Series de números reales

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Tema
Series de números reales
En este tema abordamos el estudio de otra noción fundamental en Análisis Matemático, la
convergencia de series de números reales. De hecho, el concepto no es nuevo, pues veremos
que una serie no es más que una sucesión definida de forma muy concreta a partir de otra,
pero ocurre también que cualquier sucesión puede verse como una serie. Por tanto, al estudiar
las series no hacemos otra cosa que estudiar la convergencia de sucesiones, sólo que desde un
punto de vista diferente. El interés de este nuevo punto de vista consiste en que intentamos
dar sentido a la idea intuitiva de “sumar” todos los términos de una sucesión. Parte de nuestro
trabajo consistirá precisamente en comprender hasta qué punto la teoría que vamos a desarrollar
responde a esa idea intuitiva.
9.1.
Series convergentes
Sea {xn } una sucesión de números reales e intentemos, como se ha dicho, dar sentido a la
idea de “sumar todos los términos” de dicha sucesión, una “suma infinita”. Para ello podemos
hacer sumas finitas, incrementando progresivamente el número de sumandos, lo que nos lleva a
considerar otra sucesión: x1 , (x1 + x2 ) , (x1 + x2 + x3 ) , . . . , (x1 + x2 + . . . + xn ), . . . Si esta nueva
sucesión converge, parece plausible entender que su límite sea la “suma infinita” que íbamos
buscando. Independientemente de que ésta sea o no una buena idea, que de eso hablaremos más
adelante, de entrada merece la pena explorarla.
Así pues, a cada sucesión de números reales {xn }, asociamos la sucesión {Sn } definida por
n
Sn =
∑ xk , para todo n ∈ N. Se dice que {Sn} es la serie de término general {xn}, que se
k=1
(
denota por
n
)
∑ xn. Simbólicamente: ∑ xn = {Sn} = ∑ xk
n>1
n>1
k=1
Queda claro que una serie de números reales no es más que la sucesión de números reales
que obtenemos de una forma concreta a partir de otra, el término general de la serie. Cualquier
propiedad de las sucesiones se aplica automáticamente a las series, con lo que tiene sentido
decir, por ejemplo, que una serie converge, diverge, es monótona, está acotada, etc.
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Para destacar la propiedad que más nos interesa, la serie
∑ xn será convergente cuando
n>1
converja como sucesión que es. En tal caso, a su límite le llamamos suma de la serie y se denota
∞
por
∑ xn, para sugerir la idea intuitiva de que estamos “sumando todos los términos” de la
sucesión {xn }. Así pues, cuando la serie ∑ xn es convergente, tenemos, por definición:
n=1
∞
n>1
n
lı́m Sn = lı́m ∑ xk
∑ xn = n→∞
n→∞
n=1
k=1
Nótese que al estudiar una serie trabajamos con dos sucesiones, el término general {xn } y
la propia serie {Sn }. Conviene usar una terminología que indique claramente a cual de ellas
nos referimos. Es por ello que al límite de la sucesión {Sn }, cuando existe, le hemos llamado
suma de la serie, para no confundirlo con el posible límite de la sucesión {xn }, que pronto
discutiremos. Por la misma razón, la palabra “término” se reserva para la sucesión {xn }, e
incluso se habla de los términos de la serie ∑ xn para referirse a los términos de la sucesión
n>1
n
{xn }. Del otro lado, para cada n ∈ N, se dice que que Sn =
∑ xk es la n-ésima suma parcial de
k=1
la serie
∑ xn, e incluso que {Sn} es la sucesión de sumas parciales de la serie. Por ejemplo,
n>1
es frecuente decir que
∑ xn es una serie de términos no negativos, para indicar que xn > 0
n>1
para todo n ∈ N, en cuyo caso lo que ocurre es que la serie es creciente, es decir, la sucesión
{Sn } es creciente. También se dice a veces que la serie ∑ xn tiene sumas parciales acotadas,
n>1
para indicar que la serie está acotada, es decir, que la sucesión {Sn } está acotada. Debe quedar
claro que las expresiones comentadas son sólo formas de hablar: matemáticamente, una serie y
su sucesión de sumas parciales son exactamente la misma cosa.
Conviene observar que una serie no es un tipo particular de sucesión, más concretamente,
toda sucesión de números reales puede verse como una serie. En realidad, esta es una idea que
ya conocemos: dada una sucesión {yn }, basta tomar xn = yn − yn−1 , con el convenio y0 = 0, para
n
tener evidentemente yn =
∑ xk
para todo n ∈ N, es decir, {yn } =
k=1
∑ xn = ∑ (yn − yn−1).
n>1
n>1
En resumen, toda serie es, por definición, una sucesión, y toda sucesión puede verse como
una serie. Entre la convergencia de sucesiones y la de series, la única diferencia es un cambio
de lenguaje. El lenguaje de las series merece la pena principalmente por dos razones. Por una
parte, las sucesiones más interesantes suelen aparecer en forma de serie y es frecuente que el
término general de una serie sea una sucesión bastante sencilla, pero la serie sea una sucesión
más complicada. Por otra, el lenguaje de las series permite plantear y contestar preguntas que
en lenguaje de sucesiones no surgirían con tanta naturalidad, o serían más difíciles.
De lo dicho se deduce que lo interesante en el estudio de las series es la información sobre
una serie ∑ xn que podemos deducir directamente de la sucesión {xn }, aunque no dispongamos
n>1
de una expresión cómoda para trabajar con las sumas parciales.
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Veamos como ejemplo un resultado básico de este tipo: si la sucesión {xn } no converge a
cero, la serie ∑ xn no es convergente, equivalentemente:
n>1
El término general de una serie convergente es una sucesión convergente a cero.
Suponiendo que la serie
∑ xn converge, comprobamos que {xn} → 0. En efecto, poniendo
n>1
n
Sn =
∞
∑ xk para todo n ∈ N y S =
k=1
luego {xn+1 } = {Sn+1 − Sn } → 0,
∑ xn tenemos que {Sn} → S, pero también {Sn+1} → S,
n=1
es decir, {xn } → 0.
Dicho en lenguaje de sucesiones, lo que acabamos de ver es que, si {yn } es una sucesión
convergente, entonces {yn − yn−1 } → 0 (entendiendo que y0 = 0), cosa muy obvia. Enseguida
observaremos, con un ejemplo importante, que la convergencia a cero del término general de
una serie no es suficiente para que la serie converja.
9.2.
Primeros ejemplos de series
La serie
1
∑n
recibe el nombre de serie armónica y se denota también por {Hn }. Así pues,
n>1
n
Hn =
1
1
1
1
∑ k = 1+ 2 + 3 +...+ n
∀n ∈ N
k=1
Obsérvese que, en cierto modo, tenemos una serie complicada, calcular explícitamente Hn para
valores grandes de n es laborioso. Sin embargo, el término general de la serie armónica es una
sucesión bien sencilla: {1/n}, que sabemos converge a cero. Pues bien,
La serie armónica diverge positivamente.
La demostración se basa en la siguiente desigualdad, que comprobamos por inducción:
2n
H2n =
1
n
∑ k > 1+ 2
∀n ∈ N
(1)
k=1
En efecto, para n = 1 la desigualdad buscada es evidente y, supuesto que se verifica para un
n ∈ N, tenemos
2n+1
H2n+1 = H2n +
1
1
n+1
n
> 1 + + 2n n+1 = 1 +
2
2
2
+1 k
∑n
k=2
1
1
> n+1 . De (1) se deduce claramente que
k 2
la sucesión {H2n } no está mayorada, luego {Hn } tampoco. Así pues, {Hn } es una sucesión
creciente y no mayorada, luego diverge positivamente.
donde, para 2n + 1 6 k 6 2n+1 , hemos usado que
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Enseguida vamos a presentar una amplia colección de series convergentes, pero conviene
aclarar previamente una notación que se usa a menudo para trabajar con ciertas series.
Dada una sucesión {xn } tenemos la serie de término general {xn }:
)
(
n
∑ xn = {Sn} =
∑ xn
n>1
k=1
Pero fijado un x0 ∈ R, nos puede interesar que las sumas parciales arranquen con x0 como primer
sumando, en lugar de x1 . Para ello, denotamos ∑ xn a la serie ∑ xn−1 , más explícitamente:
n>0
n>1
(
∑ xn = ∑ xn−1
n>0
= Sen =
n>1
)
n
∑ xk−1
(
n−1
=
∑ xk
k=1
k=0
∞
Caso de que esta serie sea convergente, su suma se denotará por
tenemos claramente Sen+1 =
∞
∑ xn = ∑ xn−1. Ahora bien,
n=0
n
)
n=1
∑ xk = x0 + Sn, para todo n ∈ N , de donde deducimos que
k=0
∞
∑ xn
n>0
converge ⇐⇒
∑ xn
converge,
en cuyo caso:
n>1
Pues bien, dado x ∈ R , la serie
∞
∑ xn = x0 + ∑ xn
n=0
n=1
∑ x n = ∑ x n−1 recibe el nombre de serie geométrica de
n>0
n>1
razón x. Debe entenderse aquí, como ya hemos hecho anteriormente, que x 0 = 1. El término
general de esta serie es la sucesión {x n−1 } que sabemos converge a cero si, y sólo si, |x| < 1.
Deducimos que si la serie geométrica de razón x es convergente, se ha de tener |x| < 1. Veamos
ahora el recíproco:
Para x ∈ R con |x| < 1, la serie geométrica de razón x es convergente, con
∞
1
∑ xn = 1 − x
(2)
n=0
La prueba se basa en una observación sencilla. Denotando por Gn a la n-ésima suma parcial de
la serie geométrica, para cualquier n ∈ N se tiene claramente:
n−1
n−1
(1 − x) Gn = (1 − x) ∑ x k =
k=0
Así pues,
Gn =
k=0
1 − xn
1−x
Puesto que {x n } → 0, deducimos que {Gn } →
∑ (x k − x k+1) = 1 − x n
∀n ∈ N
1
como se quería.
1−x
(3)
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Dada una sucesión {xn }, que como siempre da lugar a la serie {Sn } =
∑ xn, en lugar de
n>1
añadir un primer sumando x0 como se ha hecho anteriormente, nos puede interesar, para p ∈ N
fijo, omitir los sumandos x1 , x2 , . . . , x p . Para ello, denotamos por ∑ xn a la serie ∑ x p+n , más
n>p+1
n>1
explícitamente:
(
∑ xn = ∑ x p+n
n>p+1
= Sbn =
)
n
∑ x p+k
n>1
(
=
k=1
p+n
)
∑ xk
k=p+1
∞
Caso de que esta serie sea convergente, su suma se denotará por
∞
∑ xn = ∑ x p+n. Ahora
n=p+1
n=1
bien, tenemos claramente
p+n
S p+n =
p
p+n
∑ xk =
∑ xk +
k=1
k=1
de donde deducimos que la serie
p
∑ xk =
∑ xk + Sbn
k=p+1
∑ xn
∀n ∈ N
k=1
es convergente si, y sólo si, la serie
n>p+1
∑ xn
converge,
n>1
en cuyo caso, la relación entre las sumas de ambas series es
p
∞
∑ xn =
n=1
∞
∑ xn +
n=1
∑
xn
(4)
n=p+1
Conviene comentar que, aunque la igualdad (4) requiere obviamente que xn esté definido para
todo n ∈ N, la serie ∑ xn no involucra los valores de xn para n 6 p, así que podemos estudiar
n>p+1
la convergencia de la serie y, cuando sea posible, considerar su suma, sin concretar esos valores.
A veces, damos una definición genérica de xn que no tiene sentido para n 6 p, sin que ello cause
ningún problema.
Por ejemplo, podemos considerar la serie
1
∑ xn = ∑ (n − 2)(n − 1)
n>3
n>3
a pesar de que xn no tiene sentido para n = 1, 2. Como en este caso p = 2, nos estamos refiriendo
1
a la serie ∑ xn+2 = ∑
, que no ofrece ninguna dificultad. Ya que ha aparecido, vamos
n>1
n>1 n(n + 1)
a ver que esta serie es convergente y calculamos su suma. Para ello, observamos que
n n
n
1
1
1
1 n+1 1
1
=
−
=
∑ k(k + 1) ∑ k k + 1
∑ k − ∑ k = 1− n+1 ∀n ∈ N
k=1
k=1
k=1
k=2
luego la serie considerada es convergente y podemos escribir
∞
1=
1
∞
1
∑ n(n + 1) = ∑ (n − 2)(n − 1)
n=1
n=3
9. Series de números reales
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Pero, volviendo al planteamiento inicial, para una sucesión bien definida {xn }, supongamos
que la serie ∑ xn es convergente. Hemos visto que, para cada p ∈ N, la serie ∑ xn también
n>1
n>p+1
es convergente y podemos considerar su suma
∞
Rp =
∑ xn
∀p∈N
(5)
n=p+1
Se dice que R p es el resto p-ésimo de la serie
∑ xn, en realidad tenemos una sucesión {R p}, que
n>1
será la sucesión de restos de dicha serie. De la igualdad (4), válida para todo p ∈ N, deducimos
claramente que lı́m R p = 0 y podemos enunciar:
p→∞
Los restos de una serie convergente forman una sucesión convergente a cero.
Como ejemplo, consideremos los restos de la serie geométrica
∑ x n−1
con |x| < 1. En este
n>1
caso, usando (2) y (3) tenemos
∞
Rp =
∑
x
n−1
n=p+1
p
1 − xp
xp
1
1
− ∑ x k−1 =
−
=
=
1 − x k=1
1−x 1−x
1−x
y vemos que efectivamente {R p } → 0.
En general, para cada p ∈ N, podemos ver R p como el error que se comete al sustituir la
suma de una serie convergente por la p-ésima suma parcial. Que la sucesión {R p } tienda a
cero significa que podemos conseguir que ese error sea tan pequeño como queramos, sin más
que tomar p suficientemente grande. En la práctica esto no es del todo satisfactorio, si nuestro
margen de error es ε > 0 nos gustaría saber exactamente cómo de grande debemos tomar p para
poder asegurar que |R p | < ε. En el ejemplo de la serie geométrica esto es fácil, porque tenemos
una expresión cómoda para R p , pero en general las cosas no son tan sencillas, como veremos
en algún ejemplo.
La gama de series convergentes que hasta ahora conocemos puede ampliarse un poco con
una clara observación:
Sean
∑ xn , ∑ yn
n>1
series convergentes y a, b ∈ R. Entonces la serie
n>1
∑ (axn + byn) es
n>1
convergente y
∞
∞
∞
∑ (axn + byn) = a ∑ xn + b ∑ yn
n=1
n=1
n=1
La comprobación de este hecho es inmediata. Para cada n ∈ N ponemos
n
Xn =
∑ xk ,
k=1
n
Yn =
∑ yk ,
k=1
n
Zn =
∑ (axk + byk ) = aXn + bYn
k=1
Puesto que las sucesiones {Xn } e {Yn } son convergentes, deducimos que {Zn } converge y
∞
∞
∞
∑ (axn + byn) = lı́m {Zn} = a lı́m {Xn} + b lı́m {Yn} = a ∑ xn + b ∑ yn
n=1
n=1
n=1
9. Series de números reales
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Tomando yn = 0 para todo n ∈ N , obtenemos que si
∑ xn es una serie convergente y a ∈ R,
n>1
∞
la serie
∑ axn es convergente con
n>1
∞
∑ axn = a ∑ xn, que es una propiedad distributiva del
n=1
n=1
producto con respecto a la suma de una serie.
2n−1 + 3n+1
. Usando la regla recién demostrada, esta
∑
5n
n>1
serie es convergente y su suma viene dada por
Consideremos por ejemplo la serie
2n−1 + 3n+1 1 ∞ 2 n−1 9 ∞ 3 n−1 29
= ∑
+ ∑
=
∑
5n
5 n=1 5
5 n=1 5
6
n=1
∞
9.3.
Ejercicios de revisión
1. Sean {xn } e {yn } sucesiones de números reales verificando que existe m ∈ N tal que,
xn = yn para n > m. Probar que la convergencia de ∑ xn equivale a la de ∑ yn . En caso
n>1
n>1
de que haya convergencia, explicar la relación entre las sumas de ambas series.
(
)
∞
2k+1
(−1)n n2
2. Probar que la sucesión
∑ 3k−1 es convergente y calcular su límite.
n2 + 3n + 2 k=n+1
3. Supongamos que la serie
∑ (xn + yn)
es convergente. ¿Qué se puede afirmar sobre la
n>1
convergencia de las series
∑ xn
y
n>1
4. Probar que la serie
∑ yn ?
n>1
1
∑ (n + 1)√n + n√n + 1
es convergente y calcular su suma.
n>1
5. Probar que la serie
3n + 4
∑ n3 + 3n2 + 2n
n>1
es convergente y calcular su suma.