ejercicios desarrollados

EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 1
Considere la función biyectiva
f : IR  15  IR   3 5
f ( x) 
2  3x
5x  1
a) Calcule la función inversa de f
b) Determine Dominio de f 1 y Recorrido de f
1
Desarrollo:
a) Para calcular la función inversa se despeja x en y = f(x)
2  3x
5x  1
y (5 x  1)  2  3 x
5 xy  y  2  3 x
y
; se despeja x
5 xy  3 x  2  y
x(5 y  3)  2  y
2 y
x
5y  3
y
2 x
5x  3
La función inversa es:
b)
Dom( f
1
; se cambia
" y" por " x"
entonces
f 1 ( x) 
2 x
5x  3
)  Re c ( f )  IR   3 5
Re c ( f 1 )  Dom( f )  IR  15
Tema: Función Inversa
Ejercicios Desarrollados
1
Ejercicio 2
Demuestre que la función inversa de f ( x)  8 
3x
es
5
f 1 ( x) 
40  5 x
3
Desarrollo:
f  f 1 x   f 1  f x   x
Por demostrar que
i)
f f
1
 40  5 x 
f

 3 
3  40  5 x 
 8 

5 3 
1
 8  40  5 x 
5
 8  8  x 
x
x  
ii)
f
1
3x 

f 1  8  
5 

3x 

40  5 8  
5 


3
40  40  3 x 

3
3x

3
 x
 f x  
Tema: Función Inversa
Ejercicios Desarrollados
2
Ejercicio 3
Calcule la función inversa de:

f : 1,  


2 , 

f ( x)  x 2  2 x  3
Desarrollo:
y  x 2  2x  3
se despeja x comple tan do cuadrado
2
y  3  x  2x
/  
2
2
y  3  1  x  2x  1
2
2
y  2  ( x  1) 2
/
y  2  ( x  1) 2 
x 1
; x  1,  entonces
x 1  0
y  2  x 1
y2 1 x
;
se cambia " y" por " x"
x2 1 y
Por lo tanto :
f
1
Tema: Función Inversa
Ejercicios Desarrollados
( x)  x  2  1
3