Jesus Miguel Simón Martín, Santos Zambrano Agudo, Carlos Miguel

Jesus Miguel Simón Martín, Santos Zambrano Agudo, Carlos Miguel Álvarez González
Ejercicio 11.-
a)Demostrar que:
´
dxe
−x2
0
0
xHn (x)Hm (x)=
√
√
π 2n+1 n(n+1)!δn,m−1 + π 2n (n − 1)n!δn,m+1
Tenemos
1) 2xHn
0
(x) = 2nHn−1 (x)
2)Hn
´∞
3)
(x) = Hn+1 (x) + 2nHn−1
−∞
√
2
Hn (x)Hm (x)e−x = kHn k2 = 2n n! πδn,m
Así aplicando 2):
´
dxe
−x2
0
0
xHn (x)Hm (x)=2nm
´∞
−∞
2
dxe−x 2xHn−1 (x)Hm−1 (x)
Y seguidamente aplicando 1):
´∞
2nm
2
−∞
dxe−x 2xHn−1 (x)Hm−1 (x)=2nm(
´∞
−∞
Hn (x)Hm−1 (x)e−x
2
+2(n-1)
´∞
−∞
dxHn−2 (x)Hm−1 (x))
Y por último mediante 3) obtenemos:
´∞
2nm(
−∞
Hn (x)Hm−1 (x)e−x
2
+2(n-1)
´∞
−∞
√
√
dxHn−2 (x)Hm−1 (x))=2nm(2n n! πδn,m−1 +2n−2 (n−2)! πδn−2,m−1 )
o bien dado que n=m-1 en el primer término entre paréntesis y n=m+1 en el segundo término resulta:
´
dxe
−x2
0
0
xHn (x)Hm (x)=
√
√
π 2n+1 n(n+1)!δn,m−1 + π 2n (n − 1)n!δn,m+1
b)A partir del resultado anterior , demostrar que:
∞ ˆ
X
p=0
∞
√
2
0
0
dxe−x xHn (x)Hn+p (x)= π2n+1 n(n + 1)!
−∞
Por el resultado anterior es evidente que alguno de los dos términos será no nulo si n=n+p-1 o bien si
n=n+p+1,
es decir p=1 y p=-1.
≥0
Y dado que p
∞ ˆ
X
p=0
∞
el único caso posible es p=1 para el cual sobrevive el primer término, y por tanto
√
2
0
0
dxe−x xHn (x)Hn+p (x)= π2n+1 n(n + 1)!
−∞
1