy  kz  0

Es homogéneo, es decir, el término independiente en todas las ecuaciones es igual a cero.
Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial 0, 0, 0 , por lo tanto estos sistemas
son siempre consistentes.
Además de la solución de trivial pueden tener también infinitas soluciones no triviales.
Ejemplo:
 x yz 0

5 x  2 y  2 z  0
 8x  y  5z  0
Solucione el sistema: 
Método 2: Eliminación Gauss – Jordan
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Algebra Lineal
Consiste en llevar la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma
1
0

0

0
0 0 0 a
1 0 0 b 
0 1 0 c

0 0 1 d
Podemos ver que todas las entradas de la diagonal principal son iguales a 1 y todas las entradas
arriba y abajo de la diagonal principal son iguales a cero.
Una matriz de este tipo se dice que está en su forma ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLÓN.
Donde los números a, b, c, d pueden ser cualquier número real.
De esta matriz podemos deducir que:
x1  a, x2  b, x3  c, x4  d ...
Utilizando ELIMINACIÓN GAUSS – JORDAN resuelva los siguientes sistemas:
Ejemplo1:
2 x1  4 x 2  6 x3  18
4 x1  5 x 2  6 x3  24
3x1  x 2  2 x3  4
20
SOLUCIÓN
La matriz aumentada es:
 2 4 6 18 


 4 5 6 24 
3 1  2 4 


Se convierte en 1 la entrada a11
20
GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966. P 7
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Algebra Lineal
1
R1  R1   1 2 3
9
2 

4
5
6
24


R2  R2 
3 1  2 4 


R3  R3
Se convierte en cero las entradas abajo del 1 anterior.
3
9 
1 2


R 2  R 2  R1 4  0  3  6  12 


R3  R3  R1 3  0  5  11  23 
R1  R1
Se convierte en 1 la entrada a22
R1  R1
 1
R2  R2    
 3
R3  R3
3
9 
1 2


2
4 
0 1
 0  5  11  23 


Se convierte en cero las entradas arriba y abajo del 1 anterior:
R1  R1  R 2 2  1 0  1 1 


4 
R2  R2
 0 1 2


R3  R3  R 25  0 0  1  3 
Se convierte en 1 la entrada a33
1 0 1 1


R2  R2   0 1 2 4 


R3  R3 1  0 0 1 3 
R1  R1
Se convierte en cero las entradas arriba del uno anterior:
R1  R1  R31
1 0 0 4 


R 2  R 2  R3 2   0 1 0  2 
0 0 1 3 


R3  R3
La solución del sistema es:
x  4, y  2  z  3
El estudiante debe dar la prueba.
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Algebra Lineal
Ejemplo2:
x yzw0
2 x  4 y  8 z  16w  26
3x  9 y  27 z  81w  144
4 x  16 y  64 z  256w  468
SOLUCIÓN
La matriz aumentada es:
1
0 
1 1 1


 2 4 8 16 26 
 3 9 27 81 144 


 4 16 64 256 468 


R1  R1
1
0 
1 1 1


R 2  R 2  R1 2  0 2 6 14 26 
R3  R3  R1 3   0 6 24 78 144 


R 4  R 4  R1 4  0 12 60 252 468 
R1  R1
1 1 1
1
0 
1 

R 2  R 2   0 1 3
7
13


2
 
 0 6 24 78 144 
R3  R3


 0 12 60 252 468 


R4  R4
R1  R1  R 2 1
1

R2  R2
0

0
R3  R3  R 2 6


R 4  R 4  R 2 12  0
0 2 6
1
0
0
 13 

3
7
13 
6 36 66 

24 168 312 
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Algebra Lineal
R1  R1
1

0
1  
R3  R3 
0
6

0

R4  R4
R2  R2
0  2  6  13 

1 3
7
13 
0 1
6
11 

0 24 168 312 
R1  R1  R32
1

R 2  R 2  R3 3
0

0
R3  R3


R 4  R 4  R3 24  0
9 

1 0  11  20 
0 1 6
11 

0 0 24
48 
0 0
6
R1  R1
R2  R2
1

R3  R3
0

0
 1 
R 4  R 4  
 24   0
9 

1 0  11  20 
0 1 6
11 

0 0 1
2 
0 0
R1  R1  R 4 6
1

R 2  R 2  R 411   0

R3  R3  R 4 6  0
0

R4  R4
6
0 0 0  3

1 0 0 2 
0 1 0  1

0 0 1 2 
La solución del sistema es:
x  3, y  2, z  1  w  2
PRUEBA
El estudiante debe comprobar esta solución.
Ejemplo3:
2 y  3z  4
2 x  6 y  7 z  15
x  2 y  5 z  10
SOLUCIÓN
La matriz aumentada es:
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Algebra Lineal
0 2 3 4 
2  6 7 15


1  2 5 10
Intercambiamos renglón 1 con renglón 3
1  2 5 10
2  6 7 15


0 2 3 4 
1  2 5 10 


R 2  R 2  R1 2  0  2  3  5
0 2
3
4 
R3  R3
R1  R1
10 
1  2 5
 1

R 2  R 2    0 1 3 / 2 5 / 2
 2




0
2
3
4

R3  R3
R1  R1
R1  R1  R 22
15 
1 0 8

 0 1 3 / 2 5 / 2
R2  R2
 1 
R3  R3  R 2 2 0 0 0
No es posible convertir la entrada a33 en 1, por lo tanto, ya terminamos la reducción de la matriz.
Reescribiendo el sistema:
x  8 z  15 Ecuación 1
3
5
z  Ecuación 2
2
2
0  1 Falso
y
Como se llegó a una igualdad falsa, quiere decir que el sistema no tiene solución, ya terminamos.
Ejemplo4:
2 x  4 y  6 z  18
4 x  5 y  6 z  24
2 x  7 y  12 z  30
Respuesta: El sistema tiene infinitas soluciones que son:
x  1  k , y  4  2k , z  k ; con k  lR
MÉTODO 3: MATRIZ INVERSA
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Algebra Lineal
MATRIZ INVERSA
DEFINICIÓN
Es una matriz cuadrada especial que tiene la característica que al ser multiplicada por la matriz que
la genera produce la matriz de identidad. La matriz inversa es única.
Si A es una matriz cuadrada de orden n, su inversa se simboliza por que también es una matriz
cuadrada de orden n.
Una forma de hallar la matriz inversa es utilizando el método de matriz aumentada. La matriz de
coeficientes se debe aumentar con la matriz identidad:
 a11 a12

 a 21 a 22
a
a32
 31

 
a
 n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
... a3n
...

... a nn
1 0 ... 0 

0 1 ... 0 
0 0 ... 0 

  ...  
0 0 ... 1 
A través de operaciones elementales, se debe convertir la matriz original en la matriz identidad y
la matriz identidad en la matriz inversa.
La nueva matriz queda:
1

0
0


0

0 ... 0 a'11
a'12
1 ... 0 a' 21
a' 22
0 ... 0 a'31
a'32
 ... 

0 ... 1 a' n1

a' n 2
... a'1n 

... a' 2 n 
... a'3n 

...  
... a' nn 
Donde la parte izquierda corresponde a la matriz inversa. Por último se debe probar la identidad,
es decir, se debe probar que:
AA 1  A1 A  I
PROPEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
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Algebra Lineal
A 
A
 AB 
 B 1 A1
A 
 A 1
1 1
1
T 1
 
T
Ejemplo 1:
Encuentre la inversa de la matriz:
2 4 6 
A  4 5 6 
3 1  2 21
SOLUCIÓN
Primero escribamos la matriz aumentada con la matriz identidad de orden tres.
 2 4 6 1 0 0
 4 5 6 0 1 0


3 1  2 0 0 1
Se debe convertir en 1 la entrada a11
1
R1  R1 
1 2 3 1 / 2 0 0 
2
 4 5 6
0 1 0
R2  R2
3 1  2 0 0 1
R3  R3
Se debe convertir en cero las entradas abajo del 1 anterior
3
1 / 2 0 0
1 2

 2 1 0
R 2  R 2  R1 4  0  3  6
0  5  11  3 / 2 0 1
R3  R3  R1 3
R1  R1
Convertimos en 1 la entrada a22
R1  R1
3
1/ 2
0
0
1 2
 1
R 2  R 2    0 1
2
2 / 3  1 / 3 0

 3
0  5  11  3 / 2
0
1
R3  R3
21
Ibíd., p. 106.
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Algebra Lineal
Convertimos en cero las entradas arriba y abajo del 1 anterior
R1  R1  R 2 2 1 0  1  5 / 6 2 / 3 0
 0 1 2
2 / 3  1 / 3 0
R2  R2
0 0  1 11 / 6  5 / 3 1
R3  R3  R 25
Convertimos en 1 la entrada a33
1 0  1  5 / 6 2 / 3 0 
 0 1 2
2 / 3  1 / 3 0 
R2  R2
R3  R3 1 0 0 1  11 / 6 5 / 3  1
R1  R1
Convertimos en cero las entradas arriba del 1 anterior
7 / 3  1
1 0 0  8 / 3


R 2  R 2  R3 2  0 1 0 13 / 3  11 / 3 2 
0 0 1  11 / 6 5 / 3  1
R3  R3
R1  R1  R3(1)
La matriz inversa es:
7
 8

 1
3
3
 13

11
1
A 

2
3
 3

5
 11
 1
 6
3

Prueba: Se debe probar que:
AA 1
2 4 6 
A  4 5 6 
3 1  2
 I3 
7
 8

 1
3
3
?
 13

11


2   1 0 0
3
 3
 0 1 0 
5
 11

 1 
 6


0
0
1
3
 
Ejemplo2:
Halle la inversa de la matriz:
2 
1 0


A  4  2 1 
 1 2  10 


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Algebra Lineal
SOLUCIÓN
 1 0  2 1 0 0


 4  2 1 0 1 0
 1 2  10 0 0 1 


1 0  2 1 0 0


R 2  R 2  R1 4   0  2 9  4 1 0 
0 2  8 1 0 1
R3  R3  R1 1


R1  R1
R1  R1
1 0 2
1
0
0
 1 
R 2  R 2     0 1  9 / 2 2  1 / 2 0 

 2 
0 2  8 1
0
1 

R3  R3
1
0
0
1 0  2


  0 1  9 / 2 2  1/ 2 0
R2  R2

1
5
1
1 
R3  R3  R 2 2  0 0
R1  R1
R1  R1  R32 
1 0 0
9
2 2 
9 
R 2  R 2  R3    0 1 0  41 / 2 4 9 / 2 

2 
0 0 1
5
1 1 

R3  R3
La matriz inversa es:
2 2 
 9


A    41 / 2 4 9 / 2 
 5
1 1 

1
Prueba:
2   9
2 2  ? 1 0 0
1 0


 

 4  2 1    41 / 2 4 9 / 2    0 1 0 
 1 2  10    5
1 1   0 0 1 


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Algebra Lineal
Ejemplo 3:
Para la matriz:
a b 
A

c d 
1
Halle A
SOLUCIÓN
 a b 1 0
 c d 0 1


R1 = R1 * (1/a)
R2 = R2
1 b / a 1 / a 0
c d
0 1

R1 = R1
R2 = R2 + R1 *(- c)
1 b / a
bc

0 d  a
1
0 

 c / a 1  0


1/ a
b
a
ad  bc
a
1
a
c

a
0


1

R1 = R1
ad  bc
a
R2 = R2 *
1


0

b
a
1
1
a
c

ad  bc
 1
 
 
a  0
ad  bc  
0
b
a
1
1
a
c
bc  ad



a 
ad  bc 
0
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Algebra Lineal

R1 = R1 + R2 *
R2 = R2
b
a
d

1 0 ad  bc

c
0 1
bc  ad

 d

A 1   ad  bc
c

 bc  ad
b 
bc  ad 
a 

ad  bc 
b 
bc  ad 
a 

ad  bc 
1
PRUEBA: Compruebe que A A  I
 d

  ad  bc
c

A 1 A  bc  ad
b 
bc  ad 
a 

ad  bc 
a b 
c d 


bc
 ad


 A 1 A   ad  bc bc  ad
ac
ac


 bc  ad ad  bc
bd
bd 

ad  bc bc  ad 
bc
ad   1 0
 


bc  ad ad  bc  0 1
Ejemplo4:
Encuentre la inversa de la matriz:
2
1
A
 1

0
6
3 2 5 
4 3 7 

2 1  7
4 2
El estudiante debe comprobar que:
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Algebra Lineal
 1
4
 47

A 1   40
 73
 40
 3

 40
1
19
10
31
10
1

10

1
2
9
20
11

20
1
20


0 
1 

10 
1 
10 
1
 
10 
9.4.3. Sistemas de ecuaciones lineales solucionados con la matriz inversa
Sabemos que la forma matricial de un sistema de ecuaciones es:
AX  B
1
1
Si la matriz A tiene inversa, esta es, A vamos a multiplicar la expresión AX  B por A
A1 AX  A1 B  IX  A1 B  X  A1 B
Para solucionar un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de la matriz de coeficientes,
se debe efectuar la siguiente multiplicación de matrices:
1
XA B
Ejemplo 1:
Utilizando la matriz inversa, solucione el sistema:
x1  2 x3  1
x1  2 x 2  10 x3  1
4 x1  2 x 2  x3  2
22
SOLUCIÓN
Primero debemos hallar la inversa de la matriz de coeficientes:
La matriz aumentada con la matriz identidad de orden 3 es:
22
HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía,
Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 273
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Algebra Lineal
 2 1 0 0
1 0
1 2  10 0 1 0


4  2 1 0 0 1
1 0  2 1 0 0


R 2  R 2  R1 1  0 2  8  1 1 0
R3  R3  R1 4 0  2 9  4 0 1
R1  R1
R1  R1
1
0 0
1 0  2
1
R 2  R 2   0 1  4  1 / 2 1 / 2 0
2




0

2
9

4
0
1

R3  R3
1
0 0
1 0  2

 0 1  4  1 / 2 1 / 2 0
R2  R2
5
1 1
R3  R3  R 22 0 0 1
R1  R1
9
2 2
1 0 0


R 2  R 2  R34  0 1 0  41 / 2 9 / 2 4
0 0 1
5
1 1
R3  R3
R1  R1  R32
La matriz inversa es:
2 2
 9

A   41 / 2 9 / 2 4
  5
1 1
1
Lo segundo que hay que hacer es dar la prueba a la matriz inversa, esto es:
2  9
2 2 ? 1 0 0
1 0
1 2  10   41 / 2 9 / 2 4    0 1 0 
 






4  2 1    5
1 1   0 0 1 
El tercer paso es solucionar el sistema de ecuaciones utilizando la matriz inversa:
X  A1 B
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Algebra Lineal
 x1 
1


X   x 2   B   1
 x3 
 2 
Dónde:
 x1 
x  
 2
1
X  A B   x3 
 91  2 1  22 
2 2  1  
 9


 41 / 2 9 / 2 4  1   41 1  9  1  42

   2
2

  5
1 1  2    51  1 1  12 
 x1    9  2  4 
 x1    7 
 41 9 


  x 2      8   x 2    17
2 2
 x3    5  1  2 
 x3    4 
Tenemos la siguiente igualdad de matrices:
 x1    7 
 x    17
 2 

 x3    4 
x  7, x  17  x  4
2
3
La solución del sistema es: 1
Por último se debe dar la prueba de la solución del sistema, para ello se reemplaza
x1  7, x2  17  x3  4 en cada ecuación del sistema inicial:
x1  2 x3  1   7   2 4  1  7  8  1  1  1
x1  2 x 2  10 x3  1   7   2 17   10 4  1  7  34  40  1  1  1
4 x1  2 x 2  x3  2  4 7   2 17    4  2  28  34  4  2  2  2
Ejemplo 2:
Utilizando la matriz inversa solucione el sistema:
2 x  y  z  1
 x  3y  z  4
x yz 0
Para empezar es práctico que escribamos el sistema como:
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Algebra Lineal
x yz 0
 x  3y  z  4
2 x  y  z  1
Hallemos la inversa:
 1 1 1 1 0 0


 1 3 1 0 1 0
 2 1 1 0 0 1


1 0 0
1 1 1


1 1 0
R 2  R 2  R11   0 2 0


R3  R3  R1 2  0 3  1  2 0 1 
R1  R1
R1  R1
1 1 1
1
0 0
1 
R 2  R 2    0 1 0 1 / 2 1 / 2 0 

2 
0 3 1  2 0 1


R3  R3
R1  R1  R 21
3/ 2
1/ 2 0 
1 0 1


 0 1 0
1/ 2
1/ 2 0 
R2  R2


R3  R3  R 2 3  0 0  1  7 / 2  3 / 2 1 
 1 0 1 3 / 2 1/ 2 0 


  0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 
R2  R2


R3  R3 1  0 0 1 7 / 2 3 / 2  1
R1  R1
R1  R1  R3 1
R2  R2
R3  R3
1 0 0  2 1 1 


  0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 
 0 0 1 7 / 2 3 / 2  1


La matriz inversa es:
  2 1 1 


A   1/ 2 1/ 2 0 
 7 / 2 3 / 2  1


1
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Algebra Lineal
A continuación damos la prueba de la inversa:
AA 1
 1  1 1   2  1 1  ?  1 0 0 


 

  1 3  1 1 / 2 1 / 2 0    0 1 0 
1  7 / 2 3 / 2  1  0 0 1 
 I 3   2 1
Ahora solucionemos el sistema:
 x
 
X  A B   y
z
 
1
 x    2  1 1  0    20   14  1 1    4  1   5 
  
  
 
  
 y    1 / 2 1 / 2 0  4    1 / 20  1 / 24  0 1    2    2 
 z   7 / 2 3 / 2  1  1  7 / 20  3 / 24   1 1  6  1   7 
  
  
 
  
La solución del sistema es:
x  5, y  2  z  7
Prueba: Se deja como ejercicio que el estudiante de la prueba.
Ejemplo 3:
Utilizando la inversa solucione el sistema:
2 x1  4 x 2  3x3  6
x 2  x3  4
3x1  5 x 2  7 x3  7 23
Se deja como ejercicio propuesto, se debe llegar a la siguiente respuesta:
 4  13 / 3  7 / 3 


A   1 5 / 3
2 / 3 , x1  25, x 2  8  x3  4
 1 2 / 3
2 / 3 

1
Ejemplo 4:
Utilizando la inversa solucione el siguiente sistema:
23
Ibíd., p 108.
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Algebra Lineal
3x  2 y  z  5
x  y  2 z  5
2x  y  z  6
Se deja como ejercicio propuesto, se debe llegar a la siguiente respuesta:
x  1, y  2  z  2
Método 4: Determinantes
DETEMINANTES
Determinante es un número que se asocia a toda matriz cuadrada.
El determinante es una función que asocia a toda matriz cuadrada A un número que se llama
determinante de A, el cual se denota por det A o
A
. Esta función tiene la propiedad que si
det A  0 , si y solo si A es no singular.
CÁLCULO DE DETERMINANTES:
CASO 1: DETERMINANTE DE MATRCES 2X2
Para una matriz 2X2 de la forma:
a b 
A

c d 
Su determinante se obtiene como:
det A  ad  bc
Ejemplos1:
2  3
det 
  2(5)  4(3)  10  12}  2
4  5
Ejemplo2:
 6  2
det 
  6(1)  (3)(2)  6  6  0
 3 1 
La matriz en 1 es invertible y la matriz en 2 no es invertible.
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Algebra Lineal
CASO 2: DETERMINANTE DE MATRICES 3X3
 a11 a12
A  a 21 a 22
a31 a32
Sea
a13 
a 23 
a33 
det A  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a23a32a11  a12a21a33
Esto se puede aprender más fácilmente si escribimos la matriz como se ve en la figura 1.
 a11 a12
a
 21 a 22
a31 a32
a13  a11 a12
a 23  a 21 a 22
a33  a31 a32
Figura 1.
Luego efectuamos cada multiplicación mostrada en la figura 2. A cada multiplicación de estas le
ponemos signo positivo.
Figura2
Luego efectuamos cada multiplicación mostrada en la figura 3. A cada una de estas
multiplicaciones le ponemos signo negativo.
Figura 3.
En resumen debemos efectuar cada multiplicación mostrada en la figura 4.
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Algebra Lineal
Figura 4.
Ejemplo1:
Obtenga el determinante de la matriz:
2  3 1 
A  4 0  2
3  1  3
SOLUCIÓN
Debemos aumentar las dos primeras columnas:
2  3 1  2  3
 4 0  2 4 0


3  1  3 3  1
Efectuamos cada multiplicación como lo muestra la secuencia.
 20 3
  3 23
 14 1
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Algebra Lineal
 301
  1 22
  34 3
Juntando estas multiplicaciones:
det A  20 3   3 23  14 1  301   1 22   34 3
 det A  0  18  4  0  4  36  det  26
Ejemplo2:
Obtenga el determinante de la matriz:
2  3 5 
A  7 2  3
9 8
5 
SOLUCIÓN
2  3 5  2  3
7 2  3 7 2


9 8
5  9 8
det A  225   3 39  578  925  8 32  57 3
det A  20  81  280  90  48  105
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Algebra Lineal
det A  444
Ejemplos:
Calcule los siguientes determinantes.
1.
2.
3.
4.
Caso 3: Determinante De Matrices n X n
DESARROLLO POR COFACTORES
Dada una matriz cuadrada A de orden n Xn
LA MATRIZ MENOR
Aij
A
Definimos la matriz menor ij como una matriz de orden n -1 X n -1.
La matriz menor resulta de eliminar en la matriz A el renglón i y la columna j.
Ejemplo1:
7  2 5 


A   9 3  2
8 7
5 
A ,A

Para la matriz
, obtenga: 21 33
SOLUCIÓN
A21 Se obtiene al eliminar en la matriz A el renglón 2 y la columna 1, es decir:
  2 5

A21  
 7 5
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Algebra Lineal
A33 Se obtiene al eliminar en la matriz A el renglón 3 y la columna 3.
7  2 
A33  

9 3 
Ejemplo2:
Para la matriz:
2 7  3 0 


6 
5 1 4
A
9 8
7  5


3 0
1
2 

Determine:
A11, A23 , A42  A34
SOLUCIÓN
1 4 6 


A11   8 7  5 
0 1 2 


2 7 0 


A23   9 8  5 
3 0 2 


2  3 0 


A42   5 4
6 
 9 7  5


 2 7  3


A34   5  1 4 
3 0
1 

EL MENOR
El menor
M ij
M ij
COFACTOR:
es el determinante de la matriz menor
Aij
C ij
El cofactor es un número que se asocia a cada entrada de una matriz cuadrada A
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Algebra Lineal
CÁLCULO DE COFACTORES:
Cij   1
i j
M ij
La única diferencia entre un menor y un cofactor es el factor 1
Ejemplos1:
i j
Para la matriz:
3 5 3
A  3 0 8
2 2 3
Encuentre:
C23  C11
SOLUCIÓN
C 23   1
3 5
C11   1
0 8
23
  1 32  25  16  10  1 4  4
5
2 2
11
  1 03  28  1 16  16
2
2 3
Ejemplo2:
Para la matriz
 6  3 5
A   4  9 8
 5
3 7
Determine los siguientes cofactores:
C23  C12
SOLUCIÓN
C 23   1
23
6 3
5
3
  1 63  5 3  118  15  133  33
5
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Algebra Lineal
C12   1
1 2
4 8
5
7
  1  47   58  1 28  40  1 68  68
3
9.4.3.1 Cálculo de determinantes de matrices n X n
EL MÉTODO QUE VAMOS A EXPLICAR SE LLAMA:
CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EXPANSIÓN POR COFACTORES:
Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n , se selecciona
cualquier renglón (o columna) de A y se multiplica cada entrada del renglón (o columna) por su
cofactor. La suma de estos productos será el determinante de A, llamado determinante de orden
n.
Ejemplo1:
2  1 3 
A  3 0  5
2 1
1 
Encuentre el determinante de:
1. Ampliando las dos primeras columnas.
2. Utilizando cofactores en el primer renglón
3. Utilizando cofactores en la segunda columna.
SOLUCIÓN
1. Ampliando las dos primeras columnas.
2  1 3  2  1
3 0  5 3 0


2 1
1  2 1
det A  201   1 52  331  203  1 52  13 1
det A  0  10  9  0  10  3
det A  32
2. Utilizando cofactores en el primer renglón
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Algebra Lineal
det A  a11C11  a12C12  a13C13
det A  a11  1 M 11  a12  1
11
det A  2(1)11
1 2
0 5
1
1
M 12  a13  1
1 2
  1(1)1 2
3 5
2
1
M 13
 3(1)13
3 0
2 1
det A  2(1) 2 * [(0)(1)  (1)(5)]   1(1) 3 [31  2(5)]  3(1) 4 [3(1)  2(0)]
det A  2(1) * 5   1(1) *13  3(1) * 3
det A  10  13  9
det A  32
3. Utilizando cofactores en la segunda columna.
Solución:
det A  a12C12  a22C22  a32C32
det A  a12  1
1 2
det A   1 1
3
M 12  a22  1
2 2
3 5
2
1
 0 1
4
M 22  a32  1M 32
2 3
2 1
 1 1
5
2
3
3 5
det A   1 131  2 5  0  1 12 5  33
det A   1 13  10  0  1 1 10  9
det A   1 113  0  1 1 19
det A  13  19
det A  32
Ejemplo2:
Utilizando cofactores a lo largo del segundo renglón obtenga el determinante de la matriz:
 12  1 3 
A    3 1  1
 10 2  3
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Algebra Lineal
det  3(1) 21  1(3)  2 * 3  1(1) 22 12(3)  (10)3   1 1
2 3
12 * 2  (10)(1)  1
Ejemplo3:
Utilizando cofactores, calcule el determinante de la matriz:
0 1 1 
A  2 3 2
0  1 3
SOLUCIÓN
Como en la primera columna hay dos entradas iguales a cero, vamos a calcular el determinante
utilizando cofactores en la primera columna.
det A  2(1)12 1* 3  (1)1  8
Ejemplo4
Calcule el determinante de la matriz:
2
0
B
0

1
0 0 1
1 0 3
0 1 2

2 3 0
SOLUCIÓN
Vamos a utilizar cofactores en el primer renglón
1 0 3 
0 0 1 
det B  2(1)11 * det 0 1 2  1(1)1 4 det 1 0 3
2 3 0
0 1 2
 2 *  (3 *1 * 2  2 * 3 *1)  24  ()(1)  25
Ejemplo5:
Se deja como tarea que el estudiante calcule el determinante de la matriz:
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Algebra Lineal
4 1 0 
3
 4 1 0
3 

A
  6 4 8  2


2
7 
1 1
Debe obtener la respuesta:
R :det A  1162
Ejemplo5:
Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz A sea igual a -105.
 5 4  3
A   2 x 0 
 8 6 3 
SOLUCIÓN
 5 4  3 5 4
A 2 x 0  2 x
 8 6 3   8 6
A  det A  5x 3  40 8   326   8x  3  605  324  105
15x  36  24x  24  105  9x  50  105  9x  105  50
 45
 9 x  45  x 
 x5
9
Ejercicios propuestos para ser solucionados por los estudiantes:
1. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a -1
 6 3 x 
A   7 2  5
 5 9  x 
R: x = 4
2. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a -141
x 6
A  4 x 2
6 x
5
2 R : x  3
5
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Algebra Lineal
3. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a 22
3 
x  3 9

A 7
8 x  2 R : x  8
0
4 
 5
MATRIZ ADJUNTA:
Para una matriz A de n X n se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz de
cofactores.
TEOREMA:
1
Si A es una matriz de n X n y det A  0 , entonces A existe y se obtiene como:
A 1 
1
adj ( A)
det A
Ejemplo:
Utilizando la matriz adjunta, encuentre la inversa de la matriz
Este ejercicio se deja propuesto para que sea solucionado por los estudiantes.
Se debe llegar a la siguiente respuesta:
det A  26
La matriz de cofactores es:
  2 6  4
C   10  9  7
 6
8 12 
La matriz adjunta es:
 2  10 6 
adj   6
 9 8 
 4  7 12
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Algebra Lineal
La inversa es:
 2  10 6 
1 
A   6
 9 8 
26
 4  7 12
1
Propiedades de los determinantes:
1. Si I es la matriz identidad, entonces det I  1 .
1 0
0 1, det I  1(1)  0(0)  1

La matriz identidad de 2X2 es: 
2. Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos renglones de A, entonces
det B   det A .
3. Si se obtiene B a partir de A sumando un múltiplo de un renglón de A a otro renglón,
entonces det B  det A .
4. Si se obtiene B a partir de A multiplicando un renglón de A por un número m, entonces
det B  m det A .
5. Si A es una matriz diagonal,
det A  a11, a22 ,...amn
det A  a11, a22 ,...ann
6. Si A una matriz triangular, superior o inferior,
7. Si dos renglones de A son iguales, entonces det A = 0.
8. Si A tiene un renglón de ceros, entonces det A = 0.
9. Una matriz cuadrada A es invertible si, y sólo si det A  0
10. Si A y B son matrices de n X n, entonces det (AB) = det A * det B.
11. En términos generales: det( A  B)  det A  det B
12. Si se obtiene B a partir de A sumando un múltiplo de una columna de A a otra, entonces
det B = det A.
13. Si se obtiene B a partir de A multiplicando una columna de A por un número m, entonces
det B = m det A.
14. Si se obtiene B a partir de A intercambiando dos columnas, entonces det B = - det A.
15. Si A es una matriz de n X n y AT es su transpuesta, entonces det A = det A T.
9.4.4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes
REGLA DE CRAMER
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Algebra Lineal
Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  c1
a x  a x  ...  a x  c
 21 1
22 2
2n n
2





 
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n c n
Si el det A, matriz de coeficientes, es diferente de cero, el sistema tiene única solución que se
obtiene como:
x1 
D
D1
D
, x2  2 ,...xn  n
D
D
D
Dónde:
D : Es el determinante de la matriz de coeficientes.
D1 : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las
entradas de la primera columna por las entradas de la matriz B ó matriz del término
independiente.
D2 : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las
entradas de la segunda columna por las entradas de la matriz B o matriz del término
independiente.
D3 :
Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las
entradas de la tercera columna por las entradas de la matriz B o matriz del término independiente.
Dn : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las
entradas de la n ésima columna por las entradas de la matriz B ó matriz del término
independiente.
Ejemplo1:
Utilizando determinantes, resuelva el sistema:
2 x  5 y  4 z  13
3x  2 y  3z  30
4 x  6 y  5 z  4
SOLUCIÓN
Para obtener el determinante D utilizamos la matriz de coeficientes:
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Algebra Lineal
2 5
4
D 3
2
3
4
6
5
D  22 5   534  436  424  632   53 5
D  151
Para calcular el determinante D1 cambiamos las entradas de la primera columna en la matriz de
coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación:
5
4
D1  30
2
3
4
6
5
13
D  132 5   53 4  4306   424  6313   530 5
D1  302
Para calcular el determinante D2 cambiamos las entradas de la segunda columna en la matriz de
coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación:
2
13
4
D2  3
30
3
4 4 5
D  230 5  1334  43 4  4304   432  133 5
D2  453
Para calcular el determinante D3 cambiamos las entradas de la tercera columna en la matriz de
coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación:
2  5 13
D3  3
2
30
4
6
4
D3  22 4   5304  1336  4213  6302   43 5
D3  906
La solución del sistema es:
x
D
D1  302
D
 453
 906

 2, y  2 
 3 z  3 
6
D  151
D
 151
D  151
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Algebra Lineal
Prueba:
22  53  46  13  4  15  24  13  13  13
2 x  5 y  4 z  13
3x  2 y  3z  30  32  23  36  30  6  6  18  30  30  30
4 x  6 y  5 z  4 42  63  56  4  8  18  30  4  4  4
La solución del sistema es:
x  2, y  3  z  6
Ejemplo2:
Aplicando la regla de Cramer, resuelva el sistema:
 2x  y  z  0

4 x  3 y  2 z  2
 2 x  y  3z  0
24

SOLUCIÓN
1
2 1

A  4 3
2 
2  1  3
El estudiante debe comprobar que:
2
1
1
det A  4
3
2  D  8
2 1  3
0
1
1
D1  2
3
2 4
0 1  3
2 0
D2  4 2
1
2  16
2 0 3
2
1
0
D3  4
3
2 8
2 1 0
24
HAEUSSLER. Op. Cit. p. 289.
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Algebra Lineal
Entonces la solución del sistema es:
D
D1
D
, y 2,Z 3
D
D
D
4
 16
8
x
 1 / 2, y 
 2, z 
 1
8
8
8
x
El estudiante debe dar la prueba.
9.4.5. Aplicaciones: problemas que se resuelven planteando sistemas de
ecuaciones lineales
Debido a la ilimitada variedad de problemas es difícil establecer reglas específicas para encontrar
soluciones. Sin embargo las siguientes sugerencias pueden ayudarte:
1. Lee el problema cuidadosamente varias veces y piensa en los datos que te dan y en las
cantidades desconocidas que debes encontrar.
2. Gráfica si es posible, así visualizarás mejor.
3. Asigna letras a las cantidades desconocidas.
4. Relaciona los datos y las cantidades desconocidas.
5. Teniendo en las condiciones del problema escribe ecuaciones.
6. Resuelve las ecuaciones por los métodos que consideres más apropiados.
7. Verifica si la solución obtenida concuerda con las condiciones dadas.
Observación:
No importa mucho la naturaleza del problema, pero si que aprendas a razonar y puedas resolverlo
analíticamente.25
En los problemas continuación, sólo vamos a plantear el sistema de ecuaciones, dejo como
ejercicio para, los estudiantes, el solucionar cada sistema planteado utilizando el método que
desee.
Ejemplo 1:
Cuando Beth se graduó en la universidad, había completado 40 cursos, en los cuales recibió grados
de A, B y C. Su PPG final (puntaje promedio de grado) fue de 3.125. Su PPG en solo los cursos que
25
DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002. p.48.
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Algebra Lineal
recibió los grados de A y B fue de 3.8. Se supone que los cursos A, B y C valen 4 puntos, 3 puntos y
2 puntos, respectivamente. Determine el número de grados A, B y C que recibió.26
SOLUCIÓN
Tenemos que los cursos tipo A corresponden a las materias de formación profesional.
Los cursos tipo B corresponden a la materias de formación matemática.
Los cursos tipo C corresponden a las materias de formación humanística.
Sea x cantidad de materias de formación Profesional recibidas.
Sea y cantidad de materias de Formación Matemática recibidas.
Sea z cantidad de materias de formación humanística recibidas.
Se debe plantear las siguientes ecuaciones:
Para la cantidad de materias vistas:
x  y  z  40 Cantidad de cursos, ec1
Para su PPG final (puntaje promedio de grado)
4x  3 y  2z
 3.125 Pr omedio de grado  4 x  3 y  2 z  40 * 3.125  4 x  3 y  2 z  125 ec 2
40
Total de cursos donde recibió las materias de formación Profesional y de formación Matemática es
x + y, está dado por: x  y  40  z
El promedio de estos cursos está dado por:
4x  3 y
 3.8  4 x  3 y  3.840  z   4 x  3 y  3.8 z  3.8 * 40  4 x  3 y  3.8 z  152 ec3
40  z
Se debe solucionar el sistema:
x  y  z  40 ec1
4 x  3 y  2 z  125 ec 2
4 x  3 y  3.8z  152 ec3
R: 20, 5 y 15
Ejemplo2:
26
ZILL. Op. Cit. P. 422.
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Algebra Lineal
Encuentre
una
parábola
1, 3, 7, 4   3, 5 .
de
la
forma:
y  ax 2  bx  c que pase por los puntos
SOLUCIÓN
2
Se debe reemplazar cada punto en la ecuación de la parábola y  ax  bx  c
1, 3  x  1  y  3
Reemplazando tenemos:
3  a1  b1  c  a  b  c  3 Ecuación 1
2
Reemplazando tenemos:
7, 4  x  7  y  4
2
4  a7  b7  c  49a  7b  c  4 Ecuación 2
Reemplazando tenemos:
 3, 5  x  3  y  5
2
5  a 3  b 3  c  9a  3b  c  5 Ecuación 3
Se debe plantear y resolver el sistema:
abc 3
49a  7b  c  4
9a  3b  c  5
a
R:
1
11
33
, b   c 
15
30
10
Ejemplo2:
En una fábrica se producen 4 artículos A, B, C, y D.
Si los costos de producción de los cuatro artículos en enero fueron US$ 5675 y se produjeron 30
artículos del producto A, 15 de B, 70 de C y 25 del producto D.
Los costos en febrero fueron de US$ 1875 y se produjeron respectivamente 10, 10, 5 y 40 artículos
de cada producto.
Para marzo los costos de producción fueron de US$ 7775, con producciones de 95, 0, 45 y 50.
Para abril los costos son de US$ 5100, con producciones de: 1, 80, 50 y 0.
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Algebra Lineal
Si los costos de producción de cada artículo permanecieron constantes durante estos cuatro
meses, determine el costo de producir una unidad de cada artículo.
Se debe plantear y resolver el sistema:
30 A  15B  70C  25D  5675
10 A  10 B  5C  40 D  1875
95 A  45C  50 D  7775
A  80 B  50C  5100
R: US$ 50, US$ 35, US$ 45 y US$ 20
Ejemplo4:
Entre A, B y C tienen 140 Bolívares. C tiene la mitad de lo que tiene A. A tiene 10 más que B.
¿Cuánto tiene cada uno?27
SOLUCIÓN
Si
es la cantidad de dinero que tiene A,
cantidad de dinero que tiene C.
Se debe plantear el siguiente sistema:
es la cantidad de dinero que tiene B y
es la
A tiene $ 10000 más que B.
El sistema de ecuaciones que se debe plantear para resolver este problema es:
SOLUCIÓN DEL SISTEMA
27
BALDOR. Op. cit. p. 367.
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Algebra Lineal
x3 
D3 150000

 30000
D
5
Ejemplo5:
Hay una única parábola de la forma
que pasa por los puntos
. Encuentre dicha parábola.
SOLUCIÓN
x  3, y  10
x  5 y  62
Para determinar la parábola se debe plantear y solucionar el sistema de ecuaciones:
Utilizando determinantes:
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Algebra Lineal
La parábola es:
Ejemplo6:
Una fábrica dispone de tres máquinas para producir tres artículos A, B y C. Para producir una
unidad del artículo A se requiere utilizar la máquina I dos horas, la máquina II una hora 30
minutos, la máquina III 30 minutos. Para producir una unidad del artículo B se necesita Hora y
media, 3 horas y 4 horas en cada máquina respectivamente. Para una unidad del artículo C se
requiere el utilizar las maquinas I, II y III; 2 horas, 30 minutos y 3 horas respectivamente.
Se sabe que la máquina I se encuentra disponible al mes 122 horas y 30 minutos, la máquina II 100
horas y la máquina III está disponible 135 horas.
SOLUCIÓN
Sea:
es el número de unidades a producir del artículo A,
del artículo B y
es el número de unidades a producir
es el número de unidades a producir del artículo C.
Para determinar el número de unidades de cada artículo a fabricar cada mes de tal manera que las
máquinas sean utilizadas totalmente.
El sistema de ecuaciones que se debe plantear es:
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Algebra Lineal
SOLUCIÓN DEL SISTEMA
9.4.6. Ejercicios por temas
1. Escriba la forma matricial del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
4 x1  7 x 2  x5  7 x6  9 x7  8
3x1  5 x 2  x3  x 4  45
x3  6 x 4  4 x5  x6  34 x7  22
 7 x1  5 x3  16 x 4  x7  2
6 x 2  x3  x 4  x5  23 x6  x7  50
2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando dos métodos diferentes:
3x  6 y  2 z  w  34
6 x  5 y  z  5w  12
9 x  7 y  8 z  3w  25
6 y  11z  4w  100
3. Solucione el siguiente problema utilizando planteando sistemas de ecuaciones lineales y
utilizando cualquiera de los métodos matriciales vistos.
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Algebra Lineal
Una fábrica produce 4 artículos A, B, C y D.
La producción de la fábrica en el mes de diciembre de 30 unidades del artículo A, 10 del artículo B,
60 del artículo C y 45 unidades del artículo D. En enero, la producción fue de 50, 15, 35 y 5
respectivamente. En febrero la producción fue de 100 artículos de A, 30 artículos de B, ninguno del
artículo C y 50 unidades del artículo D. En marzo la producción fue de 5 unidades de A, 20 de B, la
cantidad producida de C fue el doble de la de B y 50 unidades del artículo D.
Si los costos de producción en cada mes fueron de: Diciembre $ 230000, enero de $ 210000,
febrero de $ 355000 y en marzo de $ 190000. Determine el costo de producir una unidad de cada
artículo.
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9.5. PRUEBA FINAL
3x1  7 x 2  6 x3  15
2 x1  7 x 2  9 x3  7
Solucione el sistema:
Utilizando:
1.
2.
3.
4.
8 x1  5 x3  7 x 2  20
Eliminación Gaussiana
Eliminación Gauss – Jordan.
Matriz inversa.
Determinantes.
9.5.1. Actividad Final
Para solucionar los siguientes problemas utilice las técnicas matriciales vistas en clase.
1.
 6 x1  7 x 2  x3  17

 8 x1  3x 2  5 x3  14
12 x  2 x  3x  10
2
3
 1
2.
 3x1  6 x 2  6 x3  15

 2 x1  15 x 2  4 x3  30
 3x  8 x  6 x  48
1
2
3

 3x1  11x 2  5 x3  67

 2 x1  3x 2  15 x3  24
3x  2 x  13x  118
2
3
3.  1
 x  3 y  4 z  5w  28
 x  y  2 z  3w  13


 x  5 y  5 z  2w  11
2 x  7 y  4 z  6w  32
4. 
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Algebra Lineal
 x  7 y  6 z  3w  30
 x  18 y  4 z  5w  56


  3x  2 y  3w  96
4 x  7 y  31z  10w  220
5. 
6. Una concesión del gobierno de US $ 1’360000 se dividió entre 100 científicos de tres
grupos de investigación A , B C. Cada científico del grupo de investigación A recibió US $
20000, cada científico de B recibió US $ 8000 y cada científico de C recibió US $ 10000. El
grupo de investigación A recibió cinco veces los fondos del grupo de investigación B.
¿Cuántos científicos pertenecen a cada grupo?28
7. Entre A, B y C tienen 22 mil pesos. La suma de lo que tiene A con lo que tiene B menos lo
que tiene C es 2 mil pesos. El doble de lo que tiene C supera en 8 mil pesos lo que tienen A
y B juntos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 5, 7 y 10 mil pesos.
8. 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $ 1.18. 4 de azúcar, 5 de café y 3 de
frijoles cuestan $1.45. 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan 46 cts. Halle el precio
de un kilo de cada mercancía. R: 600, 2000 y 700.29
9. Una gaseosa, 1 paquete de pan y una bolsa de mecato cuestan $ 7700. 3 gaseosas, 2
paquetes de pan y una bolsa de mecato cuestan $ 11 000. 4 gaseosas, un paquete de pan
y dos bolsas de mecato cuestan $ 16 100. Determine el costo de una gaseosa, un paquete
de pan y de una bolsa de mecato. R: $ 1 000, 1 300 y 5 400.
10. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, el mayor excede al menor en 35º y el
menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Halle los tres ángulos. R:
80º, 55º y 45º.
2
11. La parábola y  ax  bx  c pasa por los puntos 1, 10,  1, 12  2, 18 . Halle a, b y
c.30
12. Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y
C es uno, dos y tres dólares, respectivamente. Los costos fijos son de $ 17000 por año y los
costos de producción por cada unidad son $ 4, $ 5 y $ 7, respectivamente. El año siguiente
serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se
28
ZILL. Op. Cit. P. 418.
BALDOR. Op. Cit. P. 367.
30
ZILL. Op. Cit. P. 421.
29
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obtendrá una utilidad de $ 25000. Si el costo total será de $ 80000, ¿Cuántas unidades de
cada producto deben producirse el año siguiente? R: 2000, 4000 y 5000.
13. Una empresa elabora tres productos A, B y C, los cuales pueden procesarse en tres
máquinas I, II y III. Una unidad de A requiere 4, 5 y 6 horas de procesamiento en las
máquinas, mientras cada unidad de B requiere 3, 5 y 5 horas de procesamiento y una
unidad de C requiere 2, 4 y 6 horas en la máquinas. Se dispone de las máquinas I, II y III,
por 500, 800 y 1.000 horas, respectivamente, ¿cuánta unidades de cada producto puede
elaborarse usando todo el tiempo disponible de las máquinas? 31
1
14. Un hombre tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 8 del número de vacas
1
1
más 9 del número de caballos más 5 del número de terneros equivalen a 15, y la suma
del número de terneros con el de vacas es 65. ¿Cuántos animales de cada clase tiene?32
0
15. En un triángulo la suma del ángulo mayor con el mediano es 135 y la suma del mediano y
0
el menor es 110 . Halle los ángulos.
16. Las edades de tres personas suman 45 años, la suma de las dos primeras equivalen al
doble de la tercera. La diferencia entre la primera y la tercera equivale a un medio de la
segunda. Determine la edad de cada persona. R: 20, 10, 15.
2
17. Encuentre una parábola de la forma y  ax  bx  c que pase por los puntos
5,  3,  3, 8  1, 1 .
3
2
18. Encuentre un polinomio de la forma y  Ax  Ax  Bx  C que pase por los puntos:
2,5,  3,10 y 8,2
4
2
19. Encuentre un polinomio de la forma: y  Ax  8x  Bx  C que pase por los puntos
1,25,  5,12 y 6,0
31
SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra
Lineal y Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2
ed. Bogotá: Ecoe ediciones, 2005. P. 122.
32
BALDOR. Op. Cit. P. 367.
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4
3
2
20. Encuentre el polinomio de la forma y  4 x  Ax  Bx  Cx  20 que pase por los
puntos 10,10, 5,25 y  3,48 No referenciar.
21. Si A le da a C $ 1, ambos quedan con lo mismo. Si B tuviera $ 1 menos, tendría lo mismo
que C. Si A tuviera $ 5 más, tendría tanto como el doble de lo que tiene C. ¿Cuánto tienen
cada uno?33
SOLUCIÓN
Sean:
Cantidad de dinero que tiene A
Cantidad de dinero que tiene B
Cantidad de dinero que tiene C.
Si A le da a C $ 1 millón, ambos tienen lo mismo.
A queda con:
C queda con:
La ecuación a plantear es:
La ecuación N°1 queda:
Si B tuviera $ 1 millón menos, tendría lo mismo que C.
La ecuación a plantear es:
La ecuación N°2 queda:
Si A tuviera $ 5 millones más, tendría tanto como el doble de lo que tiene C
La ecuación a plantear es:
33
Ibíd. P. 367.
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La ecuación N°3 queda:
El sistema a resolver es:
SOLUCIÓN DEL SISTEMA:
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10.UNIDAD IV – VECTORES. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
10.1.OBJETIVO GENERAL
Desarrollar las técnicas que peritan manipular vectores en R2 y R3.
10.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar las diferentes ecuaciones de una recta en el espacio.
Determinar la ecuación de los diferentes planos.
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10.3.PRUEBA INICIAL
Halle el lado que falta en cada triángulo.
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10.4.TEMAS
10.4.1.
Vectores en R2 y R3
VECTOR
Es un segmento de recta dirigido. Un vector tiene magnitud (siempre positiva) y tiene dirección
(ángulo).
NOTACIÓN DE VECTOR
Se acostumbra usar el símbolo AB para denotar el vector que va del punto A (considerado punto
inicial) al punto B llamado punto final.
Otra forma para denotar o simbolizar vectores es utilizando letras minúsculas en negrita como: a,
b, u, v, w, m, etc.
MAGNITUD DE UN VECTOR
A la longitud del segmento dirigido se le llama magnitud del vector y se denota por
AB  u  v  w , etc.
2
VECTORES EN lR
2
Un vector en lR (en el plano) es una pareja ordenada o par ordenado de números reales y se
emplea la notación v  a, b  v  ai  bj . Donde a y b son números reales.
Ejemplo:
v   10,7  10i  7
3
VECTORES EN lR
3
Un vector en lR (en el espacio) es una tripleta ordenada de números reales, utilizamos la
notación v  a, b, c   v  ai  bj  ck , donde a, b y c son números reales.
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Ejemplo:
v  12,17,9  12i  17 j  9k
VECTOR ENTRE DOS PUNTOS
Sean los puntos:
A  a1 , b1 , c1   B  a2 , b2 , c2  en lR 3  A  a1 , b1   B  a2 , b2  en lR 2
A partir de estos puntos se pueden obtener los siguientes vectores:
AB  a2  a1 i  b2  b1  j  c2  c1  en lR 3
AB  a2  a1 i  b2  b1  j en lR 2
BA  a1  a2 i  b1  b2  j  c1  c2 k   AB para lR 3
BA  a1  a2 i  b1  b2  j   AB para lR 2
Ejemplo:
Dados los puntos A  15,3,12  B  17,3,10
Halle los siguientes vectores:
AB  17  15i  3   3 j  10  12k  2i  6 j  2k
BA  15  17i   3  3 j  12  10k  2i  6 j  2k
OA  15  0i   3  0 j  12  0k  15i  3 j  12k
OB  17i  3 j  10k
GRAFICA DE VECTORES
Los vectores se grafican ubicando puntos en el plano cartesiano para vectores en R2 y ubicando
puntos en el espacio para vectores en R3.
Ejemplo1:
Grafique el vector u  2,3) 
Solución: Solo se debe ubicar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (2,3)
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Algebra Lineal
Ejemplo 2:
Grafique el vector v  3i  2 j
La gráfica se muestra en la siguiente figura.
Ejemplo 3:
Grafique el vector w  2i  5 j  8k
Solución
Se debe ubicar en el espacio el punto de coordenadas (2, 5, 8).
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Algebra Lineal
Ejemplo 4:
Grafique el vector:
u  12,8,5)
CÁLCULO DE LA NORMA DE UN VECTOR
Sea el vector en lR v  a, b  v  ai  bj
Su magnitud o norma se calcula como:
2
v  a2  b2
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Algebra Lineal
Sea el vector en lR v  a, b, c   v  ai  bj  ck
Su magnitud o norma se calcula como:
3
v  a2  b2  c2
Ejemplo 1: Calcule la norma del vector u  4i  2 j  3k
Solución
u 
42   22  32
 16  4  9  29
Ejemplo 2: Calcule la norma del vector v  4,3
Solución
v
42  32
 16  9  25  5
ANGULOS DIRECTORES
El ángulo director de cualquier vector en lR distinto de cero es el ángulo  que se mide desde el
lado positivo del eje x en sentido contrario al del reloj hasta la representación de posición del
2
vector. Si  se mide en radianes, 0    2 Si A  a, b  , entonces
a  0  

2
 
tan  
b
, si a  0
a
. Sí
3
2 .
NOTA:
b
a
  tan 1  
 En el primer cuadrante:
b
a
    tan 1  
 En el segundo cuadrante:
b
a
    tan 1  
 En el tercer cuadrante:
b
a
  2  tan 1  
 En el cuarto cuadrante:
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Algebra Lineal
 Si a  0 ,


3
, para b  0     , para, b  0
2
2
Ejemplos:
Trace cada uno de los siguientes vectores, encuentre su magnitud y el ángulo positivo  más
pequeño que está determinado por el eje positivo de x y el vector.
a   3,3
1.
. R:
a  3 2    5 / 4
SOLUCIÓN
Gráfica:
Magnitud o norma:
a 
 32   32
 9  9  18  9 * 2  3 2
Ángulo:
Podemos ver que el vector se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto:
  3
0
  225  5 / 4
  3
b
a
    tan 1    180  tan 1 
2.
b  3,-2
.
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Algebra Lineal
SOLUCIÓN
Gráfica:
Magnitud o norma:
b
32   22
 9  4  13
Ángulo:
Podemos ver que el vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto:
b
a
2
0
  326.309...  5.695...radianes
 3 
  2  tan 1    360  tan 1 
3
Los ángulos directores de un vector en lR diferente de cero son los tres ángulos que tienen la
medida no negativa en radianes  ,    , tomadas desde los ejes positivos x, y e z
respectivamente, hasta la representación de posición del vector.
Donde la medida en radianes de cada ángulo director esta en 0,   , tenemos que:
cos  
a
b
c
, cos    cos  
v
v
v
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Algebra Lineal
Estos números se llaman los cosenos directores del vector v
El vector cero no tiene ángulos directores y por lo tanto no tiene cosenos directores.
Ejemplo: Determine la magnitud y los cosenos directores del vector
A  3,2,6
Solución:
Magnitud:
A  9  4  36  7
Cosenos directores:
cos  
3
2
6
, cos    cos  
7
7
7
TEOREMA:
Si cos  , cos   cos  son los ángulos directores de un vector, entonces
cos  2  cos  2  cos  2  1
Ejemplo:
Encuentre los cosenos directores del vector
trigonométrica.
v  1,  2, 3 y demuestre la identidad
Solución:
Norma o magnitud:
v
12   22  32
 1  4  9  14
Cosenos directores:
cos  
1
2
3
, cos  
 cos  
14
14
14
Identidad trigonométrica:
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Algebra Lineal
cos  2  cos  2  cos  2  1
2
2
2
1
4 9 1  4  9 14
 1   2   3 



1
 
 
   
14 14 14
14
14
 14   14   14 
OPERACIONES CON VECTORES
10.4.1.1 Adición o suma de vectores
La suma de vectores se realiza igual que la suma de matrices, es decir se suman las
correspondientes entradas.
a, b  c, d  a  b, c  d
a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2  a1  a2 , b1  b2 , c1  c2
Ejemplo:
Sean: w   3,5  v  2i  3 j
Halle w + v
w  v   3  2i  5  3 j  i  8 j
Ejemplo:
Sean: u  5i  6 j  7k  v  4,8,3
Halle: u  v
u  v  5  4i   6  8 j  7  3k  9i  2 j  10k
10.4.1.2 Propiedades para la adición de vectores
a b  b a
a  (b  c)  (a  b) c
a0  a
a (-a)  0
2
3
VECTORES UNITARIOS i  j en lR Y VECTORES UNITARIOS i, j  k en lR
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Algebra Lineal
Se llaman vectores unitarios porque su magnitud es igual a uno y se utilizan para representar
2
3
cualquier vector en lR i  j  o cualquier vector en lR i, j  k  , tenemos que:
2
En lR :
i  1,0  j  0,1
v  a, b  a,0  0, b  a1,0  b0,1  ai  bj
3
En lR
i  1,0,0, j  0,1,0  k  0,0,1
v  a, b, c   a,0,0  0, b,0  0,0, c   a1,0,0  b0,1,0  c0,0,1  ai  bj  ck
10.4.1.3 Multiplicacion porescalar
La multiplicación por escalar se realiza igual que en la multiplicación de matrices.
k a, b  ka, kb
Ejemplo:
Sea u  4,7 
Halle:
2u
Solución:
2u  24,7  2 * 4,2 * 7  8,14  8i  14 j
Ejemplo2:
Sea v  9i  7 j  12k
Halle 6v
Solución:
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6v  69i  7 j  12k   6 * 9i  6 * 7 j  6 *12k  54i  42 j  72k
VECTOR 0
0  0,0
10.4.1.4 Propiedades de la multiplicación por escalar de vectores
ca  b   ca  cb
c  d a  ca  da
(cd) a  c(d a )  d(c a )
1a  a
0a  0
NOTA:
Si v  a, b  ai  bj   es un escalar, entonces:
Y la dirección de v es:
v   v
La dirección de v, si   0
La dirección de v   , si   0
Ejemplos:
Sea v  3i  5 j Halle:
1.
v
Solución:
v
32   52
2.
 9  25  34
v
Solución:
El vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto:
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Algebra Lineal
 5
0
  300.96...  5.25...rad.
 3 
b
a
3. w  2v
 v  2  tan 1    360  tan 1 
Solución:
w  2v  23i  5 j   6i  10 j
4.
w
Solución:
w
62   102
5.
 36  100  136  4 * 34  2 34  2 v
w
Solución:
El vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto:
  10 
0
  300.96...  5.25...rad.
6


b
a
 w  2  tan 1    360  tan 1 
6.
p  3v
Solución:
p  3v  33i  5 j   9i  15 j
7.
p
Solución:
p 
 92  152
8.
 81  225  306  9 * 34  3 34  3 v
p
Solución:
El vector se encuentra en el segundo cuadrante, por lo tanto:
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Algebra Lineal
b
a
 15 
0
  120,96...  2.11...rad
9
 p    tan 1    180  tan 1 
10.4.1.5 Vector unitario U
Es un vector cuya magnitud es 1
Si a  a, b  ai  bj , entonces el vector unitario U que tiene la misma dirección que a está dado
U
por:
a
b
i j
a
a
3
Para lR tenemos:
a  a, b, c  ai  bj  ck
U
,
a
b
c
i j k
a
a
a
Ejemplo:
Dados los puntos R2,1,3  S 3,4,6 , determine el vector unitario que tenga la misma dirección
que V RS  .
SOLUCIÓN
V RS   3  2i  4  (1)j  6  3k  i  5 j  3k
V RS   1  25  9  35
U
1
35
i
5
35
j
3
35
k
10.4.1.6 Producto escalar
El producto escalar entre dos vectores u y v se simboliza por u.v.
Si
u  a1 , b1  B  a2 , b2
2
son dos vectores en lR , entonces al producto escalar de u  v ,
representado por u  v esta dado por.
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Algebra Lineal
u  v  a1 , b1  a2 , b2  a1a2  b1b2
3
Si u y v son vectores en lR se tiene que:
u.v  a1 , b1 , c1  a2 , b2 , c2  a1a2  b1b2  c1c2
El producto escalar de dos vectores es un número real (o escalar) y no un vector. También recibe
el nombre de producto punto o producto interior.
Ejemplos: Determine el producto escalar de los siguientes vectores:
1.
v  4,3  w  6,2
Solución:
v.w  4,3
. 6,2  4 * 6  3 * 2  24  6  30
2.
v  5,3  w  3,7
Solución:
v.w  5,3
. 3,7  5 * 3   37  15  21  6
De la definición de producto escalar podemos notar que:
vv  v
2
Ejemplo:
Si
A  2,3  B   1 / 2,4
A  B  2(-1/2) (-3)(4)
determine A  B
 -1- 12  -13
NOTA:
i.i  1, j.j  1 i.j  0
TEOREMA:
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Algebra Lineal
2
3
Si A y B son vectores en lR  lR y c es un escalar, entonces
cA  B  cA  B
0.A 0
A A  A
2
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Sean: v  a1 , b1   w  a2 , b2  dos vectores diferentes de cero, entonces el ángulo  entre v y
w está definido como el ángulo no negativo más pequeño entre dichos vectores y que tienen el
origen como punto inicial.
El ángulo se calcula como:
wv
w*v
cos  
Ejemplos: Para cada par de vectores: Calcule el ángulo entre ellos.
w  2i  3 j  v  7i  j
1.
Solución:
v
 72  12
w
22  32
 4  9  13
wv
2 7   31  14  3
 11
  11 



   cos 1 
  2.0169...rad  115.55...0
w*v
13 * 50
13 * 50
650
 650 
cos  
2.
 49  1  50
w  2,3  v   4,6 34
Solución:
34
GORSSMAN. Op. Cit. P. 243.
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Algebra Lineal
v
 42  62
 16  36  52
w
22   32
 4  9  13
wv
2 4   36  8  18
 26
  26 



   cos 1 
   rad  180 0
w*v
13 * 52
13 * 52
676
 676 
cos  
u  3i  j  2k  v  4i  3 j  k 35
3.
Solución:
u 
32   12  22
 9  1  4  14
v
42  32   12
 16  9  1  26
cos  
u  v 34   13  2 1 12  3  2



u*v
14 * 26
14 * 26
7
 7 
   cos 1 
  1.195... rad  68,47...0
364
364


TEOREMA:
2
3
Si  es la medida en radianes del ángulo entre dos vectores en lR  lR A y B diferentes de
cero, entonces:
A  B  A B cos 
VECTORES PARALELOS
2
3
Dos vectores diferentes de cero u  v en lR  lR son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o
 , es decir, si   0    
SE DICE QUE DOS VECTORES A y B SON PARALELOS SI Y SOLO SI UNO ES MULTIPLO ESCLAR DEL
OTRO.
35
Ibíd.. p. 257
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Algebra Lineal
ES DECIR DOS VECTORES A Y B SON PARALELOS SI SE CUMPLE QUE:
Si
A.B   A B
es decir si cos  1
VECTORES ORTOGONALES
2
3
Dos vectores diferentes de cero u  v en lR  lR son ortogonales (o perpendiculares) si el

ángulo entre ellos es 2 , es decir, si    / 2
SE DICE QUE DOS VECTORES A y B SON ORTOGONALES (O PERPENDICULARES) SI Y SOLO SI:
A  B  0 , es decir, si cos   0
Ejemplo1:
Compruebe que los vectores u  3i  4 j  v  4i  3 j son ortogonales36
Solución:
u.v  3(4)  (4)3  0  cos  
u.v
 0    cos 1 0     / 2
uv
Ejemplo2:
Demuestre, mediante vectores que los puntos A4,9,1 , B 2,6,3  C 6,3,2 son los vértices
de un triángulo rectángulo
Construya el triángulo CAB, observe que el ángulo en A es el que parece ser recto. Encontremos
V  AB   V  AC  , si el producto escalar entre estos dos vectores es cero, es porque estos dos
vectores son ortogonales, es decir el ángulo entre ellos es recto.
V  AB    2  4i  6  9 j  3  1k  V  AC   6  4i  3  9 j   2  1k
V  AB   6i  3 j  2k  V  AC   2i  6 j  3k
V  AB   V  AC   6 * 2  (3)(6)  2 * 3  12  18  6  0
36
Ibíd. p. 224.
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Algebra Lineal
2
3
PROYECCIONES EN lR  lR
Sean u y v dos vectores diferentes de cero, entonces la proyección de u sobre v, denotada por
proyv u esta definida por:
u.v
proyv u  2 v
v
Ejemplos:
proyv u 37
a. Sean: u  2i  3 j  k  v  i  2 j  6k Encuentre
Solución:
proyv u 
u.v
v
2
v
2 *1  3 * 2  1 * (6)
i  2 j  6k   2 i  2 j  6k 
2
2
2
41
1  2  (6)


proyv u
b. Sean: u  2i  3 j  v  i  j Halle
Solución:
proyv u 
2 *1  (3) *1
1
1
(i  j )   i  j
2
2
2
2
1 1


NOTA:
v  proyv u Tienen:
La misma dirección cuando u  v  0
Direcciones opuestas cundo u  v  0
NOTA:
proyv u Es paralelo a v
u  proyv u
Es ortogonal a v
37
Ibíd. p. 258.
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Algebra Lineal
DETERMINACIÓN DE UN VECTOR ORTOGONAL A OTRO VECTOR
Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u , se puede obtener otro
vector w ortogonal a v de la siguiente manera.
wu
u  v  v
2
v
w  u  proyv u , es decir,
TAREA: Demuestre que v  w son ortogonales.
Ejemplos: Para el par de vectores v  u halle un vector w ortogonal al vector v
v  3,5  u  (7,2)
1.
Solución:
wu
u  v  v  7,2  3 * 7  5 * 2 * (3,5)  7,2  31 3,5  7,2   93 , 155    145 , 87 
v
2
32  5 2
34


 34 34 

 34

34 
Demuestre que v  w son ortogonales:
145
 145 87 
 87 
v  w  3,5  
,   3 *
 5*   0
34
 34 34 
 34 
Grafique los tres vectores en el mismo plano
2.
wu
v   2,3  u  (5,1)
u  v  v  5,1   2 * 5  3 1 * (2,3)  5,1   13  2,3  5,1   2,3  3,2
2
13
 22  32
v
v  w   2,3  3,2  6  6  0
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
3
El producto cruz sólo se define en lR
Sean: u  a1i  b1 j  c1k  v  a2 i  b2 j  c2 k Entonces el producto cruz o producto vectorial de
u y v, denotado como u x v es un nuevo vector y se calcula como:
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Algebra Lineal
i
j
k
u x v  a1
b1
c1  b1c 2  b2 c1 i  a1c 2  a 2 c1  j  a1b2  a 2 b1 k
a2
b2
c2
NOTA:
El vector u x v es perpendicular a u y a v.
Ejemplo:
Sean: u  2i  4 j  5k  v  3i  2 j  k 38
Halle: u x v
Solución:
i
j
u xv  2
4
3 2
k
 5  4 *1  (2) * (5) i  2 *1  (3)(5)  j  2 * (2)  (3) * 4k
1
u x v  6i  13 j  8k
Ejemplo:
Sean
A  2,1,3  B  3,1,4
AXB  1* 4  (3)(1), (3)(3)  (2)(4), (2)(1)  (1)(3)  1,  17,  5  i  17 j  5k
TEOREMA:
3
Si A, B y C son vectores en lR , entonces
i.
ii.
iii.
iv.
AXA  0
0 XA  0
AX 0  0
AXB  BXA
v. El producto vectorial no es asociativo, es decir AX BXC   AXBXC
vi. AX B  C   AXB  AXC
38
Ibíd. p. 262.
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Algebra Lineal
vii. cA XB  AX cB
viii. cA XB  cAXB
ix. A  BXC  AXB  C Esta propiedad se llama triple producto escalar de los vectores
A, B  C
x.
AX BXC   A  C B  A  BC
AXB  A B cos 
xi.
xii. Los vectores A y B son paralelos si y solo si AXB  0
xiii. El vector AXB es ortogonal al vector A y al vector B.
xiv. A. AXB   B. AXB   0 , es decir, AXB es ortogonal a A y a B.
10.4.2.
Rectas y Planos en R3
RECTAS EN EL ESPACIO
GRAFICA:
Para graficar rectas en el espacio se debe conocer las coordenadas de dos puntos sobre la recta y
luego se traza una línea recta que pase por ambos puntos:
Grafique cada una de las siguientes rectas.
1. Pasa por los puntos: P  7,3,5  Q  2,3,7
Solución:
La gráfica la podemos ver en la siguiente figura:
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Algebra Lineal
2. Pasa por los puntos:
P  0,0,3  Q  5,0,0
Solución:
La gráfica la podemos ver en la siguiente figura:
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Algebra Lineal
10.4.2.1 Ecuaciones de una recta
La siguiente teoría es una síntesis tomada del autor GROSSMAN39
Para determinar una recta en el espacio se debe conocer las coordenadas de dos puntos, o
También se debe conocer un punto y la dirección de la recta.
Dados dos puntos de coordenadas P  x1 , y1 , z1  y Q  x2 , y 2 , z 2  sobre una recta L en el
espacio véase la figura:
39
Ibíd. p. 273.
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Algebra Lineal
El vector
v  x2  x1 i   y2  y1  j  z 2  z1 
Es un vector que esta sobre la recta L, es decir, es un vector paralelo a L.
Sea R  x, y, z  otro punto sobre la recta L. Entonces el vector PR es paralelo al vector PQ ,
que a su vez es paralelo a al vector v .
Como PR es paralelo al vector v , podemos asegurar que:
PR  tv
Para cualquier número real t.
Tenemos que OR  OP  PR , es decir:
OR  OP  tv
Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta L
Con:
OR  xi  yj  zk
OP  x1i  y1 j  z1k
tv  t x2  x1 i  t  y2  y1  j  t z 2  z1 
Reemplazando estas expresiones en la ecuación vectorial de L tenemos:
xi  yj  zk  x1i  y1 j  z1k  x2  x1 i  t  y2  y1  j  t z 2  z1 
Igualando término a término tenemos:
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Algebra Lineal
x  x1  t x 2  x1 
y  y1  t  y 2  y1 
z  z1  t z 2  z1 
Que se llaman ecuaciones paramétricas de la recta L
Despejando t en cada ecuación tenemos que:
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
O
x  x1 y  y1 z  z1


a
b
c
Con:
a  x2  x1
b  y 2  y1
c  z 2  z1
Que se llaman ecuaciones simétricas de la recta L.
Ejemplo:
Determine las ecuaciones vectoriales, simétricas y paramétricas de la recta L que pasa por el punto
P  (2,  1, 6)  Q  3, 1,  2 . Grafique la recta.40
Solución:
Primero hallemos el vector v
v  3  2i  1  (1) j   2  6k  v  i  2 j  8k
40
Ibíd. p. 274.
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Algebra Lineal
Luego hallamos el vector OP  2  0i   1  0 j  6  0k  2i  j  6k
Sea R  x, y, z  un punto sobre la recta L.
Debemos hallar el vector
OR  xi  yj  zk
OR  OP  tv
Reemplazando en la ecuación anterior tenemos:
xi  yj  zk  2i  j  6 k  t i  2 j  8k 
Igualando término a término tenemos que:
x  2t
y  1 2t
z  6  8t
Despejando t de las ecuaciones anteriores tenemos:
x  2 y 1 z  6


1
2
8
La prueba se da reemplazando los puntos P y Q en la ecuación anterior y se debe obtener tres
igualdades.
Para encontrar otros puntos sobre la recta se elige un valor de t y se reemplaza en cada ecuación
simétrica.
Por ejemplo para t = 3 se obtiene el punto 5, 5,  18
10.4.2.2 Planos en el espacio
La siguiente teoría es una síntesis del autor GROSSMAN41
41
Ibíd. p. 276.
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Algebra Lineal
P  x0 , y0 , z 0  P un punto en el espacio y sea n  ai  bj  ck un vector dado diferente de
Sea
cero. El conjunto de todos los puntos Q  x, y, z  para los que PQ  n  0 constituye un plano
3
en lR
Notación de un plano: Para simbolizar un plano se utiliza: 
PQ  x  x0 i   y  y0  j  z  z 0 k  n  ai  bj  ck
PQ  n  0  x  x0 i   y  y0  j  z  z 0 k   ai  bj  ck   0
 ax  x0   b y  y0   cz  z 0   0
ax  by  cz  ax0  by0  cz 0
ax  by  cz  d Ecuación cartesiana de un plano
Con:
d  ax0  by0  cz 0
Ejemplos:
1. Encuentre la ecuación del plano  que pasa por el punto 2,5,1 cuyo vector normal es
n  i  2 j  3k 42
Solución:
42
Ibíd. p. 277.
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Algebra Lineal
Con:
a  1, b  2  c  3
Tenemos que:
x  2 y  3k  12   25  31
x  2 y  3z  5
Otra forma:
1x  2  2 y  5  3z  1  0
2. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos: P  1,2,1, Q   2,3,1
 R  1,0,4 43
Solución:
El vector normal se encuentra efectuando el producto cruz de dos de los vectores que unen a los
tres puntos.
Con el vector y uno de los puntos se halla la ecuación del plano.
PQ  3i  j  2k  QR  3i  3 j  5k
i
n  PQ X QR   3
3
j
1
3
k
 2  i  9 j  6k
5
Usando el punto R Tenemos:
  1x  1  9 y  0  6z  4  0
 x  9 y  6 z  23
10.4.2.3 Ecuaciones de los planos coordenados
1. PLANO xy
El plano xy pasa por el origen 0,0,0 y cualquier vector a lo largo del eje z es normal a él.
El vector más simple es k  0,0,1
Tenemos que:
43
Ibíd. p. 279.
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Algebra Lineal
0x  0  0 y  0  1z  0  0
Lo que implica que: z  0
Planos paralelos al plano xy tienen la ecuación: z  c
2. PLANO xz tiene la ecuación: y  0
Planos paralelos al plano xz tienen la ecuación: y  b
yz
3. PLANO
tiene la ecuación: x  0
Planos paralelos al plano yz tienen la ecuación x  a
10.4.2.4 Planos paralelos
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir si el producto cruz de sus
vectores normales es igual a cero.
Ejemplo:
Determine si los planos  1 : 2 x  3 y  z  3   2 :  4 x  6 y  2 z  8 son paralelos.44
i
j
k
n1 Xn 2  2
3
 1  0i  0 j  0k  0
4 6
2
 1 ll  2
10.4.2.5 Planos no paralelos
Si dos planos no son paralelos, entonces se intersecan en una línea recta.
Ejemplo:
Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:
2 x  y  z  3  x  2 y  3z  7 45
44
45
Ibíd. p. 280.
Ibíd. p. 280.
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Algebra Lineal
Se debe resolver un sistema de 2 X 3
 2  1  1 3   1 2 3 7  R2  R2  R1  2 1 2
3

 


 1 2 3 7  2 1 1 3
0  5  7

 


 5 y  7 z  11  y 
7

 11
11 7
 z
5 5
13 1
 11 7 
x  2  z   3z  7  x   z
5 5
5 5 
Sea: z  t
La solución es:
x
13 1
11 7
 t, y   t, z  t
5 5
5 5
10.4.3.
Ejercicios por temas
1. Encuentre la magnitud o norma y los ángulos directores de cada vector. Dibuje cada
vector.




2.
v   15,7,4
v  6i  2 j  5k
v  4i  8 j  13k
v  5,3,8
Rectas y planos en el espacio.
En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones simétricas de cada recta dada.


Contiene a: 5, 11, 4  5, 12,  7
Contiene a: 1, 2, 3  4,  2, 4
En los siguientes problemas encuentre la ecuación del plano
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Algebra Lineal


P  6,  4, 5; n  3i  3 j  5k
Contiene a: 4,  2,  7, 6, 1, 2  3,  6, 8
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Algebra Lineal
10.5.PRUEBA FINAL
Encuentre el producto cruz u x v


u  5i  j  3k  v  3i  2 j  7k
u  i  5 j  5k  v  6i  2 j  k
En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones simétricas de cada recta dada.


Contiene a: 6, 21,  7  1, 2,  1
Contiene a: 4, 7, 1   3, 4, 5
10.5.1.
1.
Actividad
Encuentre la magnitud o norma y la dirección de cada uno de los siguientes vectores,
además dibuje cada vector:
v  4,9
v   14,4
v   5,12

w   5, 3
w  1,14
w  2i  3 j

2. Encuentre la magnitud o norma y los ángulos directores de cada vector. Dibuje cada
vector:
v  3,3,2
v  2i  j  k
v  2i  3 j  k
v  2i  5 j  7k
v  3i  3 j  5k
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Algebra Lineal
v  i  2k
3. Dados los siguientes vectores encuentre vectores unitarios para cada uno de ellos:
v  12i  3 j
v  2i  3 j  2k
v  3 j  5k
v i jk
4. Calcule el producto escalar entre el par de vectores dados y el ángulo entre ellos.
u i  j v i  j
u  3i  v  12 j
u  i  5 j  v  3i  2 j
u  3i  12 j  2k  v  2i  3 j  7k
u  4k  v  2i  5 j  4k
u  i  j  k  v  2 j  5k
5. Determine si los dos vectores dados son paralelos, ortogonales o ninguno de los dos:
u  2i  5 j  v  6i  10 j
u  6i  4 j  v  2i  3 j
u  12i  18 j  v  6i  4 j
u  2i  3 j  v  3i  2 j
u  4i  3 j  5k  v  8i  6 j  10k
6. Sean: u  i  3 j  2k , v  3i  5 j  6k , w  3i  7 j  2k  t  i  5 j  5k
Halle:
uv
2u  3v
t  3w  v
2u  7w  5v
2v  7t  w
u.v
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Algebra Lineal
w
u.w  w.t
proyu v
proyt w
7. Calcule
proyv u
u   15,27,63  v   84,77,51
u  4,3  v   6,4
v  5,2  u   3,5
u  3i  5 j  2k  v  7i  12k
u  5i  2 j  8k  v  i  3 j  3k
8. Encuentre el producto cruz u x v
u  2i  4 j  3k  v  6i  3 j  5k
u  3i  9 j  15k  v  3i  j  k
u  i  7 j  3k  v  i  7 j  3k
u  3i  2 j  v  3k
u  15i  10 j  5k  v  6i  4 j  2k
9. En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones
paramétricas y las ecuaciones simétricas de cada recta dada.
Contiene a: 5, 1, 3  1, 2,  1
Contiene a: 7,  1, 1   1, 1,  7
Contiene a:  8, 1, 3  2, 0, 1
Contiene a: 12, 3,  4  2, 5,  4
Contiene a: 0, 2, 3  3, 2, 11
Contiene a: 2, 1, 3   1,  2, 8
10. En los siguientes problemas encuentre la ecuación del plano
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Algebra Lineal
P  4, 2, 3; n  i  3 j
P   3,  4, 5; n  3i  4 j  5k.
P  0,  2, 5; n  2i  7 j  4k.
Contiene a: 1, 2,  4, 3, 3, 7   3,  1, 3
Contiene a:  2, 1, 0, 5,  1, 3  4, 1, 5
Contiene a: 1, 0, 0; 0, 1, 0  0, 0, 1
Contiene a: 2, 1,  2, 3,  1,  1  3, 1, 4
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Algebra Lineal
11.RESUMEN
11.1.RELACIÓN CON OTROS TEMAS
Este curso permite adquirir el bagaje y la destreza suficientes sobre los elementos del álgebra
lineal para poder emplearlos en otras materias de la titulación: Cálculo y Física, así como en
cualquier aplicación que sea necesaria en el ejercicio de la ingeniería y demás áreas del
conocimiento.
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Algebra Lineal
12.BIBLIOGRAFÍA
BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo.
BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con tecnología
aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977.
DE BURGOS. Juan. Algebra Lineal y geometría cartesiana. 3a edición. Ed. McGraw
Hill/Interamericana de España. 2006.
DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002.
DIAZ SANTA, Georlin. Álgebra Lineal. 3ª edición. Medellín: editorial UPB. 2001.
GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966.
HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias
sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997.
HILL, Richard. Algebra Lineal Elemental con Aplicaciones. 3ª edición. Prentice Hall. 1997.
HOWARD. Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa Wiley. 2003.
MERINO L, SANTOS E. Algebra Lineal con métodos elementales. Ed. Thompson-Paraninfo. 2006.
NICHOLSONW. Keith, Algebra lineal con aplicaciones, 4ta edición, McGraw-Hill Interamericana,
2003.
S. T. Tan. Matemáticas para Administración y Economía. 1 ed. México: International Thompson
editores, 1998.
SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra Lineal y
Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2 ed. Bogotá:
Ecoe ediciones, 2005.
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Algebra Lineal
STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International
Thomson Editores, 2001.
SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo
Editorial Iberoamérica, 1986.
ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill. 1995.
12.1.Documentos Digitales
http://www1.universia.net/CatalogaXXI/pub/ir.asp?IdURL=127020&IDC=10010&IDP=ES&IDI=1
Fecha de consulta enero de 2010.
http://www.ma1.upc.edu/~rafael/al/matrices.pdf
Fecha de consulta de 2010.
http://www.ma1.upc.edu/~rafael/al/determinantes.pdf
Fecha de consulta enero de 2010.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
Fecha de consulta enero de 2010.
http://cnx.org/content/m12862/latest/
Fecha de consulta enero de 2010
http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/algebralineal/index.htm
Fecha de consulta enero de 2010
http://www.vitutor.com/algebralineal.html
Fecha de consulta enero de 2010
http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal
Fecha de consulta enero de 2010
http://www.youtube.com/watch?v=FEorJI6qJNk
Fecha de consulta enero de 2010
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Algebra Lineal
http://video.google.com.co/videosearch?sourceid=navclient&hl=es&rlz=1T4WZPC_esCO342CO34
5&q=algebra+lineal&um=1&ie=UTF8&ei=zX1XS83iIsaVtge_vbStBA&sa=X&oi=video_result_group&ct=title&resnum=11&ved=0CEAQq
wQwCg#
Fecha de consulta enero de 2010
http://www.abaco.com.ve/
Fecha de consulta enero de 2010
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/selectividad/rectas%20en%20el%20plano%20y%2
0en%20espacio.pdf
Consultado en mazo de 2010.
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NkGUnYN9gbQJ:www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geovawalter/Vectores.pdf+rectas+y+planos+en+r3&hl=es&gl=co&pid=bl&srcid=ADGEESiqLfGz8vx1b0D1
PMWywlUdXw-VWfTKGsLRgwLX6Xpuj8rRrPytEBTlLK0pvH5rhBPWVGFJZt1wBlx75Sc2iAf6qWoOcCf9B_sLvfEbkKAmsRgdx7hUd4fRKJO
NzazkLVAUkUV&sig=AHIEtbTMWQ-hEjaq8nhP6UBbsgt-fb8T_g
Consultado en marzo de 2010.
http://www.monografias.com/trabajos12/exal/exal.shtml
Fecha de consulta enero de 2010
12.2.Citas
1 BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo. p. 320.
2 ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill.
1995. p. 413.
3 STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International
Thomson Editores, 2001. p. 535.
4 Ibíd., p. 543.
5 BALDOR. Op. Cit., p. 358.
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Algebra Lineal
6 Ibíd., p. 357.
7 Ibíd., p. 357
8 Ibíd., p. 360
9 Ibíd., p 360.
10 Ibíd., p 360.
11 Ibíd., p. 364.
12 Ibíd., p 364.
13 Ibíd., p. 364.
14 Ibíd., p 364
15 Ibíd., p. 364
16 Ibíd., p. 364
17 Ibíd., p. 364
18 BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con tecnología
aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977. p. 177.
19 SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo
Editorial Iberoamérica, 1986. p. 422.
20 GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966. P 7
21 Ibíd., p. 106.
22 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía,
Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 273
23 Ibíd., p 108.
24 HAEUSSLER. Op. Cit. p. 289.
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Algebra Lineal
25 DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002. p.48.
26 ZILL. Op. Cit. P. 422.
27 BALDOR. Op. cit. p. 367.
28 ZILL. Op. Cit. P. 418.
29 BALDOR. Op. Cit. P. 367.
30 ZILL. Op. Cit. P. 421.
31 SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra Lineal y
Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2 ed. Bogotá:
Ecoe ediciones, 2005. P. 122.
32 BALDOR. Op. Cit. P. 367.
33 Ibíd. P. 367.
34 GORSSMAN. Op. Cit. P. 243.
35 Ibíd.. p. 257
36 Ibíd. p. 224.
37 Ibíd. p. 258.
38 Ibíd. p. 262.
39 Ibíd. p. 273.
40 Ibíd. p. 274.
41 Ibíd. p. 276.
42 Ibíd. p. 277.
43 Ibíd. p. 279.
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Algebra Lineal
44 Ibíd. p. 280.
45 Ibíd. p. 280.
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