Cálculo de Pn (κ) y ˙

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APÉNDICE A
Cálculo de Pn◦ (κ) y Ṗn◦ (κ)
Usando las identidades trigonométricas
cos x =
eix −e−ix
, (2.4.29) y (2.4.30) se convierten en
2i
(A.0.12)
ˆ∞
2 z2
Ae−µ
Fκ (z) =
2π
dxe
−µ2 x2
eix +e−ix
y
2
sen x =
ei(κ◦x x+κ◦z z) + e−i(κ◦x x+κ◦z z) −iκx
e
2
−∞
−µ2 z 2
Ae
=
4π
ˆ∞

eiκ◦z z
dxe−[µ
2 x2 −i(κ −κ)x
◦x
]
−∞
ˆ∞
+e−iκ◦z z

dxe−[µ
]
2 x2 +i(κ +κ)x
◦x
−∞
(A.0.13)
2 z2
ΩAe−µ
Gκ (z) =
2π
ˆ
∞
dxe
−µ2 x2
−∞
−µ2 z 2
ΩAe
=
i4π
ˆ∞

eiκ◦z z
ei(κ◦x x+κ◦z z) − e−i(κ◦x x+κ◦z z) −iκx
e
2i
dxe−[µ
2 x2 −i(κ −κ)x
◦x
]
−∞
ˆ∞
−e−iκ◦z z

dxe−[µ
]
2 x2 +i(κ +κ)x
◦x
−∞
Vemos que las dos integrales en (A.0.13) y en (A.0.13) son idénticas.
Llamemos entonces
ˆ∞
(A.0.14)
I1 = eiκ◦z z
dxe−[µ
]
2 x2 −i(κ −κ)x
◦x
−∞
y
40
A. CÁLCULO DE
ˆ∞
−iκ◦z z
I2 = e
(A.0.15)
Pn◦ (κ)
dxe−[µ
Ṗn◦ (κ)
Y
41
2 x2 +i(κ +κ)x
◦x
].
−∞
El exponente de los integrandos se pueden escribir como
(A.0.16)
2
(κ◦x − κ)2
i
(κ◦x − κ) −
− µ x − i (κ◦x − κ) x = − µx −
2µ
4µ2
2 2
y
(A.0.17)
2
2 2
i
(κ◦x + κ)2
− µ x + i (κ◦x + κ) x = − µx +
(κ◦x + κ) −
2µ
4µ2
respectivamente.
Por tanto, con un cambio de variables para
dz1 = µdx y de la misma
dz2 = µdx obtenemos
y
I1 = e
(A.0.18)
I2
manera para
iκ◦z z
e
−(κ◦x −κ)2
4µ2
1
µ
,
i
(κ◦x − κ)
I1 , z1 = µx− 2µ
i
z2 = µx + 2µ (κ◦x + κ) y
ˆ
2
dz1 e−z1
L
e
I2 = e
(A.0.19)
donde
L
−iκ◦z z
e
−(κ◦x +κ)2
4µ2
1
µ
ˆ
2
dz2 e−z2
L
representa la recta en el plano complejo que es paralela al eje
real y pasa por el punto
i
z01 = − 2µ
(κ◦x − κ) y z02 =
i
2µ
(κ◦x + κ). Estas
integrales se pueden transformar por tanto de la misma manera en una
integral sobre una línea en la que la variable de su integrando toma
valores reales
ˆ∞
ˆ
dze
(A.0.20)
L
−z 2
2
dze−z =
=
√
π.
−∞
Asi que, con el (A.0.20), obtenemos del (A.0.18) y (A.0.19) respectivamente
A. CÁLCULO DE
iκ◦z z
I1 = e
(A.0.21)
e
Pn◦ (κ)
Y
−(κ◦x −κ)2
4µ2
Ṗn◦ (κ)
42
√
π
,
µ
y
−iκ◦z z
I2 = e
(A.0.22)
e
−(κ◦x +κ)2
4µ2
√
π
.
µ
Poniendo el (A.0.21) y el (A.0.22) en (A.0.13) y (A.0.13) respectivamente
(A.0.23)
2 z2
Ae−µ
Fκ (z) =
4π
iκ◦z z
e
e
−(κ◦x −κ)2
4µ2
√
√ −(κ◦x +κ)2
π
π
−iκ◦z z
,
+e
e 4µ2
µ
µ
(A.0.24)
2 z2
ΩAe−µ
Gκ (z) =
i4π
iκ◦z z
e
e
−(κ◦x −κ)2
4µ2
Como se ha mencionado antes,
que
e
κ◦x + κ 0
−(κ◦x −κ)2
4µ2
√
√ −(κ◦x +κ)2
π
π
−iκ◦z z
2
4µ
−e
e
.
µ
µ
κ◦x µ con κ > 0 , se ve claramente
. Por lo tanto, se puede decir que la contribución de
a la integral total es cero ya que
−(κ◦x −κ)2
4µ2
→ 0.
Por lo tanto
(A.0.23) y (A.0.24) tienen la forma
2 2
−κ)2
Ae−µ z iκ◦z z −(κ◦x
Fκ (z) = √
e
e 4µ2
4 πµ
(A.0.25)
y
2 2
Gκ (z) =
(A.0.26)
−κ)2
ΩAe−µ z iκ◦z z −(κ◦x
√
e
e 4µ2 .
i4 πµ
Ahora pongamos (A.0.25) y (A.0.26) en (2.4.27) y (2.4.28) respectivamente y aplicando la identidad trigonométrica
sen x =
eix −e−ix
, se
2i
obtiene;
(A.0.27)
2
Pn◦ (κ) =
h
ˆh/2
−h/2
z
z
−κ)2
ei[(2n+1)π h ] − e−i[(2n+1)π h ] Ae−µ z iκ◦z z −(κ◦x
√
dz
e
e 4µ2
2i
4 πµ
2 2
A. CÁLCULO DE
Pn◦ (κ)
Y
Ṗn◦ (κ)
43
y
(A.0.28)
ˆh/2
2
Ṗn◦ (κ) =
h
z
z
−κ)2
ei[(2n+1)π h ] − e−i[(2n+1)π h ] ΩAe−µ z iκ◦z z −(κ◦x
2
4µ
√
dz
.
e
e
2i
i4 πµ
2 2
−h/2
hes la anchura del canal y z es del orden
1
O (h). Asi que, O (µh) O (1)
de h, O (z) ∼ O (h) y además O
µ
Como mencionamos antes,
2 h2
± h2 → ±∞, e−µ
y en el límite
tiende a cero.
lı́m e−µ
2 h2
→∞
±h
2
Como
2 h2
e−µ
= 0.
es el término principal, podemos cambiar el intervalo
de la integración de
± h2
a
±∞
. Reescribiendo (A.0.27) y (A.0.28)
(A.0.29)
A
e
Pn◦ (κ) = √
4i πhµ
−(κ◦x −κ)2
4µ2

ˆ∞
2 z 2 +iz
dze−µ

[(2n+1) πh +κ◦z ]
−∞
ˆ∞

2 z 2 −iz
dze−µ
−
[(2n+1) πh −κ◦z ] 
−∞
y
(A.0.30)
ΩA
e
Ṗn◦ (κ) = √
4 πhµ
−(κ◦x −κ)2
4µ2

ˆ∞
dze−µ

2 z 2 +iz
[(2n+1) πh +κ◦z ]
−∞
ˆ∞

2 z 2 −iz
dze−µ
−
[(2n+1) πh −κ◦z ] 
−∞
Otra vez tenemos dos integrales idénticos en (A.0.29) y (A.0.30).
Llamemos
ˆ∞
(A.0.31)
−∞
y
2 z 2 +iz
dze−µ
I3 =
[(2n+1) πh +κ◦z ]
A. CÁLCULO DE
ˆ∞
2 z 2 −iz
dze−µ
I4 =
(A.0.32)
Pn◦ (κ)
Y
Ṗn◦ (κ)
44
[(2n+1) πh −κ◦z ]
−∞
El exponente de los integrandos se pueden escribir como
h
h
ii
π
2 2
− µ z − iz (2n + 1) + κ◦z =
h
(A.0.33)
2 (2n + 1) π + κ 2
i π
◦z
h
− µz +
(2n + 1) + κ◦z
−
2µ
h
4µ2
y
ii
h
h
π
− µ2 z 2 + iz (2n + 1) − κ◦z =
h
(A.0.34)
i2 (2n + 1) π − κ 2
i h
π
◦z
h
− µz +
(2n + 1) − κ◦z −
2
2µ
h
4µ
respectivamente.
I3 ,
z4 = µz +
Así que, utilizando (A.0.20) con un cambio de variables para
i
z3 = µz + 2µ
i
(2n + 1) πh
2µ
π
h
(2n + 1) + κ◦z y dz3 = µdz
− κ◦z y dz4 = µdz obtenemos
√
π
√
π
y para
I4
,
2
π − [(2n+1)4µh2+κ◦z ]
e
,
I3 =
µ
(A.0.35)
y
(A.0.36)
Siendo
2
π − [(2n+1)4µh2−κ◦z ]
I4 =
e
.
µ
κ◦z µ
, la contribución de (A.0.35) se puede decir que es
cero. Entonces poniendo (A.0.36) en (A.0.29) y (A.0.30) obtenemos
π
(A.0.37)
y
2
[(2n+1) h −κ◦z ]
−κ)2
iA −(κ◦x
−
4µ2
4µ2
Pn◦ (κ) =
e
e
4hµ2
A. CÁLCULO DE
Pn◦ (κ)
Y
Ṗn◦ (κ)
45
π
(A.0.38)
2
[(2n+1) h −κ◦z ]
−κ)2
ΩA −(κ◦x
−
4µ2
4µ2
e
e
.
Ṗn◦ (κ) = −
4hµ2