Objetivo

Guía
Propedéutica
2
6
4
Matemáticas
Aplicada
ÍNDICE
UNIDAD I. Métodos de integración…………………………………
18
1.1 Inmediatas………………………………………………………………………… 18
1.2 Integración por partes……………………………………………………………. 21
1.3 Integración por sustitución o cambio de variable……………………………... 24
1.4 Integración por fracciones parciales……………………………………………. 27
UNIDAD II. La integral como área bajo la curva………………….
37
2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas…………………………………. 37
2.2 Suma de Riemann……………………………………………………………….. 43
2.3 Integral definida………………………………………………………………...… 45
2.4 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………… 54
2.5 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………… 54
UNIDAD III. Aplicaciones de la integral……………………………
57
3.1 Calculo de volúmenes…………………………………………………………… 57
3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría……………………………….. 61
3.3 Aplicación del cálculo integral en la física……………………………………... 66
3.4 Aplicaciones a la economía…………………………………………………...… 68
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………
15
71
16
Objetivo:
El alumno:
Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus
principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las
ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar
un ambiente escolar colaborativo y responsable.
17
UNIDAD I. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral
indefinida, aplicando diferentes métodos.
SABERES:
1. Inmediatas.
2. Integración por partes.
3. Integración por sustitución o cambio de variable.
4. Integración por fracciones parciales.
1. Inmediatas.
Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se
utilizan las reglas básicas de integración.
Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida:
1.
0dx C
7.
2.
kdx kx C
8. sec2 xdx
3.
kf ( x)dx
9. sec x tan xdx sec x C
4.
[ f ( x) g ( x)]dx
5.
6.
k f ( x)dx
xn 1
C,
n 1
la potencia)
x n dx
f ( x)dx
n
1
g ( x)dx
(Regla de
senxdx
csc2 xdx
11.
csc x cot xdx
EJEMPLO 1:
12x 5 dx
Utilizando la regla de la potencia
Solución:
x n dx
12
xn 1
C,
n 1
x5 1
5 1
18
12
tan x C
10.
cos xdx senx C
Encontrar:
cos x C
x6
6
n
1:
2 x6 C
cot x C
csc x C
EJEMPLO 2:
Encontrar:
6
dx
x4
Solución: reescribimos 6 x 4 dx
6
x41
4 1
6
x
3
3
2
x3
C
EJEMPLO 3:
Encontrar:
3
x
2 x dx
Solución: reescribimos
1 3
x3 3
1 3
3 3
x
1
3
2 x dx
4
2 x1 1
1 1
x3
4
3
2x2
2
4
3 3
x
4
x2
c
EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”
Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y
resuelve por el método de integración inmediata.
Integral original
1.
1
dx
x5
2.
x dx
Reescribir
Integrar
3. 3senxdx
4.
3
5.
x( x 4)dx
x dx
19
Simplificar
EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales
por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de
integración.
Ejercicios
Solución
( x 4)dx
1 2
x 4x c
2
(3 x)dx
3x
(4 x 6 x 2 )dx
2 x 2 2 x3 c
(4 x 3
x4 3x3 5x c
3
9x2
5)dx
1 2
x c
2
5
2
4 x 3)dx
2 2
x
5
x
1
dx
x
2 2
x
3
2x 2c
( x 2)(2 x 1)dx
2 3
x
3
3 2
x 2x c
2
(2t 3) 2 dx
4 3
t 6t 2 9t c
3
(x
3
2 x 2 3x c
1
4 cos 2senx c
(4senx 2 cos x)dx
4x csc x c
(4 csc x cot x)dx
SOLUCIONES:
EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”
1.
1
4x4
4
3
c
2
2. x 2
3
3.
c
1 3
x 2x2 c
3
20
3 cos c
3
4. x 3
4
c
5.
1.2 Integración por partes.
De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la
derivación por partes.
(u.v)' u'.v u.v' que se puede escribir d (u.v)
du.v u.dv
Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:
d (u.v)
du.v
u.dv
Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma
función y utilizando la notación de integral tendremos:
u.v
du.v
u.dv
Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes
u.dv
u.v
v.du
que permite calcular la integral de un producto de dos funciones
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente
integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones
en cada paso.
Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede
escribir:
21
Ejemplos:
1.- Hallar la
xsenxdx
Solución:
Sean
u
du dx
x
dv senxdx
v
cos x
Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
x cos x
cos xdx
dado que
cos udu
xsenxdx
x cos x
x cos x
cos xdx
senu c finalmente nos queda:
senx
c
x 2 ln xdx
2.- Hallar la
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y
se repite el proceso n veces.
Solución:
Sean
dx
x3
dv x 2 dx
v
x
3
Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
u lnx
x 3 ln x
3
du
1
3
x3
dx
x
x 3 ln x
3
1
3
x 2 dx
x 3 ln x
3
por lo tanto:
x 2 ln xdx =
x 3 ln x
3
x3
9
c
22
1 x3
3 3
x 1 xdx
3.- Hallar la
Solución:
Sean
u
x
du dx
dv
2
1 x
3
v
1 xdx
3
2
Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
2
x1 x
3
3
2
3
2
1 x
3
2
dx
2
x1 x
3
3
2 1 x
5
3
2
2
5
2
2
= x1 x
3
por lo tanto:
x 1 xdx =
4.- Hallar la
2
x1 x
3
3
2
4
1 x
15
5
c
2
sen 2 xdx
Solución:
Sean
u
senx
du cosxdx
dv senxdx
v
cos x
c
Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:
cos xsenx
cos x cos xdx
Aplicando la identidad senxcos x
tenemos:
1
sen2x
2
cos 2 xdx
cos xsenx
1 sen2 xdx
1
sen2x
2
1
sen2x
2
23
dx
sen2 xdx
3
2
4
1 x
15
5
2
sen 2 xdx y nuevamente nos resulta en el
ya que la expresión original es
procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:
sen2 xdx
1
sen2x
2
1
sen2x
2
sen2 xdx 2 sen2 xdx
dx
dx
1
sen2x
2
x
por lo tanto:
sen 2 xdx =
1
sen2x
4
x
2
c
1.3 Integración por sustitución o cambio de variable.
Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u
y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si
u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:
f ( g ( x)) g ' ( x)dx
f (u )du
F (u ) c
EJEMPLO 1:
Encontrar:
3x 1dx
Solución: u 3x 1
3x 1dx
u
du
3
dx
du 3dx
du
3
Integrar en términos de u.
3
1
1 2
u du
3
1 u2
3 3
2
3
c
2 2
u
9
c
3
2
(3x 1) 2
9
c
Resultado en términos de x.
24
EJEMPLO 2:
Encontrar:
x 3x 1dx
Solución: u 3x 1
dx
du 3dx
du
3
u 1
3
x
1
u 1 2 du
u
3
3
x 3x 1dx
1
9
u
3
2
5
2
1
2
u du
5
2
(3x 1) 2
45
1 u u
9 5 3
2 2
Integrar en términos de u.
3
2
5
c
3
2 2
u
45
2 2
u
27
c
3
2
(3x 1) 2
27
c Resultado en términos de x.
EJEMPLO 3:
Encontrar:
( sen2 x) 2 cos 2 xdx
Solución: u
sen2 x
(sen2 x) 2 cos 2 xdx
u2
cos 2 xdx
2 cos 2 xdx
du
2
Integrar en términos de u.
1 2
1 u3
u du
2
2 3
1
( sen2 x)3 c
6
du
2
du
c
1 3
u c
6
Resultado en términos de x.
25
EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”
Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral.
Integral en términos de x
1.
(4 x 2
2.
x x3
x
2dx
dx
2
2
4. (2 x 3
5.
du
2) 2 8 xdx
x
3.
U
4) 4 (6 x 2 )dx
dx
(5x 3) 4
EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable.
Ejercicios
Soluciones
3 2 x dx
1
3
dx
1 2x
x 3x
2
xdx
2x 2 3
x 2 dt
x
3
1
3
3 2x
1 2x
2dx
1
9
3x 2 2
1
ln 2 x 2
4
2
3
c
3
3
x3 1 c
26
c
c
c
4
1
1 4x
5
1 4 x (4)dx
c
3
x 2 ( 2 x ) dx
3
5
2
(3 x 2 ) 2
3
1
dt
4t
1
2
xdx
(2 x 2 ) 3
4t
c
1
x2 )2
4(2
2
3
t 2 1 t dx
1 t
SOLUCIONES:
EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”
Número
u
Du
1
4x2 2
8xdx
2
x3 2
3x 2 dx
3
x2 2
2 xdx
4
2 x3 4
6x2dx
5
5x 3
5dx
27
c
3
c
4
5
1 t
5
2
7
1 t
7
c
1.4
Integración por fracciones parciales.
Función Raciona
Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el
denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes
enteros y positivos.
Es una función racional, donde P y Q son polinomios.
Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción
racional propia; en caso contrario es impropia.
Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de
fracciones simples.
EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales
Dividiendo entre x+3, entonces:
Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los
siguientes puntos:
a) Factorización
b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales
c) Solución de integrales inmediatas.
28
Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las
fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y
cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos.
CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.
Factorizando denominador:
La descomposición por fracciones parciales seria:
Simplificando la fracción:
A=1
29
Sustituyendo:
Simplificando
Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten
Por división sintética:
30
Eliminando A de (1) y (2):
………(4)
Eliminando A de (1) Y (3)
Formando un sistema con (4) y (5)
CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos
Resolver:
x4
2x 2 x
dx
3x 3 4 x 2 3x 1
31
Resolviendo el denominador por división sintética
1
3
4
3
1
1
-1
-2
-2
-1
1
2
2
1
0
-1
x3
1
2
2
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
0
A
2
x 1
Ax 2
Ax
B
x 1
2x 1
-1
Cx D
x2 x 1
x2
x 1
A x2
x 1
x 1
2
B x 1 x2
x 1
A Bx 3 2Bx 2 2Bx
2
x 2 A 2B 2C D
x 1
2
2
x2
B Cx 3 2Cx 2 Cx
x 1
x3 B C
2x 2
x2
x
=0
=2
=1
=0
Dx 2 2Dx
A B D
x 1
(1)
(2)
(3)
(4)
RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES
ELIMINANDO B DE (1) Y (2)
(-2)
B
+C
A +2B +2C +D
=0
=2
(1)
(2)
-2B -2C
A +2B +2C +D
=0
=2
(1)
(2)
A
+D
32
=2
D x 1
x 1
Formando un sistema de ecuaciones:
B
+C
A +2B +2C +D
A +2B +C +2D
A +B
+D
Cx
x 1
x A 2B C 2D
2
x 1
(5)
D
=
2
=
Eliminando B de (1) y (3)
(-2)
B
+C
A +2B +C
=0
+2D =1
(1)
(3)
-2B
2C
A +2B +C
=0
(1)
+2D =1
(3)
A
+2D =1
(6)
+D
=0
=0
(1)
(4)
+D
=0
=0
(1)
(4)
-C
ELIMINANDO B DE (1) Y (4)
(-1)
B
A +B
+C
-B
A +B
-C
A
-C
+D
=0
(7)
A
A
-C
-C
+2D =1
+D =0
(6)
(7)
A
-A
-C
+C
+2D =1
-D
=0
(6)
(7)
ELIMINANDO C DE (6) Y (7)
(-1)
D
33
=1
DESPEJANDO A DE (5)
A=2-D
A=2-1
A=1
Despejando C de (6)
C=A+2D-1
C= (1)+2(1)-1
C=2
Despejando B de (1)
B=-C
B=-(2)
B=-2
Sustituyendo incógnitas en integral:
1
x 1
1
x 1
u
2
2
2
x 1
dx 2
2x 1
dx =
x x 1
2
1
x 1
2x 1
dx =
x x 1
dx
2
du
du dx
=
=
u 2 du 2ln x 1
1
x 1
x2
u
x 1
2ln x 1
ln x 2
ln x 2
x 1
2x 1 dx
x 1
x 1
c
CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada
factor de la forma
ax 2
bx
c
n
que resulte de la factorización de Q(x), le
corresponde una suma de n fracciones de la forma:
Ax
B
ax 2 bx c
Cx
n
D
ax 2 bx c
n 1
.........
Lx M
ax 2 bx c
34
Ejemplo:
2x 3 x 3
dx =
x 2 2x 2 1
factorizando el denominador:
x2
2x 2 1
x2 1
2
x2 1 x2 1
como los factores cuadráticos se repiten:
2x 3
x
3
x2 1
2x 3
x
2
3
1
B
x2 1
x
2
Ax
Ax
Cx D
x2 1
2
B
D x2 1
Cx
2
x
2
1
Ax
2
x
Formando un sistema de ecuaciones:
C
=2
=0
=1
=3
D
A
+C
B
+D
(1)
(2)
(3)
(4)
DESPEJANDO A DE (3)
A=1-C
A=1-2
A=-1
DESPEJANDO B DE (4)
B=3-D
B=3-0
B=3
La integral a resolver es:
x
3
x2 1
x
x
2
3
1
2
2x
2
dx
x2 1
dx =
2x
x2 1
B Cx 3 Cx
dx
35
2
1
2
Dx 2
D
x2 1
u
du 2xdx
3
2
=
3 1
2 u
u 2 du ln x 2 1
3
2 x
2
ln x 2 1
1
ln x 2 1
c=
c
1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por
fracciones parciales
x2
dx
x2 x 6
1.-
2x 2
2.-
x
3
4x
3x 2
2
6x
4
dx
Solución: 2ln x 2
0
x2
3.dx
2
2x 1
1 2x
4.-
4 x 2 5x 20
x3
3x 2 10 x
9
ln x
5
Solución:
Solución:
dx
4
ln x 2
5
c
1
tan 1 x 1
2
c
1
2
Solución: 2ln x
36
3
3ln x 5
1ln x 2
c au
UNIDAD II. LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO CURVA
2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.
Notación sigma
En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el
problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas
dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan
de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por
lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la
letra griega mayúscula sigma.∑.
Notación sigma
La suma de n términos a₁, a₂, aᴣ,……an se escribe en notación matemática
como
Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites
superior e inferior de la suma son n y 1
Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de
suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar
cualquier valor menor o igual al límite superior.
Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.
37
d)
e)
f)
En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en
forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se
realiza.
Por ejemplo en la siguiente suma:
, el termino inicial es i =1
y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es
mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la
sumatoria es:
Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las
propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades
distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una
constante).
38
Teorema suma:
El problema del área.
Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que
proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede
definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede
demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en
triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego
Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".
Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del
agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a
ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió
de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso
del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue
empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.
Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de
regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región
limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:
El área de una región plana es un número (real) no negativo.
Regiones congruentes tienen áreas iguales.
El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de
las áreas de las dos regiones.
Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el
área de la segunda.
39
Aproximación del área de una región plana.
¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si
conocemos la expresión analítica de la función que la limita?
El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de
, desde x = 0 a x = 3.
Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.
Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región
se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura
del segundo rectángulo es
. El ancho de cada rectángulo es 1.5
El área total de los dos rectángulos es:
Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una
mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una
unidad de ancho.
40
La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los
casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.
El área total de los tres rectángulos es:
Área
8,0644 unidades cuadradas.
Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que
el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con
anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.
rectángulo
1
2
x
0
0.5
3
4
F(x)
3
Ancho de base
0.5
0.5
Área
1.5
1.4790
1
0.5
1.4142
1.5
0.5
1.2990
41
5
2.0
0.5
1.1180
6
2.5
0.5
0.8291
Área total
7.6395 U²
¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla
para resolver este problema...?
Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez
más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la
región.
En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece
indefinidamente, lo que puede escribirse:
Área =
(suma de las áreas de los n rectángulo)
Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión
intuitiva del Cálculo Integral.
Ejercicios de evaluación:
A. Desarrolla las siguientes sumas.
1.
6.-
2.
7.
3.
4.
5.
=
=
8.
9.
=
10.
42
B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2.2 Suma de Riemann.
Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre
mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de
sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e
inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en
cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el
contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo
de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos
de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es
necesario tener sub-intervalos de igual ancho.
Ejemplo Una partición con anchos desiguales.
Considere la región acotada por la grafica de
muestra en la figura, encontrar el límite.
, como se
43
Donde
ci
es
el
punto
terminal
derecho
de
la
partición
dada
por
y
.
Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:
De tal modo el límite es:
Definición de la suma de Riemann.
Sea f definida en el intervalo cerrado
, y sea
una partición de
dada por
Donde
es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo
sub-intervalo entonces la suma.
Se denomino suma de Riemann de f para la partición
C.
.
en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito
correspondiente.
21.
22.
23.
24.
f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3
f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4
f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6
f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8
44
2.3 Integral definida.
Sea f una función continua definida para a
x
de igual ancho
b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada
. Sean x0
a y xn
b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el iésimo sub-intervalo [xi 1, xi] con i 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número
.La integral definida es un número que no depende de
x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se
aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x)
tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en
este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma
que aparece en la definición de integral definida se llama
suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía
además sub-intervalos de distinta longitud.
Límite superior de integración
Signo de
integración
x, la variable a integrar
Límite inferior de integración
Propiedades de la integral definida:
1.
El valor de la int egr al def inida cambi a de signo s i se per mut an los límites
de i nte graci ón.
2.
Si los límites que int egr ación coinciden, l a int egr al def inida vale cero .
45
3.
Si c es un punto inter ior del inter valo [a, b], la integral def inid a s e
desc ompo ne com o una suma de dos i ntegrales ex tendidas a l os i nter valos
[a, c ] y [ c, b] .
4.
La i ntegral defi nida de una s uma de funciones es igual a la suma de
inte gral es·
5.
La i nte gral del producto de una constante por una f unci ón es igual a la
cons tant e por la i nt egral de la func ión.
Inte gr al
Sea f(t) un a función continua en el i nter valo [a, b] . A partir de esta fun ción se
defi ne l a fu nción int egr al :
Dep end e del límite superior de i nteg raci ón .
Para evit ar c onf usiones c uando s e hace r efer enci a a l a variabl e de f, s e la llama
t, pe ro si la r efer enci a es a la vari able de F, s e la llama x.
Geo métr icam ent e la funci ón integral , F(x), representa el área
curv a y = f(t), el eje de abscisas y las rect as t = a y t = x.
limitad a por la
A la fun ción int egr al , F( x), t ambién se l e ll ama función de áreas de f en el
inter valo [a, b].
46
La r egla de Barr ow dice que la integral defini da de una función continua f( x) e n
un i nter valo cer rado [a, b] es igual a la diferenc ia entre los val ores qu e tom a
una func ión prim itiva G(x) de f(x), en l os extremos de dicho int ervalo.
Ejem plos :
Calcular las sigui ent es int egr ales defi nidas aplicando l a regla de B arrow .
1.
2.
=
3.
El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la
función continua f(x) es la propia f(x) .
F'(x ) = f(x)
El t e ore ma f undamental del cálculo nos indic a que la deri vación y la i nte g raci ón
son ope r aciones inversas . Al integrar una función continua y l uego derivar la s e
recu per a la f unci ón original.
47
Problemas propuestos:
1
2
=
3
. Evalúa las siguientes integrales.
25.
37).
26.
38).
27.
39).
28.
40).
29.
41).
30.
42)
31.
43
32.
44)
33.
45)
34.
46)
35.
47)
36.
48)
48
=
Teo r em a de la media o del valo r medio para integral es
Si una f unci ón es continu a en un interval o cerrado [a, b], existe un pun to c en e l
inter ior d el interv alo t al que:
Ejem plo:
Hallar e l valor de c, del teorem a de la media , de l a función f( x) = 3x 2 en el
inter valo [− 4, −1]. Como l a función es continua en el i nter valo [−4, −1], se pue de
aplic ar el teor ema de l a m edia .
63=
f(c )=21
3
=21
c=
La s oluci ón positiva no es válida porque no per tenec e al intervalo Área entr e
una func ión y el eje de abscisa.
49
La f unci ón es po sitiva
Si la fun ción es posi tiva en un int ervalo [a, b] ent onces la gráfic a de la f unci ón
está por enci ma del eje de abscisas. El área de l a función viene dada p o r:
Para hal l ar el área seguir emos los siguientes pas os:
1º S e ca lculan los puntos de cort e con el eje X, haciendo f(x)=0 y r esol vien do l a
ecu ació n.
2º E l áre a es igual a la integr al defini da de la func ión que tiene como l ímites d e
inte grac ión l os punt os de cort e.
Ejemplo:
1. Calcul ar el ár ea del r ecinto limitado por l a curva y = 9 − x 2 y el eje X . En
prim er lu gar hall amos los puntos de cort e con el eje OX par a representar la curva
y co noc er los límites de integrac ión .
Com o la par ábol a es simétrica res pect o al eje Y, el área será igual al d oble del
áre a co mpr endi da entre x = 0 y x = 3.
50
2. C alcul ar el área limitada por la cur va
, y el eje X las rectas = 6, x = 12
3. C alcul ar el área del triángul o de vért ices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuació n d e la r ecta que pas a por AB:
Ecuació n d e la r ecta que pas a por BC:
=
=
=
51
2. C uan do l a fu nció n es neg ativa
Si la fun ción es negativa en un inter valo [a, b] entonces la gr áfica de la funci ón
está por debajo del eje de abscisas. El área de l a función viene dada po r:
Ejemplo
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje X.
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.
52
4. Cuando la función toma valores positivos y negativos
En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de
la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos:
1) Hallar el área limitada por la recta
, el eje de abscisas y las ordenadas
correspondientes a x = 0 y x = 4.
53
2.4 Teorema fundamental del cálculo.
x
Definimos la siguiente función: S(x) =
x
f ( x )dx
a
x
x
S = S(x+ x)-S(x)=
f ( x )dx
a
x
x
x
f ( x )dx - f ( x )dx =
a
x
y por lo tanto S(x+ x) =
f ( x )dx
f ( c) x
x
a
S
s
S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x
f (c)
lim
lim f (c)
x
0
x 0
x
x
tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x).
2.5 Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas.
El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada
por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Ejem plos
1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y
(1, 4).
54
y=x²+2
Y=2x+2
2) Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 en los puntos de corte de la parábola y la
recta y = x.
De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola
55
Evalúa las siguientes áreas bajo la curva.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = 2 y x = 8.
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje 0X.
Calcular el área del triangulo de vértices A ( 3 , 0 ), B ( 6 ,3 ), C ( 8 ,0 ).
Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x².
Calcular el área limitada por la curva xy=36 en el eje X y las rectas x=6, x=12.
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1- x²) y la recta y = -1.
Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los
puntos (-1, 0) y (1, 4).
8) Hallar el área limitada por la rect a
, el eje de absc isas y las
ord e nadas c orrespondientes a x = 0 y x = 4.
9) Calcular el ár ea li mitada por la cur va y = 6x 2 − 3x 3 y el eje de abscisas.
10) Hallar el área de la r egión del plano li mitada por las curvas y = ln x, y = 2 y
los ejes coordenados.
11) Calcular el área de l a región del plano limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9.
12) Hallar el área de una eli pse de semiejes a y b.
13) Calcular el área de l a región del plano limitada por la cur va: f (x) = |x 2 − 4x
+ 3| y el eje OX.
14) Hallar el área de la fi gur a limitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2
15) Hallar el área del rec into plano y l imitado por l a parábola y = 4x − x 2 y la s
tan g ent es a l a curva en l os punt os de intersec ción con el eje O X
56
UNIDAD III. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
3.1 Cálculo de volúmenes.
El volu men del cuerpo de r evol ución engendrado al girar la curv a f(x ) alr ede dor
del eje OX y l i mi ta d o p o r x = a y x = b, viene dado por :
Ejem plos
1. Hallar el volumen engendr ado por l as super ficies limitadas por l as curva s y las
rect as d ada s al girar en t or no al eje O X:
y = sen x = 0x = π
2. C alcul ar el volumen del cilindr o engendr ado por el rectángulo limitad o por las
rect as y = 2, x = 1 y x = 4, y el ej e O X al girar alrededor de es te ej e.
3. C alcul ar el volumen de la esfer a de radi o r.
Partimos de l a ec uaci ón de la circunf erenc ia x² + y² = r².
Gira ndo un semicírcul o en t orno al eje de abscisas se obti ene un a
esfe ra.
57
4. Calcular el volumen engendrado por l a rotación del área li mitad a p or l a
par á bola y 2 = x y la recta x = 2, al rededor del eje OY.
Com o gir a alr ededor del eje OY, aplic amos:
El
volumen
será
la
di ferencia
del
engendrado
por
la
r ec ta
y
el
eng end r ado por l a parábola entre los extr emos y = −4 e y = 4.
Com o la par ábola es simétrica con res pect o al eje OX, el v olumen es i gual
a d o s ve ces el volumen engendr ado entr e y = 0 e y = 4.
5. H allar el volumen del elips oide engendr ado por l a eli pse 16x 2 + 25y 2 = 40 0, al
girar :
58
1 Alrededor de s u ej e m ayor .
2 Alrededor de s u ej e m enor .
Com o la elipse es simétr ica al r especto de los dos ejes el volumen es el d oble
del eng end r ado por l a porción de elipse del pr imer cuadrante en ambos ca sos.
6. Calcular el volumen engendrado al gir ar alrededor del eje OX el reci nto
limitado por l as gráfic as de y = 2x −x 2 , y = −x + 2.
Punt os de int ersección entre l a parábola y la recta:
59
La p ará b ola está por enci ma de l a recta en el intervalo de int egr ación.
Evalúa los siguientes volúmenes.
1) Hallar el vol umen del tronco de c ono engendr ado por la r otación a lred edo r
OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
2) Calcular el volumen que engendr a un triángul o de vértices A(3, 0), B(6, 3),
C(8, 0) al gir ar 360° alrededor del ej e O X.
3) Halla r el volumen del tronco de c ono engendr ado por el tr apecio que limit a
el ej e de abs cisas, la rect a y = x + 2 y las coordenadas c orrespondie ntes a
x = 4 y x = 10, al gi rar alrededor de OX.
4) Calcular el v olumen engendr ado por una semi onda de la s inus oide y = sen
x, al girar alr ededor del eje OX.
5) Calcular el volumen engendrado al gir ar alrededor del eje OX el reci nto
limitado por l as gráfic as de y = 2x −x 2 , y = −x + 2.
6) Hallar el volumen del cuerpo rev oluci ón engendr ado al girar alred edo r del
eje OX, la región determ inada por la func ión f (x) = 1/2 + cos x, el eje de
absc isas y las rect as x = 0 y x = π.
7) Calcular el v olumen del cuer po engendr ado al gir ar alrededor del eje OX el
reci nto l imitado por l as gráfic as de y = 6x − x 2 , y = x.
60
8) Hallar el volumen engendr ado por el círcul o x 2 + y 2 − 4x = −3 al gira r
alre dedor del ej e O X.
9) Hallar el volum en de l a figur a engendrada al girar la el ipse
alre dedor del ej e O X.
3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría.
1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² +2 que sea paralela a la
recta 8x – y +3 = 0
Solución:
y = 2x² +2
sea :
m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces
m= y' = 4x (1)
8x – y +3 =0 , y = 8X +3 (2)
Si m1 = 8 (3)
Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí,
tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1)
y (3) se obtiene:
4x =8 , x = 2 (4)
2) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva
la recta x - y =0
Solución:
Sea
61
, que sea perpendicular a
m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces
m= y' = -2/3 x
(1)
x – y = 0, y = x
(2)
Si m1 es la pendiente de la recta definida por (2)
entonces m1 = 1
(3)
Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es
igual a -1, esto es
(m)(m1) = -1
m = -1/m1
(4)
sustituyendo (3) en (4), se obtiene
m = -1/1, m = -1
(5)
Igualando (5) en (1), se obtiene
Para obtener la ordenada del punto de tangencia , sustituimos (6) en ecuación original, se
tiene:
(7)
62
De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:
Por lo tanto
, es la ecuación buscada.
3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva
, en el punto (2,4)
Solución:
Y = x³ -4 (0)
Sea
m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces
m= y' = 3x² (1)
m(2) = 3(2)² = 3x4 =12
(2)
el punto de tangencia P, coordenadas es P(2,4) (3)
de (2) y (3) y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene;
y= 12 ( x – 2 ) - 4 ,
y = 12x – 28 por lo tanto 12x –y -28 =0 es la ecuación buscada.
grafica de ecuación
63
4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5).
Solución:
Y = 10 / (14 - x²) =
(0)
Sea
m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces:
m = y' =
(1)
=
= 20
(2)
Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor
numérico de 20.
Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la
tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es:
(3)
El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5)
(4)
De (3) y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:
Por lo tanto x + 20y + 96 =0 ecuación buscada
64
5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x,
paralelas a la recta x +8y -8 =0
65
3.3 Aplicación del cálculo integral en la física.
66
67
3.4 Aplicaciones a la economía.
68
69
70
BIBLIOGRAFÍA
Calculo diferencial e integral
Pearson (Pretice Hall)
Purcell, Varberg, Rigdon
Novena edición
Calculo diferencial e integral
Mc Graw Hill
Larson-Hostetler- Eduards
Séptima edición
Cálculo trascendente temprano
Internacional Thomson Editores
Steward, James
Quinta edición
http://www.vitutor.com/index.html
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integraciondefinida/html/integracion.pdf
71