Ejemplos y ejercicios de Estad´ıstica Descriptiva y Análisis de Datos

2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
Ejemplos y ejercicios de
2
Descripción estadı́stica de una variable.
Ejemplos y ejercicios.
2.1
Estadı́stica Descriptiva
y Análisis de Datos
Diplomatura en Estadı́stica
Curso 2007/08
2
Ejemplos.
Ejemplo 2.1 Se han medido el grup sanguı́neo de 40 individuos y se han
observado las siguientes frecuencias absolutas para cada categorı́a: 12 para
x1 = A, 11 para x2 = B, 8 para x3 = AB y 9 para x4 = O.
a) ¿De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias
correspondiente.
b) ¿Qué porcentaje de individuos son del grupo A?
c) ¿Qué porcentaje de individuos no son del grupo O?
d) ¿Cuántos individuos no son del grupo B?
Respuestas: a) Categórica nominal.
grupo
A
B
AB
O
Total
ni
12
11
8
9
40
fi
0.3
0.275
0.2
0.225
1
b) El 30%, c) el 100 − 22.5 = 77.5%, d) 40 − 11 = 29 o bien 12 + 8 + 9 = 29.
Ejemplo 2.2 La siguiente tabla muestra la clasificación de 901 individuos
según la variable satisfacción en el trabajo
Aurea Grané
Dpto. Estadı́stica
Universidad Carlos III de Madrid
xi
muy insatisfecho
moderamademte insatisfecho
moderadamente satisfecho
muy satisfecho
Total
ni
62
108
319
412
901
a) ¿De qué tipo es la variable de estudio? Calcular la tabla de frecuencias
correspondiente.
b) ¿Qué porcentaje de individuos están moderadamente satisfechos?
c) ¿Cuántos individuos están a lo sumo moderadamente insatisfechos?
¿Qué porcentaje representan?
d) ¿Cuántos individuos están por lo menos moderadamente satisfechos?
¿Qué porcentaje representan?
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
3
Respuestas: a) Categórica ordinal,
xi
muy insatisfecho
moderamademte insatisfecho
moderadamente satisfecho
muy satisfecho
Total
ni
62
108
319
412
901
fi
0.07
0.12
0.35
0.46
1
Ni
62
170
489
901
Fi
0.07
0.19
0.54
1
b) El 35%, c) 170 y representan el 19%, d) 319+412 = 731 o bien 901−170 =
731, que representan el 35 + 46 = 81% (o bien 100 − 19 = 81%).
Ejemplo 2.3 Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida para
plantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el número de
hojas que han sido atacadas después de haber tratado la planta con el nuevo
producto. Los resultados son:
Hojas atacadas
0
1
2
3
4
5
6
8
10
ni
6
10
12
8
5
4
3
1
1
a) ¿De qué tipo es la variable de estudio? Construir la tabla de frecuencias correspondiente.
b) ¿Qué porcentaje de plantas tienen sólo 3 hojas atacadas?
c) ¿Cuántas plantas tienen como máximo 3 hojas atacadas?
d) ¿Cuántas plantas tienen como mı́nimo 6 hojas atacadas?
e) ¿Qué porcentaje de plantas tienen entre 3 y 5 hojas atacadas?
f ) ¿Qué porcentaje de plantas tienen al menos 8 hojas atacadas?
g) ¿Qué porcentaje de plantas tienen a lo sumo 2 hojas atacadas?
Respuestas: a) Cuantitativa discreta,
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
Hojas atacadas
0
1
2
3
4
5
6
8
10
ni
6
10
12
8
5
4
3
1
1
fi
0,12
0,20
0,24
0,16
0,10
0,08
0,06
0,02
0,02
Ni
6
16
28
36
41
45
48
49
50
4
Fi
0,12
0,32
0,56
0,72
0,82
0,90
0,96
0,98
1
b) el 16%, c) 36, d) 3 + 1 + 1 = 5 o bien 50 − 45 = 5, e) el 16 + 10 + 8 = 34%
o bien (8 + 5 + 4)/50 · 100 = 34%, f ) el 2 + 2 = 4% o bien 100 − 96 = 4%,
g) el 56%.
Ejemplo 2.4 En veinte vuelos de Barcelona a Madrid se han contado el
número de asientos vacı́os en cada vuelo. Se han agrupado los datos en
intervalos de longitud 4.
asientos vacı́os
0−3
4−7
8 − 11
12 − 16
ni
9
5
4
2
a) ¿De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias
correspondiente.
b) ¿En cuántos vuelos hay menos de 8 asientos vacı́os? ¿Qué porcentaje
representan?
c) ¿En cuántos vuelos hay como mı́nimo 10 asientos vacı́os? ¿Qué porcentaje representan?
Respuestas: a) Cuantitativa discreta,
intervalos
[0, 4)
[4, 8)
[8, 12)
[12, 16]
Total
xi
2
6
10
14
ni
9
5
4
2
20
fi
0,45
0,25
0,20
0,10
1
Ni
9
14
18
20
Fi
0,45
0,70
0,90
1,00
b) En 14 vuelos, y representan el 70% de los vuelos, c) Aproximadamente
en 2 + 4 · (10 − 8)/(12 − 8) = 4 vuelos, que representan el 4/20 · 100 = 20%
de los vuelos.
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
5
Ejemplos de representaciones gráficas
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
6
Figure 3: Gráfico de Pareto. Datos del ejemplo 2.2
900
100%
800
89%
700
78%
600
67%
500
55%
polı́gono de frecuencias
400
44%
diagrama de barras
300
33%
200
22%
Figure 1: Diagrama de barras y polı́gono de frecuencias. Datos del ejemplo 2.3.
12
10
100
8
0
11%
muy satisfecho
mod. satisfecho mod. insatisfecho muy insatisfecho
0%
6
4
Figure 4: Histograma y polı́gono de frecuencias. Datos del ejemplo 2.4.
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.5
polı́gono de frecuencias
histograma
2
1.5
Figure 2: Diagrama de sectores. Datos del ejemplo 2.1
1
0.5
23%
30%
0
4
8
12
16
A
B
AB
O
20%
28%
Ejemplo 2.5 Con los siguientes datos construir un diagrama de tallo y
hojas.
Datos recogidos (en cm):
11.357, 12.542, 11.384, 12.431, 14.212, 15.213, 13.300, 11.300, 17.206,
12.710, 13.455, 16.143, 12.162, 12.721, 13.420, 14.698.
Respuesta:
Datos redondeados y expresados en mm:
114, 125, 114, 124, 142, 152, 133, 113, 172, 127, 135, 161, 122, 127, 134,
147.
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
7
Diagrama de tallo y hojas (datos en mm):
11
12
13
14
15
16
17
344
24577
345
27
2
1
2
Ejemplo 2.6 Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000,
5000 y 10000 euros, respectivamente. si el primero le rinde un 5% anual, el
segundo un 4% anual y el tercero un 2% anual, ¿cuál es el tipo de interés
medio que recibe?
Respuesta: La variable de estudio es el interés anual. Los valores que
toma esta variable son 5, 4, 2 con pesos 2000, 5000, 10000, respectivamente.
El interés medio es
xP =
50000
5 · 2000 + 4 · 5000 + 2 · 10000
=
= 2.94.
2000 + 5000 + 10000
17000
Ejemplo 2.7 Calcular la mediana y la moda de los conjuntos de datos siguientes:
a) 18, 18, 19, 17, 23, 20, 21, 18
b) 20, 21, 18, 19, 18, 17, 18
Respuestas: a) Ordenados los datos en orden creciente,
17, 18, 18, 18, 19, 20, 21, 23,
el valor de la mediana es M e = (18 + 19)/2 = 18.5 y la moda es M o = 18.
b) Ordenados los datos en orden creciente,
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
Respuestas: Utilizando la tabla de frecuencias calculada en el apartado b)
del ejercicio 2.2, tenemos que
k
x=
1
43050000
xi ni =
= 827884.62,
n
52
i=1
que significa que, en promedio, hay 827884.62 habitantes por provincia.
Para el cálculo de la mediana, buscamos primero el intervalo mediano.
Puesto que n/2 = 26, el intervalo mediano es [500000, 750000). Aplicando
la fórmula de la mediana:
M e = 500000 + 250000 ·
26 − 24
= 550000,
34 − 24
esto significa que el 50% de las provincias españolas tienen menos de 550000
habitantes.
Recordemos que la distribución de esta variable es bastante asimétrica como
muestra el histograma de frecuencias de la figura 6, por tanto, resultará más
fiable utilizar la mediana y no la media como medida de tendencia central.
Ejemplo 2.9 Cálculo de algunas caracterı́sticas numéricas con los datos del
ejemplo 2.3.
ni
6
10
12
8
5
4
3
1
1
50
hojas atacadas
0
1
2
3
4
5
6
8
10
Total
Ni
6
16
28
36
41
45
48
49
50
xi ni
0
10
24
24
20
20
18
8
10
134
x2i ni
0
10
48
72
80
100
108
64
100
582
17, 18, 18, 18, 19, 20, 21,
Medidas de tendencia central:
el valor de la mediana es M e = 18 y la moda es M o = 18.
Ejemplo 2.8 Con los datos del ejercicio 2.2 (habitantes de las provincias
españolas) calcular la media aritmética y la mediana.
8
x=
134
= 2.68,
50
M e = 2,
M o = 2.
Medidas de posición:
Q1 = 1,
P35 = 2,
Q3 = 4,
P80 = 4,
P95 = 6.
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
9
Medidas de dispersión:
s2n =
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
10
Medidas de posición:
582
− 2.682 = 4.46,
50
sn =
R = 10 − 0 = 10,
√
RI = 4 − 1 = 3.
-2
6
-1
10
0
12
1
8
2
5
3
4
4
3
4(6 − 0)
= 2.67,
9−0
Medidas de dispersión:
6
1
ni (y)
12
10+8=18
6+5=11
4
3
1
1
Puesto que n = 50 es par, la M EDA es la media aritmética entre el dato
25 y el dato 26, es decir:
M EDA =
y(25) + y(26)
=1
2
P57 = 4 +
4(15 − 14)
= 9,
18 − 14
4(11.4 − 9)
= 5.92.
14 − 9
√
1008
− 5.82 = 16.76, sn = 16.76 = 4.09,
20
R = 16 − 0 = 16, RI = 9 − 2.22 = 6.78.
8
1
Ni (y)
12
30
41
45
48
49
50
Q3 = 8 +
s2n =
2.2
yi = |xi − M e(X)|
0
1
2
3
4
6
8
4(5 − 0)
= 2.22,
9−0
P30 = 0 +
La mediana de desviaciones absolutas, M EDA, se obtiene calculando la
mediana de los valores absolutos de xi − M e(X). Empezamos calculando
estas diferencias:
xi − M e(X)
ni
Q1 = 0 +
4.46 = 2.11,
Ejercicios.
Ejercicio 2.1 Con los datos del ejemplo 2.4 trazar la curva de frecuencias
relativas acumuladas. Determinar el número de vuelos que tienen como
máximo 10 asientos vacı́os.
Respuesta: La figura 5 contiene la curva de frecuencias acumuladas. En
el eje horizontal se representan los valores que toma la variable, en este
caso el número de asientos vacı́os, y en el eje vertical se representan las
frecuencias relativas acumuladas. Utilizando esta figura vemos que al valor
10 le corresponde una altura de 0.8. Por tanto, el 80% de los vuelos tienen
como máximo 10 asientos vacı́os. Puesto que en total hay 20 vuelos, el 80%
de los vuelos son 20 (0.8) = 16 vuelos. Este mismo cálculo puede realizarse
Figure 5: Curva de frecuencias acumuladas o polı́gono de frecuencias acumuladas. Datos del ejemplo 2.4.
Ejemplo 2.10 Cálculo de algunas caracterı́sticas numéricas con los datos
del ejemplo 2.4.
intervalo
[0, 4)
[4, 8)
[8, 12)
[12, 16)
Total
xi
2
6
10
14
ni
9
5
4
2
20
Ni
9
14
18
20
xi ni
18
30
40
28
116
x2i ni
36
180
400
392
1008
ni /Li
2.25
1.25
1
0.5
1
0.8
0.75
0.5
0.25
Medidas de tendencia central:
x=
116
= 5.8,
20
M e = 4 + (4 − 0)
M o = 0 + (4 − 0)
10 − 9
= 4.8,
14 − 9
1.25
= 4.
0 + 1.25
0
4
8
10
12
16
utilizando la tabla de frecuencias del ejemplo 2.4. Recordemos cómo era la
tabla:
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
Intervalo
xi
ni
fi
Ni
Fi
[0, 4)
[4, 8)
[8, 12)
[12, 16]
2
6
10
14
9
5
4
2
0,45
0,25
0,20
0,10
9
14
18
20
0,45
0,70
0,90
1,00
20
1
Total
11
El número de vuelos que tienen a lo sumo 10 asientos vacı́os lo obtendremos
sumando las frecuencias observadas en el intervalo [0, 4) más las frecuencias
observadas en el intervalo [4, 8) más una parte de las frecuencias observadas
en el intervalo [8, 12). Es decir,
9+5+
10 − 8
· 4 = 16.
12 − 8
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
intervalos
[0, 100000)
[100000, 250000)
[250000, 500000)
[500000, 750000)
[750000, 1000000)
[1000000, 2000000)
[2000000, 3000000)
[3000000, 4000000)
[4000000, 6000000)
xi
50000
175000
375000
600000
875000
1500000
2500000
3500000
5000000
ni
3
8
13
10
7
8
1
0
2
Num. habitantes
de 1 a 100 000
de 100 000 a 250 000
de 250 000 a 500 000
de 500 000 a 750 000
de 750 000 a 1 000 000
de 1 000 000 a 2 000 000
de 2 000 000 a 3 000 000
de 3 000 000 a 4 000 000
de 4 000 000 a 6 000 000
Num. provincias
3
8
13
10
7
8
1
0
2
a) Constuir una tabla estadı́stica con las marcas de clase, las frecuencias
absolutas y las frecuencias relativas.
b) ¿Cuántas provincias tienen menos de 500 000 habitantes? ¿Qué porcentaje representan?
c) ¿Cuántas provincias tienen entre 800 000 y 1 300 000 habitantes?
d) Construir el histograma de frecuencias absolutas.
Respuestas: a) La tabla de frecuencias con una columna adicional que será
útil para la construcción del histograma es la siguiente:
Ni
3
11
24
34
41
49
50
50
52
Fi
0.058
0.212
0.462
0.654
0.789
0.943
0.962
0.962
1
ni /Li
3 · 10−5
5.3 · 10−5
5.2 · 10−5
4 · 10−5
2.8 · 10−5
0.8 · 10−5
0.1 · 10−5
0
0.1 · 10−5
b) 24 provincias, que representan el 46.2%.
c) El intervalo [800000, 1300000] está situado encima de dos intervalos de
clase:
800000
Ejercicio 2.2 Clasificadas las provincias españolas por su número de habitantes en 2001, se obtuvieron los siguientes datos:
fi
0.058
0.154
0.250
0.192
0.135
0.154
0.019
0
0.038
12
[
750000
1300000
]
106
2 · 106
Por tanto, el número de provincias que tienen entre 800000 y 1300000 habitantes es aproximadamente
1300000 − 1000000
1000000 − 800000
×7+
×8
1000000 − 750000
2000000 − 1000000
= 0.8 × 7 + 0.3 × 8 = 8 provincias.
d) La figura 6 contiene el histograma de frecuencias absolutas.
Ejercicio 2.3 Los siguientes datos corresponden a las medidas de 15 individuos sobre la variable cuantitativa peso:
62, 74, 86, 53, 49, 71, 68, 67, 69, 70, 58, 59, 73, 74, 78.
a) Construid una tabla de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
b) Realizad un diagrama de tallo y hojas.
Respuestas: a) Agrupamos los datos en k =
√
15 ≈ 4 intervalos de clase:
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
13
Figure 6: Histograma de frecuencias absolutas. Datos del ejercicio 2.2.
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
240/10 = 24. En la cuarta columna obtenemos las desviaciones respecto de
la media, y en la quinta ponderamos por la frecuencia observada en cada
intervalo.
[li−1 , li )
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40]
Total
5 · 10−5
4 · 10−5
3 · 10−5
2 · 10−5
14
xi
5
15
25
35
ni
1
2
4
3
10
xi ni
5
30
100
105
240
xi − x
-19
-9
1
11
(xi − x) ni
-19
-18
4
33
0
Ejercicio 2.5 Una empresa está interesada en seleccionar entre dos candidatos para un puesto de trabajo. Las valoraciones que han obtenido en las
entrevistas y pruebas a que han sido sometidos son las siguiente:
10−5
0
1
2
3
4
millones de habitantes
intervalos
[49, 59)
[59, 69)
[69, 79)
[79, 89]
xi
54
64
74
84
ni
3
4
7
1
fi
0.2
0.267
0.467
0.067
Ni
3
7
14
15
5
6
Fi
0.2
0.467
0.934
1.001
b) El diagrama de tallo y hojas es:
4
5
6
7
8
9
389
2789
013448
6
Ejercicio 2.4 Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero.
intervalo
0-10
10-20
20-30
30-40
frecuencia
1
2
4
3
Respuesta: Primeramente construimos la tabla de frecuencias. Con la
tercera columna de la tabla calculamos la media aritmética, que es x =
Aspecto
experiencia
conocimientos
psicontécnico
Candidato A
8
6
4
Candidato B
7
7
5
Si la empresa da una importancia del 60% a la experiencia, del 25% a los
conocimientos y del 15% a la habilidad psicotécnica, ¿cuál de los dos candidatos va a escoger?
Respuesta: Calculamos las medias ponderadas para cada candidato, con
pesos 60, 25 y 15, respectivamente para cada categorı́a. El candidato que
obtenga una media poderada mayor será el candidato escogido.
xP (A) =
8 · 60 + 6 · 25 + 4 · 15
= 6.9,
100
xP (B) =
7 · 60 + 7 · 25 + 5 · 15
= 6.7
100
Ejercicio 2.6 Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien
familias, calcular sus cuartiles.
xi
0
1
2
3
4
5
ni
14
10
15
26
20
15
Ni
14
24
39
65
85
100
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
15
Respuesta: Puesto que n = 100 es par,
Me =
16
Respuesta:
x(50) + x(51)
= 3,
2
R(edad) = 62 − 19 = 43,
que coincide con Q2 . Para calcular Q1 y Q3 debemos buscar los valores n/4
y 3 n/4 en la columna de las frecuencias acumuladas:
n
= 25 ⇒ Q1 = 2,
4
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
3n
= 75 ⇒ Q3 = 4.
4
R(antigüedad) = 39 − 1 = 38.
Aunque el rango de la variable edad sea mayor que el rango de la variable
antigüedad, esto no significa que el grado de dispersión de edad sea también
mayor. Para decidir qué variable tiene un mayor grado de dispersión debemos calcular el coeficiente de variación. Ası́, para la variable edad tenemos
que:
n
Ejercicio 2.7 Calcular la varianza y la desviación tı́pica de las siguientes
cantidades en metros: 3, 3, 4, 4, 5.
Respuesta:
xi
3
4
5
total
ni
2
2
1
5
xi ni
6
8
5
19
x2i
9
18
25
x2i ni
18
32
25
75
i=1
12839
− (37.6)2 = 189.23,
s2n = x2 − x2 =
8
√
189.23 = 13.8,
sn =
sn
13.8
CV =
× 100 =
× 100 = 36.7%,
x
37.6
n
x =
n
1
3+3+4+4+5
xi =
= 3.8,
n
5
1
120
= 15,
xi =
n
8
i=1
2854
− (15)2 = 131.75,
s2n = x2 − x2 =
8
√
sn =
131.75 = 11.48,
11.48
sn
× 100 =
× 100 = 76.5%.
CV =
x
15
Por tanto, la variable antigüedad tiene una mayor dispresión, a pesar de que
su rango es menor.
i=1
s2n =
1
301
= 37.6,
xi =
n
8
mientras que para la variable antigüedad:
La media aritmética es x = 19/5 = 3.8 m, la media de cuadrados es x2 =
2 = x2 − x2 = 15 − (3.8)2 = 0.56 m2
75/5 = 15 m2 , la varianza muestral es s√
n
y la desviación tı́pica muestral es sn = 0.56 = 0.75 m.
Puesto que hay pocos valores, los cálculos de la media y de la varianza se
podı́an haber hecho directamente:
x=
x =
n
1 2
9 + 9 + 16 + 16 + 25
− (3.8)2 = 0.56.
xi − x2 =
n
5
i=1
Ejercicio 2.8 De los ocho empleados de una oficina, se han considerado las
distribuciones de sus edades y sus años de antigüedad en la empresa:
Edad
Antigüedad
40
15
22
3
19
1
30
8
62
39
32
13
45
17
51
24
Calcular lor rangos de estas dos distribuciones. ¿Cuál de las dos tiene mayor
grado de dispresión?
Ejercicio 2.9 Una empresa inmobiliaria ofrece apartamentos en régimen
de alquiler con los siguientes precios (en euors):
precio alquiler (mensual)
700-1000
1000-1100
1100-1300
1300-1500
1500-1800
1800-2000
2000-2100
número de apartamentos
21
27
34
14
8
11
10
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
17
a) Obtener el alquiler medio por apartamento, el precio más frecuente y
el precio que se situa en medio de la oferta.
b) Si una persona está dispuesta a gastarse en alquiler entre 1250 y 1350
euros al mes, a qué porcentaje de apartamentos tiene opción?
c) Por debajo de qué precio están el 80% de los apartamentos?
d) Entre qué precios están el 50% central de los apartamentos?
Respuestas: a) Empezamos construyendo la tabla de frecuencias, y las
columnas auxiliares para realizar los cálculos:
[li−1 , li )
[700, 1000)
[1000, 1100)
[1100, 1300)
[1300, 1500)
[1500, 1800)
[1800, 2000)
[2000, 2100]
Total
xi
850
1050
1200
1400
1650
1900
2050
ni
21
27
34
14
8
11
10
125
Ni
21
48
82
96
104
115
125
fi
0.168
0.216
0.272
0.112
0.064
0.088
0.08
1
xi ni
17850
28350
40800
19600
13200
20900
20500
161200
ni /Li
0.07
0.27
0.17
0.07
0.027
0.055
0.1
El alquiler medio por apartamento lo obtendremos mediante el cálculo de la
media aritmética:
n
x=
1
161200
= 1289.6 euros/mes
xi ni =
n
125
i=1
El precio más frecuente lo obtendremos mediante el intervalo modal, o bien,
si queremos ser más precisos, mediante la moda. Puesto que todos los intervalos no tienen la misma amplitud, para saber cuál es el intervalo modal
debemos fijarnos en la columna que contiene los valores de ni /Li y no en la
de las ni . Ası́ pues, el intervalo modal es [1000, 1100), o sea que el precio
más frecuente de los apartamentos está entre 1000 y 1100 euros mensuales.
La siguiente fórmula permite situar el valor de la moda dentro del intervalo
modal [li−1 , li ):
M o = li−1 + Li
ni+1
Li+1
ni−1
ni+1
Li−1 + Li+1
.
En nuestro caso, el intervalo modal es [1000, 1100) y substituyendo obtenemos:
0.17
= 1070.83 euros/mes.
M o = 1000 + 100
0.07 + 0.17
El precio que se situa en medio de la oferta viene dado por la mediana. El
intervalo mediano es [1100, 1300), puesto que en él se situa n/2 = 125/2 =
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
18
62.5. Utilizando la fórmula de la mediana, obtenemos:
M e = 1100 + (1300 − 1100)
62.5 − 48
= 1185.29 euros/mes.
82 − 48
b) Primero debemos ver dentro de qué intervalos de clase se situa el intervalo
de precios que nos piden, esto es, [1250, 1350].
[li−1 , li )
[1100, 1300)
[1300, 1500)
xi
1200
1400
ni
34
14
Ni
82
96
fi
0.272
0.112
xi ni
40800
19600
ni /Li
0.17
0.07
Observando la tabla vemos que el extremo inferior del intervalo [1250, 1350]
está dentro de [1100, 1300) y el extremo superior dentro de [1300, 1500). Ası́
pues, el número de apartamentos con un precio entre 1250 y 1350 euros es
1300 − 1250
1350 − 1300
1
1
34 +
14 = 34 + 14 = 12,
1300 − 1100
1500 − 1300
4
4
12
que representa el 125
100 = 9.6% del total de apartamentos.
c) El precio por debajo del cual están el 80% de los apartamentos viene dado
por el percentil P80 . Este percentil está dentro del intervalo [1500, 1800),
puesto que en él se encuentra el valor 80 n/100 = 80 · 125/100 = 100. Utilizando la fórmula para el cálculo de los percentiles, obtenemos:
P80 = 1500 + (1800 − 1500)
100 − 96
= 1650 euros/mes.
104 − 96
d) El 50% central de los apartamentos viene determinado por el primer y
tercer cuartiles.
n
125
=
= 31.25 ⇒ Q1 ∈ [1000, 1100),
4
4
Q1 = 1000 + (1100 − 1000)
31.25 − 21
= 1037.96 euros/mes.
48 − 21
3 125
3n
=
= 93.75 ⇒ Q3 ∈ [1300, 1500),
4
4
93.75 − 82
= 1467.86 euros/mes.
Q3 = 1300 + (1500 − 1300)
96 − 82
2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS
19
Ejercicio 2.10 Con los datos del ejemplo 2.3, calcular los coeficientes de
asimetrı́a de Pearson y de Fisher.
Respuesta:
hojas atacadas
0
1
2
3
4
5
6
8
10
ni
6
10
12
8
5
4
3
1
1
50
xi − x
-2.68
-1.68
-0.68
0.32
1.32
2.32
3.32
5.32
7.32
(xi − x)3 ni
-115.49
-47.42
-3.77
0.26
11.50
49.95
109.78
150.57
392.22
547.61
En el ejemplo 2.9 hemos calculado
x = 2.68,
sn = 2.11,
M o = 2,
por tanto, el coeficiente de asimetrı́a de Pearson es:
AsP =
2.68 − 2
x − Mo
=
= 0.3223.
sn
2.11
A partir de la tabla anterior podemos obtener el coeficiente de asimetrı́a de
Fisher:
1 n
(xi − x)3 ni
547.61/50
AsF = n i=1 3
=
= 1.1659.
sn
2.113
En este caso, el uso de AsP no es muy recomendable, puesto que el polı́gono
de frecuencias de esta distribución no tiene forma acampanada (véase figura
1). En cambio, el coeficiente AsF indica que hay una mayor asimetrı́a
positiva.