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3.
3.1.
Espacios Vectoriales
Definición de espacio vectorial
Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ·) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones
internas + y · que verifican las siguientes propiedades:
conmutativa: λ + µ = µ + λ y λµ = µλ
para todo µ, λ ∈ K;
asociativa:
(λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) y (λµ)ν = λ(µν)
para todo λ, µ, ν ∈ K;
elemento neutro y elemento unidad:
λ + 0 = λ y λ1 = λ para todo λ ∈ K;
inversa aditiva (opuesto): para todo λ ∈ K
existe un único µ ∈ K tal que λ + µ = 0;
inversa multiplicativa: para todo λ ∈ K con λ 6=
0, existe un único µ ∈ K tal que λµ = 1;
distributiva: λ(µ + ν) = λµ + λν
para todo λ, µ, ν ∈ K.
La inversa aditiva de λ se denota por −λ.
Restar en K se define como µ − λ = µ + (−λ).
La inversa multiplicativa de λ 6= 0 se denota por 1/λ.
Dividir en K se define como µ/λ = µ(1/λ).
Ejemplos: (R, +, ·) y (C, +, ·) son cuerpos.
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Dado un cuerpo (K, +, ·), un espacio vectorial sobre K es una estructura algebraica (V, +, ·) donde V
es un conjunto no vacı́o, la suma es una aplicación
que asigna un elemento u + v ∈ V para cualquier par
u, v ∈ K, y el producto es una aplicación que asigna
un elemento λv ∈ V para cualquier λ ∈ K y cualquier
u ∈ V , y tiene las siguientes propiedades:
conmutatividad: u+v = v +u para todo u, v ∈ V ;
asociatividad:
(u + v) + w = u + (v + w) y (λµ)v = λ(µv)
para todo u, v, w ∈ V y para todo λ, µ ∈ K;
elemento neutro: existe un elemento 0 ∈ V tal que
v + 0 = v para todo v ∈ V ;
inversa aditiva: para todo v ∈ V existe w ∈ V tal
que v + w = 0.
elemento unidad: el elemento unidad de K es elemento unidad de la multiplicación
1v = v para todo v ∈ V .
propiedades distributivas:
λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)u = λu + µu
para todo u, v ∈ V y para todo λ, µ ∈ K.
Los elementos de V reciben el nombre de vectores.
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Propiedades:
1. En un espacio vectorial el elemento neutro es único.
2. Cada elemento de un espacio vectorial tiene un
único opuesto.
3. 0v = 0 para todo v ∈ V .
4. λ0 = 0 para todo λ ∈ K.
5. (−1)v = −v para todo v ∈ V .
3.2.
Subespacio Vectorial
Un subconjunto U de V es un subespacio vectorial
de V si también es un espacio vectorial (con la misma
suma y la misma multiplicación por un escalar).
Para comprobar que U ⊂ V es un subespacio vectorial
es suficiente comprobar que contiene el vector 0, que
es cerrado al sumar vectores de U y que es cerrado al
multiplicar cualquier escalar por un vector de U :
1. 0 ∈ U ;
2. u + v ∈ U para todo u, v ∈ U ;
3. λv ∈ U para todo v ∈ U y para todo λ ∈ K.
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3.3.
Subespacio generado por un sistema de vectores. Dependencia
e independencia lineal
Una combinación lineal de los vectores {v1, . . . , vs} ⊂
V es un vector de la forma
v = λ1v1 + · · · + λsvs
donde λ1, . . . , λs ∈ K.
Obsérvese que 0 es combinación lineal de cualquier
conjunto de vectores no vacı́o (basta tomar λi = 0).
Teorema Sea S = {v1, . . . , vs} ⊂ V . Entonces
L(S) = {λ1v1 + · · · + λsvs ∈ V : λ1, . . . , λs ∈ K}
es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S.
A L(S) lo llamaremos el subespacio vectorial generado
por S.
Un conjunto de vectores S = {v1, . . . , vs} es un sistema generador de un espacio (o subespacio)
vectorial V si L(S) = V . Es decir, si todo elemento
de V se puede poner como combinación lineal de los
vectores de S.
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Un sistema de vectores S = {v1, . . . , vs} es linealmente dependiente si existe λ1, . . . , λs ∈ K no
todos nulos de modo que
λ1v1 + · · · + λsvs = 0.
S = {v1, . . . , vs} es linealmente independiente
si no es linealmente dependiente. Es decir, si
λ1v1 + · · · + λsvs = 0 =⇒ λ1 = · · · = λs = 0.
Observación: si {v1, . . . , vs} es un sistema de vectores
linealmente dependiente, entonces uno de ellos se puede
poner como combinación lineal del resto.
µ
¶
µ
¶
λ2
λs
Si λ1 6= 0 =⇒ v1 = −
v2 + · · · + −
vs.
λ1
λ1
Tres vectores no nulos en R2 son siempre linealmente
dependientes. En general n + 1 vectores en Rn son
siempre linealmente dependientes.
3.4.
Base y dimensión de un subespacio vectorial
Teorema: Si S = {v1, . . . , vs} es un sistema linealmente independiente que genera V , entonces todo elemento de V se puede escribir de modo único como
combinación lineal de {v1, . . . , vs}.
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Una base de un espacio vectorial V es un sistema
de vectores linealmente independiente que es sistema
generador de V .
Dado v ∈ V , a los únicos λ1, . . . , λs ∈ K tales que
v = λ1v1 + · · · + λsvs, se les denomina coordenadas
de v.
Observación
BASE = SIST GENERADOR + LINAL. INDEP.
{(1, 0, 0),
{(1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 1, 0),
{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
(0, 0, 1), (1, 1, 1)}
(0, 0, 1)}
Sist. gen. de R3,
Sist. lin. indep.,
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Base R
pero no base
pero no base
Teorema: todas las bases de un espacio vectorial
tienen el mismo número de vectores.
Le dimensión de un espacio vectorial es el número
de elementos que posee cualquier base suya.
Ejemplos:
• dim(Rn) = n;
• dim(Kt[x]) = t + 1;
• dim(Mmn) = mn.
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Una base de un subespacio vectorial W ⊂ V es un
sistema de vectores linealmente independiente que es
sistema generador de W . La dimensión de W es igual
al número de vectores de cualquier base de W .


|
|
{v1, . . . , vs} l.i. ⇐⇒ rang  v1 · · · vs  = s
|
|


v1, . . . , vs ∈ W,




 

{v1, . . . , vs} sist. gen. de W ⇐⇒
|
|



rg  v1 · · · vs  = dim(W )



|
|
Ampliación de un sistema de vectores lineal
independiente a una base de W.


|
|
En este caso rang  v1 · · · vs  = s < dim(W ).
|
|
Debemos añadir vectores de W de tal forma que el
rango siga siendo el número de columnas e igual a la
dimensión de W .
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Reducción de un sistema generador a una
base.


|
|
En este caso rang  v1 · · · vs  = dim(W ) < s.
|
|
Debemos quitar vectores de tal forma que el rango siga
siendo igual a la dimensión de W e igual al número de
columnas.
3.5.
Coordenadas y ecuaciones de un subespacio vectorial
Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V . El vector v tiene
coordenadas (λ1, . . . , λn) en base B si
v = λ1v1 + · · · + λnvn.
Para expresar esto escribiremos: v = (λ1, . . . , λn)B .
Las coordenadas nos permiten trabajar con cualquier
espacio vectorial como si fuese K n.
Teorema
1. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo es un subespacio vectorial de K n de dimensión
n − (rango de la matriz del sistema).
2. Fijada cualquier base B = {v1, . . . , vn} de V , las
coordenadas de los vectores de un subespacio vectorial de dimensión k son el conjunto de soluciones
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de un sistema de ecuaciones homogéneo con n − k
ecuaciones y n incógnitas.
Al sistema de ecuaciones que describe un subespacio
vectorial fijada una base, le llamaremos ecuaciones
implı́citas del subespacio. A la solución de este
sistema lo llamaremos ecuaciones paramétricas
del sistema.
Formas de describir un subespacio vectorial
5HVROYHUVLVWHPD
(F ,PSOtFLWDV
(F 3DUDPpWULFDV
(OLPLQDUSDUiPHWURV
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6(
6HSDUDU
3DUiP 38('(
%DVH
&RPELQDFLyQOLQHDO
'HORVYHFWRUHVGHODEDVH
(OLPLQDUFROXPQDVGHWDOIRUPDTXH
(OUDQJRQRFDPELH\VHDLJXDODO
GHFROXPQDV
6LVWHPDJHQHUDGRU
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Q~P
3.6.
Operaciones con subespacios vectoriales. Cambio de coordenadas
La intersección de dos subespacios es un subespacio.
La única forma de calcular la intersección es a través
de las ecuaciones implı́citas:
las ecuaciones implı́citas de U1 ∩ U2 se obtienen al
juntar las ecuaciones implı́citas de U1 con las de U2.
En general, la unión de dos subespacios no es un subep.
La suma de dos subespacios se define como
U1 + U2 = {u1 + u2
:
u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}
y es un subespacio.
Un sistema generador de U1 + U2 se obtiene uniendo
un sistema generador de U1 con uno de U2.
Fórmula de la dimensión: sean U1, U2 dos subespacios de V , entonces
dim(U1) + dim(U2) = dim(U1 ∩ U2) + dim(U1 + U2)
V es suma directa de U1 y U2, y lo denotamos por
V = U1 ⊕ U2 si
1. V = V = U1 + U2;
2. U1 ∩ U2 = {0}.
U1, U2 se dice que son suplementarios.
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Proposición: V = U1 ⊕ U2 ⇐⇒ todo v ∈ V
se escribe de forma única como v = u1 + u2, donde
u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2.
Sean B = {e1, . . . , en}, B 0 = {v1, . . . , vn} bases de V .
La matriz cambio de coordenadas entre B y
B 0 es


|
|
MB (B 0) =  v1 · · · vs  ,
|
|
donde las coordenadas de v1, . . . , vs están en base B.
Sea v ∈ V un vector cualquiera con coordenadas
v = (λ1, . . . , λn)B = (µ1, . . . , µn)B0 .
Entonces,




µ1
λ1
MB (B 0)  ..  =  ..  .
µn B0
λn B
Además, MB0 (B) = MB (B 0)−1
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