Exponencial - U

Exponencial
Resumen
exp(x) := lim(1 +
x n
)
n
Dominio: R.
Positiva.
∀x, y ∈ R, exp(x + y ) = exp(x) exp(y ).
Est. Creciente.
exp : R → (0, ∞) biyectiva.
∀x ∈ R, exp(x) ≥ 1 + x.
∀x ∈ R, x < 1, exp(x) ≤
1
1−x .
∀r ∈ Q, exp(r ) = er .
()
June 10, 2010
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Logaritmo
Resumen
ln(x)
Dominio: (0, ∞).
∀x, y ∈ (0, ∞), ln(xy ) = ln(x) + ln(y ).
Est. Creciente.
ln : (0, ∞) → R biyectiva.
∀x ∈ (0, ∞),
1 − 1/x ≤ ln(x) ≤ x − 1.
Positiva en (1, ∞), negativa en (0, 1), cero en x = 1.
()
June 10, 2010
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Potencia
Resumen
ax := exp(x ln(a)), a > 0, a 6= 1
Dominio: R.
Positiva.
∀x, y ∈ R, ax+y = ax ay .
∀x ∈ R, ln(ax ) = x ln(a).
∀x, y ∈ R, (ax )y = axy .
ax : R → (0, ∞) biyectiva.
a > 1: Est. Creciente.
a < 1: Est. decreciente.
()
June 10, 2010
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Logaritmo
Resumen
loga (x) :=
ln(x)
, a > 0, a 6= 1
ln(a)
Dominio: (0, ∞).
∀x, y ∈ (0, ∞), loga (xy ) = loga (x) + loga (y ).
loga : (0, ∞) → R biyectiva.
a > 1: Est. Creciente. Positiva en (1, ∞), negativa en (0, 1), cero
en x = 1.
a < 1: Est. decreciente. negativa en (1, ∞), positiva en (0, 1),
cero en x = 1.
()
June 10, 2010
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Exponencial
Gráficos
exp(x), x ∈ [−1, 1].
50
%ex
x+1
1/(1-x)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-1
-0.8
()
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
June 10, 2010
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Exponencial
Gráficos
1 + x ≤ exp(x) ≤ 1/(1 − x), x ∈ [−1.5, 0.9].
5
%ex
x+1
1/(1-x)
4
3
2
1
0
-1
-1.5
-1
()
-0.5
0
x
0.5
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6 / 11
Logaritmo
Gráficos
ln(x), x ∈ [0.1, 10].
3
2
1
log(x)
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
()
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
June 10, 2010
7 / 11
Logaritmo
Gráficos
1 − 1/x ≤ ln(x) ≤ x − 1, x ∈ [0.1, 3]
2
log(x)
x-1
1-1/x
0
-2
-4
-6
-8
-10
0.5
()
1
1.5
x
2
2.5
3
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Potencia
Gráficos
1 1 2 5
ax , para a ∈ { 10
, 5 , 5 , 6 , 1, 45 , 52 , 5, 10}, x ∈ [−5, 5].
10
0.1x
0.2xx
0.4
1
1.2xx
10x
5
x
2.5
5x/6x
8
6
4
2
0
-4
()
-2
0
x
2
4
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Logaritmos
Gráficos
1 1 5 6
loga , para a ∈ { 10
, 2 , 6 , 5 , 2, 10}, x ∈ [0.1, 5].
15
log(x)/log(6/5)
log(x)/log(5/6)
log(x)/log(2)
-log(x)/log(2)
log(x)/log(10)
-log(x)/log(10)
10
5
0
-5
-10
-15
0.5
1
()
1.5
2
2.5
x
3
3.5
4
4.5
5
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Variantes
Gráficos
x a , para a ∈ {−2, −1, − 12 , − 31 , 13 , 21 , 1, 2}, x ∈ [0.1, 5].
5
1/x2
1/x
%e--(log(x)/2)
%e (log(x)/3)
%e((log(x)/3)
4
%e log(x)/2)
x
x2
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
()
June 10, 2010
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