Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesora: Nathalie Sepúlveda Matemática

Colegio Antil Mawida
Departamento de Matemática
Profesora: Nathalie Sepúlveda
Matemática
DOCUMENTO N° 1
Guía de Trabajo 4º medio
Refuerzo Contenido y Aprendizaje
N°
Fecha
Tiempo
2 Horas
Nombre:
Unidad Nº
Cero
Núcleos temáticos de la Guía
Objetivos de la Guía
Aprendizaje Esperado
Raíces, ecuación de segundo grado.
Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a función cuadrática y raíz cuadrada.
Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados a función cuadrática y raíz cuadrada.
Instrucciones
1. Revisión de conceptos asociados a función cuadrática y raíz cuadrada.
2. Desarrollo de ejemplos en forma individual.
3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos.
4. Tiempo 50 minutos para resolución.
5. Entrega de alternativas.
6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos.
FUNCION CUADRATICA:
A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c  lR y a ≠ 0 se le
denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una
parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta
recibe el nombre de eje de simetría.
1
1. Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola.
Si a > 0, la concavidad de la parábola está
la parábola Orientada hacia arriba
Si a < 0, la concavidad de
está orientada hacia abajo
2. INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las
ordenadas en y = c.
3. CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que
y=0
4. DISCRIMINANTE
La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c
2
5. EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”
congruentes.
6. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.
FUNCION RAIZ CUADRADA:
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
OBSERVACIONES:
i. La función es creciente.
ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.
∗ Su dominio y recorrido son los IR+ U {0}.
EJEMPLOS:
1)¿Cuál es el dominio de la función f(x)  x2  4 en los números reales?
3
A) 2,
B)  2,
C) 0,
D)  ,2  2,
E) 4,
2) ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y
g(x) = x2 + 1?
A)
C)
B)
E)
D)
3) La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2, donde t se
mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los
siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?
I) 6 segundos
II) 10 segundos
III) 14 segundos
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en I y en II
E) Sólo en I y en III
4) Considere la parábola y 
1
(x  1)2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
2
verdadera(s)?
I) La parábola se abre hacia arriba
II) Su vértice se encuentra en (1,0)
III) Su eje de simetría es x = 1
A) Solo I
4
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJERCICIOS
1) ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?
A) y = (– x + 1)(x – 2)
B) y = (x + 1)(x – 2)
C) y = (– x + 1)(x + 2)
D) y = (– x – 1)(x – 2)
E) y = (x + 1)(– x – 2)
2) Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es
A) 1
B) 1 − a
C) 2 − a
D) 1 + a
E) 3 − 2a
3) Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que
alcanza la función es
A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
E) –1
4) Si f(x) = x a + 1 y f(2) = 8, entonces a =
A) 9
B) 4
C) 3
D) 2
E)
8
5
5) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?
6) Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x
II) Su valor mínimo es -1
III) f(-3) > 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
7) Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números
reales t que satisfacen f(t) = 1?
A) {-2}
B) {-2,2}
C) {2}
D) {4}
E) No tiene solución en el conjunto de los números reales
6
8) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x + 6?
9) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?
10) Dada la función f(x)  (x  2) , se puede afirmar que:
I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2
II) f(3) = 1
III) El punto (5,3) pertenece a la función
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
11) Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:
A) x2 + 3x - 2
B) x2 + 5x – 3
C) x2 + 5x – 2
D) x2 + 5x
E) x2 + 3x
7
12) Dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x
III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
13) Sea la función cuadrática f( x)  ax 2  bx  c , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo
II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen
III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos
puntos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
14) ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura?
A) f(x)  8x
B) g(x)  2x2
C) h(x)  4x2
D) t(x)  2x3
E) s(x)  x4
15) La parábola de la figura intersecta al eje x en los puntos (4, 0) y (- 2, 0) ¿Cuál es el
conjunto de todos los valores de x cuya imagen es mayor o igual a cero?
A)  ,2  4, 
B)  ,2  4, 
C)  2,4
D) 2, 
E)  ,2
y
2
4
x
8
16) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función y  (x  5) 2  4
17) En la función f(x) 
3  x , ¿Cuál(es) de las siguientes alternativas es (son)
verdadera(s)?
I) 7 no tiene imagen
II) 3 no tiene imagen
III) f(- 6) = 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
18) f(x)  x 2  kx, entonces el valor de f(- 3) es:
A) – 9 + 3k
B) – 9 + 3k
C) 9 + 3k
D) 9 – 3k
E) – 3 + 3k
9
19) ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura
2
y
x
A) f(x) =  ( x  2 ) 2
B) g(x) =  x 2  4
C) h(x)  (x  2) 2
4
D) m(x)  ( 2  x) 2
E) n(x)  (x  2) 2
20) Dadas las funciones f( x)  x 2 , g( x) 
1 2
x y h(x)  3x 2 . ¿Cuál de las siguientes
3
opciones es correcta?
1
1
1
A ) f    g   h 
3
3
3
1 1
1
B) g   f    h 
3 3
3
1
1
1
C ) f   h   g 
3
3
3
1
1 1
D ) g    h   f  
3
3 3
1
1
1
E) f    g    h 
3
3
3
10