∞n x x 1 - U

Pauta ejercicio # 1
Parte a)
Veamos si las sucesiones pertenecen a los respectivos espacios de sucesiones.
• Para l p :
x
n p
p
p
k =∞
=∑x
n
k
=n
k =1
1
1
=
<∞
p
p −1
n
n
• Para l∞ :
x
n
∞
= sup
k
1
x = <∞
n
n
k
Luego para cualquier n se tiene que la sucesión está en l ∞ o l p (en particular para p=1)
Parte b)
Veamos la convergencia:
•
Para l p :
n
De la parte anterior: si p > 1 entonces x
p
p

→ ∞
n

→ 0
la igualdad que se obtuvo en a). Con lo cual se concluye que
, pues basta tomar límite en
xn

→ ∞
n
→
p
para
p >1
0
•
Para l ∞ :
xn
Del mismo modo que antes:
∞
→ ∞
 n

→ 0
que una sucesión converja a 0) es decir x
n
(Esto es la definición de

→ ∞
n
→
0
∞
Finalmente veamos que para p=1 la sucesión diverge. En efecto, sabemos que una
sucesión convergente es de Cauchy, de modo que la cotrarecíproca de esta afirmación
dice que si una sucesión no es de Cauchy entonces no es convergente. Veamos que la
sucesión no es de Cauchy. Esto último quiere decir que:
∃ε
Tomemos ε =
∀N ∈ Ν
xn − xm ≥ ε
∃n, m ≥ N
1
(basta encontrar uno)
2
y
1
tomemos N ∈ Ν cualquiera (esto
m = 2n
(basta probar que
n=N
existe un n y un m tales que se cumpla lo del extremo derecho) se tiene que:
corresponde al para todo N). Ahora eligiendo en particular
k =∞
n
x −x
m
1
k =n
=∑ x −x =∑
n
k
m
k
k =1
k =1
1 1 k =m 1
− + ∑
n m k = n +1 m
Es decir
xn − xm
1
1
2n
1 1 
= n −  + (m − n ) = 2 −
m
m
n m
(Esto pues n < m )
Con lo cual, para n y m como se escogieron
x N − x2N = 1 ≥
1
1
=ε
2