a)F(x, y) - Centro de Matematica

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo II, Curso 2012
Práctico 6
1. Hallar expresiones para las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) F (x, y) = f (g(x)k(y), g(x) + h(y))
b) F (x, y, z) = f (g(x + y), h(y + z))
c) F (x, y, z) = (xy , y z , z x )
d) F (x, y) = f (x, g(x), h(x, y))
2. Una función f : Rn → R es homogénea de grado
f (tx) = tm f (x), ∀x ∈ Rn ,
Pnm si ∂f
t ∈ R. Si además f es diferenciable, probar que i=1 ai ∂xi (a) = mf (a), ∀a ∈ Rn
(sugerencia: si g(t) = f (ta), calcular g 0 (1)).
n
1
n
3. Si f : R
Pn→ R es de clase C y f (0) = 0, probar que existe gi R: 1R 0 → R tal que
f (x) = i=1 xi gi (x) (indicación: si hx (t) = f (tx), entonces f (x) = 0 hx (t)dt).
4. En este ejercicio se supone que todas las derivadas que se consideren existen y son
continuas. Las ecuaciones u = f (x, y), x = X(t), y = Y (t) definen u como función de
t, pongamos u = F (t).
∂f 0
0
a) Aplicar la regla de la cadena para demostrar que F 0 (t) = ∂f
∂x X (t)+ ∂y Y (t), donde
las derivadas parciales de f están calculadas en el punto (X(t), Y (t)).
b) En forma parecida expresar la derivada segunda F 00 (t) en función de las derivadas
de f , X e Y (recuérdese que las derivadas parciales calculadas en a) son funciones
compuestas).
c) Calcular F 0 (t) y F 00 (t) en los siguientes casos:
1) f (x, y) = x2 + y 2 , X(t) = t, Y (t) = t2 .
2) f (x, y) = exy cos(xy 2 ), X(t) = cos t, Y (t) = sen t.
5. Calcular la derivada direccional de f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 en (3, 4, 5) a lo largo de la
curva de intersección de las dos superficies 2x2 + 2y 2 − z 2 = 25 y x2 + y 2 = z 2 .
p
6. a) Hallar un vector V (x, y, z) normal a la superficie z = x2 + y 2 + (x2 + y 2 )3/2 en
un punto cualquiera (x, y, z) 6= (0, 0, 0) de la superficie.
b) Hallar el coseno del ángulo θ formado por el vector V (x, y, z) y el eje z, y determinar el lı́mite de cos θ cuando (x, y, z) → (0, 0, 0).
7. Si (x0 , y0 , z0 ) es un punto de la superficie z = xy, las dos rectas z = y0 x, y = y0 y
z = x0 y, x = x0 , se cortan en (x0 , y0 , z0 ). Comprobar que el plano tangente a esta
superficie en el punto (x0 , y0 , z0 ) contiene a esas dos rectas.
8. Hallar la ecuación de la recta que es tangente en el punto (1,1,1) a las dos superficies
x2 + y 2 + 2z 2 = 4 y z = ex−y .
9. Si r1 y r2 son las distancias desde un punto (x, y) de una elipse a sus focos, demostrar
que la ecuación r1 + r2 =constante (que satisfacen esas distancias) implica la relación
T · ∇(r1 + r2 ) = 0, siendo T el vector unitario tangente a la curva. Interpretar geométricamente este resultado, y con ello demostrar que la tangente forma ángulos iguales con
las rectas que unen (x, y) a los focos.
1
10. Las ecuaciones u = f (x, y), x = X(s, t), y = Y (s, t) definen u como función de s y t,
u = F (s, t).
a) Aplicar una forma adecuada de la regla de la cadena para expresar las derivadas
parciales de ∂F/∂s y ∂F/∂t en función de ∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂X/∂s, ∂F/∂t.
b) Si
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x ,
demostrar que
∂2F
∂X ∂Y ∂ 2 f
∂f ∂ 2 X
∂ 2 f ∂X 2
∂f ∂ 2 Y
∂ 2 f ∂Y 2
+
2
.
=
+
+
+
∂s2
∂x ∂s2
∂x2 ∂s
∂s ∂s ∂x∂y
∂y ∂s2
∂y 2 ∂s
c) Encontrar fórmulas parecidas para las derivadas parciales
∂2F
∂s∂t
y
d ) Calcular las derivadas ∂F/∂s, ∂F/∂t, ∂ 2 F/∂s2 , ∂ 2 F/(∂s∂t) y
siguientes casos particulares:
∂2F
.
∂t2
∂ 2 F/∂t2
en los
2) X(s, t) = (s − t)/2, Y (s, t) = (s + t)/2.
1) X(s, t) = s + t, Y (s, t) = st.
11. Sean f : R2 → R2 y g : R3 → R2 dos campos vectoriales definidos del siguiente modo:
f (x, y) = (ex+2y , sen(y + 2x)), y g(u, v, w) = (u + 2v 2 + 3w3 , 2v − u2 ).
a) Calcular cada una de las matrices jacobianas f 0 (x, y) y g 0 (u, v, w).
b) Calcular la función compuesta h := f ◦ g, y la matriz jacobiana h0 (1, −1, 1).
12. Sean f : R3 → R2 y g : R3 → R3 dos campos vectoriales definidos como sigue:
f (x, y, z) = (x2 + y + z, 2x + y + z 2 ), y g(u, v, w) = (uv 2 w2 , w2 sen v, u2 ev ).
a) Calcular cada una de las matrices jacobianas f 0 (x, y, z) y g 0 (u, v, w).
b) Calcular la función compuesta h := f ◦ g, y la matriz jacobiana h0 (u, 0, w).
13. Determinar la solución de la ecuación en derivadas parciales 4fx + 3fy = 0 que satisfaga
la condición f (x, 0) = sen x para todo x.
14.
a) Demostrar que una función de clase C 2 , u : R2 → R es solución a la ecuación
uxy = 0 sii existen funciones f : R → R y g : R → R de clase C 2 tales que
u(x, y) = f (x) + g(y).
b) Demostrar que una función de clase C 2 es, u : R2 → R es solución a la ecuación
uuxy = ux uy sii existen funciones f : R → R y g : R → R de clase C 2 tales que
u(x, y) = f (x)g(y).
c) Demostrar que una función de clase C 2 es solución de la ecuación uxx = uyy
sii existen funciones f : R → R y g : R → R de clase C 2 tales que u(x, y) =
f (x + y) + g(x − y).
Entregar los Ejercicios 4.c)1)) y 8. Plazo: Lunes 15 de octubre, 11:30 horas
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Ejercicios complementarios y optativos
15. Calcular las matrices jacobianas de los siguientes cambios de coordenadas:
a) Coordenadas polares. x, y : [0, ∞) × [0, 2π) → R2 tales que x(ρ, θ) = ρ cos θ,
y(ρ, θ) = ρ sen θ.
b) Coordenadas cilı́ndricas. x, y, z : [0, ∞) × [0, 2π, t) × R → R3 tales que x(ρ, θ, t) =
ρ cos θ, y(ρ, θ, t) = ρ sen θ, z(ρ, θ, t) = t.
c) Coordenadas esféricas. x, y, z : [0, ∞)×[0, 2π, t)×[0, π) → R3 tales que x(ρ, θ, ϕ) =
ρ cos θ sen ϕ, y(ρ, θ, ϕ) = ρ sen θ sen ϕ. z(ρ, θ, ϕ) = ρ cos ϕ.
16. Hallar una constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas
(x − c)6 + y 2 + z 2 = 3 y x2 + (y − 1)2 + z 2 = 1 los planos tangentes correspondientes
sean perpendiculares el uno al otro.
17. Llamamos polinomio en n variables a una función P : Rn → R dada por
p
X
P (x1 , . . . , xn ) =
ai1 ,...,in xi11 . . . xinn
i1 ,...,in =0
donde ai1 ,...,in son constantes para cada n-upla i1 , . . . , in desde (0, . . . , 0) hasta (p, . . . , p).
a) Desarrollar la sumatoria que define P en el caso p = n = 2.
b) Demostrar que P es una función diferenciable.
c) Un polinomio P es homogéneo si P (tx) = tk P (x) para todo t ∈ R, x ∈ Rn , y cierto
k ∈ N. Mostrar que en tal caso
kP (x) =
n
X
i=1
xi
∂P
(x)
∂xi
(Sugerencia: para un x fijo, tomar la función f : R → R dada por f (t) = P (tx))
d ) Dada una transformación lineal T : Rn → Rn , definimos Q : Rn → R por Q(x) =
hx, T xi. Calcular sus derivadas direccionales y demostrar que Q es diferenciable.
Estudiar el caso en que T tiene como matriz asociada en la base canónica una
matriz simétrica, es decir, cuando Q es una forma cuadrática.
18. Demostrar que todos los planos tangentes a la gráfica de la función f (x, y) = yh(y/x),
donde h : R → R es una función diferenciable, tienen un punto en común.
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