práctica dirigida

VII
Solución Sección 22.2 ENERGIA DE AMARRE NUCLEAR
R. Serway – J . Jewett . Vol. 2. 6º Edición. Thomson 2005
14. Calcule la energía de enlace por núcleos para a) 2 H b) 4 He c)
Solución:
Energía de enlace
MeV
E b (MeV)  Z.m p  N.m n  MA   931 .494
u
2
a) H
A
2
Z
1
N
1
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
56
Fe
d)
238
U
H
1.007825
1.008665
2.014102
931.494
2.22440767
1.11220384
b) 4 He
A
Z
N
c)
56
4
2
2
mnucleo
Eb
4.002602
28.2969247
Eb/A
7.07423118
Fe
A
56
Z
26
N
30
mnucleo
Eb
Eb/A
d)
He
238
Fe
55.93494
492.257319
8.79030927
U
A
238
Z
N
92
146
mnucleo
Eb
Eb/A
U
238.050784
1801.70128
7.57017346
15. El isótopo del hierro 56 Fe se encuentra cerca del pico de la curva de
estabilidad.Esta es la razon por la cual el hierro es un elemento prominete en el
espectro del Sol y las estrellas.Demuestre que el 56 Fe tiene una energía de amarre
mayor por nucleón que sus vecinos 55 Mn y 59 Co . Compare sus resultados con la
figura 22.5
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Página 2
VII
Solución:
Energía de enlace
56
E b (MeV)  Z.m p  N.m n  MA   931 .494
MeV
u
Fe
A
Z
N
56
26
30
Fe
Mp
Mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
55
1.007825
1.008665
55.93494
931.494
492.257319
8.79030927
Mn
A
Z
N
55
25
30
Mn
mnucleo
Eb
Eb/A
59
54.938048
482.073295
8.76496901
Co
A
Z
N
59
27
32
Co
mnucleo
Eb
Eb/A
58.933198
517.311713
8.76799514
Observamos que la energía de enlace por nucleón del
es superior.
56
Fe
16. Dos núcleos que tienen el mismo numero de masa se conocen como isobaros.
Calcule la diferencia en la energía de enlace por nucleón para los isobaros
23
23
11 Na y 12 Mg .¿ Como explica usted la diferencia?
Solución
MeV
Aplicamos : Energía de enlace
E b (MeV)  Z.m p  N.m n  MA   931 .494
u
(porque hemos encontrados los valores de masas atomicas de cada núcleo)
23
11 Na
A
Z
N
23
11
12
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
FACULTAD
DE
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M ATEM ATICA,
Na
1.007825
1.008665
22.98977
931.494
186.564276
8.11149025
FISICA e
INFORM ÁTICA
Página 3
VII
23
12
Mg
A
Z
N
23
12
11
Mg
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
DIFERENCIA
23
11
1.007825
1.008665
22.994127
931.494
181.723301
7.90101311
0.21047714 MeV
23
12
Na
A = Z+ N
23 = 11 + 12
Mg
A = Z+ N
23 = 12 + 11
Una repulsión electrostática adicional hace menos estable al
núcleo de Mg .(es decir , si agregamos un neutrón).
17. Núcleos que tienen el mismo número de masa reciben el nombre de isóbaros.
139
El isótopo 139
57 La es estable. Un isóbaro radiactivo 59 Pr , se localiza bajo la línea
de núcleos estables en la figura 44.3 y decae por emisión e+.Otro isóbaro
- y se localiza sobre la línea de
radiactivo de 139 La , 139
55 Cs , decae por emisión e
núcleos estables en la figura 44.3. a) ¿Cuál de estos isóbaros tiene la
proporción neutrón - protón mas alta? b) ¿Cuál tiene mayor energía de enlace
por nucleón?. c) ¿Cuál esperaría usted que sea mas pesado , el 139 Pr o el 139 Cs ?
Solución: a)
139
139
139
57 La
55 Cs
59 Pr
A = Z+ N
139 = 57 + 82
A = Z+ N
139 = 59 + 80
A = Z+ N
139 = 55 + 84
Proporción: n-p
25
Ó
1,44
Proporción: n-p
21
Ó
1,36
Proporción: n-p
29
Ó
1,53
Observamos que el
139
55
Cs tiene la proporción neutrón – protón más alta
b) Como no hemos podido encontrar la masa de
Energía de enlace
2
3
139
55
E b  C 1 .A  C 2 .A  C 3 .
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Cs , aplicamos :
Z(Z  1)
1
A3
FISICA e
(N  Z)2
 C4 .
A
INFORM ÁTICA
Página 4
VII
Energía de enlace por nucleón
Eb
1
4
 C 1  C 2 .A 3  C 3 .Z(Z  1).A 3  C 4 .(N  Z)2 .A  2
A
Para núcleos A  15 , las constantes tienen los valores indicados en teoria
139
57
139
59
139
55
La
A
Z
N
C1
C2
C3
C4
Eb
Eb/A
64
30
34
15.7
17.8
0.71
23.6
559.68
8.7449
A
Z
N
C1
C2
C3
C4
Eb
Eb/A
139
59
80
15.7
17.8
0.71
23.6
1160.8
8.3508
A
Z
N
C1
C2
C3
C4
Eb
Eb/A
139
55
84
15.7
17.8
0.71
23.6
1154.8
8.3079
La
MeV
MeV
MeV
MeV
Pr
Pr
MeV
MeV
MeV
MeV
Cs
Observamos que el
139
57
Cs
MeV
MeV
MeV
MeV
La tiene mayor Eb/A.
c) Esperaría que Cs, por lo indicado en a).
18.
La energía requerida para construir una esfera cargada uniformemente de
carga total Q y radio R es U=3kQ2/5R donde k es la constante de
Coulomb.Suponga que un núcleo de 40 Ca esta compuesto por 20 protones
distribuidos de manera uniforme en un volumen esférico. a) ¿Cuánta
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Página 5
VII
energía se requiere para contrarrestrar la repulsión electrostática dada por
la ecuación anterior?.(Sugerencia : calcule primero el radio de un núcleo de
40
Ca ). b)Calcule la energía de enlace 40 Ca . c) Explique que puede concluir
al comparar el resultado del inciso b) con el del inciso a)
Solucion:
a)
40
20
r = r0.A1/3
Ca
A = Z+N
40 = 20 + 20
Luego : U 
r = (1,2 x 10-15 m).(40)1/3
r = 7,5895 x 10-15m
3 kQ 2 3  (9  10 9 )  (1,6  10 19 C)1

 1,82  10 14 J  0,1138 MeV
15
5R
5  (7,5895  10 )
b) Energía de enlace de :
40
20
40
20
Ca
Ca
A
Z
N
40
20
20
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
Ca
1.007825
1.008665
39.962591
931.494
342.05298
8.55132451
c)
21. Calcule la energía mínima requerida para quitar un neutrón de un núcleo de
43
20 Ca
Solución
43
20 Ca
A
Z
N
43
20
23
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
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Ca
1.007825
1.008665
42.958767
931.494
369.8292
8.60067907
FISICA e
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Página 6
VII
19. Un par de núcleos para los cuales Z1=N2 y Z2=N1 reciben el nombre de
isóbaros
espejo
(los
números
atómicos
y
de
neutrones
son
intercambiables).Las mediciones de energía de enlace en estos núcleos pueden
emplearse para obtener evidencia de la independencia de la carga de las
fuerzas nucleares( esto es, las fuerzas nucleares protón – protón , protón –
neutron y neutron – neutron son iguales). Calcule la diferencia de la energía
de enlace para los dos isóbaros espejo 158 O y 157 N
Solución : Sean :
A = Z1 + N 1
A
Z
A
Z
X
Y
A = Z2 + N2
Isobaros espejos (intercambiamos)
15
8
O
A
Z
N
15
8
7
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
15
7
o
1.007825
1.008665
15.003065
931.494
111.956264
7.46375092
N
A
Z
N
15
7
8
mp
mn
mnucleo
Constante
Eb
Eb/A
DIFERENCIA
N
1.007825
1.008665
15.000108
931.494
115.493147
7.69954311
3.53688272 MeV
A favor para N
19.
Calcule la energía mínima necesaria para remover un neutrón del núcleo
43
20
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Ca
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Página 7
VII
Solución Sección 22.3 MODELOS NUCLEARES
R. Serway – J . Jewett . Vol. 2. 6º Edición. Thomson 2005
21.
Empleando la grafica en la figura 22.5 cuanta energía es liberada cuando
un núcleo de numero de masa 200 se divide en dos núcleos cada uno con
numero de masa 100 cada uno
Solución
7,5 MeV
8,5 MeV
8,5 MeV
+ B =
+
m = 200
7,5 (200)
m = 100
+ B =
m = 100
8,5 (100)
+
1500MeV
+B =
850 MeV
1500MeV
+B =
1700 MeV
+
8,5 (100)
850 MeV
B = 200 MeV
22. a)En el modelo de la gota liquida de la estructura nuclear ¿Por qué el
termino del efecto de la superficie –C2.A2/3 tiene un signo negativo?.
b)¿Qué pasaría si? La energía de amarre del núcleo aumenta al
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VII
incrementarse la relación volumen a superficie. Calcule esta relación para
formas esféricas como para cúbicas y explique cual es más plausible para
los núcleos.
Solución
a) Porque los nucleones superficiales REDUCEN la energía de enlace.
23.
a) Utilice la fórmula de energía de amarre semiempírica para calcular la
energía de unión de 56
26 Fe . b) ¿Qué porcentaje del total de la energía de
amarre es aportado por cada uno de los cuatro términos?
Solución
a)
Energía de enlace
2
3
E b  C 1 .A  C 2 .A  C 3 .
56
26
Z(Z  1)
1
A3
(N  Z)2
 C4 .
A
Fe
A
Z
N
C1
C2
C3
C4
Eb
Eb/A
56
26
30
15.7
17.8
0.71
23.6
491.29
8.773
Fe
MeV
MeV
MeV
MeV
b)
C 1 .A
 C 2 .A
 C3.
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porcentaje(%)
178.958102
- 260.54
53.0325334
- 120.63
24.553084
- 6.7429
1.37248512
2
3
Z(Z  1)
1
A3
( N  Z) 2
 C4.
A
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879.2
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Página 9
VII
PRÁCTICA DIRIGIDA
Algunas propiedades de los núcleos
Energía de amarre nuclear.
Modelos Nucleares
Sección 54.1.Descubrimiento del núcleo
Halliday Resnick Krane . Vol. 2.
Pag. 629.. 4º Edición. CECSA.1996
Sección 54,1. Descubrimiento del núcleo.
1. Calcule la distancia de mayor acercamiento de una colisión de frente entre una partícula
 de 5,30 MeV y el núcleo de un átomo de cobre.
R. 15,7 fm 3,26 MeV
2. (a) Calcule la fuerza eléctrica sobre una partícula  en la superficie de un átomo de oro,
suponiendo que la carga positiva esté distribuida uniformemente en todo el volumen del
átomo. No tome en cuenta los electrones atómicos. Un átomo de oro tiene un radio de 0,16
nm; considere a la partícula  corno una partícula puntual. (b) ¿A lo largo de qué distancia
tendría que actuar esta fuerza, que se presume constante, para llevar al reposo a la
partícula  de 5,30 MeV? Exprese su respuesta en términos del diámetro del átomo de oro.
3. Supóngase que un núcleo de oro tiene un radio de 6,98 fm , y una partícula  tiene un
radio de 1,8 fm. ¿Qué energía debe tener una partícula  incidente para apenas tocar al
núcleo de oro?
4. Cuando una partícula  choca elásticamente con un núcleo, el núcleo retrocede. Una
partícula  de 5,00 MeV tiene una colisión elástica de frente con un núcleo de oro,
inicialmente en reposo. ¿Cuál es la energía cinética (a) del núcleo en retroceso y (b) del
rebote de la partícula  ?
Puede considerarse que la masa de la partícula  es de 4,00 u y la del núcleo de oro es
de 197 u.
Sección 54.2.Algunas Propiedades
Nucleares
Halliday Resnick Krane . Vol. 2.
Pag. 629.. 4º Edición. CECSA.1996
6. Se mide que el radio de un núcleo, por métodos de dispersión de electrones, es de 3,6 fm.
¿Cuál es el número másico probable del núcleo?
7. ¿Cuál es la densidad aproximada de la materia nuclear de la que están hechos todos los
núcleos?
R. 2,4 x 1017 kg/m3
8. Una estrella de neutrones es un objeto estelar cuya densidad es aproximadamente
aquella de la materia nuclear, que se calculó en el problema anterior (7). Supóngase
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VII
que
el
Sol
fuese a chocar contra una de estas estrellas sin perder nada de su masa actual. ¿Cuál
sería su radio esperado?
9. Verifique que la energía de amarre por nucleón para el 239Pu es realmente 7,56
MeV/nucleón. Las masas atómicas necesarias son 239,052158 u (239Pu), 1,007825 u ('H)
y 1.008665 u (neutrón).
10.Calcule la energía de amarre por nucleón promedio del 62Ni, que tiene una masa
atómica de 61,928346 u. Este núcleo tiene la máxima energía de amarre por nucleón de
todos los núcleos estables conocidos.
11.Las masas atómicas del 'H, 12C y 238U son 1,007825 u, 12,000000 u (por definición), y
238,050785 u, respectivamente, (a) ¿Cuáles serían estas masas si la masa unitaria se
definiese como si la masa del 'H fuese (exactamente) 1,000000 u? (b) Use su resultado
para indicar por qué no se hizo esta elección por demás obvia?
R.(a)1,000 u ;11,906830u ; 236,202500u
12. (a) Convénzase de que la energía vinculada con los enlaces nucleares, o fuerza fuerte,
es proporcional a A, el número másico del núcleo en cuestión, (b) Convénzase de que la
energía vinculada con los enlaces por medio de la fuerza de Coulomb entre los protones
es proporcional a Z(Z - 1). (c) Demuestre que, cuando vamos a núcleos cada vez más
grandes , la importancia de (b) aumenta más rápidamente de lo que lo hace (a).
13.En la tabla periódica, la anotación del magnesio es:
12
Mg
24,30
5
Existen tres isótopos:
24Mg,
masa atómica = 23,985042 u.
atómica = 24,985837 u.
26Mg, masa atómica = 25,982594 u.
La abundancia del 24Mg es del 78.99% en masa. Calcule las abundancias de los otros dos
isótopos.
R. 25 Mg: 10,01% ; 26 Mg : 11,00 %
14. Puesto que un nucleón está confinado en un núcleo, podemos considerar que la
incertidumbre en su posición es aproximadamente el radio nuclear R. ¿Qué dice el
principio de incertidumbre para la energía cinética de un nucleón en un núcleo con,
digamos A = 100? (Sugerencia: Considere que la incertidumbre en el ímpetu p sea el
ímpetu real p.)
15. Se le pide que divida una partícula  (4He) quitando, en secuencia, un protón, un
neutrón y un protón. Calcule (a) el trabajo necesario en cada paso, (b) la energía de
amarre total de la partícula a y (c) la energía de amarre por nucleón. Las masas
atómicas necesarias son
4He 4,002603 u
2H 2,014102 u
3H
3,016049 u 'H 1,007825 u
25Mg, masa
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VII
n
u.
1,008665
R. (a) 19,81 MeV; 6,258 MeV ; 2,224 MeV
(b) 28,30 MeV
(c) 7,075 MeV
15.1. Imagine que un numero tipico de masa media como el 120 Sn se separa en sus protones y
neutrones constituyentes.Halle (a) la energia total necesaria y (b) la energia por nucleon.La
masa atomica del 120 Sn es 119,902199 u
R.(a) Eb=1020,6 MeV (b) 8,50 MeV/nucleón
16.Para simplificar los cálculos, a veces se tabulan las masas atómicas no como masas
atómicas reales m sino como (m - A)c2, donde A es el número másico expresado en
unidades de masa. Esta cantidad, que por lo general se expresa en MeV, se llama el
exceso de masa (símbolo  ).
Usando los datos del problema 15,1, halle los excesos de masa de (a) el 'H, (b)el neutrón y
(c) el 120Sn.
17. (a) Demuestre que la energía de amarre total de un núclido puede escribirse como:
E B  Z. H  N. n  
donde  H ,  n y  son los excesos másicos apropiados; véase el problema anterior 16. (b)
Usando este método calcule la energía de amarre por nucleón del 197Au. Compare su
resultado con el valor mostrado en las tablas . Los excesos másicos necesarios son  H =
+7,289 MeV,  n = + 8,071 MeV y
 197 = - 31,17 MeV.  H es el exceso de masa
del 'H. Nótese la economía en el cálculo que resulta cuando se emplean los excesos
másicos en lugar de las masas reales.
R. (b) 7,92 MeV
18.Una moneda de cobre tiene una masa de 3,00 g. Calcule la energía nuclear que se
requeriría para separar a todos los neutrones y protones contenidos en esta moneda.
Haga caso omiso de la energía de amarre de los electrones. Para simplificar, supóngase
que la moneda está formada por completo de átomos de 63Cu (masa = 62,929599 u). Las
masas atómicas del protón y del neutrón son 1,007825 u y 1,008665 u, respectivamente.
19.Los radios nucleares pueden medirse por la dispersión de electrones de alta energía de
los núcleos, (a) ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie para electrones de 480 MeV?
(b) ¿Son sondas apropiadas para este objeto? Debe tenerse en cuenta la relatividad.
R. (a) 2,59 fm (b) Si
20. Ya que el neutrón carece de carga, su masa debe determinarse de algún otro modo que
mediante el uso de un espectrómetro de masas. Cuando se encuentran un neutrón en
reposo y un protón, se combinan y forman un deuterón, emitiendo un rayo gamma
cuya energía es de 2,2233 MeV. Las masas atómicas del protón y del deuterón son
1,007825 u y 2,014102 u, respectivamente. Encuentre la masa del neutrón a partir de
estos datos, hasta tantas cifras significativas como éstos lo permitan.
22. (a) Demuestre que la energía potencial electrostática de una esfera uniforme de carga Q
y radio R está dada por:
U
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3Q 2
20  0 R
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VII
(Sugerencia: Armar la esfera a partir de esferas huecas delgadas traídas desde el
infinito.) (b) Halle la energía potencial electrostática del núclido de 239Pu, supuesto como
esférico;. (c) Compare su energía potencial electrostática por partícula con su energía
de amarre por nucleón de 7,56 MeV. (d) ¿Qué concluye usted?
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