matemática básica ii - Universidad Tecnológica del Perú

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
"MATEMÁTICA BÁSICA II"
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA
ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA DE
TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA
AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA DE SOFTWARE
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
MATEMÁTICA BÁSICA II
© MATEMÁTICA BÁSICA II
Desarrollo y Edición:
Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS:
• Lic. Primitivo Cárdenas Torres
• Lic. Carlos Bravo Quispe
Diseño y Diagramación:
Julia Saldaña Balandra
Soporte académico:
Instituto de Investigación
Producción:
Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.
2
MATEMÁTICA BÁSICA II
“El presente material contiene una compilación de contenidos de obras de
MATEMÁTICA BÁSICA publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a
cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser
empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la
Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en
aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo
822, Ley sobre Derechos de Autor”.
3
MATEMÁTICA BÁSICA II
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MATEMÁTICA BÁSICA II
PRESENTACIÓN
La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las
ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del
desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.
La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de
los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del
pensamiento de la humanidad.
De allí, que en la formación académica de Ingenieros, a nivel universitario
se privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a los
estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.
En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en
su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de
Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica,
Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronáutica, Marítima y Software; para la
Asignatura de Matemática Básica II.
Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanzaaprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la
producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las
exigencias de estos tiempos.
La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de
Matemática, progresivamente modelada en función del sillabus de la Asignatura
acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso cuidadoso de
recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas.
La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación
académica del profesor: Lic. Primitivo Cárdenas Torres.
La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados,
para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático:
Capitulo I : Matrices
Capitulo II: Determinantes
Capitulo III: Sistema de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICA BÁSICA II
Capitulo IV: sistema de coordenadas Tridimensionales y Vectores
Capitulo V: Rectas y planos en el Espacio
Capitulo VI: Sistema de Números Complejos
Capitulo VII: Polinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados
Al cerrar esta presentación la gratitud institucional al esfuerzo y trabajo
del profesor Lic. Primitivo Cárdenas Torres que ha permitido la elaboración del
presente texto en su primera edición. Así mismo la Institución agradece al Dr.
José Reategui Canga por la revisión del texto y al profesor Lic. Carlos Bravo
Quispe, por sus valiosos comentarios al contexto del presente material de
estudios.
LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA
Vicerrector de Investigación
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MATEMÁTICA BÁSICA II
ÍNDICE
Capitulo I
Matrices .........................................................................................................
11
Capitulo II
Determinantes ...............................................................................................
35
Capitulo III
Sitema de Ecuaciones Lineales......................................................................
57
Capitulo IV
Sistema de coordenadas Tridimensionales y Vectores ................................
77
Capitulo V
Rectas y planos en el Espacio .......................................................................
111
Capitulo VI
Sistema de Números Complejos ...................................................................
131
Capitulo VII
Polinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados ......................................
153
Bibliografía ...................................................................................................
173
7
MATEMÁTICA BÁSICA II
8
MATEMÁTICA BÁSICA II
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA
Clase
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
Tema
Matrices, tipos de Matrices, igualdad de matrices, Suma
y diferencia de Matrices. Propiedades, Multiplicación de
un Escalar por una matriz.
Producto de Matrices. propiedades. Matrices especiales:
conmutativa, indepotente, involutiva y nilpotente de
cierto orden.
Matriz transpuesta, simétrica y
antisimétrica. Propiedades.
Determinantes. Definición para matrices de orden 2 y 3.
propiedades de los determinantes. Matriz no singular.
Definición de Matriz inversa. Propiedades. Rango de
una matriz.
Menores y cofactores de una matriz. Adjunta de una
matriz. Propiedades de la inversa de una matriz por el
método de la adjunta.
Determinante de una matriz de orden 4 pos cofactores.
Generalización a Matrices de orden n.
Operaciones elementales con filas y columnas de una
matriz. Equivalencia de matrices. Matriz escalonada,
aplicación al cálculo del rango de una matriz y al cálculo
de la inversa una matriz.
Sistema de ecuaciones lineales. Solución por métodos
matriciales utilizando: Regla de Cramer y operaciones
elementales.
Sistemas de Coordenadas Tridimensionales. Distancia
entre dos puntos. Vectores en R3. Suma de vectores.
Propiedades. Producto de un vector por un escalar.
Propiedades. Producto escalar. Propiedades. Norma de
un vector. Vectores ortogonales. Proyección ortogonal y
componentes.
Semana
Horas
1
03
2
03
3
03
4
03
5
03
6
03
7
03
8
03
03
9
Revisión de Semanas 1 – 8
9
10
EXAMEN PARCIAL
10
11
Ángulos entre dos vectores. Combinación lineal de
vectores, independencia lineal de vectores. Producto
Vectorial. Propiedades e interpretación geométrica.
Triple producto escalar, propiedades e interpretación
geométrica.
9
11
03
MATEMÁTICA BÁSICA II
Clase
N°
12
13
14
15
16
17
Tema
Recta en R3. Ecuación vectorial de la recta. Ecuación
simétrica de la recta. Distancia de un punto a una recta,
ángulo entre dos rectas.
Planos, ecuación vectorial, normal y general de un
plano, distancia de un punto a un plano. Intersección de
una recta y un plano. Intersección de planos.
Sistema de los números Complejos. Representación e
igualdad de complejos. Conjugado de un complejo,
suma, resta, multiplicación y división de números
complejos. Propiedades.
Módulo de un número complejo. Propiedades.
Argumento de un Complejo. Forma polar de un
complejo. Forma exponencial de un complejo.
Propiedades, Fórmula de Moivre. Potencias enteras y
raíces n-esimas de un número complejo.
Polinomios de grado n definidos en
. Igualdad de
polinomios.
Raíces de polinomios. Teorema
fundamental del álgebra y
demás Teoremas
relacionados a la solución de ecuación polinómica.
Métodos para encontrar las raíces racionales,
irracionales y Complejas.
Polinomio característico,
valores propios y vectores propios de una matriz
simétrica real.
Semana
Horas
12
03
13
03
14
03
15
03
16
03
17
03
03
18
Revisión de las semanas 11-17
18
19
EXAMEN FINAL
19
20
EXAMEN SUSTITUTORIO
20
10
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO 1
MATRICES
INTRODUCCIÓN
Las matrices representan herramientas tan importantes para la sistematización de
cálculos laboriosos, puesto que proveen una notación compacta para almacenar
información y describir un conjunto de relaciones muy complicadas.
En este capítulo nuestra meta es estudiar las matrices reales y dar a conocer las
matrices y aquellas operaciones algebraicas básicas que el estudiante debe
entender por completo antes de seguir adelante .Es importante practicar la adición
y multiplicación de matrices hasta que estas operaciones se vuelvan automáticas.
Se proporciona detalles y teoremas básicos para métodos computacionales
posteriores.
Definición.- Una matriz de tamaño m × n (orden m × n ) es un arreglo rectangular
A de m n números (objetos o símbolos que representan números) encerrados en
corchetes cuadrados, estos objetos o números se llaman elementos de la matriz y
están colocados o dispuestos en m –filas (renglones horizontales) y n-columnas
verticales.
El elemento
( i , j ) se denota por a i j∈ R
y es lo que se encuentra en la
intersección de i- ésima fila con la j- ésima columna .
Las matrices se denotan con letras mayúsculas A, B, C, M, P, Q, sucesivamente.
Mediante el último dispositivo Nemónico las matrices de orden m × n se escribe
⎡ a 11 a 12 a 13 ... a 1n ⎤
⎢a
a 2 2 a 23 ... a 2 n ⎥⎥
21
en forma abreviada como A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
=⎢
m× n
⎢....... ....... ........ .......⎥
⎢
⎥
⎣⎢ a m 1 a m 2 a m 3 ... am n ⎦⎥
m× n
El orden de una matriz esta definido por producto del número de filas y
columnas.
11
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos
⎡ −1 2 ⎤
⎡ 2 −1 3⎤
Las matrices A = ⎢
y B = ⎢⎢ 3 0 ⎥⎥ , B = [ 4 8 −3 90]1 ×4
⎥
⎣ 4 5 0 ⎦ 2×3
⎢⎣ 2 3 ⎥⎦ 3×2
B = [ 4 8 −3 90 12]1 ×5
⎡ 1
⎢ −2
⎡ 0 −1 3 ⎤
⎢
M = ⎢⎢ 4 6 9 ⎥⎥ P = ⎢ 3
⎢
⎢⎣ 10 31 32 ⎥⎦ 3×3
⎢ 12
⎢⎣ 7
son matrices de orden 2 × 3 ,
respectivamente.
⎤
⎥
⎡ 22 ⎤
⎥
⎥ , T = ⎢ 19 ⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥⎦ 3×1
90
−
⎣
⎥
⎥⎦
5×4
y 5 × 4 , 1× 4 , 1 × 5 y
2
5
9
0
0
4
5
7
11
15 −16 −10
8
9
0
3× 2 , 3× 3
3 ×1
MATRICES ESPECIALES O TIPOS DE MATRICES
MATRIZ CUADRADA.- Una matriz A es cuadrada, cuando tiene el número
de filas igual al número de columnas y se denota por A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ .
n× n
⎡ 0 −1 3 ⎤
⎡ 3 2 −1⎤
⎡ 2 −1⎤
⎢
⎥
, B = ⎢7 0 1 ⎥ , C = [ 2] , Q = ⎢⎢ 4 6 9 ⎥⎥ , son matrices
A=⎢
⎥
⎣1 1 ⎦
⎢⎣ 10 31 32 ⎥⎦ 3×3
⎢⎣ 4 3 −1⎥⎦
cuadradas
MATRIZ FILA.- A las matrices de orden 1× n se llama matriz de una fila y
n-columnas A = ⎡⎣ a11 a12 … a1 n ⎤⎦ .También se denomina vector fila.
1× n
MATRIZ COLUMNA.- A las matrices de orden n × 1 se les denomina matriz
⎡ a11 ⎤
⎢a ⎥
columna , es denota por A = ⎢ 21 ⎥ ,llamado también como vector columna.
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ an1 ⎥⎦ n ×1
12
MATEMÁTICA BÁSICA II
MATRIZ NULA Una matriz que tiene todos sus elementos nulos Matriz Nula y
se denota por θ
Ejemplo:
⎡0 0 ⎤
⎡0 0 0 ⎤
θ = [ 0]1×1 , θ = ⎢
, θ =⎢
⎥
⎥
⎣0 0 ⎦ 2× 2
⎣0 0 0 ⎦ 2×3
OPERACIONES CON MATRICES
En esta sección estudiaremos las propiedades de las operaciones básicas y mas
usuales con matrices: suma de matrices; producto de un numero por una matriz
(producto de un escalar por un matriz ) y producto de matrices .
SUMA DE MATRICES
Definición.- Sean
A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
, B = ⎡⎣b i j ⎤⎦
m× n
dos matrices desorden m × n ,
entonces la suna A + B es otra matriz del mismo orden m × n , definido por
C = A + B = ⎡⎣ ai j + bi j ⎤⎦
m× n
= ⎡⎣ ci j ⎤⎦
m× n
Es importante observar que solo se pueden sumar matrices del mismo orden.
Ejemplo
1.-
⎡ 2 −1⎤
⎡ −7 0 ⎤
⎢
⎥
Hallar la suma de A = ⎢ 3 2 ⎥ y B = ⎢⎢ 1 2 ⎥⎥
⎢⎣ −3 1 ⎥⎦
⎢⎣ 4 −1⎥⎦
Solución
De acuerdo con la definición de suma de matrices
⎡ 2 −1⎤ ⎡ −7 0 ⎤ ⎡ 2 − 7 −1 + 0 ⎤ ⎡ −5 −1⎤
A + B = ⎢⎢ 3 2 ⎥⎥ + ⎢⎢ 1 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 3 + 1 2 + 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 4 4 ⎥⎥
⎢⎣ 4 −1⎥⎦ ⎢⎣ −3 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 − 3 −1 + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 ⎥⎦
2.-
⎡ a −1⎤ ⎡c d ⎤ ⎡3 −2 ⎤
Hallar a, b, c y d para que ⎢
⎥+⎢
⎥=⎢
⎥
⎣ 2 b ⎦ ⎣c 2 ⎦ ⎣1 2 ⎦
Solución
Sumando las matrices del primer termino de la igualdad se tiene
13
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
⎧ a+c =3
⎧ a=4
⎪
⎪
⎡ a + c −1 + d ⎤ ⎡3 −2 ⎤ ⎪ −1 + d = −2 ⎪ d = −1
⎢ 2 + c b + 2 ⎥ = ⎢1 2 ⎥ ⇒ ⎨ 2 + c = 1 ⇒ ⎨ c = −1
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎪
⎪
⎪⎩ b + 2 = 2
⎪⎩ b = 0
Demostrar la propiedad conmutativa de la suma de matrices, es decir
B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
son dos matrices del mismo orden m × n
si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
m× n
entonces A + B = B + A
Solución.
De la definición de suma de matrices se tiene
A + B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ + ⎡⎣b i j ⎤⎦ = ⎡⎣ a i j + b i j ⎤⎦ = ⎡⎣b i j + a i j ⎤⎦ = ⎡⎣b i j ⎤⎦ + ⎡⎣ a i j ⎤⎦ = B + A
La tercera igualdad se debe a la propiedad conmutativa de la suma de
números reales.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Definición 4. Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
es una matriz de orden m × n y k es un número
m× n
real, se llama producto del escalar k por la matriz A, a la matriz k A = ⎡⎣ k a i j ⎤⎦
m× n
Ejemplos
1.-
⎡1 3 ⎤
⎡ 2 −1⎤
1
Si A = ⎢
y B=⎢
son dos matrices .Calcular 4A , B ,
⎥
⎥
2
⎣ 2 −1⎦
⎣0 1 ⎦
3 A + 5B
Solución
⎡1
⎢2
⎡ 8 −4 ⎤ 1
Operando directamente se obtiene 4 A = ⎢
=
,
B
⎢
⎥
⎣0 4 ⎦ 2
⎢1
⎣⎢
⎤
−2 ⎥
⎥,
−1 ⎥
2 ⎦⎥
⎡6 −3⎤ ⎡ 5 15 ⎤ ⎡11 12 ⎤
3A + 2B = ⎢
⎥+⎢
⎥=⎢
⎥
⎣0 3 ⎦ ⎣10 −5⎦ ⎣10 −2 ⎦
En particular − A = ⎡⎣ −a i j ⎤⎦
m× n
, se llama matriz opuesta a A y representa
la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de sus elementos por el
escalar -1
14
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
3.-
0⎤
⎡ 2 −8 0 ⎤
⎡ −2 8
Si B = ⎢⎢ 2 6 7 ⎥⎥ ⇒ − B = ⎢⎢ −2 −6 −7 ⎥⎥
⎢⎣ −1 3 5 ⎥⎦
⎢⎣ 1 −3 −5 ⎥⎦
⎡ 2 1⎤
Si A = ⎢
⎥ , calcular A + (− B )
⎣ −1 3 ⎦
Solución
Ahora, de la definición de suma de matrices,
⎡ 2 1⎤ ⎡ −2 −3⎤ ⎡0 −2 ⎤
A + (− B) = ⎢
⎥+⎢
⎥=⎢
⎥.
⎣ −1 3⎦ ⎣ 1 0 ⎦ ⎣0 3 ⎦
En lugar de A + (− B ) suele escribirse A − B y se le llama diferencia de
matrices
4.-
⎡ 2 −1 3 ⎤
⎡1 −2 0 ⎤
Hallar la matriz X tal que ⎢
+X =⎢
⎥
⎥
⎣0 1 2⎦
⎣1 −2 1 ⎦
Solución
x
x13 ⎤
⎡x
Sea X = ⎢ 11 12
⎥ una matriz de orden 2 × 3 , por lo tanto
⎣ x21 x22 x23 ⎦
⎡ 2 −1 3 ⎤ ⎡ x11 x12 x13 ⎤ ⎡1 −2 0 ⎤
⎥ =⎢
⎢0 1 2⎥ + ⎢ x
⎥ de donde se deduce que
⎣
⎦ ⎣ 21 x22 x23 ⎦ ⎣1 −2 1 ⎦
⎡ −1 −1 −3⎤
X =⎢
⎥
⎣ 1 −3 −1⎦
El siguiente Teorema recoge las propiedades de la suma de matrices y
producto de un escalar por una matriz.
Teorema.-
Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
, B = ⎡⎣b i j ⎤⎦
m× n
, C = ⎡⎣c i j ⎤⎦
m× n
tres matrices de
orden m × n y sean p , q ∈ R arbitrarios. Entonces se cumplen:
i)
A + B = B + A , propiedad conmutativa
ii)
iii)
( A + B) + C = A + ( B + C ) , propiedad asociativa
A +θ = A = θ + A
, existencia y unicidad del elemento neutro para la
suma de matrices.
15
MATEMÁTICA BÁSICA II
iv)
A + (− A) = θ = − A + A , existenci y unicidad del opuesto para la suma de
matrices.
v)
λ ( A + B) = λ A + λ B , propiedad distributiva del producto por un escalar
respecto a la suma de matrices.
vi)
(λ + κ ) A = λ A + κ A , propiedad distributiva del producto de una matriz
respecto a la suma de escalares.
vii)
( pq) A = p(qA) , propiedad asociativa del producto escalares por una
matriz.
vii)
1 ⋅ A = A , existencia del elemento neutro multiplicativo para la matriz .
Demostración
Demostración de (v).
Sean A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ y B = ⎡⎣b i j ⎤⎦ entonces:
λ ( A + B) = λ ( ⎡⎣ ai j ⎤⎦ + ⎡⎣bi j ⎤⎦ ) = λ ⎡⎣ ai j + bi j ⎤⎦ = ⎡⎣λ (ai j + bi j ) ⎤⎦ = ⎡⎣λ ai j + λ bi j ⎤⎦ ,
por otra arte, λ A + λ B = λ ⎡⎣ a i j ⎤⎦ + λ ⎡⎣b i j ⎤⎦ = ⎡⎣λ a i j ⎤⎦ + ⎡⎣λ b i j ⎤⎦ = ⎡⎣λ ai j + λb i j ⎤⎦
Ejemplo
1.Calcular 2 ( 3 A − B ) − 3( B − 2C ) + 4 [ 2 ( A + B − C ) − (4 A + 3C ) ] , si
⎡1 −1 2 ⎤
⎡ 2 −3 1 ⎤
⎡ 2 −1 0 ⎤
y C=⎢
A=⎢
, B=⎢
⎥
⎥
⎥
⎣0 −2 1 ⎦
⎣0 1 0⎦
⎣0 1 3⎦
Solución
De acuerdo con las propiedades dadas en el teorema1
2(3 A − B ) − 3( B − 2C ) + 4 [ 2( A + B − C ) − (4 A + 3C ) ] =
6 A − 2 B − 3B + 6C + 4 [ 2 A + 2 B − 2C − 4 A − 3C ] = −2 A + 3B − 14C =
⎡ −4 2 0 ⎤ ⎡ 3 −3 6 ⎤ ⎡ 28 −42 14 ⎤ ⎡ −29 41 −8⎤
⎢ 0 −2 −6 ⎥ + ⎢0 −6 3⎥ − ⎢ 0 14 0 ⎥ = ⎢ 0 −22 −3⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
2.-
⎡ 3 1 −4 ⎤
⎡ −4 −3 2 ⎤
Si X + Y = ⎢
, 2 X − 3Y = ⎢
⎥
⎥ . Hallar la matriz
⎣7 1 5 ⎦
⎣ −6 2 −5⎦
X−Y
16
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
⎡ 6 2 −8⎤
⎡ −4 −3 2 ⎤
y 2 X − 3Y = ⎢
Tenemos 2 X + 2Y = ⎢
⎥
⎥
⎣14 2 10 ⎦
⎣ −6 2 −5⎦
⎡ −10 −5 10 ⎤
⎡ 2 1 −2 ⎤
restando se obtiene: −5Y = ⎢
, de donde Y = ⎢
⎥
⎥
⎣ −20 0 −15⎦
⎣4 0 3 ⎦
⎡ 3 1 −4 ⎤
y X =⎢
⎥ , entonces:
⎣7 1 5 ⎦
⎡ 3 1 −4 ⎤ ⎡ 2 1 −2 ⎤ ⎡1 0 −2 ⎤
X −Y = ⎢
⎥−⎢
⎥=⎢
⎥
⎣ 7 1 5 ⎦ ⎣ 4 0 3 ⎦ ⎣3 1 2 ⎦
Teorema (productos nulos) Cualesquiera que sean la matriz A y el escalar k se
satisface.
i)
θ A = θ y kθ = θ
ii)
Si kA = θ ⇒ k = 0 ∨ A = θ
PRODUCTO DE MATRICES
Definición.- Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m×n
, B = ⎡⎣b i j ⎤⎦
define como la matriz AB = C = ⎡⎣c i j ⎤⎦
la columna
j
m× r
n×r
.El producto AB (en este orden) se
, donde los elementos c i j de la fila i y
es c i j = a i1 b1 j + a i 2b 2 j + ... + a i n b n j
para
i = 1, 2,..., m ,
j = 1, 2,..., r . Este producto está definido si y solo si el número de columnas
de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B .
Diremos que A y B se ajustan para la multiplicación si el producto AB está
definido ( o sea , si el número de columnas de A es igual al número de filas de B .
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
AB = ⎢
⎢ a i1
⎢ .
⎢
⎢⎣ a m1
a 12
a 13
...
a 22
a 23
...
.
.
...
a i2
a i3
...
.
.
...
a m2
a m 3 ...
a 1n ⎤
b12
⎡b
a 2 n ⎥⎥ ⎢ 11
b
b 22
. ⎥ ⎢ 21
.
⎥⎢ .
a in ⎥ ⎢
.
.
. ⎥⎢
bn 2
⎥⎢b
a m n ⎥⎦ ⎣ n1
17
... b 1 j
... b 2 j
...
.
...
.
... b n j
b1r ⎤
... b 2 r ⎥⎥
.
. ⎥=
⎥
.
. ⎥
... b n r ⎥⎦
...
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡ c11 c12
⎢c
⎢ 21 c 22
⎢ .
.
⎢
.
⎢ .
⎢ .
.
⎢
⎢ c i1 c i 2
⎢ .
.
⎢
.
⎢ .
⎢ .
.
⎢
⎢ c m1 c m 2
⎢
⎣⎢
...
c1 j
...
... c 2 j
...
...
.
...
...
.
...
...
.
...
...
...
ci j
.
...
...
...
.
.
...
.
...
... c m j
...
c1r ⎤
c 2 r ⎥⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
cir ⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
cm r ⎥
⎥
⎦⎥
Ejemplos
1.-
2.-
3.-
4.-
⎡1⎤
AB = [ 2 3 1] ⎢⎢ −1⎥⎥ = [ 2 − 3 + 2] = [1]
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎡1 ⎤
⎢ −2 ⎥
PQ = [3 −1 4 0 ] ⎢ ⎥ = [3 + 2 + 12] = [17 ]
⎢3 ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
⎡1 −1 0 2 ⎤ ⎡ 11 ⎤ ⎡ −41 ⎤
⎢ 0 1 4 1 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ 44 ⎥
⎥⎢
⎥=⎢
⎥
MN = ⎢
⎢ 2 0 3 −1⎥ ⎢ 13 ⎥ ⎢ 81 ⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ 4 −2 0 0 ⎦ ⎣ −20 ⎦ ⎣ 20 ⎦
⎡ 1 ⎤
⎡ 0 −1 2 4 −2 3 ⎤
⎢ 2 ⎥
⎢ 0 −2 4 8 −4 6 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
AB = ⎢ −1 ⎥ [ 0 −1 2 4 −2 3 ] = ⎢ 0 1 −2 −4 2 −3 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎢0 0 0 0 0 0 ⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣ 0 −3 6 12 −6 9 ⎥⎦
18
MATEMÁTICA BÁSICA II
5.-
⎡1 2 ⎤
⎡ 2 −1 1 ⎤
⎢
⎥
Si A = ⎢
⎥ y B = ⎢0 −1⎥ . Calcular AB y BA AB
1
0
2
⎣
⎦
⎢⎣ 3 4 ⎥⎦
Solución
⎡1 2 ⎤
⎡ 2 −1 1 ⎤ ⎢
AB = ⎢
0 −1⎥⎥ =
⎥
⎢
⎣1 0 2⎦ ⎢3 4 ⎥
⎣
⎦
Por otra parte
⎡5 9 ⎤
⎢7 10 ⎥
⎣
⎦
1.(−1) + 2.0
1.1 + 2.2 ⎤
⎡1 2 ⎤
⎡ 1.2 + 2.1
⎡ 2 −1 1 ⎤ ⎢
⎢
⎥
BA = ⎢ 0 −1⎥ ⎢
= ⎢ 0.2 + (−1).1 0.(−1) + (−1)0 0.1 + (−1).2 ⎥⎥
⎥
1 0 2⎦
⎢⎣ 3 4 ⎥⎦ ⎣
⎢⎣
3.2
3.(−1) + 4.0
3.1 + 4.2 ⎥⎦
⎡ 4 −1 5 ⎤
= ⎢⎢ −1 0 −2 ⎥⎥
⎢⎣10 −3 11 ⎥⎦
Este ejemplo ilustra el hecho de que el producto de matrices no es
conmutativo.
Teoremas
1.-
, B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
y C = ⎡⎣c i j ⎤⎦
⇒ ( AB)C = A( BC )
Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
n× p
p× q
2.-
Sean
A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
y
B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× p
,
C = ⎡⎣c i j ⎤⎦
p× q
⇒
A( B + C ) = AB + AC
3.-
Sean B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
4.-
y λ ∈ R , entonces λ ( AB ) = (λ A ) B = A(λ B )
Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ , B = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
m× n
n× p
n× p
, C = ⎡⎣c i j ⎤⎦
p× q
y A = ⎣⎡ a i j ⎦⎤
⇒ ( B + C ) A = BA + CA
p×q
En general:
1)
AB ≠ BA
2)
AB = θ , no implica necesariamente que A = θ ∨ B = θ
3)
AB = AC , no implica necesariamente que B = C
19
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos
1.-
2.-
⎡ −2 ⎤
[3 −1 4] ⎢⎢ 6 ⎥⎥ = [ −6 − 6 + 12] = θ , sin embargo cada matriz que
⎢⎣ 3 ⎥⎦
intervienen en el producto son diferentes de la matriz nula θ .
Dadas las siguientes matrices
⎡1 −3 2 ⎤
⎡1 4
⎢
⎥
A = ⎢ 2 1 −3⎥ , B = ⎢⎢ 2 1
⎢⎣ 4 −3 −1⎥⎦
⎢⎣1 −2
⎡ −3 −3 0 1 ⎤
que AB = ⎢⎢ 1 15 0 −5⎥⎥ y
⎢⎣ −3 15 0 −5⎥⎦
1 0⎤
⎡2
⎥
1 1 ⎥ , C = ⎢⎢ 3
⎢⎣ 2
1 2 ⎥⎦
⎡ −3 −3
AC = ⎢⎢ 1 15
⎢⎣ −3 15
1
−2
−5
0
0
0
−1 −2 ⎤
−1 −1⎥⎥ , se tiene
−1 0 ⎥⎦
1⎤
−5⎥⎥ , tenemos que
−5⎥⎦
AB = AC , sin embargo B ≠ C
3.-
Se quiere comparar el costo total de ciertos comestibles, la siguiente
Matriz muestra el costo en soles de un kilo de cada uno de los productos
de los tres supermercados carne pan papa manzana café
⎡ 70
M = ⎢⎢ 85
⎢⎣ 75
40
13
30
38
42
10
12
28
30
330 ⎤ → Supermercado X
310 ⎥⎥ → Supermercado Y
325⎥⎦ → Supermercado Z
Si se compran 15 kilos de carne, 10 de pan, 13 de papas, 14 de manzanas,
10
de
café representamos las cantidades compradas
⎡
⎢
⎢
matriz N = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
15
10
13
14
10
⎤
⎥
⎥
⎥ , hallar el ingreso
⎥
⎥
⎥⎦
mercados.
20
por la
total de cada uno de los
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
⎡ 70
M = ⎢⎢ 85
⎢⎣ 75
40
38
42
13
10
12
30
28
30
⎡15⎤
330 ⎤ ⎢10 ⎥ ⎡ 5339 ⎤
⎢ ⎥
310 ⎥⎥ ⎢13⎥ = ⎢⎢ 5277 ⎥⎥
⎢ ⎥
325⎥⎦ ⎢14 ⎥ ⎢⎣ 5371 ⎥⎦
⎢⎣10 ⎥⎦
Vemos que el costo total en el supermercado Z es 32 soles más que el
supermercado X y 94 soles mas que el supermercado Y.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-
Dado
las
matrices
⎡ 1 2 −3 ⎤
A = ⎢⎢5 0 2 ⎥⎥
⎢⎣1 −1 1 ⎥⎦
,
⎡ 3 −1 2 ⎤
B = ⎢⎢ 4 2 5 ⎥⎥ y
⎢⎣ 2 0 3 ⎥⎦
⎡ 4 1 2⎤
C = ⎢⎢ 0 3 2 ⎥⎥ .
⎢⎣1 −2 3 ⎥⎦
Hallar A + B , A − B , −2 A , 3B , A + ( B − C ) = ( A + B) − C , A + D = B
2.-
3.-
4.-
⎡ 1 −1 1 ⎤
⎡1 2 3⎤
⎢
⎥
Si A = ⎢ −3 2 −1⎥ y B = ⎢⎢ 2 4 6 ⎥⎥ , hallar AB , BA
⎢⎣ −2 1 0 ⎥⎦
⎢⎣1 2 3⎥⎦
⎡1 −3 2 ⎤
⎡1 4 1 0 ⎤
⎢
⎥
Dadas las matrices A = ⎢ 2 1 −3⎥ , B = ⎢⎢ 2 1 1 1 ⎥⎥ y
⎢⎣ 4 −3 −1⎥⎦
⎢⎣1 −2 1 2 ⎥⎦
⎡ 2 1 −1 −2 ⎤
C = ⎢⎢ 3 −2 −1 −1⎥⎥ , verificar que AB = AC .
⎢⎣ 2 −5 −1 0 ⎥⎦
⎡1 1 −1⎤
⎡ 1 3⎤
⎡1 2 3 −4 ⎤
⎢
⎥
Dadas las matrices A = ⎢ 2 0 3 ⎥ , B = ⎢⎢ 0 2 ⎥⎥ y C = ⎢
2 0 −2 1 ⎥⎦
⎣
⎢⎣ 3 −1 2 ⎥⎦
⎢⎣ −1 4 ⎥⎦
Probar que ( AB)C = A( BC ) .
21
MATEMÁTICA BÁSICA II
5.-
6.-
7.-
Escribir explícitamente las siguientes matrices A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
B = ⎡⎣bi j ⎤⎦
3 x3
/ bi j = 2 i − j , C = ⎡⎣cij ⎤⎦
D = ⎡⎣ di j ⎤⎦
4 x3
/ di j = 2 i − (−1) J
3x4
3x2
/ ai j = i + 2 j ,
/ ci j = m a´x {i, j} y
⎡1 2 ⎤
⎡ −3 −2 ⎤
⎢
⎥
Dadas las matrices A = ⎢3 4 ⎥ , B = ⎢⎢ 1 −5⎥⎥ . Determinar la matriz
⎢⎣5 6 ⎥⎦
⎢⎣ 4 3 ⎥⎦
⎡ p q⎤
D = ⎢⎢ r s ⎥⎥ , tal que A + B − D = θ .
⎢⎣ z u ⎥⎦
z −1 ⎤
⎡3 − 2 y 2 x + y ⎤
⎡2 x + 1 2
⎢
⎥
Sean las matrices A = ⎢ x + 2 −1
2 y ⎥ y B = ⎢⎢ z + 3 −1 z − 2 x ⎥⎥
⎢⎣ y − 1 8 x − 2 z ⎥⎦
⎢⎣ z − 5 8
−1 ⎥⎦
Si A = B . Calcular x 2 + yz .
8.-
⎡ 4 y 2 x − 3x +3
⎢
4
Sean A = ⎢ −3
⎢2
1
⎣
⎡ −4 y −1 2(3x +1 )
0 ⎤
0 ⎤
⎥
⎢
⎥
1 ⎥ , B = ⎢ −3
0
3 ⎥,
⎢ 4
2
3z − y ⎥⎦
z + x ⎥⎦
⎣
⎡ 2 y −5(2 x + 2 )
5 ⎤
⎢
⎥
C = ⎢ −6
4
4 ⎥ tal que A + B = C . Hallar x , y , z .
⎢6
3
6 z − 3x ⎥⎦
⎣
9.-
⎡1
⎢
⎡ a b c d ⎤ ⎢0
Calcular a , b , c , d , si ⎢
⎥
⎣ 1 4 9 2 ⎦ ⎢0
⎢
⎣0
22
0
0
1
0
2
1
0
1
0⎤
1 ⎥⎥ ⎡1 0 6 6 ⎤
=
0 ⎥ ⎢⎣1 9 8 4 ⎥⎦
⎥
0⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
10.-
11.-
3 1⎤
⎡ 5 1 5⎤
⎡1
Si las matrices A = ⎢⎢ −3 6 3 ⎥⎥ y B = ⎢⎢ −6 −2 0 ⎥⎥ satisfacen la
⎢⎣ 2 −4 2 ⎥⎦
⎢⎣ 5 6 −8⎥⎦
ecuación 2(3 A − 2 B + X ) = 4 A − 3( B − 3 X ) . Determinar la suma de los
elementos de la tercera fila de la matriz X .
Sean las matrices
A = ⎣⎡ ai j ⎦⎤
40 x 3
/ ai j = i + j , B = ⎡⎣bij ⎤⎦
3 x12
/ bi j = i − j
C = AB . Determina el elemento c i j , si i = 11, j = 11
MATRICES PERMUTABLES
Definición.- Decimos que dos matrices A y B son permutables o conmutativas
si se cumple AB = BA
Ejemplo.
⎡ −2 −1 −6 ⎤
⎡1 2 3⎤
⎢
⎥
Las matrices A = ⎢ 3 2 0 ⎥ y B = ⎢⎢ 3 2 9 ⎥⎥
⎣⎢ −1 −1 −1⎦⎥
⎣⎢ −1 −1 −4 ⎥⎦
son permutables.
Solución
⎡1
AB = ⎢⎢ 3
⎢⎣ −1
⎡ −2
BA = ⎢⎢ 3
⎢⎣ −1
Luego, A
⎡ −2 −1 −6 ⎤ ⎡1
⎢ 3 2 9 ⎥ = ⎢0
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ −1 −1 −4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
⎡ 1 2 3 ⎤ ⎡1
⎢ 3 2 0 ⎥ = ⎢0
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ −1 −1 −1⎥⎦ ⎢⎣ 0
y B son matrices permutables.
3⎤
2 0 ⎥⎥
−1 −1⎥⎦
−1 −6 ⎤
2 9 ⎥⎥
−1 −4 ⎥⎦
2
0 0⎤
1 0 ⎥⎥ y
0 1 ⎥⎦
0 0⎤
1 0 ⎥⎥ .
0 1 ⎥⎦
TRASPOSICION DE MATRICES
Definición.- Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
, la matriz Transpuesta de A ,se denota por A t y
m×n
e define como la matriz A t = ⎡⎣ a j i ⎤⎦ .
n×m
23
MATEMÁTICA BÁSICA II
De acuerdo con la definición anterior la columna i-ésima de A t es la fila i-ésima
de A.
Ejemplos
⎡ 4 −1⎤
⎢2 3 ⎥
⎡ 2 3 −1⎤
⎢
⎥
Hallar la transpuesta de las matrices A = ⎢
⎥ y B = ⎢5 0 ⎥
0
2
5
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣1 2 ⎦
Solución
⎡ 2 0⎤
⎡ 4 2 5 1⎤
t
Por definición A = ⎢⎢ 3 2 ⎥⎥ y B t = ⎢
−1 3 0 2 ⎥⎦
⎣
⎢⎣ −1 5 ⎥⎦
El teorema siguiente recoge algunas propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema.- Sean A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
y B = ⎡⎣ bi j ⎤⎦
, C = ⎡⎣ c i j ⎤⎦
y λ ∈R .
m×n
m×n
n× p
Entonces
a)
( A t ) t = A , b) ( A + B) t = A t + B t , c) ( λ A) t = λ A t , d) ( AC ) t = C t A t
Demostración.
Es fácil comprobar que en todos los casos las matrices de ambos miembros de la
igualdad tienen el mismo orden.
a)
El elemento ( j , i ) de A t es a i j , por tanto el elemento ( i , j ) de ( A t ) t
es a i j
b)
El elemento ( j , i )
de
( A + B) t
es
a i j + bi j . Por otra parte el
t
elemento ( j , i ) de AT es a i j y el de B es bi j . Por tanto el elemento
( j , i ) de A t + B t es a i j + bi j
c)
El elemento ( j , i )
de ( λ A) t es λ a i j . Como
de A , resulta que λ a i j es el elemento ( j , i ) de λ A
t
n
d)
El elemento (k , i ) de ( AC ) t es
∑a
j =1
24
ij
cjk
es el elemento ( j , i )
t
MATEMÁTICA BÁSICA II
Por otra parte el elemento (k , i ) de C t es c j k y el ( j , i ) de A t es a i j . Luego el
elemento (k , i ) de C t A t es
n
n
j =1
j =1
∑ c j k ai j = ∑ a i j c j k .
MATRIZ SIMETRICA Y MATRIZ ANTISIMETRICA
Definición.- Una matriz A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
es simétrica ⇔ A = A t ⇔ a i j = a j i
Ejemplos
⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡ −2 1 7 ⎤
⎡1 2⎤ ⎢
Las siguientes matrices son simétricas ⎢
, ⎢ −1 2 3 ⎥⎥ , ⎢⎢ 1 3 4 ⎥⎥
⎥
⎣2 3⎦ ⎢ 0 3 5 ⎥ ⎢ 7 4 5 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
Son simétricas.
Definición.- Una matriz A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
se dice que es antisimetrica
⇔ A = − At ⇔ aij = − a ji
Teoremas
1.-
2.-
El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simétrica
Es decir, ( AA t ) t = ( A t ) t A t = AA t
Luego, por ser igual a su transpuesta, AA t es simétrica.
Observamos que no es necesario que A sea cuadrada para que existan AA t
y A t A , los que son, en todos los casos, matrices cuadradas.
Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ , entonces A + A t simétrica.
n× n
( A + A ) = A t + ( A t ) t = A t + A = A + A t , es decir, A + At es simétrica.
t
3.-
t
Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ , entonces A − At es una matriz antisimetrica
n× n
En efecto, sea A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ una matriz cuadrada
n× n
4.-
( A − A t ) t = A t − ( A t ) t = A t − A = −( A − A t )
En consecuencia, A − At es antisimetrica.
Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y de una matriz
antisimétrica.
25
MATEMÁTICA BÁSICA II
una matriz cuadrada, entonces, A + At es simétrica y
En efecto, sea A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
1
1
( A + AT ) es simétrica y
A − At es antisimetrica, luego
( A − AT ) es
2
2
1
1
( A + At ) + ( A − At ) es la suma de una matriz simétrica
antisimetrica ⇒ A =
2
2
y de una antisimetrica.
Observación.- Los teoremas 1 y 2 nos permite fabricar matrices simétricas y
antisimétricas de cualquier orden que uno desee.
MATRICES TRIANGULARES
Definición.- La matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
es triangular superior si y solo si
n× n
i > j ⇒ ai j = 0 .
⎡ 1 −2 −3 ⎤
Ejemplo A = ⎢⎢0 0 2 ⎥⎥
⎢⎣0 0 5 ⎥⎦
Análogamente A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
es triangular inferior si y solo si i < j ⇒ ai j = 0
n× n
Ejemplo
,i> j
⎧ 0
Dadas las matrices A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ / a i j = ⎨
3× 3
⎩i + j , i ≤ j
,i> j
⎧ 0
B = ⎣⎡bi j ⎦⎤ / bi j = ⎨
. Hallar AB
3× 3
⎩i − 2 j , i ≤ j
Solución
⎡ 2 3 4 ⎤ ⎡ −1 −3 −5 ⎤ ⎡ −2 −12
Tenemos AB = ⎢⎢ 0 4 5 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 −2 −4 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 −8
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −3⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
y
−34 ⎤
−31⎥⎥
−18 ⎥⎦
Observamos que el producto de matrices triangulares es una matriz triangular.
MATRICES DIAGONALES
es diagonal si y solo si i ≠ j ⇒ ai j = 0 .
Definición.- La matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
n× n
Toda matriz diagonal tiene nulos los elementos que no figuren en la diagonal.
26
MATEMÁTICA BÁSICA II
Para denotar que A es una matriz diagonal, escribimos:
⎡ a1
⎢0
A=⎢
⎢
⎢
⎢⎣ 0
0⎤
0 ⎥⎥
= diag (a1 , a2 ,…, an )
0⎥
⎥
an ⎥⎦
0
a2
0
Ejemplos
⎡3
⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢
0
⎡ 2 0⎤ ⎢
Las siguientes matrices ⎢
, ⎢ 0 6 0 ⎥⎥ , ⎢
⎥
⎣0 1 ⎦ ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢0
⎣
⎦ ⎢0
⎣
0
7
0
0
0
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
son diagonales
0⎥
⎥
6⎦
MATRICES IDEMPOTENTES E INVOLUTIVAS
Definición.- Una matriz cuadrada es idempotente si y solo si es igual a su
es idempotente ⇔ A 2 = A
cuadrado, es decir, A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
Definición.- Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es la
identidad, es decir, A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ es involutiva ⇔ A 2 = I
nxn
Ejemplos
1.-
2.-
⎡1 1
⎢3 3
⎢
1 1
La matriz A = ⎢
⎢3 3
⎢
⎢1 1
⎣⎢ 3 3
⎡1 0 ⎤
La matriz A = ⎢
⎥
⎣0 −1⎦
1⎤
3⎥
⎥
1⎥
es una matriz idempotente, pues A 2 = A
⎥
3
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
⎡1 0 ⎤
es involutiva, pues A 2 = ⎢
⎥=I
⎣0 1 ⎦
Ejemplo
⎡ 0 −1⎤
⎡ 5 3⎤
y BA = ⎢
Si las matrices A , B son involutivas tal que AB = ⎢
⎥
⎥ ,
⎣1 2 ⎦
⎣ −1 0 ⎦
calcular ( A + B) 2 .
27
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
⎡1 0 ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ 5 3⎤ ⎡ 7 2 ⎤
Tenemos ( A + B) 2 = A2 + AB + BA + B 2 = 2 ⎢
⎥+⎢
⎥+⎢
⎥= ⎢
⎥
⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 1 2 ⎦ ⎣ −1 0 ⎦ ⎣ 0 4 ⎦
POTENCIACION DE MATRICES
Definición.-La potenciación de matrices la definimos por inducción Matemática,
como sigue A 0 = I , A 2 = AA, A 3 = AA 2 … , A n = AA n −1 , n ∈ Z +
Ejemplo
⎡1 1 1⎤
Dada la matriz A = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ , calcular An , n ∈ Z +
⎢⎣0 0 1⎥⎦
Solución
⎡
1 2
1
2
3
1
1
1
1
1
1
⎡
⎤⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎢
⎢
A2 = AA = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎢⎢0 1 1⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 2 ⎥⎥ = ⎢ 0 1
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢ 0 0
⎢
⎣
⎡1 1 1⎤ ⎡1 2 3 ⎤
A = AA = ⎢⎢ 0 1 1⎥⎥ ⎢⎢0 1 2 ⎥⎥ =
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎡1 3
⎢0 1
⎢
⎢⎣ 0 0
⎡1 1 1⎤ ⎡1 3 6 ⎤
4
3
A = AA = ⎢⎢ 0 1 1⎥⎥ ⎢⎢0 1 3⎥⎥ =
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎡1 4
⎢0 1
⎢
⎢⎣ 0 0
3
2
⎡
⎢1 n
⎢
An = AA n −1 = ⎢ 0 1
⎢0 0
⎢
⎣
n(n + 1)
2
n
1
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎦
28
⎡
1
6⎤ ⎢
⎢
3⎥⎥ = ⎢0
1 ⎥⎦ ⎢0
⎢
⎣
⎡
1
10 ⎤ ⎢
⎢
4 ⎥⎥ = ⎢0
1 ⎥⎦ ⎢0
⎢
⎣
2(2 + 1) ⎤
2 ⎥
⎥
2 ⎥
1 ⎥
⎥
⎦
3
1
0
4
1
0
3(3 + 1) ⎤
2 ⎥
⎥
3 ⎥
1 ⎥
⎥
⎦
4(4 + 1) ⎤
2 ⎥
⎥
4 ⎥
1 ⎥
⎥
⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRAZA DE UNA MATRIZ
Definición.- Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
es una matriz cuadrada, entonces la suma de los
n× n
elementos de la diagonal principal se llama traza de la matriz y se denota por
n
Tr ( A ) y se define Tr ( A) = ∑ a i i .
i =1
Tenemos las siguientes propiedades
1.2.3.-
Tr ( A + B ) = Tr ( A + B ) = Tr ( A ) + Tr ( B )
Tr ( λ A ) = λ Tr ( A )
Tr ( A B ) = Tr ( BA )
Ejemplos
1.2.-
⎡ −1
Si A = ⎢⎢ 5
⎢⎣ 2
Determinar
⎡a b
A = ⎢⎢ d e
⎢⎣ g h
Solución
⎡a
T
AA = ⎢⎢ d
⎢⎣ g
2 3⎤
6 7 ⎥⎥ , entonces Tr ( A ) = − + 6 + 2 = 7
1 2 ⎥⎦
la matriz A sabiendo que Tr ( AAT ) = θ ,
c⎤
f ⎥⎥
i ⎥⎦
b
e
h
⎡a 2 + b2 + c2
⎢
⎢
⎢
∗
⎣
c ⎤ ⎡a
f ⎥⎥ ⎢⎢ b
i ⎥⎦ ⎢⎣ c
donde
g⎤
h ⎥⎥ =
i ⎥⎦
d
e
f
⎤
⎥
⎥
g 2 + h 2 + i 2 ⎥⎦
∗
d +e + f
2
2
2
Por hipótesis, Traz ( AAT ) = θ ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 + f 2 + g 2 + h 2 + i 2 =0
⎡0 0 0⎤
⇒ a = b = c = d = e = f = g = h = i = 0 ⇒ A = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
29
MATEMÁTICA BÁSICA II
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Definición.- La matriz cuadrada A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
es invertible o regular o no singular
si y solo si existe una matriz cuadrada B = ⎡⎣bi j ⎤⎦
n× n
, tal que AB = BA = I .
A la inversa de la matriz A si existe, se la denota por B , esto es B = A −1 .
Ejemplo
Demostrar que si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
posee inversa A −1 , entonces A −1 es única.
n× n
Solución
Sean B , C dos inversas A es decir AB = BA = I y AC = CA = I
Luego, B = BI = B( AC ) = ( BA)C = IC = C ⇒ B = C
Observamos que A y A −1 son inversas entre si, y en consecuencia ( A −1 ) −1 = A
Ejemplo
Si dos matrices son invertibles, entonces la inversa del producto es igual al
producto de las inversas en orden permutado.
Solución
Sean A y B dos matrices invertibles, entonces
( AB )( B −1 A−1 ) = ABB −1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
( B −1 A−1 )( AB) = B −1 A−1 AB = B −1 IB = B −1 B = I ⇒ ( AB) −1 = B −1 A−1
MATRICES ORTOGONALES
no singular es ortogonal si y solo
Definición.- Una matriz cuadrada A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
n× n
si su inversa es igual a su transpuesta.
Es decir, A = ⎡⎣ aij ⎤⎦
n xn
no singular entonces A es ortogonal ⇔ A−1 = A t
Teorema.- Una matriz cuadrada A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ es ortogonal si y solo si el producto
n× n
de dicha matriz por su transpuesta es la identidad.
30
MATEMÁTICA BÁSICA II
Demostración
A es ortogonal ⇔ A−1 = A t ⇔ AA−1 = AA t ∧ A−1 A = A t A ⇔ AAT = AT A = I
Teorema.- El producto de dos matrices ortogonales es ortogonal.
Ejemplo
⎡ cos θ
Probar que la matriz A = ⎢⎢ sen θ
⎣⎢ 0
− sen θ
cos θ
0
0⎤
0 ⎥⎥ , θ ∈ R es ortogonal.
1 ⎦⎥
Solución
⎡ cos θ
Tenemos AA = ⎢⎢ sen θ
⎢⎣ 0
t
− sen θ
cos θ
0
0 ⎤ ⎡ cos θ
0 ⎥⎥ ⎢⎢ − sen θ
1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
sen θ
cos θ
0
0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥
1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
Por tanto, la matriz A es ortogonal.
Definición.- Una matriz A = ⎡⎣ aij ⎤⎦
es nilpotente si A n = θ . n ∈ Z + .Si n ∈ Z +
n xn
es el menor entero tal que A n = θ , pero A n −1 ≠ θ , se dice que A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ es
n xn
una matriz nilpotente de índice n .
Definición.- Una matriz A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ tal que A n +1 = A siendo n ∈ Z + se llama
n xn
matriz periódica y si n ∈ Z + es el menor entero / A n +1 = A , la matriz A tiene
periodo n.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-
2.-
⎡ 2 −3 −5 ⎤
⎡ −1 3 5 ⎤
⎡ 2 −2 −4 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Demostrar que ⎢ −1 4 5 ⎥ , ⎢ 1 −3 −5⎥ y ⎢⎢ −1 3 4 ⎥⎥ son
⎢⎣ 1 −3 −4 ⎥⎦
⎢⎣ −1 3 5 ⎥⎦
⎢⎣ 1 −2 −3⎥⎦
matrices idempotentes.
Demostrar que si AB = A BA = B , las matrices A , B son idempotentes
31
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
Verificar que:
⎡1 1 3⎤
a) A = ⎢⎢ 5 2 6 ⎥⎥ es una matriz nilpotente de índice 3.
⎢⎣ −2 −1 −3⎥⎦
⎡ 1 −3 −4 ⎤
b) B = ⎢⎢ −1 3 4 ⎥⎥ es una matriz nilpotente
⎢⎣ 1 −3 −4 ⎥⎦
4.-
Demostrar que ( AB) −1 = B −1 A−1
5.-
Si A es una matriz idempotente, demostrar que también lo es la matriz
B = I − A y que AB = BA = θ
6.-
⎡1
a) Si A = ⎢⎢ 2
⎢⎣ 2
⎡2
b) Si A = ⎢⎢1
⎢⎣1
2 2⎤
1 2 ⎥⎥ , verificar que A 2 − 4 A − 5I = θ
2 1 ⎥⎦
1 3⎤
−1 2 ⎥⎥ , probar que A 3 − 2 A 2 − 9 A = θ , pero
2 1 ⎥⎦
A 2 − 2 A − 9I ≠ θ
7.-
Probar que
⎡ 2
0
⎢ 3
⎢
3 2
A = ⎢−
⎢ 5 5
⎢
⎢ 7 −1
⎢⎣ 15
5
1⎤
− ⎥
3
⎥
1 ⎥
5 ⎥
⎥
1 ⎥
15 ⎥⎦
y
⎡ 1 1 2⎤
B = ⎢⎢ 2 3 1 ⎥⎥ son matrices
⎢⎣ −1 2 4 ⎥⎦
permutables.
8.-
2 3⎤
⎡ 3 −2 −1⎤
⎡1
⎢
⎥
⎢
−1
Verificar que si A = ⎢ −4 1 −1⎥ ⇒ A = ⎢ 2 5 7 ⎥⎥
⎢⎣ 2 0 1 ⎥⎦
⎢⎣ −2 −4 −5⎥⎦
⎡ 1 0 0 0⎤
⎡ 1 0 0 0⎤
⎢ −2 1 0 0 ⎥
⎢ −2 1 0 0 ⎥
−1
⎢
⎥
⎥
B=
⇒ es B = ⎢
⎢ 0 −2 1 0 ⎥
⎢ 0 −2 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣ 8 −1 −1 1 ⎦
⎣ 8 −1 −1 1 ⎦
32
y que si
MATEMÁTICA BÁSICA II
9.-
⎡4 3 3⎤
Verificar que B = ⎢⎢ −1 0 −1⎥⎥ es involutiva.
⎢⎣ −4 −4 −3⎥⎦
10.-
son dos matrices y A = ⎡⎣ aij ⎤⎦
Si A = ⎡⎣ a i j ⎤⎦
y B = ⎡⎣bi j ⎤⎦
posee
n xn
nxn
nxn
inversa, probar que ( A + B) A−1 ( A − B) = ( A − B) A−1 ( A + B)
11.-
Demostrar que la inversa de una matriz diagonal A, cuyos elementos de la
diagonal principal son todos distintos de cero, es una matriz diagonal
cuyos elementos de la diagonal principal son el reciproco de los
correspondientes de A y en el mismo orden.
12.-
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ es una matriz involutiva, probar
nxn
que
1
( I + A)
2
1
1
1
( I − A) son matrices idempotentes y que ( I + A) ( I − A) = θ .
2
2
2
33
y
MATEMÁTICA BÁSICA II
34
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO II
DETERMINANTES
Asociamos
con
cada
matriz
A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
cuadrada
nxn
un
número
llamado
Determinante y denotamos por det ( A ) = A
Definición.- Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ ,el determinante es una función det:M → R donde
nxn
{
M = ⎡⎣ a i j ⎤⎦ / a i j ∈ R} es el conjunto de las matrices cuadradas .
n× n
Definimos inductivamente el determinante de una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
nxn
con respecto
a su orden n.
Si n = 1 , A = ⎡⎣ a11 ⎤⎦
1 x1
⎡ a 11
Si n = 2 , A = ⎢
⎣ a21
⎡ a11
⎢
Si n = 3 , A = ⎢ a 21
⎢ a 31
⎣
a11
a12
A = a 21
a 31
a 22
a 32
, entonces definimos det ( A) = a11
a1 2 ⎤
a 2 2 ⎥⎦
a12
a 22
a 32
⇒ A =
2× 2
a13
a 23
a 33
a 11
a1 2
a21
a2 2
= a11a 2 2 − a 1 2 a 2 1
⎤
⎥
⎥ entonces tenemos que
⎥
⎦ 3× 3
a13
a 22
a 23 = a11
a 32
a 33
a 23
a 21
− a12
a 332
a 31
a 23
a 21
+ a13
a 33
a 31
a 22
a 32
denominado método de los menores complementarios
En general
det ( A) = A =
... a1n
a11
a12
a21
a 22 ... a2 n
.
a n1
.
...
.
an 2 ... an n
35
n
= ∑ ( − 1) i + n a i n M i n
i =1
MATEMÁTICA BÁSICA II
Donde M
in
es el determinante de la submatriz de orden ( n − 1) × (n − 1) de la
matriz A que se obtiene omitiendo su i − ésima fila y n − ésima columna. El
determinante M i n se llama el menor del elemento a i n .
Ejemplos
1.-
⎡1 0 0
⎢ −2 1 0
Si B = ⎢
⎢ 0 −2 1
⎢
⎣ 8 −1 −1
2.-
Si
0⎤
1 0 0
⎥
0⎥
−2 1 0
⇒ B =
0⎥
0 −2 1
⎥
1⎦
8 − 1 −1
0
1 0 0
0
= 1 −2 1 0 = 1
0
−1 −1 1
1
3 −2 −1
⎡ 3 −2 −1⎤
⎢
⎥
A = ⎢ −4 1 −1⎥ ⇒ A = −4 1 −1 = 3(8) + 2 ( − 32 + 2) − 1(−2) = −34
⎢⎣ 2 0 8 ⎥⎦
2 0 8
A continuación enunciaremos las propiedades más importantes de determinantes
para matrices de orden 3 × 3 las mismas son válidas para matrices de cualquier
orden.
Propiedades
Sean A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
y B = ⎡⎣bi j ⎤⎦
dos matrices cuadradas, entonces se cumplen:
3x3
3x3
1.-
En un determinante cuando se intercambian filas por columna el valor es el
a11 a12 a13
a11 a 21 a 31
a 21 a 22 a 23 = a12 a 22 a 32
mismo, esto es
a 31
2.-
a 32
a 33
a13
a 23
a 33
Si en un determinante se permutan dos filas ( fila con fila )o dos columnas
(columna con columna) continuas, el valor del determinante cambia de
a11 a12 a13
a12 a11 a13
signo, es decir a 21
a 31
a 22
a 32
a 23 = − a 22
a 33
a 32
36
a 21
a 31
a 23
a 33
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
El determinante de una matriz que tenga dos filas o dos columnas iguales
a11 a12 a13
a11 a11 a13
es cero
4.-
a11
a 31
a13 = 0
a 33
a12
a 32
, a 21
a 31
El determinante de una matriz que tenga una fila o una columna de ceros es
a11 0 a13
a11 a11 a13
cero a 21 0 a 23 = 0 , 0
a 31 0 a 33
a 31
5.-
0
a 31
0 =0
a 33
El determinante de una matriz es invariante cuando a una columna se le
suma
una
combinación
lineal
de
otras,
a11 + a12 + a13 a12 a13
a11 a12 a13
a 21 + a 22 + a 23 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23
a 31 + a 32 + a 33
6.-
a 23 = 0
a 33
a 21
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
a 33
Si a una fila o una columna de una matriz se multiplica por un λ ∈ R ,
a11
a12
a13
a11 a 21 a 31
entonces
λ a 21 λ a 22 λ a 23 = λ a12 a 22 a 32
a 31
a 32
a 33
a13
a 23
y
a 33
λ a11 λ a12 λ a13
a11 a 21 a 31
3
λ a 21 λ a 22 λ a 23 = λ a12 a 22 a 32
λ a 31 λ a 32 λ a 33
a13 a 23 a 33
7.-
8.9.-
El determinante
AB = A B
del
producto
es
producto
de
determinantes,
A = At
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ es una matriz ortogonal en R entonces A = ±1
3x3
37
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos
1.-
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ es una matriz ortogonal en R entonces A = ±1
3x3
Demostración
Como A es ortogonal, entonces A−1 = A t multiplicando a ambos por A
tenemos que:
AA−1 = AA t ⇒ AA t = I ⇒ AA t = I ⇒ A
2.-
Calcular
2
= 1 ⇒ A = ±1
1 a a2
1 b b2
1 c
c2
1
a
Solución
1 a a2
a2
1 b+a
b − a b2 − a2
= (b − a)(c − a )
1 b b2 = 0 b − a b2 − a 2 =
2
2
1 c+a
c−a c −a
1 c c2
0 c − a c2 − a2
(b − a)(c − a)
1 b+a
= (b − a)(c − a)(c − b)
1 c+a
La generalización de este determinante se conoce como el determinante de
1
1
...
1
x1
x 2 ... x n
Vandermonde:
= Π ( x j − xi ) , i < j
.
.
...
.
x1n −1 x 2 n −1 ... xn n −1
3.-
a2
Calcular (a + 2) 2
(a + 2) 2
(a + 4) 2
(a + 4) 2
(a + 6) 2
(a + 4) 2
(a + 6) 2
(a + 8) 2
Solución
Restando la primera columna a la segunda y tercera
38
MATEMÁTICA BÁSICA II
a2
(a + 2)
(a + 4) 2
2
(a + 2) 2
(a + 4) 2
(a + 4)
(a + 6) 2
(a + 6) = (a + 2)
(a + 8) 2
(a + 4) 2
2
2
4a + 4
8a`+16
8
16
1
4.-
4a + 4 8a + 16
a2
= (4)(8) a + 1
a+2
16
32
Si α + β + γ = 0 , calcular Δ = cos α
cos β
8a + 16
4a + 12 8a + 32 =
4a + 20 8a + 48
2
4a + 4 8a + 16
a2
4a + 4
a2
2
2
4
4
cos α
cos β
1
cos γ
cos γ
1
= 32 (−16) = −29
Solución
Como:
α + β + γ = 0 ⇒ α + β = −γ ⇒ cos(α + β ) = cos α cos β − senα senβ = cos γ
1
cos α
cos β
1
cos γ
cos γ
1
Δ = cos α
cos β
1
cos α
cos β
1 − cos α
= 0
0 cos γ − cos α cos β
2
sen 2α
cos γ − cos α cos β
cos γ − cos α cos β
sen β
2
=
cos γ − cos α cos β =
1 − cos 2 β
sen 2α
− senα senβ
− senα senβ
sen 2 β
EJERCICIOS
1.-
1 x
x1
x3
y
z
y2
z2
y3
= ( x − y )( y − z )( z − w)( x − z )( x − w)( y − w)
z3
1
Probar que
1
1 w w2
w3
39
=0
MATEMÁTICA BÁSICA II
a3
2.-
Hallar el valor de Δ =
2
a
a
3a 2
1
(a + 1) − 1 2a + 1 1
a+2 1
2a + 1
1
3.-
3a
2
3
3
1
x
Si Δ = y
x1
y1
x2
x+ z
y 2 , calcular Δ 1 = z + x
y1 + z1
z 1 + x1
y 2 + z2
z 2 + x2
z
z1
z2
x+ y
x1 + y 1
x2 + y2
4.-
a
a
Computar Δ =
a
b
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
5.-
m
n
r
s
m m+n
m+n+r
m+n+r +s
= m4
Verificar que Δ =
m 2m + n 3m + 2n + r 4m + 3n + 2r + s
m 3m + n 6m + 3n + r 10m + 6n + 3r + s
MATRICES NO SINGULARES
Definición.- Sea una A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ .Una matriz B = ⎡⎣bi j ⎤⎦ que tiene la propiedad
nxn
nxn
de que AB = BA = I n se denomina inversa multiplicativa de la matriz A .
que posee una inversa multiplicativa se llama
Una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
nxn
Matriz no Singular
Singular.
y
una matriz que no posee inversa se llama Matriz
Matriz de Cofactores.- El cofactor del elemento a i j de una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
nxn
se denota por Ai j y está definido por A i j = (−1)i + j M
⎡ a11
⎢
Si A = ⎢ a 21
⎢ a 31
⎣
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
⎤
a 22
⎥
,
entonces
A
=
11
⎥
a 32
⎥
⎦ 3× 3
40
ij
.
a 23
a 21
, A 1 2= −
a 33
a 31
a 23
a 33
MATEMÁTICA BÁSICA II
A 1 3=
a 21
a 31
a 22
a 12
, A 21 = −
a 32
a 32
A 31 =
a 12
a 13
a 22
a 23
⎡ A11
⎢
T = c ( A ) = ⎢ A21
⎢ A31
⎣
, A 32 = −
A12
A22
A32
a13
a 11
, A 22 =
a 33
a 31
a 12
a 13
a 21
a 33
, A 33 =
a 13
a 11
, A 23 = −
a 33
a 31
a12
a 12
a 21
a 22
a 12
a 32
, entonces la matriz
A13 ⎤
⎥
A23 ⎥ , se llama matriz de cofactores de la matriz A .
A33 ⎥⎦
⎡ A11
⎢
Matriz Adjunta.- La matriz T = ⎢ A12
⎢ A13
⎣
t
A21
A22
A23
⎡ A11
⎢
matriz A y se denota por adj ( A ) = T = ⎢ A12
⎢ A13
⎣
t
A31 ⎤
⎥
A32 ⎥ se llama matriz adjunta de la
A33 ⎥⎦
A21
A22
A23
A31 ⎤
⎥
A32 ⎥ .
A33 ⎥⎦
INVERSA DE UNA MATRIZ
1 ⎡ a 22
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ es tal que A ≠ 0 . Entonces A−1 =
⎢
2x2
A ⎣ −a 21
− a12 ⎤
a 11 ⎥⎦
Este método es solo válido para matrices de orden 2 × 2 .
Sea A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ tal que A ≠ 0 , entonces la inversa de la matriz A está dado por
nxn
1
1 t
A−1 =
adj ( A ) =
T .
A
A
1.-
⎡ 1 3 2⎤
Hallar la matriz inversa de A = ⎢⎢ −1 2 0 ⎥⎥
⎢⎣ 2 4 1 ⎥⎦
Solución
41
MATEMÁTICA BÁSICA II
2 0
=2
,
4 1
3 2
A21 = −
=5
4 1
A11 =
1
2
3
A31 =
2
A22 =
A33 =
A12 = −
−1 0
=1
2 1
2
= −3
,
1
2
1 2
= −2
= −4 , A32 = −
−1 0
0
1 3
=5
−1 2
,
A23 = −
A13 =
−1 2
= −8
2 4
1 3
=2
2 4
,
como A = −11
,
,
,
5
4 ⎤
⎡ 2
⎢ − 11 − 11 11 ⎥
⎢
⎥
1
1
3
2 ⎥
−1
⎢
A =
adj ( A ) = −
⎢ 11 11
A
11 ⎥
⎢ 8
2
5 ⎥
⎢
−
− ⎥
⎢⎣ 11
11
11 ⎥⎦
2.-
⎡2 3 1⎤
Invertir la matriz M = ⎢⎢ 1 2 3 ⎥⎥
⎢⎣ 3 1 2 ⎥⎦
Solución
M = 18 , A11 =
2 3
1 3
1 2
= 1 , A1 2 = −
= −5
= 7 , A1 3 =
1 2
3 2
3 1
3 1
2 1
= −5 , A2 2 =
=1
1 2
3 2
3 1
A3 1 =
=7
2 3
A2 1 = −
42
,
A2 3 = −
2 3
=7
3 1
MATEMÁTICA BÁSICA II
A3 2
⎡ 1 7 −5 ⎤
2 1
2 3
= 1 , luego T = ⎢⎢ −5 1 7 ⎥⎥ ,
=−
= −5 , A3 3 =
1 3
1 2
⎢⎣ 7 −5 1 ⎥⎦
entonces
⎡ 1
⎢ 18
⎡ 1 −5 7 ⎤
⎢
1
7
⎢
⎥
t
−1
adj ( M ) = T = ⎢ 7 1 −5 ⎥ ⇒ M = adj ( M ) = ⎢
⎢ 18
18
⎢⎣ −5 7 1 ⎥⎦
⎢
⎢− 5
⎢⎣ 18
Teoremas
1.-
Si A ≠ θ y B ≠ θ ⇒ adj ( AB ) = adj ( B)adj ( A)
2.-
i) adj ( A) = A
n −1
,
ii) adj ( An ) = ( A
n −1 n
iii) adj ( adj ( A) = A
3.-
) ,
( n −1) 2
a) Si A ≠ 0 , adj ( A−1 ) = ( adj ( A)) −1 ,
b) adj ( A n ) = ( adj ( A)) n ,c) adj (λ A) = λ n
EJERCICIO
⎡ 2 1 −1
⎢0 2 0
Si adj ( A) = ⎢
⎢0 6 1
⎢
⎣ 0 −2 0
0⎤
1 ⎥⎥
, hallar
5⎥
⎥
1⎦
A−1
43
2
−n
A
n −1
5
18
1
18
7
18
−
7 ⎤
18 ⎥
⎥
5 ⎥
−
18 ⎥
⎥
1 ⎥
18 ⎥⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
Sabemos que adj ( A ) = A
n −1
para una matriz cuadrada de orden n , para este
caso particular n = 4 ⇒ adj ( A ) = A
por tanto A −1 = A
−1
=
3
⇒ A =
3
adj ( A)
, pero adj ( A ) = 8
1
1
=
A 2
Rango de una Matriz.- El rango o caractística de una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
≠ θ es
mxn
igual a λ si el determinante de al menos uno de sus menores cuadrados de orden
λ es diferente de cero , siendo nulos los correspondientes a todos los menores
cuadrados de orden λ + 1 , si es que existen y lo denotaremos por ρ ( A ) = λ . Si
A = θ ⇒ ρ ( A ) = 0 o equivalentemente, el rango de una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
≠θ
mxn
es el orden de la sub-matriz cuadrada mas grande contenida en A , cuyo
determinante es diferente de cero.
Ejemplo
⎡2 3 1⎤
Hallar la característica de la matriz M = ⎢⎢ 4 2 3 ⎥⎥
⎢⎣ 3 5 7 ⎥⎦
Solución
1 2 3
Tenemos
que
M = 2 3 4 = 1 − 2(2 ) + 3(1) = 0
3 5 7
1 2
= −1 ≠ 0
2 3
Entonces ρ ( M ) = 2
44
,
sin
embargo
MATEMÁTICA BÁSICA II
Propiedades
1.-
Toda matriz no nula A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
≠ θ tiene ρ ( A ) > 0
mxn
2.-
≠ θ ⇒ 0 < ρ ( A) ≤ Min { m , n }
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
mxn
3.-
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ ≠ θ ⇒ 0 < ρ ( A) ≤ n
n xn
4.-
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ ≠ θ / A ≠ 0 ⇒ ρ ( A) = n
nxn
5.-
Si A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ , B = ⎡⎣bi j ⎤⎦ , entonces ρ ( AB ) = Min { ρ ( A) , ρ ( B )}
mxn
nx p
6.-
ρ (A) = ρ ( At )
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Definición.-Una transformación elemental es un conjunto de operaciones o
procesos con matrices que no modifican su orden ni su característica y que
permite obtener una segunda matriz a partir de la matriz dada en una de las
formas siguientes:
i)
Intercambiando o permutando la fila i-ésima y la fila j-ésima: Fi ↔ F j
ii)
Intercambiando o permutando la columna i-ésima y la columna j-ésima
Hi ↔ H j
iii)
Multiplicando la i-ésima fila por una constante k ≠ 0 : Fi ↔ kF j
iv)
Reemplazar la fila i-ésima por k ≠ 0 veces la fila j-ésima más la fila Fi :
Fi ↔ kF j + Fi
v)
Reemplazar la columna i-ésima por k ≠ 0 veces la columna j-ésima más la
columna i-ésima: H i ↔ kH j + H i .
Las operaciones elementales por filas son las mas usuales en la mayoría de los
problemas como: Cálculo de rango e inversa de una matriz.
Matrices Equivalentes.- Dos matrices A y B se denominan equivalentes, si una
de ellas se deduce de la otra mediante las transformaciones elementales de línea y
se de nota por A ≈ B .
45
MATEMÁTICA BÁSICA II
Las matrices equivalentes tienen el mismo orden e igual rango.
Se dice que una matriz A es equivalente por filas a una matriz B , si B se puede
obtener de A por medio de una sucesión finita de operaciones llamadas
operaciones elementales.
Matrices Escalonadas.- Una matriz A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ cuyas filas están en forma
mxn
escalonada se denomina matriz escalonada, es decir cuando es de la forma:
⎡ a11
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
0
A=⎢
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢ 0
a12
0
0
0
.
.
.
0
a13
a 23
0
0
.
.
.
0
a14
a 24
a 34
0
.
.
.
0
... a1n
... a 2 n
... a 3n
... 0
...
.
...
.
...
.
00
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥ m x n
Mediante una serie de operaciones elementales sobre sus filas, una matriz puede
ser reducida a la forma matriz escalonada reducida si se cumplen las siguientes
condiciones:
i)
Si una fila no consta todos de ceros, entonces el primer elemento distinto de
cero es la unidad.
ii)
Si existen filas que constan exclusivamente de ceros, entonces están
agrupados en la parte inferior de la matriz
iii)
Si las filas j , j + 1 arbitrarias y sucesivas que no constan exclusivamente de
ceros, entonces el primer número diferente de cero en la fila j + 1 aparece
a la derecha del primer número diferente de cero en la fila j .
iv)
Todas las columnas que contienen el primer elemento diferente de cero de
alguna fila tiene ceros en todas posiciones restantes.
Toda matriz que cumple con i), ii), iii) están en forma escalonada.
46
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos
Mediante operaciones elementales, determinar el rango de las siguientes matrices:
1.-
⎡ −2 −3 −1
⎢ 0 1 7
A=⎢
⎢ 1 2 4
⎢
⎣ −2 −2 6
1 0 ⎤
1 −4 ⎥⎥
0 −2 ⎥
⎥
2 −4 ⎦
Solución
⎡ −2 −3 −1 1 0 ⎤
⎡ 1
⎢ 0 1 7 1 −4 ⎥
⎢
⎥ F1 ↔ F3 ⎢ 0
A=⎢
⎢ 1 2 4 0 −2 ⎥
⎢ −2
⎢
⎥
⎢
⎣ −2 −2 6 2 −4 ⎦
⎣ −2
⎡ 1 2 4 0 −2 ⎤
⎡1
⎢ 0 1 7 1 −4 ⎥
⎢
⎢
⎥ (− F1 ) + ( F3 ∧ F4 ) ⎢ 0
⎢ 0 1 7 1 −4 ⎥
⎢0
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 2 14 2 −8 ⎦
⎣0
2.-
⎡
⎢
⎢
M =⎢
⎢
⎢
⎢⎣
4 0
7 1
−1 1
6 2
4 0
7 1
0 0
0 0
−3 4 ⎤ ⎡
5 −6 ⎥⎥ ⎢⎢
−1 7 ⎥ ≈ ⎢
⎥ ⎢
23 −16 ⎥ ⎢
13 −6 ⎥⎦ ⎢⎣
2 3
0 −1
0 −5
0 7
0 −19
−2 ⎤
−4 ⎥⎥
2 F1 + ( F3 ∧ F3 )
0 ⎥
⎥
−4 ⎦
−2 ⎤
−4 ⎥⎥
⇒ ρ ( A) = 2
0 ⎥
⎥
0 ⎦
3 2 −2 3 ⎤
2 3 −3 4 ⎥⎥
−2 4 2 3 ⎥
⎥
5 −2 4 2 ⎥
3 4 2 3 ⎥⎦
Solución
⎡ 3 2 −2 3 ⎤ ⎡
⎢ 2 3 −3 4 ⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
M = ⎢ −2 4 2 3 ⎥ ≈ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎢ 5 −2 4 2 ⎥ ⎢
⎢⎣ 3 4 2 3 ⎥⎦ ⎢⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
1
−3
−2
2
1
0
0
2 3
4
−3
0 −1 13
−6
0 0 −60 24
0 0
90 −35
0 0 −224 98
2 3
0 −5
0 7
0 −19
0 −1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥≈⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥⎦ ⎢⎣
−3 4
13 −6
5 −6
−1 7
23 −16
2 3 −3 4 ⎤ ⎡ 2 3
0 −1 13 −6 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 −1
0 0 −5 2 ⎥ ≈ ⎢ 0 0
⎥ ⎢
0 0 18 −7 ⎥ ⎢ 0 0
0 0 −16 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0
47
⎤
⎥
⎥
⎥≈
⎥
⎥
⎥⎦
−3 4 ⎤
13 −6 ⎥⎥
−5 2 ⎥ ≈
⎥
3 −1 ⎥
−1 1 ⎥⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2 3
0 −1
0 0
0 0
0 0
−3 4 ⎤ ⎡ 2 3 −3 4 ⎤ ⎡
13 −6 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 −1 13 −6 ⎥⎥ ⎢⎢
−1 1 ⎥ ≈ ⎢ 0 0 −1 1 ⎥ ≈ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
3 −1 ⎥ ⎢ 0 0 0 2 ⎥ ⎢
−5 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 −3 ⎥⎦ ⎢⎣
2 3 −3 4 ⎤
0 −1 13 −6 ⎥⎥
0 0 −1 1 ⎥ ⇒
⎥
0 0 0 2 ⎥
0 0 0 0 ⎥⎦
ρ ( M ) = 4 (Señale paso por paso las operaciones elementales aplicadas).
3.-
⎡
⎢
⎢
T =⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2 1 −1 −2 ⎤
4 2 −2 −4 ⎥⎥
−5 −2 3 2 ⎥
⎥
1 −1 −2 8 ⎥
8 3 −2 1 ⎥⎦
Solución
⎡
⎢
⎢
T =⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2 1 −1 − 2 ⎤ ⎡ 1 2
4 2 −2 −4 ⎥⎥ ⎢⎢ 2 4
−5 −2 3 2 ⎥ ≈ ⎢ −2 −5
⎥ ⎢
1 −1 −2 8 ⎥ ⎢ −1 1
8 3 −2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 8
1 0
2 0
−2 −1
−1 3
3 2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥≈⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥⎦ ⎢⎣
1 0
2 0
−2 −1
−1 3
3 2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
−1 − 2 ⎤ ⎡ 1 0 0 0 ⎤
−2 −4 ⎥⎥ ⎢⎢ 2 0 0 0 ⎥⎥
3 2 ⎥ ≈ ⎢ −2 −1 1 −2 ⎥
⎥ ⎢
⎥
−2 8 ⎥ ⎢ −1 3 −3 6 ⎥
−2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 2 1 7 ⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥ ⇒ ρ (T ) = 3
⎥
⎥
⎥⎦
Observar que se ha aplicado operaciones elementales por columnas.
4.-
De los ejemplos 1) , 2 ) y 3) ,tenemos las siguientes matrices equivalentes
⎡ −2 −3 −1
⎢ 0 1 7
a) A = ⎢
⎢ 1 2 4
⎢
⎣ −2 −2 6
1 0 ⎤ ⎡1 2
1 −4 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 1
≈
0 −2 ⎥ ⎢ 0 0
⎥ ⎢
2 −4 ⎦ ⎣ 0 0
48
4
7
0
0
0 −2 ⎤
1 −4 ⎥⎥
=B
0 0 ⎥
⎥
0 0 ⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡
⎢
⎢
b) M = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎡
⎢
⎢
c) T = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
5.-
3 2 −2 3 ⎤
2 3 −3 4 ⎥⎥
−2 4 2 3 ⎥ ≈
⎥
5 −2 4 2 ⎥
3 4 2 3 ⎥⎦
2 3 −3 4 ⎤
0 −1 13 −6 ⎥⎥
0 0 −1 1 ⎥ = S
⎥
0 0 0 2 ⎥
0 0 0 0 ⎥⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2 1 −1 −2 ⎤ ⎡ 1 0
4 2 −2 −4 ⎥⎥ ⎢⎢ 2 0
−5 −2 3 2 ⎥ ≈ ⎢ −2 −1
⎥ ⎢
1 −1 −2 8 ⎥ ⎢ −1 3
8 3 −2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
5 −6 ⎤
⎡0
⎢0
⎥
2 0 ⎥
, M =⎢
⎢0
6 2 ⎥
⎢
⎥
0 0 ⎦
⎣0
1
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥=H
⎥
⎥
⎥⎦
Las siguientes matrices son escalonadas:
⎡2
⎢0
T =⎢
⎢0
⎢
⎣0
3
0
0
0
2
7
0
0
0 4
1 −3
0 0
0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 4
0 −3
1 2
0 0
0
0
0
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Inversión de Matices por el método de Gauss Jordan (Método de
Pivote)
Este método permite determinar la inversa de una matriz no singular A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦ ,
nxn
se escribe la matriz identidad I = I n x n
para ello a su derecha de A = ⎡⎣ ai j ⎤⎦
nxn
, que también se denota por ( A , I ) esta matriz es de orden n × 2n
y a ella se aplica el método de Gauss Jordan hasta lograr que A se
transforme en la matriz identidad y la matriz identidad que figura en el esquema
que justamente viene a
anterior queda transformado de una matriz B = ⎡⎣bi j ⎤⎦
A
I
nxn
−1
ser la inversa de la matriz B = A .
A
I
I
B
49
MATEMÁTICA BÁSICA II
La transformación de A en la matriz identidad siempre es posible en vista de que
A es una matriz no singular y su ρ ( A ) = n , en consecuencia es posible obtener
n vectores canónicos linealmente independientes mediante las operaciones
elementales.
En este método es necesario que el primer elemento “Pivote” de la matriz sea la
unidad.
Ejemplos
1.-
⎡
⎢
Hallar la inversa de la matriz M = ⎢
⎢
⎢
⎣
1
2
3
4
1
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Solución
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
2
3
4
1
1
3
4
1
2
2
4
1.
2.
3.
3.
1
0
0
0
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1.
0.
0.
1.
1 0 0 0 ⎤ ⎡
2 −1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢
≈
3 0 −1 0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
4 0 0 −1 ⎦ ⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1.
0.
0.
1.
−4 1 1 0 ⎤ ⎡
2 −1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢
≈
3 0 −1 0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
4 0 0 −1 ⎦ ⎣
⎡
⎢
−1
Por tanto M = ⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
0
0
0
0
1
0
0⎤ ⎡
0 ⎥⎥ ⎢⎢
≈
0⎥ ⎢
⎥ ⎢
1⎦ ⎣
1 1 1 1 .
0 −1 0 0 .
0 0 −1 0 .
0 0 0 −1 .
−8 1 1 1 ⎤
2 −1 0 0 ⎥⎥
3 0 −1 0 ⎥
⎥
4 0 0 −1 ⎦
50
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1.
0.
0.
1.
0
0
1
0
1 0
−2 −1
−3 0
−4 0
0
0
1
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
−1 1 0 0 ⎤
2 −1 0 0 ⎥⎥
3 0 −1 0 ⎥
⎥
4 0 0 −1 ⎦
0.
0.
0.
1.
−8 1 1 1 ⎤
2 −1 0 0 ⎥⎥
3 0 −1 0 ⎥
⎥
4 0 0 −1 ⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
⎡
⎢1
⎢
1
Invertir la matriz y generalizar el resultado T = ⎢
⎢2
⎢
⎢1
⎢⎣ 3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Solución
0 0 ⎤
⎡ 1 1/ 2 1/ 3 . 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1/ 2 1/ 3 . 1
⎢ 1/ 2 1/ 3 1/ 4 . 0 1 0 ⎥ ≈ ⎢ 0 1/12 1/12 . −1/ 2 1 0 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ 1/ 3 1/ 4 1/ 5 . 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1/12 4 / 45 . −1/ 3 0 1 ⎥⎦
1/ 3 . 1
0 0 ⎤ ⎡ 1 1/ 2 1/ 3 . 1
0
0 ⎤
⎡ 1 1/ 2
⎢ 0 1/12 1/12 . −1/ 2 1 0 ⎥ ≈ ⎢ 0 1
1 . −6 12
0 ⎥⎥
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ 0
0 1/180 . −1/ 6 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0
1 . 30 −180 180 ⎥⎦
60
−60
⎡ 1 1/ 2 0 . −9
⎢ 0 1 0 . −36 192 −180
⎢
⎣⎢ 0 0 1 . 30 −180 180
Por tanto T
−1
30
⎡ 9 −36
⎢
= ⎢ 36 192 −180
⎢⎣ 30 −180 180
30
⎤ ⎡ 1 0 0 . 9 −36
⎥ ≈ ⎢ 0 1 0 . 36 192 −180
⎥ ⎢
⎦⎥ ⎢⎣ 0 0 1 . 30 −180 180
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.2.-
Aplicando las propiedades enunciados, determinar 5 ejemplos de matrices
simétricas y antisimétricas de ordenes 3 × 3 , 4 × 4 , 5 × 5
⎡ 3 − 2⎤
2
Si A = ⎢
⎥ , hallar una matriz B tal que B = A
−
4
3
⎣
⎦
51
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
a − b − 1⎤
⎡ 1
⎢
A=⎢ 2
3
b ⎥⎥ es una matriz simétrica, hallar A2 4.- Si
⎢⎣b − x a − x 4 ⎥⎦
⎡1 1 1 ⎤
A = ⎢⎢ 0 1 1 ⎥⎥ , hallar A n
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
5.-
⎡ cos θ
Si k ≠ 0 y A = ⎢ 1
⎢⎣− k senθ
ksenθ ⎤
⎥ , hallar A n
cos θ ⎥
⎦
6.-
⎡1 − 1 − 1⎤
Si A = ⎢⎢0 1 − 1⎥⎥ , hallar A n
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
7.-
Un hiper-mercado vende una marca de refrigeradoras R y lavadoras L. La
matriz M muestra las ventas de R y L en los dos primeros meses del año,
la matriz P los precios y de costos del distribuidor de dichos artículos.
Hallar una
matriz que muestre el total de ventas y de costos del
distribuidor .
En.
⎡ 32
M= ⎢
⎣ 21
⎡ 445
P= ⎢
⎣ 310
8.-
Feb.
43
23
⎤ →R
⎥ →L ,
⎦
250 ⎤ prec. unit .venta
180 ⎥⎦ precio de cos to
Supongamos que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al
cabo de n años. Si invertimos $100 a un interés compuesto anual del
5% , 6% y 7% .
Si colocamos P dólares durante un año a un interés r , entonces el valor
que se tiene al final del año es Capital final = P + rP = (1 + r ) P ( Monto)
52
MATEMÁTICA BÁSICA II
0
⎡ 1, 05 0
Si A = ⎢⎢ 0 1, 06
0
⎢⎣ 0
0 1, 07
⎤
⎡ 100 ⎤
⎥ , B = ⎢ 100 ⎥ el producto
⎥
⎢
⎥
⎥⎦
⎢⎣ 100 ⎥⎦
0
⎡ 1, 05 0
⎢
AB = ⎢ 0 1, 06
0
⎢⎣ 0
0 1, 07
⎤ ⎡100 ⎤ ⎡105 ⎤
⎥ ⎢100 ⎥ = ⎢106 ⎥ de la cantidad que se tiene al
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥⎦ ⎢⎣100 ⎥⎦ ⎢⎣107 ⎥⎦
invertir $100 por un año a los intereses 5% , 6% y 7% respectivamente.
Hallar el monto al final del segundo año y generalizar .
9.-
Reducir a la forma escalonada y luego a su forma canónica las siguientes
matrices:
⎡ 1
T = ⎢⎢ 2
⎢⎣ 3
⎡0
⎢0
D=⎢
⎢0
⎢
⎣0
10.-
2 −1
4
6
1
2
1 ⎤
−2 3 ⎥⎥
−6 5 ⎥⎦
⎡ 2 3 −2 5 1 ⎤
S = ⎢⎢ 3 −1 2 0 4 ⎥⎥
⎢⎣ 4 −5 6 −5 7 ⎥⎦
2
,
,
1 3 −2 ⎤
4 −1 3 ⎥⎥
0 2 1 ⎥
⎥
5 −3 4 ⎦
Hallar el rango de las siguientes matrices
⎡
⎢
T =⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
R=⎢
⎢
⎢
⎣
1
1
1
2
1
1
3
2
3
4
4
7
2
3
8
1
−2
1
2
−3
−3
−2
−7
−9
5 4 ⎤
3 5 ⎥⎥
4 3 ⎥
⎥
6 13 ⎦
−2 −3
0
−4
−2 −11
−10 −3
,
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
53
⎡ 2 1 ⎤
⎢ 3 −7 ⎥
⎥
C=⎢
⎢ −6 1 ⎥
⎢
⎥
⎣ 5 −8 ⎦
,
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡1
M = ⎢⎢ 1
⎢⎣ 2
⎡1
⎢1
⎢
⎢ 2
B=⎢
⎢1
⎢1
⎢
⎣⎢ 2
11.-
3 −2
3 ⎤
4 −3 4 2 ⎥⎥ ,
3 −1 −2 9 ⎥⎦
3
4
3
3
5
5
⎡1 3 0 2 1 ⎤
A = ⎢⎢ 1 5 −6 6 3 ⎥⎥ ,
⎢⎣ 2 5 3 2 1 ⎥⎦
2
−2 2
−3 4
−1 −2
0 2
−6 6
3 2
3
2
9
1
3
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
Por el método de adjuntas y de Gauss, invertir las siguientes matrices:
⎡
⎡2 3 4⎤
⎢
A = ⎢⎢ 4 3 1 ⎥⎥ , B = ⎢
⎢
⎢⎣ 1 2 4 ⎥⎦
⎢
⎣
⎡ 1 2 −1 ⎤
D = ⎢⎢ −1 1 2 ⎥⎥
⎢⎣ 2 −1 1 ⎥⎦
⎡
⎢
E=⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
0
−1
1 0
0 −1
1 1
0 0
1 1 1 1 ⎤
⎡
⎢
⎥
1 2 3 −4 ⎥
, D=⎢
⎢
2 3 5 −5 ⎥
⎢
⎥
3 −4 −5 8 ⎦
⎣
3
2
5
2
⎡
⎢
C=⎢
⎢
⎢
⎣
0⎤
1 ⎥⎥
,
1⎥
⎥
3⎦
4
3
7
3
1
1
0
0
12.-
13.-
Las siguientes matrices son ortogonales, calcular sus inversas:
1
0
0
0
0
54
1
1
0
0
0
0
0
2
0
0⎤
0 ⎥⎥
,
1⎥
⎥
3⎦
7⎤
⎡ 1 2 −1 2 ⎤
⎥
⎢ 2 2 −1 1 ⎥
2⎥
⎥
, F =⎢
⎢ −1 −1 1 −1 ⎥
9⎥
⎥
⎢
⎥
3⎦
⎣ 2 1 −1 −2 ⎦
2
3
3
2
⎡
⎢
⎢
Verificar que la matriz M = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
0
0
0
2
3
0
0
0
1
0
0
0
1⎤
1 ⎥⎥
0 ⎥ es nilpotente de índice 2.
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡ 1
⎢ 2
⎢
⎢ 1
⎢ 3 2
M =⎢
⎢ 1
⎢ 2
⎢ 2
⎢
⎢⎣ 3
14.-
1
2
2
3
1
−
2
1
−
3 2
1
2
2
3
1
2
1
−
3 2
−
1
2
1
3 2
1
−
2
2
3
−
⎡ 2
⎤
⎢ 10
⎥
⎢
⎥
⎢ 1
⎥
⎢ 2
⎥
⎥ , S=⎢
⎢ − 1
⎥
⎢
⎥
10
⎢
⎥
⎢ 1
⎥
⎥⎦
⎢⎣ 2
1
10
1
2
2
−
10
1
−
2
−
1
10
1
2
2
10
1
−
2
−
2
10
1
2
1
10
1
2
Si las matrices A , B , C , D son matrices ortogonales de orden n × n y
⎡A θ ⎤
θ n×n es la matriz nula verificar que las matrices M = ⎢
⎥ y
⎣θ B ⎦
⎡θ θ A θ ⎤
⎢θ B θ θ ⎥
⎥ son ortogonales.
T =⎢
⎢θ θ θ C⎥
⎢
⎥
⎣D θ θ θ ⎦
55
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
MATEMÁTICA BÁSICA II
56
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO III
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un Sistema rectangular de m-ecuaciones y n-incógnitas es un conjunto de
⎧ a 11 x1 + a 12 x 2 + ...a1n x n = b1
⎪ a x + a x + ...a x = b
22 2
2n n
2
⎪ 21 1
⎪⎪
.
ecuaciones lineales de la forma : ( Δ ) ⎨
.
⎪
⎪
.
⎪
⎪⎩ a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a m n x n = b m
⎡ a11
⎢a
21
A=⎢
⎢ .
⎢
⎢⎣ a m 1
a1 2
a2 2
.
am 2
a1 n ⎤
... a 2 1 ⎥⎥
, se llama matriz de coeficientes del sistema ( Δ )
.
. ⎥
⎥
... a m n ⎥⎦
...
⎡ x1
⎢x
⎢ 2
⎢ .
X =⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ x n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ , se denomina matriz columna de las n-incógnitas del sistema ( Δ )
⎥
⎥
⎥
⎥⎦ n ×1
⎡ b1
⎢b
⎢ 2
⎢ .
B=⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ b n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ , es la matriz de los términos independiente del sistema ( Δ )
⎥
⎥
⎥
⎥⎦ m×1
57
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡ a 11
⎢a
21
M a = [ A B] = ⎢
⎢ .
⎢
⎢⎣ a m 1
a1 2
a2 2
.
am 2
a1 n . b 1 ⎤
... a 2 1 . b 2 ⎥⎥
, es la matriz aumentada o ampliada
.
. . . ⎥
⎥
... a m n . b m ⎥⎦
...
del sistema ( Δ )
El sistema ( Δ ) en forma matricial se escribe como AX = B
Si B = θ es la matriz nula, AX = θ se llama sistema homogéneo y si B ≠ θ se
llama sistema no homogéneo.
Para el tratamiento del sistema ( Δ ) de ecuaciones lineales por su importancia en
las aplicaciones en todas las ramas de las ciencias, tenemos el siguiente esquema.
Si m = n el sistema se llama sistema cuadrado, es decir sistema n × n
SISTEMA (Δ)
Sistema (Δ)
Incompatible o
Inconsistente
Sistema (Δ)
Compatible o
Consistente
Admite Solución
No existe
solución
Fin
Infinitas
Soluciones
Solución Única
Determinación
de Soluciones
58
MATEMÁTICA BÁSICA II
Sin pérdida de tiempo, haremos uso de las matrices para resolver sistemas
como ( Δ )
Método de Gauss (Pivote)
Se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
1.-
Si ρ ( A ) ≠ ρ ( M a ) el sistema ( Δ ) es incompatible o inconsistente (no
2.-
existe solución)
Si ρ ( A ) = ρ ( M a ) = λ
3.4.-
el sistema ( Δ ) es compatible o consistente
(existe solución)
Si ρ ( A ) = λ y n = número de incógnitas, entonces si ρ ( A ) = λ = n ,
existe solución única y se resuelve la ecuación directamente.
Si ρ ( A ) = λ < n existen infinitas soluciones
Observación 1.- μ = n − λ es el número de parámetros que tendrá el sistema
Observación 2.- Cuando el sistema ( Δ ) es de n-ecuaciones con n-incógnitas,
tambien se aplica la regla de Cramer que es muy común desde la educación
secundaria , ahora es el momento que el estudiante debe familiarizarse con el
método de Pivote.
Ejemplos
1.-
⎧ x + y + 3z = 5
⎪
Resolver el sistema ⎨ 2 x − y + 4 z = 11
⎪
⎩ 0x − y + z = 3
Solución
⎡1 2 3 . 5⎤
⎡ 1 2 3 . 5⎤
⎡1 2 3 . 5 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
M a = ⎢ 2 −1 4 . 11⎥ −2 F1 + F2 ⎢ 0 −3 −2 . 1⎥ F1 + (−3F2 ) ⎢⎢ 0 −3 −2 . 1 ⎥⎥
⎢⎣ 0 −1 1 . 3 ⎥⎦
⎢⎣ 0 −1 1 . 3⎥⎦
⎢⎣ 0 0 −5 . −8⎥⎦
⎡ 8 ⎤
⎢ 5 ⎥
⎢
⎥
8
7
8
7⎥
⎢
Entonces −5 z = −8 ⇒ z = , y = − , x = ⇒ X = −
es el vector
⎢ 5⎥
5
5
5
⎢
⎥
⎢ 8 ⎥
⎣⎢ 5 ⎦⎥
solución.
59
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema
⎧ x − 2 y + z + 2w = −2
⎪ 2 x + 3 y − z − 5w = 9
⎪
⎨
⎪ 4x − y + z − w = 5
⎪⎩ 5 x − 3 y + 2 z + w = 3
Solución
⎡ 1 −2 1 2 . −2 ⎤ −2 F + F ⎡ 1 −2 1 2 . −2 ⎤
1
2
⎢ 2 3 −1 −5 . 9 ⎥
⎢
⎥ − F2 + F3
⎥ −4 F1 + F3 ⎢ 0 7 −3 −9 . 13 ⎥
M a = [ A B] = ⎢
⎢ 4 −1 +1 −1 . 5 ⎥
⎢ 0 7 −3 −9 . 13 ⎥ − F2 + F4
⎢
⎥ −5F1 + F4 ⎢
⎥
⎣ 5 −3 2 1 . 3 ⎦
⎣ 0 7 −3 −9 . 13 ⎦
⎡ 1 −2 1
⎢
⎢0 1 −3
7
⎢
⎢0 0
0
⎢
0
⎣⎢ 0 0
2
9
7
0
0
−
−2 ⎤
.
13 ⎥⎥
.
7 ⎥ , tenemos que ρ ( A ) = 2 (dos filas no nulas)
.
0 ⎥
⎥
.
0 ⎦⎥
y ρ ( M a ) = 2 (dos filas no nulas), por tanto como ρ ( A ) = ρ ( M a ) = 2 < 4 = n
( n número de incógnitas), entonces existen infinitas soluciones
En la primera fila hacemos
1 4
12
1
z = t , w = s ⇒ x + 0 y + t − s = ⇒ x = (12 − t + 4s )
7 7
7
7
3 9
13
1
En la segunda fila y − t − s = ⇒ y = (13 + 3t + 9s ) , por tanto
7 7
7
7
1
⎧
⎪ x = 7 (12 − t + 4 s )
⎪
⎪ y = 1 (13 + 3t + 9s )
, y el conjunto solución está dado por
⎨
7
⎪
z =t
⎪
⎪
w=s
⎩
1
CS = { t (−1,3, 7 , 0 ) + s ( 4,9, 0, 7 ) + (12,13, 0, 0 )}
7
60
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema
⎧ −2 x + 2 y − 4 z − 6w = −4
⎪ −3 x + 6 y + 3z − 15w = −3
⎪
⎨
⎪ 5 x − 8 y − z + 17 w = 9
⎪⎩ x + y + 11z + 7 w = 7
Solución
1
Multiplicando la primera fila por ( − ) tenemos la matriz
2
3
⎡ 1 −1 2
⎢ −3 6 3 −15
Ma =⎢
⎢ 5 −8 −1 17
⎢
⎣ 1 1 11 7
3
⎡ 1 −1 2
⎢0 1
3 −2
⎢
⎢ 0 −3 −11 2
⎢
9
4
⎣0 2
⎡ 1 −1 2
⎢0 1 3
⎢
⎢0 0 1
⎢
⎣0 0 3
tenemos que
.
.
.
.
. 2 ⎤ 3F + F
1
2
. −3 ⎥⎥
−5 F1 + F2
. 9 ⎥
⎥
. 7 ⎦ − F1 + F3
3
⎡ 1 −1 2
⎢0 3
9 −6
⎢
⎢ 0 −3 −11 2
⎢
9
4
⎣0 2
2 ⎤
⎡ 1 −1 2 3
⎥
⎢
3
F
F
+
2
3
1 ⎥
⎢ 0 1 3 −2
−1 ⎥ −2 F2 + F3 ⎢ 0 0 −2 −4
⎥
⎢
5 ⎦
⎣0 0 3 8
.
.
.
.
. 2 ⎤
. 3 ⎥⎥ 1
F2
. −1 ⎥ 3
⎥
. 5 ⎦
2⎤
1 ⎥⎥ 1
− F3
2⎥ 2
⎥
3⎦
3 . 2 ⎤
⎡ 1 −1 2 3 . 2 ⎤
⎥
⎢ 0 1 3 −2 . 1 ⎥
−2 . 1 ⎥
⎥ , luego
− 3F3 + F4 ⎢
⎢ 0 0 1 2 . −1 ⎥
2 . −1 ⎥
⎥
⎢
⎥
8 . 3 ⎦
⎣0 0 0 2 . 6 ⎦
ρ ( A ) = 4 = ρ ( M a ) = n , entonces existe una única
solución, por tanto 2 w = 6 ⇒ w = 3 , z + 2 w = −1 ⇒ z = −7 , y = 28 ,
x = 35
X = { ( 35, 28, − 7 ,3) } , conjunto solución.
4.-
Determinar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema
x+ y + z + w+t = 7
⎧
⎪ 3 x + 2 y + z + w − 3t = −2
⎪
⎨
⎪ 0 x + y + 2 z + 2w + 6t = 23
⎪⎩ 5 x + 4 y + 3z + 3w = 12
61
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
⎡1
⎢3
Ma =⎢
⎢0
⎢
⎣5
1
2
1
4
1
1
2
3
⎡1 1 1 1
⎢0 1 2 2
⎢
⎢0 1 2 2
⎢
⎣ 0 −1 −2 −2
1
1
2
3
1
−3
6
−1
1
6
6
−6
.
.
.
.
.
.
.
.
7 ⎤
−2 ⎥⎥ −3F1 + F2
23 ⎥ −5F1 + F4
⎥
12 ⎦
7 ⎤
23 ⎥⎥ − F2 + F3
23 ⎥ F2 + F4
⎥
−23 ⎦
⎡1 1 1 1
⎢ 0 −1 −2 −2
⎢
⎢0 1 2 2
⎢
⎣ 0 − 1 −2 −2
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
1
1
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0
1
6
0
0
.
.
.
.
1
−6
6
−6
.
.
.
.
7 ⎤
−23 ⎥⎥
≈
23 ⎥
⎥
−23 ⎦
7 ⎤
23 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎦
Tenemos que 5 − ρ ( A ) = 3 es la dimensión del espacio solución y como
ρ ( A ) = ρ ( M a ) = 2 < 5 , n = 5 número de incógnitas,
haciendo
z = α , w = β , t = γ , obtenemos que:
⎧ x = −16 + α + β + 5γ
⎪ y = 23 − 2α − 2 β − 65γ
⎪⎪
, α , β ,γ ∈ R
z =α
⎨
⎪
w=β
⎪
t =γ
⎪⎩
⎡ −16 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎡ 5 ⎤
⎢ 23 ⎥
⎢ −2 ⎥
⎢ −2 ⎥
⎢ −6 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
X = ⎢ 0 ⎥ + α ⎢ 1 ⎥ + β ⎢ 0 ⎥ + γ ⎢ 0 ⎥ , vector solución.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
5.-
Discutir la compatibilidad o incompatibilid del sistema
⎧ x + 2 y − 2 z + 3w − 4t = −3
⎪
⎨ 2 x + 4 y − 5 z + 6 w − 5t = −1
⎪ − x − 2 y + 0 z − 3w + 11t = 15
⎩
62
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
⎡ 1 2 −2 3 −4 . −3 ⎤ −2 F + F ⎡ 1 2 −2 3 −4 . −3 ⎤
1
2
⎢ 0 0 −1 0 3 . 5 ⎥ ≈
M a = ⎢⎢ 2 4 −5 6 −5 . −1 ⎥⎥
⎥
−2 F1 + F3 ⎢
⎢⎣ −1 −2 0 −3 11 . 15 ⎥⎦
⎢⎣ 0 0 −2 0 7 . 12 ⎥⎦
⎡ 1 2 −2 3 −4 . −3 ⎤
⎢ 0 0 −1 0 3 . 5 ⎥ ⇒ ρ ( A ) = ρ ( M ) = 3 < 5 ,
a
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 1 . 2 ⎥⎦
entonces existen infinitas soluciones y haciendo y = α , w = β , t = 2 ,
− z + 3t = 5 ⇒ z = 1 , x = 7 − 2α − 3β
⎧ x = 7 − 2α − 3β
⎪
y =α
⎪⎪
, α ,β∈R
z =1
⎨
⎪
w=β
⎪
t=2
⎪⎩
⎡7⎤
⎡ −2 ⎤
⎡ −3 ⎤
⎢0⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
y X = ⎢ 1 ⎥ +α ⎢ 0 ⎥ + β ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
EJERCICIOS
1.-
a)
Determinar la consistencia o inconsistencia del sistema según el
valor de m
⎧ x + y + 2z + w = 5
⎪
⎨ 2 x + 3 y − z − 2w = 2
⎪ 4 x + 5 y + 3 z + mw = 7
⎩
2.-
⎧ mx − y + 2 z = 1 + m
⎪
, hallar el valor o valores de m
Dado el sistema ⎨ x + my − z = −1
⎪ 3 x + y + z = −1
⎩
para que:
a)
El sistema admita solución única
b)
El sistema admita infinitas soluciones
c)
El sistema no tenga solución
63
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por cualquier
método:
⎧ x+ y+ z=0
⎪
a) ⎨ 2 x − y + 3 z = 11
⎪ 3x + y + z = 4
⎩
4.-
⎧ x+ y+ z=0
⎪
b) ⎨ x + y + z = 4
⎪ x + y − z = −4
⎩
⎧ 3x + 5 y + 12 z = −3
⎪
c ) ⎨ x + y + 4 z = −6
⎪
2 y + 2z = 5
⎩
⎧ ax + by + z = 1
⎪
Hallar los valores de a y b para que el sistema ⎨ x + aby + z = b , tenga
⎪ x + by + az = 1
⎩
solución única .
5.-
Analizar la consistencia o inconsistencia del siguiente sistema de
ecuaciones:
a)
⎧ 2 x + y − 2 z + 3w = 1
⎪
⎨ 3x + 2 y − z + 2w = 4
⎪ 3 x + 3 y + 3z − 3w = 5
⎩
⎧ x + 2 y − z + 3w = 3
c ) ⎪⎨ 2 x + 4 y + 4 z + 3w = 9
⎪ 3 x + 6 y − z + 8w = 10
⎩
6.-
b)
⎧ x + 2 y − 2 z + 3w = 2
⎪
⎨ 2 x + 4 y − 3z + 4w = 5
⎪ 5 x + 10 y − 8 z + 11w = 12
⎩
⎧ x + 2 y − 2 z + 3w − 4t = −3
d ) ⎪⎨ 2 x + 4 y − 5 z + 6w − 5t = −1
⎪ − x − 2 y − 3w + 11t = 15
⎩
Analizar la compatibilidad o incompatibilidad de los siguientes sistemas
de ecuaciones y hallar todas las soluciones si existen:
⎧ x − y + 2 z = −2
⎧ x + y − 5 z = 26
⎪
⎪
a) ⎨ 3 x − 2 y + 4 z = −5 , b) ⎨ x + 2 y + z = −4
,
⎪ 0 x + 2 y − 3z = 2
⎪ x + 3 y + 7 z = −34
⎩
⎩
⎧ 3x − y + 2 z = 3
⎪
c) ⎨ 2 x + 2 y + z = 2
⎪ x − 3y + z = 4
⎩
64
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎧ 2x + 3y − z − w = 0
⎧ x + y + 2z − w = 3
⎪ x − y − 2 z − 4w = 0
⎪ 2x − y + z + w = 1
⎪
⎪
d) ⎨
,
, e) ⎨
⎪ 3x + y + 3z − 2w = 0
⎪ x − 5 y − 4 z + 5w = −7
⎪⎩ 6 x + 3 y + 0 z − 73w = 0
⎩⎪ 4 x − 5 y − z + +5w = −3
⎧ x − 2 y + 10 z − 4w = 0
⎪ 3x − y + 0 z + 0w = 0
⎪
f) ⎨
⎪ −2 x + y + 5 z + 4w = 5
⎪⎩ − x + 6 y + 0 z − w = 12
⎧ 2 x + y − 3z + w + t = 0
⎪ x + 2 y − z + 4w + 3t = 1
⎧ x + 3 y − 2 z − 3w + 2t = 4
⎪
⎪ − x − 3 y + 4 z + 4 w4t = −1
⎪ 2 x − 3 y + 2 z − w + 3t = −6
⎪
, h) ⎨
g) ⎨
⎪ − x + 0 y + 2 z + 3w − t = 8
⎪ − x − 3 y + 4 z + 4w − t = −2
⎪ 0 x + 2 y + z + 2w + 3t = −7
⎪⎩ −2 x − 6 y + +10 z + 9w − 4t = 1
⎪
⎪⎩ 3x − 4 y + 5 z − 2w + t = 0
7.-
En un circuito cerrado la suma de los cambios de voltaje es igual a la suma
de las fuerzas electromotrices. Considerando la red de la figura:
8 ohmios
6 ohmios
i2
i1
12 voltios
24 voltios
4 ohmios
i3
i2
i1
El sistema que gobierna al circuito está dado por
corrientes i 1 , i 2 , i3 e interpretar i3 .
65
⎧i1 − i 2 − i3 = 0
⎪ 6i + 4i = 12
⎪ 1
3
⎨
⎪8i 2 − 4i3 = 24
⎪⎩ 6i1 + 8i 2 = 36
, hallar las
MATEMÁTICA BÁSICA II
8.-
Un empresario tiene tres máquinas empleados en la fabricación de cuatro
productos diferentes y para ser usados plenamente, éstas estarán en
operación 8 h/diarias. El número de horas que es usada cada máquina en
la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por :
p:1 p:2 p:3 p:4
M1
M2
M3
⎡ 1
⎢ 2
⎢
⎢⎣ 1
2
1
0
1
2
3
2 ⎤
1 ⎥⎥
0 ⎥⎦
Encuentre el número de unidades que se deben producir de c/u de los
cuatro productos en un día de 8hrs, supuesto que c/máquina se usa 8hrs
completas.
9.-
10.-
Discutir el sistema y hallar la solución según el valor de λ ∈ R
⎧ x + 5 y + 2 z + 3w = 2
⎪ 4 x + 6 y + 3 z + 5w = 4
⎪
⎨
⎪ 4 x + 14 y + z + 7 w = 4
⎪⎩ 2 x − 3 y + 3z + λ w = 7
⎧ 3x + y + 2 z + 4w = 1
⎪
x − y + 3z − w = 3
⎪
Determinar el conjunto solución del sistema ⎨
⎪ x + 7 y − 11z + 13w = −13
⎩⎪ 11x + y + 12 z + 10w = 9
66
MATEMÁTICA BÁSICA II
Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz Cuadrada
Comentarios.- Para el estudio de este capítulo es conveniente conocer:
1.Estructuras Algebraicas: Espacios Vectoriales y Transformaciones
Lineales entre espacios vectoriales, estos tópicos deben ser incluidos en la
asignatura de lo contrario el desarrollo seria incompleto y poco
consistente.
2.¿Por qué no se enseña el Teorema de Cayley-Hamilton desde inicio del
curso para invertir matrices? .Para ello solo se requiere saber multiplicar
matrices cuadradas y se obviaría el método de cofactores - adjuntas y el
método de Gauss o de Pivote.
Polinomio Característico de una matriz Cuadrada
Sea M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦ una matriz cuadrada, I n la matriz identidad de orden n × n ,
n× n
λ ∈k
donde k = R o k = C , entonces
M c = [ λ In − M
] n× n se
llama matriz
característica de M donde:
M c = [ λ In − M
] n×n
− m12
⎡ λ − m11
⎢ −m
λ − m 22
21
⎢
⎢
.
.
=⎢
.
.
⎢
⎢
.
.
⎢
−m n 2
⎢⎣ − m n1
Δ M ( λ ) = det (λ I n − M ) = λ I n − M
la matriz M
y
− m 13
− m14
− m 23
− m 24 ...
...
.
.
.
.
...
...
.
.
.
−m n 3
− m n 4 ...
− m1n ⎤
− m 2 n ⎥⎥
⎥
.
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
λ − m n n ⎥⎦
, se denomina polinomio característico de
Δ M ( λ ) = det (λ I n − M ) = λ I n − M = 0 se llama ecuación
característica .
Nomenclatura.- Por simplicidad denotaremos p ( λ ) = λ I n − M
al polinomio
característico de M y p ( λ ) = λ I n − M = 0 ecuación característico.
tiene polinomio característico
Teorema (Cayley-Hamilton).- Si M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦
n× n
p ( λ ) ⇒ p ( M ) = θ , esto es, toda matriz es cero o raíz de su polinomio
característico .
67
MATEMÁTICA BÁSICA II
Este teorema es muy útil para invertir matrices.
Ejemplos
1.-
⎡ 1 −3 3 ⎤
Hallar el polinomio característico de la matriz M = ⎢⎢ 3 −5 3 ⎥⎥ y las
⎢⎣ 6 −6 4 ⎥⎦
raíces de la ecuación característica.
Solución
λ −1
p ( λ ) = λ I 3 − M = −3
−6
−3
3
λ +5
6
−3 = λ 3 − 12λ − 16
λ −4
p ( λ ) = λ 3 − 12λ − 16 = 0 ⇒ ( λ + 2 ) 2 (λ − 4 ) = 0 ⇒ λ = −2 y λ = 4
2.-
⎡1 1 1 ⎤
Halla el polinomio característico de la matriz M = ⎢⎢ 1 0 1 ⎥⎥
⎢⎣ 0 −1 2 ⎥⎦
Solución
λ − 1 −1 −1
p ( λ ) = λ I 3 − M = −1
0
Definición.-
λ
1
−1 = λ 3 − 3λ 2 + 2λ + 2
λ −2
podemos formar siempre la ecuación
Dado M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦
n× n
polinómica p ( λ ) = λ I n − M = 0 y hallar las n raíces. Estas raíces son los
valores propios o autovalores de la matriz M .
Un escalar
⎡ v1
⎢v
⎢ 2
⎢ .
λ ∈ R es valor propio, si existe un v ≠ 0 , v = ⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢ v
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ tal que
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
M v = λ v , todo vector que satisface esta relación se llama un vector propio
perteneciente al valor propio λ y λ v también es un vector propio.
68
MATEMÁTICA BÁSICA II
Definición.- Se dice que dos matrices
M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦
son
y D = ⎡⎣ d i j ⎤⎦
n× n
n× n
semejantes.
Si solamente si existe una matriz P = ⎡⎣ p i j ⎤⎦
n× n
matriz diagonal.
tal que D = P −1 M P es una
Teorema.- Una matriz M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦ es similar o equivalente a una matriz
n× n
diagonal
D = ⎡⎣ d i j ⎤⎦
n× n
⇔M
tiene
n-vectores
propios
linealmente
independientes. En este caso o los elementos de la diagonal de D son los valores
propios correspondientes.
Si P es una matriz cuyas columnas son los n-vectores propios linealmente
independiente de M ⇒ D = P −1MP .
Ejercicios
1.-
⎡ 1 −3 3 ⎤
a) Hallar el polinomio característico de la matriz M = ⎢⎢ 3 −5 3 ⎥⎥
⎢⎣ 6 −6 4 ⎥⎦
b) Hallar los valores y vectores propios de M
c) Hallar la matriz P / D = P −1MP
Solución
a) Del ejemplo (1) ,tenemos
λ −1
3
−3
p ( λ ) = λ I 3 − M = −3 λ + 5 −3 = λ 3 − 12λ − 16
−6
6
λ −4
b) p ( λ ) = λ 3 − 12λ − 16 = 0 ⇒ ( λ + 2 ) 2 (λ − 4 ) = 0 ⇒ λ = −2 y λ = 4
son los valores propios.
⎡x⎤
⎡ −3 3 −3 ⎤
⎢
⎥
λ = −2 ⇒ M c = [ λ I 3 − M ] 3× 3 = ⎢ −3 3 −3 ⎥ ⇒ sea v = ⎢⎢ y ⎥⎥
Si
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ −6 6 −6 ⎥⎦
vectores
propios,
entonces:
⎡ −3 3 −3 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎧ −3 x + 3 y − 3 z = 0
⎢ −3 3 −3 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⇒ ⎪ −3 x + 3 y − 3 y = 0
sumando tenemos
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨
⎪
⎢⎣ −6 6 −6 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎩ −6 x + 6 y − 6 z = 0
69
MATEMÁTICA BÁSICA II
x − y + z = 0 es un plano en el espacio y el sistema tiene infinitas
soluciones (pero por lo menos dos soluciones linealmente
independientes).
⎡1⎤
⎡ 1 ⎤
⎢
⎥
v1 = ⎢ 1 ⎥ , v 2 = ⎢⎢ 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ −1 ⎥⎦
Si λ = 4 ⇒ M c = [ λ I 3 − M
] 3× 3
⎡x⎤
⎡ 3 3 −3 ⎤
⎢
⎥
= ⎢ 3 9 −3 ⎥ ⇒ w = ⎢⎢ y ⎥⎥ ⇒
⎢⎣ −6 6 0 ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦
⎡ 3 3 −3 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎧ 3 x + 3 y − 3 z = 0
⎧ x+ y−z =0
⎢ −3 9 −3 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⇒ ⎪ −3 x + 9 y − 3 y = 0 ⇒ ⎪ − x + 3 y − z = 0 ⇒
⎨
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨
⎪
⎢⎣ −6 6 0 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎩ −6 x + 6 y + 0 z = 0 ⎪⎩ − x + y + 0 z = 0
⎡1⎤
⎡1 1 1⎤
⎧ x+ y−z =0
⎢
⎥
existe infinitas soluciones w = ⎢ 1 ⎥ ⇒ P = ⎢⎢ 1 0 1 ⎥⎥
⎨
⎩ 2y − z = 0
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 −1 2 ⎥⎦
es la matriz de auto-vectores.
⎡1 1
Calcularemos la inversa de P = ⎢⎢ 1 0
⎢⎣ 0 −1
λ − 1 −1
Cayley-Hamilton p ( λ ) = −1 λ
0
1
1⎤
1 ⎥⎥ aplicando el Teorema de
2 ⎥⎦
−1
−1 = λ 3 − 3λ 2 + 2λ + 2 ⇒
λ −2
1
p ( P ) == P 3 − 3P 2 + 2 P + 2 I = θ ⇒ I = − ( P 3 − 3P 2 + 2 P )
2
multiplicando por P −1 , tenemos:
1
1
P −1 I = − ( P 2 − 3P + 2 I ) ⇒ P −1 = − ( P 2 − 3P + 2 I )
2
2
70
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡ 2 0 4⎤
⎡ 2 0 4⎤ ⎡3 3 3⎤ ⎡2 0 0⎤
1 ⎢
⎢
⎥
−1
P = ⎢ 1 0 3 ⎥ ⇒ P = − ( ⎢ 1 0 3 ⎥⎥ − ⎢⎢ 3 0 3 ⎥⎥ + ⎢⎢ 0 2 0 ⎥⎥ ) =
2
⎢⎣ −1 −2 3 ⎥⎦
⎢⎣ −1 −2 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −3 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 2 ⎥⎦
2
⎡ 1
⎢−2
⎢
⎢ 1
⎢ 1
⎢
⎣ 2
2.-
3
2
−1
1
−
2
1
2
0
1
2
−
⎤
⎡ 1
⎥
⎢−2
⎥
⎢
−1
⎥⇒P =⎢ 1
⎥
⎢ 1
⎥
⎢
⎦
⎣ 2
3
2
−1
1
−
2
1
2
0
1
2
−
⎤
⎥
⎡ −2 0 0 ⎤
⎥
⎢
⎥
−1
⎥ ⇒ D = P MP = ⎢ 0 −2 0 ⎥
⎥
⎢⎣ 0 0 4 ⎥⎦
⎥
⎦
⎡2 2 1⎤
Dado la matriz M = ⎢⎢ 1 3 1 ⎥⎥
⎣⎢ 1 2 2 ⎥⎦
−1
a) Hallar M aplicando el teorema de Cayley-Hamilton
b) Diagonalizar la matriz M
Solución
−1 ⎤
λ − 2 −2
−1
⎡ λ − 2 −2
⎢
⎥
M c = [ λ I − M ] = ⎢ −1 λ − 3 −1 ⎥ ⇒ p (λ ) = −1 λ − 3 −1 =
⎢⎣ −1
−2 λ − 2 ⎥⎦
−1
−2 λ − 2
p (λ ) = λ 3 − 7λ 2 + 11λ − 5 = (λ − 5)( λ − 1) 2 , entonces los valores propios
son λ 1 = 5 , λ 2 = λ 3 = 1
Si λ = 5 ⇒ M c
⎡x⎤
⎡ 3
⎢
⎥
v = ⎢ y ⎥ ⇒ ⎢⎢ −1
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ −1
⎡ 3 −2
= ⎢⎢ −1 2
⎢⎣ −1 −2
−2 −1 ⎤ ⎡
2 −1 ⎥⎥ ⎢⎢
−2 3 ⎥⎦ ⎢⎣
−1 ⎤
−1 ⎥⎥ , sea
3 ⎥⎦
x ⎤ ⎡0⎤
y ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥
z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
71
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎡1⎤
⎧ 3x − 2 y − z = 0
⎪
⎢ ⎥
⎨ − x + 2 y − z = 0 ⇒ x = 1, y = 1, z = 1 , entonces v = ⎢ 1 ⎥ es un vector
⎪ − x − 2 y + 3z = 0
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎩
propio.
⎡ −1 −2 −1 ⎤
Si λ = 1 ⇒ M c = ⎢⎢ −1 −2 −1 ⎥⎥ ,
⎢⎣ −1 −2 −1 ⎥⎦
⎡r⎤
⎡ −1 −2 −1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
⎥
w = ⎢ s ⎥ ⇒ ⎢⎢ −1 −2 −1 ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⇒
⎢⎣ t ⎥⎦
⎢⎣ −1 −2 −1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎧ −r − 2s − t = 0
⎪
⎨ −r − 2 s − t = 0 ⇒ r + 2 s + t = 0 es un plano que pasa por el origen de
⎪ −r − 2s − t = 0
⎩
coordenadas, existen infinitas soluciones
⎡ 2 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎡1 2 1 ⎤
⎧ r = 2, s = −1, t = 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⇒ w 1 = ⎢ −1 ⎥ , w 2 = ⎢ 0 ⎥ ⇒ P = ⎢⎢ 1 −1 0 ⎥⎥
⎨
⎩ r = 1, s = 0, t = −1
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ −1 ⎥⎦
⎢⎣ 1 0 −1 ⎥⎦
1
p ( M ) = M 3 − 7 M 2 + 11M − 5 I = θ ⇒ I = ( M 3 − 7 M 2 + 11M ) ,
5
−1
multiplicando por M ,
1
1
M −1 I = ( M 2 − 7 M + 11 I ) ⇒ M −1 = ( M 2 − 7 M + 11 I ) =
5
5
4
2
1
⎡
⎤
⎢ 5 −5 −5 ⎥
⎢
⎥
⎢ −1 3 −1 ⎥
⎢ 5 5
5 ⎥
⎢
⎥
⎢−1 −2 4 ⎥
5 5 ⎦⎥
⎣⎢ 5
72
MATEMÁTICA BÁSICA II
1 ⎤
⎡1 1
⎢4 2
4 ⎥
⎡5 0 0⎤
⎢
⎥
1
1 1 ⎥
−1
−1
⎢
Ahora P =
−
⇒ D = P MP = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ la diagonal de
⎢4
2 4 ⎥
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
⎢1 1
⎥
3
⎢
− ⎥
⎢⎣ 4 2
4 ⎥⎦
la matriz son los valores propios.
Ejercicios
1.-
Hallar los polinomios característicos de cada una de las matrices
⎡2
M = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 1
⎡8
W = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
⎡2
⎢0
⎢
S =⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0
2.-
3.-
3 −2 ⎤
⎡1 1 0⎤
⎡2 0 0⎤
⎢
⎥
⎥
5 4 ⎥ , T = ⎢ 0 2 0 ⎥ , R = ⎢⎢ 0 2 2 ⎥⎥ ,
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
0 −1 ⎥⎦
12 0 ⎤
8 12 ⎥⎥
0 8 ⎥⎦
5
2
0
0
0
0
0
4
3
0
0
0
2
5
0
0⎤
⎡3 1
⎥
⎢0 3
0⎥
⎢
0⎥ , U =⎢0 0
⎥
⎢
0⎥
⎢0 0
⎢⎣ 0 0
7 ⎥⎦
0
0
3
0
0
0
0
1
3
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
Para toda matriz M = ⎡⎣ m i j ⎤⎦ , probar que ( P −1MP ) n = P −1 M n P ,
n× n
donde P es una matriz invertible, en forma más general
p ( P −1MP ) = P −1 p ( M ) P donde p ( λ ) es el polinomio característico.
⎡1 0⎤
⎡1 4 ⎤
y P=⎢
Como una aplicación de (2) si M = ⎢
⎥
⎥ encuentre
⎣0 2⎦
⎣1 5 ⎦
D = P −1MP y D 5 .
73
MATEMÁTICA BÁSICA II
4.-
Para cada una de las matrices
⎡2 2⎤
M =⎢
⎥ ,
⎣1 3⎦
⎡4 2⎤
T =⎢
⎥,
⎣3 3⎦
⎡ 5 −1 ⎤
R=⎢
⎥ , hallar todos los valores y vectores propios linealmente
⎣1 3 ⎦
independientes y las matrices invertibles de los vectores propios P , Q ,U
de M , T , R tal que P −1MP , Q −1TQ ,U −1 RU son matrices diagonales.
5.-
⎡3 1 1⎤
⎡ 1 2 2 ⎤
Para cada una de las matrices M = ⎢⎢ 2 4 2 ⎥⎥ , T = ⎢⎢ 1 2 −1 ⎥⎥ ,
⎢⎣ 1 1 3 ⎥⎦
⎢⎣ −1 1 4 ⎥⎦
⎡1 1 0⎤
R = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ , hallar todos los valores y vectores propios linealmente
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
independientes y las matrices invertibles de los vectores propios
M ,T , R
respectivamente
tal
que
P , Q ,U de
P −1MP , Q −1TQ ,U −1 RU son matrices diagonales.
6.-
7.-
⎡1 0 0⎤
⎡1 1 0⎤
⎢
⎥
1
0 ⎥ y P = ⎢⎢ 0 −2 0 ⎥⎥ , encuentre D = PMP −1 y
Si M = ⎢ 0
2
⎢
⎥
⎢⎣ 0 1 1 ⎥⎦
⎢0 0 1⎥
⎣
⎦
D n = PM n P −1
⎡ 3 2 2 −4 ⎤
⎢ 2 3 2 −1 ⎥
⎥
Dado la matriz M = ⎢
⎢ 1 1 2 −1 ⎥
⎢
⎥
⎣ 2 2 2 −1 ⎦
a) Hallar el polinomio característico de M
b) Determinar los valores y vectores propios
c) Hallar la matriz de los vectores propios M
d) Hallar P −1 aplicando el teorema de Cayley-Hamilton
e) Hallar la matriz diagonal D = P −1MP
74
MATEMÁTICA BÁSICA II
8.-
⎡ 9 −1 8 −9 ⎤
⎢ 6 −1 5 −5 ⎥
⎢
⎥
Dado la matriz Q =
⎢ −5 1 −4 5 ⎥
⎢
⎥
⎣ 4 0 5 −4 ⎦
a) Hallar el polinomio característico de Q
b) Determinar los valores y vectores propios
c) Hallar la matriz de los vectores propios Q
d) Hallar P −1 aplicando el teorema de Cayley - Hamilton
e) Hallar la matriz diagonal D = P −1QP y D 3 = P −1Q 3 P
75
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO IV
SISTEMA DE COORDENADAS
TRIDIMENSIONALES Y VECTORES
Así como los puntos de un plano R 2 pueden colocarse en una
correspondencia uno-a-uno con parejas de números reales usando dos rectas
coordenadas perpendiculares, también los puntos del espacio tridimensional
R 3 = { ( x , y ,z ) / x , y ,z ∈ R} pueden ponerse en una correspondencia uno-auno con ternas de números reales empleando tres rectas coordenadas
mutuamente perpendiculares y se obtiene esta correspondencia en sus orígenes
llamados : Eje X , Eje Y y , Eje Z .
Los tres ejes coordenados
forman un Sistema
Tridimensional de
Coordenadas Cartesianas o Rectangulares o simplemente el Espacio
Euclidiano R 3 y el punto de intersección de los ejes coordenados se llama
origen del sistema. Cada pareja de ejes coordenados determinan un plano
llamado un plano coordenado.
Estos planos se denominan planos coordenados: Plano X Y , Plano X Z ,
Plano Y Z .
A cada punto P de R 3 se le asigna una terna de números ( x , y , z ) llamadas
las coordenadas de P .
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN R 3
Teorema.- Sean P ( x 1 , y 1 , z 1 ) y Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ \ 3 , entonces la
distancia d entre los puntos P y Q es dado por:
d ( P ,Q ) =
PQ
=
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 ≥ 0
Demostración:
Hacemos la construcción dada en la figura 3.Por el teorema de Pitágoras,
tenemos que:
2
2
d 2 ( P ,Q ) = P R
+ RQ
= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2
77
MATEMÁTICA BÁSICA II
Además observamos que d ( P , R ) = d ( T , S ) y por definición de distancia
en el plano tenemos que:
d 2 ( P , R ) = d 2 ( T , S ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
Y además d 2 ( R ,Q ) = ( z 2 − z 1 ) 2 , por lo tanto:
d 2 ( P ,Q ) =
d ( P ,Q ) =
PR
PQ
2
+
=
RQ
2
= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 ⇒
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2
Propiedades.- Dados tres puntos arbitrarios:
P ( x1 , y 1 , z 1 ) , Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) y R ( x 3 , y 3 , z 3 ) ∈ \
3
, se cumplen:
1.- d ( P ,Q ) ≥ 0
2.- d ( P ,Q ) = d ( Q , P ) simetría
3.- d ( P ,Q ) ≤ d ( P , R ) + d ( R ,Q ) desigualdad triangular
Ejemplos
1.-
Hallar la distancia entre los puntos P ( 4 , − 6 , 8 ) y Q ( 9 , − 2 , − 8 )
Solución
d ( P ,Q ) =
Unidades.
2.-
( 9 − 4 )2 + ( − 2 + 6 )2 + ( − 8 − 8 )2 =
297
Encontrar el perímetro de un triángulo de vértices en los puntos
P ( 4 , − 6 , 8 ) Q ( 9 , − 2 , − 8 ) , R ( 0 ,1 , 0 ) .
Solución
Por (1) tenemos que:
a = d ( P ,Q ) =
( 9 − 4 )2 + ( − 2 + 6 )2 + ( − 8 − 8 )2 =
297
b = d( P ,R ) =
( 0 − 4 )2 + ( 1 + 6 )2 + ( − 8 )2 =
y
c = d( Q ,R ) =
( 0 − 9 )2 + ( 1 + 2 )2 + ( 8 )2 =
P =Perímetro
= 297 + 129 +
154 = 3 33 + 3
78
43 + 2
129
1 5 4 , luego
7 7 unidades
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
Encuentre la ecuación de la esfera para la cual el segmento que une los
puntos P ( − 2 , 3 , − 1 ) , Q ( 4 , 5 , − 3 ) es un diámetro.
Solución
El centro de la esfera es el punto medio
1
C = ( P + Q ) = (1 ,4 ,−2 )
2
y radio de la esfera es r = d ( C , P ) = d ( C ,Q ) = 1 1 , por tanto
la ecuación de la esfera, para un punto P ( x , y , z ) en ella está dado
por: ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 1 1
VECTORES
Introducción.- Algunas cantidades en las matemáticas y otras ciencias, tales
como el área, volumen, longitud de arco, la temperatura y el tiempo, sólo tiene
magnitud y se pueden caracterizar completamente con un solo número real (con
una unidad de medida apropiada como cm ,cm 2 ,cm 3 , 0C , mínimo, supremo
etc.) Una cantidad de este tipo es una cantidad escalar y el número real
correspondiente se denomina escalar.
Conceptos como el de velocidad o fuerza poseen tanto magnitud como
dirección y a menudo se representan con flechas o segmentos dirigidos, es
decir, segmentos en los que se señala un sentido y representan una dirección.
A un segmento dirigido se le llama también vector.
Sea el conjunto
Vn =
{(
v 1 , v 2 , v 2 , ..., v n ) / v i ∈ R ,i = 1 , 2 , 3 , ..., n } ,
donde sus elementos ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) se denomina n-ada de números reales y el
número vi se llama i-ésimo componente de ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) .
Tenemos las siguientes operaciones en Vn :
i) Si v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) , w = ( w1 ,w2 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn ⇒ v + w ∈ Vn
ii) Si v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ∈ Vn y λ ∈ R ⇒ λv ∈ Vn
El conjunto Vn provisto de estas dos operaciones tiene estructura de Espacio
Vectorial sobre R , por este motivo Vn es el Espacio Vectorial n-dimensional y
a sus elementos se les denominan vectores. ( Vn ≅ R n )
79
MATEMÁTICA BÁSICA II
Cuando n = 2 , V2 es el Espacio Vectorial Bidimensional, cuando n = 3 , V3 es
el Espacio Vectorial Tridimensional.
Por tanto un vector de Vn es una n-ada de números reales que denotaremos por
G
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) , un vector de V2 es un par ordenado de números reales
G
G
v = ( v1 ,v2 ) y un vector de V3 es una terna de números reales v = ( v1 ,v2 ,v3 ) .
Nuestro trabajo estará centrado para los casos V2 y V3 donde se dan todas las
aplicaciones reales y concretas.
Si un vector va de un punto P (punto inicial) a un punto Q (punto final) ,la
dirección se indica colocando una flecha sobre el segmento PQ y el vector se
G JJJG
denota y se define por v = PQ = Q − P .
Figura 1
G JJJG
Para determinar un vector aplicado v = PQ será necesario precisar lo siguiente:
1.2.3.-
Su punto de aplicación, que es el origen P .
Su dirección, es aquella con el que se recorre el segmento PQ cuando
se va desde el origen P hasta el extremo Q .
G JJJG
Su magnitud de v = PQ es la longitud de PQ y se denota por
JJJG
G
v = PQ
G JJJG
G JJJG
Se dice que dos vectores aplicados v = PQ y v = PQ son paralelos, cuando
están contenidos en una misma recta o en rectas paralelas.
80
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 2
G JJJG JG JJJG
Dos vectores aplicados v = PQ y w = RS son equipolentes o equivalentes, si
tienen el mismo módulo (magnitud) y la misma dirección (pueden tener
G JG
distintos puntos de aplicación) y se expresa esta relación escribiendo v = w .
Radio Vector.- Es el vector aplicado cuyo punto inicial u origen coincide con
el origen de coordenadas del sistema en referencia. Al radio vector se
denomina también Vector de Posición.
Figura 3
IGUALDAD DE VECTORES
a)
b)
G
JG
G JG
Dos vectores v = ( v1 ,v2 ) , w = ( w1 ,w2 ) ∈ V2 , v = w ⇔ vi = wi ,i = 1 , 2
G
JG
Dos
vectores
v = ( v1 ,v2 ,v3 )
, w = ( w1 ,w2 ,w3 ) ∈ V3 ,
G JG
v = w ⇔ vi = wi ,i = 1 , 2 ,3
G
Adición de Vectores.- Si v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) , w = ( w1 ,w2 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn ,
G JG
JG
entonces v + w = ( v1 + w1 ,v2 + w2 ,...,vn + wn ) . El punto inicial de w se coloca en
G
G JG
el punto final de v , entonces la suma o resultante v + w es el vector cuyo punto
G
inicial está dado en el punto inicial de v y su punto final está dado en el
JG
extremo de w .
81
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura4
La adición de vectoresGtiene
las siguientes propiedades:
JG JG G
1.Conmutativa: v + w = w + v
(Figura 5)
G JG G G JG G
(Figura6)
2.Asociativa: ( v + w ) + u = v + ( w + u )
G
G
3.Para cualquier vector v , existe un único vector 0 tal que
G G G G G
v + 0 = 0+ v = v
G
G
G
G
G
4.Para cada vector v , existe un único vector − v tal que v + ( −v ) = 0
(Figura 7)
Figura 5
Figura 6
Figura 7
G
Diferencia de Vectores.- Si v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) , w = ( w1 ,w2 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn .
G JG
G JG
Entonces v − w = ( v1 − w1 ,v2 − w2 ,...,vn − wn ) .Geométricamente v − w es el
JG
vector cuyo origen es el punto final de w y cuyo extremo es el punto final de
G
v.
82
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 8
Multiplicación
de
un
vector
por
un
número
real.G
G
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ∈ Vn y λ ∈ \ ⇒ λv = ( λv1 ,λv2 , λv2 ,..., λvn ) ∈ Vn .
Si
Figura 9
Vectores Paralelos.- Dos vectores:
G
JG
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) , w = ( w1 ,w2 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn son paralelos, si uno de ellos
es igual al producto del otro por un número real. Esto es:
G JG
G
JG
JG
G
v // w ⇔ ∃λ ,k ∈ \ / v = λ w ∨ w = k v , para algunos λ ,k ∈ \ .
Figura 10
83
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ejemplos
G
JG
1.Verificar que los vectores v = ( 5, 7 , 2 ) , w = ( − 15, − 21 , − 6 ) son
paralelas.
Solución
G
JG
Supongamos que v = λ w para algún λ ∈ \ , entonces:
⎧5 = −15λ
1 G
1 JG
⎪
( 5 , 7 , 2 ) = λ ( −15 , − 21 , − 6 ) = ( −15λ , − 21λ , − 6λ ) ⇒ ⎨7 = −21λ ⇒ λ = − ⇒ v = − w
3
3
⎪ 2 = −6 λ
⎩
G JG
Por lo tanto v ,w son vectores paralelos con direcciones opuestas.
2.-
G
JG
Verificar que v = ( 1, 2 ,1 , −1 ) , w = ( − 3, − 6 , − 3 , − 3 ) no son paralelos
SoluciónG
JG
Sea
v = kw
para
algún
número
λ∈\ ,
entonces
( 1, 2 ,1 , −1 ) = k( −3, − 6 , − 3 , − 3 ) ⇒
⎧ 1 = −3k
⎪ 2 = −6k
1
1
⎪
( 1, 2 ,1 , −1 ) = ( −3k , − 6k , − 3 k , − 3k ) ⇒ ⎨
⇒k =− ∧ k =
,
3
3
⎪ 1 = −3k
⎪⎩−1 = −3k
G
JG
por lo tanto no existe k ∈ R tal que v = k w , entonces los vectores no
son paralelos.
MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR
G
Definición.- Si v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ∈ Vn , entonces el módulo o norma del
G
G
vector v es el número real denotado y definido por v = v12 + v22 + ... + vn2 ≥ 0
.
G
G
Si v = ( v1 ,v2 ) ∈ V2 ⇒ v = v12 + v22
G
G
Si v = ( v1 ,v2 ,v3 ) ∈ V3 ⇒ v = v12 + v22 + v32
84
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 11
Ejemplos
1.2.3.-
G
G
Si v = ( 4 , −3 ) ⇒ v = 42 + ( −3 ) 2 = 25 = 5
JG
JG
Si w = ( −3 , −6 , − 2 ) ⇒ w = ( −3 ) 2 + ( −6 ) 2 + ( −2 ) 2 = 49 = 7
G
JG
u = ( −9 , −3 , − 7 , 5 ) ⇒ w = ( −9 ) 2 + ( −3 ) 2 + ( −7 ) 2 + ( 5 ) 2 = 144 = 12
Propiedades.- Para todos los vectores:
G
JG
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn y
λ ∈ \ , se cumplen:
G
G
G G
1.- v ≥ 0 y v = 0 ⇔ v = 0
G JG
G JG
2.- v w = v w
G JG
JG G
3.- v − w = w − v (Simetría)
G
G
4.- λ v = λ v
G JG
G
JG
5.- v + w ≤ v + w (desigualdad triangular)
G
Vector Unitario.- Dado v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn )∈ Vn , si
G
G
v = 1 , el vector v se
llama vector unitario.
G G
El vector unitario que tiene la misma dirección del vector v ≠ 0 , se llama
JJG
G
versor del vector v y se denota por v 0 .
85
MATEMÁTICA BÁSICA II
G
v
y
JJG
v0
tienen la misma dirección,
JJG
algún λ > 0 ⇒ λ = λ
y como
v0 = 1 ,
JJG
G
G
1
1 G G
λ v = 1 ⇒ λ = G , por tanto v 0 = G v ⇒ v = v
v
v
Como
entonces
entonces
JJG
v0 .
JJG
G
v0 = λ v
para
tenemos
que
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
G
JG
Sean v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn , entonces el
JG
G
producto escalar (o producto interno o producto punto) de v y w se denota
G JG
por v .w , se define como la suma de los productos de las componentes
G
JG
correspondientes de v y w . Esto es:
n
G JG
v .w = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ).( w1 ,w2 ,...,wn ) = v1w1 + v2 w2 + .... + vn wn = ∑ vi wi
Definición.-
i =1
Ejemplos
1.Si
G
JG
G JG
v = ( 4 , 6 ,9 , 0 ) ,w = ( 1 , − 1,5 , 2 ) ∈ V3 ⇒ v.w = 4( 1 ) + 6( −1 ) + 9( 5 ) + 0( 2 ) = 43
2.-
G
JG
v = ( 1 , 2 ,3 , 4 ,5 ) ,w = ( −2 , − 1, 0.1, 2 ) ∈ V5 ⇒
G JG
v .w = 1( −2 ) + 2( −1 ) + 3( 0 ) + 4( 1 ) + 5( 2 ) = 10 .
G JG G
Propiedades.- Para todos los vectores v ,w,u ∈ Vn
G JG JG G
1.v .w = w.v
G JG G JG
G JG
2.( λ v ).w = v .( λ w ) = λ ( v .w )
G JG G
G JG G JG
v .( w + u ) = v.w + v.u
3.-
y para λ∈ \ se tiene que:
G G
G 2
4.- v .v = v
G G
5.- v .v ≥ 0
G G
G G
6.- v .v = 0 ⇔ v = 0
ORTOGONALIDAD DE VECTORES
G
JG
Definición.- Los vectores v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn son
G JG
G JG
ortogonales o perpendiculares si v + w = v − w .
86
MATEMÁTICA BÁSICA II
G JG
Geométricamente los vectores v ,w ∈ Vn son ortogonales, si las diagonales del
G JG
paralelogramo formado por v y w son de igual magnitud, es decir el
paralelogramo es un rectángulo.
Figura 12
G
G
Como el vector nulo 0 tiene dirección arbitraria, entonces 0 es perpendicular a
cualquier vector.
G
JG
Teorema1.- Para dos vectores v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn ,
G JG 2 G JG 2
G JG
tiene que v + w − v − w = 4 ( v .w ) .
Teorema 2.- Dos vectores
G JG
ortogonales ⇔ v .w = 0
G
JG
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn son
G
JG
Teorema 3.- Dos vectores v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn son
G JG
G
JG
ortogonales ⇔ v + w = v + w (Teorema de Pitágoras)
Demostración
G JG
v+w
2
G JG G JG G G
G JG JG JG
G
= ( v + w ).( v + w ) = v .v + 2 v .w + w.w = v
G JG
Entonces v + w
2
G
= v
2
JG
+ w
2
2
JG
+ w
2
G JG
+ 2 v .w
G JG
G JG
G JG
⇔ 2v .w = 0 ⇔ v .w = 0 ⇔ v ⊥ w
G JG
G JG
Por consiguiente v ⊥ w ⇔ ⇔ v + w
2
G
= v
87
2
JG
+ w
2
.
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 13
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR
JG G
G
JG
Definición.- Sean v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn , con w ≠ 0 ,
G
JG
G
entonces la proyección ortogonal v sobre w (o proyección de v en la
G JG
JG
G
G v .w JG
dirección de w ) es el vector Pr oyJwG v definido por Pr oyJwG v = JG 2 w
w
Figura 14
COMPONENTE
JG G
G
JG
Sean v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn , con w ≠ 0 ,
G
entonces el componente (o proyección escalar) del vector v en la dirección del
Definición.-
88
MATEMÁTICA BÁSICA II
JG
vector w , es el número real
G JG
G v .w
CompJwG v = JG .
w
G
denotado por CompJwG v
y definido como
G
G
Además la relación que existe entre Pr oyJwG v y CompJwG v está caracterizado por:
G JG JG
G v .w w
G JJG
Pr oyJwG v = JG JG = ( CompJwG v ) w 0
y
w w
G
G JJG
G JJG JJG
G
Pr oyJwG v = ( CompJwG v ) w 0 = ( CompJwG v ) w 0 w 0 = CompwJG v
Teoremas.- Sean:
G
JG
G
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ,u = ( u1 ,u2 ,...,un ) ∈ Vn , entonces se
tienen:
1.2.3.-
5.6.-
G
JG
G
Pr oyJwG v y w tienen la misma dirección ⇔ CompJwG v > 0
G
JG
G
Pr oyJwG v y w tienen direcciones opuestas ⇔ CompJwG v < 0
G JG
G G
G JG
G
G
Si u ≠ 0 y u // w entonces Pr oyJwG v = Pr oyuG v 4.- Si v // w entonces
G G
Pr oyJwG v = v
G G
G
JG
Si u ≠ 0 y u y w tienen la misma dirección entonces:
G
G
CompJwG v = CompuG v
G G
G
JG
Si u ≠ 0 y u y w tienen direcciones opuestas entonces:
G
G
CompJwG v = − CompuG v
Ejemplos
1.-
Encuentre
la proyección ortogonal yJGla proyección escalar de
G
u = ( 1 , 1 , 2 ) en la dirección de w = ( −2 ,3 ,1 )
Solución
G JG
JG
JG 2
w = ( −2 ) 2 + 3 2 + 1 2 = 14 ⇒ w = 14 , u .w = 3 . Entonces
G 3
G
3 9 3
3
Pr oyJwG u = ( −2 ,3 ,1 ) = ( − , , ) y CompJwG u =
14
7 14 14
14
89
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
G
G
Hallar y CompJwG v de los vectores v = ( −2 ,1 ,3 , 4 ) ,
JG
w = ( 4 ,0 , − 2 , − 4 )
Solución
JG
JG 2
w = 42 + ( −2 )2 + ( −4 )2 = 36 = 6 ,
w = 36
G JG
v .w = ( −2 ,1 ,3 , 4 ).( 4 ,0 , − 2 , − 4 ) = −8 − 6 − 16 = −30
G
30
10 5 10
Pr oyJwG v = − ( 4 , 0 , − 2 , − 4 ) = ( − , 0 , , ) y
36
3
3 3
G
30
CompJwG v = − = −5
6
Observaciones:
G
1.Los vectores v = ( v1 ,v2 ) ∈ V2 , en física frecuentemente se denota por
G G
G
G
G
v = ( v1 ,v2 ) = v1 i + v2 j ∈ V2 , donde los vectores i , j son los vectores
G
G
canónicos de V2 , i = ( 1 ,0 ) , j = ( 0 ,1 )
G
v = ( v1 ,v2 ,v3 ) ∈ V3
2.Los
vectores
,
se
denotan
por
G
G
G
G
v = v1 i + v2 j + v3 k ∈ V3
G
G
G
donde i = ( 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 ,1 , 0 ) ,k = ( 0 , 0 ,1 ) son los vectores canónicos
de V3
Figura 15
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
G
JG
Definición.- Sean v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn vectores no
nulos, suponiendo que estos vectores están colocados de tal manera que sus
G
JG
puntos iniciales coinciden , entonces el ángulo entre los vectores v y w ,se
G
JG
denotará por θ determinado por v y w que satisface 00 ≤ θ ≤ 1800 0
0≤θ≤π.
90
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 16
G
JG
Teorema.- Si θ es el ángulo entre los vectores v y w ∈ Vn , entonces
G JG
G JG
v . w = v w cos θ
Figura 17
Demostración
JG
G
1º)
Si 0 < θ < π , del gráfico (a) , Pr oyJwG v
y w
G
G
dirección, entonces CompJwG v > 0 , por tanto CompJwG v
G
G
G
Pr oyJwG v
CompJwG v CompJG v
w
=
=
=
también cos θ =
G
G
G
v
v
v
G JG
G JG
v .w = v w cos θ .
2º)
tienen la misma
G
= CompJwG v , pero
G JG
v .w
G JG ⇒ .
v w
JG
G
π
< θ < π (figura b) , del gráfico Pr oyJwG v y w tienen direcciones
2
G
G
G
opuestas, entonces CompJwG v < 0 ⇒ CompJwG v = − CompwJG v , también del
Si
gráfico
G
G
G
Pr oyJwG v
CompwJG v
CompJwG v
cos ϕ =
⇒ cos( π − θ ) =
⇒ − cos θ = −
⇒
G
G
G
v
v
v
91
MATEMÁTICA BÁSICA II
G JG
G JG
G
v .w
cos θ = G JG ⇒ v .w = v
v w
JG
w cos θ
G
JG
G JG
π
v . w = 0 ( i), entonces
, entonces v ⊥ w
y
2
G JG
π
cos θ = cos = 0 v w cos θ = 0 (ii) , luego de (i),(ii) tenemos que
2
G JG
G JG
v .w = v w cos θ .
3º)
Si θ =
4º)
Si θ = 00 o θ = π
G JG JG
G
Si θ = 00 ⇒ cos θ = cos 00 = 1 , como θ = 00 ⇒ v // w ⇒ w = λ v para
λ>0
G JG G G
G 2
Entonces v.w = v( λv ) = λ v (j) , por otra parte
G JG
G
G
G 2
v w cos θ = v λ v cos 00 = λ v
(k) , por lo tanto de (j) y (k) tenemos
G JG
G JG
que v .w = v w cos θ
G JG JG
G
Si θ = π θ = 00 ⇒ cos θ = cos π = −1 ⇒ v // w ⇒ w = λ v , para λ < 0 ⇒
G JG G
G
G 2
G JG
G
G
G
v .w = v .( λ v ) = λ v (m) y como v w cos θ = v λ v cos π = − λ v
G
Entonces v
JG
G
w cos θ = ( −λ ) v
G JG
G
Por tanto de (m) y (n) : v .w = v
2
G
( −1 ) = λ v
JG
w cos θ
2
2
(n)
(n)
//.
Teorema (Desigualdad de Schwarz).G
JG
v = ( v1 ,v2 ,v2 ,...,vn ) ,w = ( w1 ,w2 ,...,wn ) ∈ Vn .
G JG
G
Entonces v .w ≤ v
JG
G JG
w , donde la igualdad se verifica ⇔ v // w .
Observación.- Una aplicación de las proyecciones se da en la física al calcular
el trabajo. El trabajo llevado a cabo por una fuerza constante F al mover un
objeto
una distancia d ,como W = Fd ,pero esto se aplica solo cuando la
fuerza se dirige a lo largo de la línea de movimiento
JJJG del objeto. Sin embargo,
suponga que la fuerza constante es un vector F = PR que apunta en alguna otra
dirección, como se aprecia en la figura 18.Si la fuerza mueve al objeto de P a
92
MATEMÁTICA BÁSICA II
JJJG
Q , entonces el vector desplazamiento es D = PQ .Entonces el trabajo
desarrollado por esta fuerza
JJJG se define como el producto de la componente de la
fuerza a lo largo de D = PQ y la distancia recorrida: W = ( F cos θ ) D
Es decir, W = F
D cos θ = F .D
Figura 18
PROBLEMAS DESARROLLADOS
1.-
G G
G
Una fuerza está dado por el vector F = 3 i + 4 j + 5 k y mueve una
partícula del punto P( 2 ,1 ,0 ) al punto Q( 4 , 6 , 2 ) .Calcular el trabajo
realizado por F .
Solución
JJJG
El vector de desplazamiento es D = PQ = Q − P = ( 2 ,5, 2 ) , entonces el
dado
por
trabajo
llevado
acabo
por
la
fuerza F está
W = F .D = ( 3 , 4 ,5 ).( 2 ,5 , 2 ) = 36 Joules.
2.-
3.-
G
G
G
G
Si Q es el punto extremo del vector v = 5 i + 64 j + 13 k
P = ( − 6 ,12 , −8 ) . Hallar el punto Q .
Solución
G JJJG
Por definición v = PQ = Q − P ⇒
G
Q = v + P = ( 5 , 64 ,13 ) + ( −6 ,12 , −8 ) = ( −1 , 76 ,5 )
y
Si P , Q , R son puntos que están en una misma recta , se dice
JJJG
JJJG
que R divide al segmento P Q en la razón λ , si P R = λ R Q .Hallar R ,
si R divide a P Q en la razón λ .
93
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución
Figura19
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
Del gráfico tenemos que O R = O P + P R ⇒ R = P + P R (1)
JJJG
JJJG
Como R divide P Q en la razón λ , tenemos que P R = λ R Q = λ ( Q − R )
(2) Sustituyendo (2) en (1) obtenemos que:
1
R = P + λ( Q − R ) ⇒ ( 1 + λ )R = P + λQ ⇒ R =
( P + λQ ) .
1+ λ
4.-
Dado un paralelogramo de vértices A , B ,C , D , siendo P y Q los
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
puntos medios de los lados B C y C D ,verificar que A P , A Q trisecan a
JJJG
la diagonal B D .
Solución
Figura 20
JJJG JJJG
Consideremos M , N los puntos de intersección de A P , A Q con la
JJJG
diagonal B D .
JJJJG
JJJG
Solo bastará probar que B M = 1 B D .Del grafico tenemos que:
3
JJJJG
JJJG
JJJG JJJG
B M = λ B D = λ ( B C + C D ) (a) , análogamente del gráfico tenemos que
JJJJG JJJG JJJJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
JJJG JJJG
B M = B P + P M = B C + t P A = B C + t( P B + B A ) , entonces
2
2
JJJJG 1 JJJG
1 JJJG JJJG (b) . Igualando (a) y (b) obtenemos que
B M = B C + t( − B C + C D )
2
2
94
MATEMÁTICA BÁSICA II
(λ −
JJJG G
JJJG G
1 t JJJG
+ )B C + ( λ − t )C D = 0 , pero como B C ≠ 0
2 2
JJJG G
, CD ≠ 0 y no
son paralelos, la única posibilidad es que:
λ−
JJJJG 1 JJJG
1 t
1
+ = 0 , λ − t = 0 ⇒ λ = t = ⇒ BM = BD
2 2
3
3
Esto prueba lo requerido en el problema.
5.-
En un triángulo ABC , AD es la mediana del lado BC , verificar
JJJG 2
JJJG 2
JJJG 2 1 JJJG 2
(Teorema de Apolunio).
AB
+ AC
= 2 AD
+
BC
2
Solución
Figura 21
G JJJG
JG JJJG
Del gráfico que se muestra, sen v = AB y w = AC .Entonces tenemos
JJJG 1 G JG
JJJG JG G
AD = (v + w) y BC = w − v , por lo tanto obtenemos que:
que:
2
JJJG
AD
2
JJJG
BC
2
JJJG JJJG 1 G JG
G JG
1
= A D .A D = ( v + w ).( v + w ) = (
4
4
JJJG JJJG 1 JG G
JG G
1
= B C .B C = ( w − v ).( w − v ) = (
4
4
luego tenemos que:
JJJG 2 1 JJJG 2 1 G
2 AD + BC = ( v
2
4
G 2
JG 2 JJJG 2
JJJG
v + w = AB + AC
6.-
2
2
JG
+ w
2
G
v
G
v
2
2
JG
+ w
JG
+ w
G JJG 1 G
+ 2v.w)+ ( v
4
G JG
+ 2 v .w ) ( 1 )
2
2
G JG
− 2 v .w ) ( 2 ) ,
2
JG
+ w
2
G JJG
− 2v.w)=
con lo queda probado.
P = (1, −2, −1), Q = (−9, −44, −23), R = (1,1, −2) y T son puntos
JJJG
n = RPQ
n y PT = 9 3
coplanares. Hallar el punto T , si QPR
Si
Solución
95
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 22
JJJG
JJJG
Del gráfico tenemos los vectores PQ = (−10, 46, − 22) , PR = (0,3, −1) ,
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG
JJJG JJJG
G PQ , PE = (0, 48, −16) , QE = PE − PQ , QE = (10, 2, 6)
PE = Pr oyJJJ
JJJG JJJG PRJJJG JJJG
PF = PQ + 2QE ⇒ PF = (10,50, −10) , pero
JJJJG
JJJG JJJJG0 JJJG
PT = PT PT = PF 0 (9 3) = (3,15, −3) ⇒ T − P = (3,15, −3) ⇒
T = P + (3,15, −3) = ( 4,13, −4) , es el punto buscado.
7.-
JG
G
Los vectores v = ( 6,3, −2) y w = ( − 2, −2,1) están aplicados en un
G
mismo punto,
hallar el vector u que tiene la dirección del ángulo
G
G JG
formado por v y w , si u = 3 42 .
Solución
Figura 23
G
G JJG JJG JJG JJG
El vector u tiene la misma dirección del vector z = v 0 + w0 ⇒ u 0 = z 0
JJG
1 G JJG 6 3 2
Sabemos que v 0 = G v ⇒ v 0 = ( , , − ) y
7 7 7
v
JJG
1 JG JJG
2 2 1
w0 = JG w ⇒ w0 = ( − , − , )
3 3 3
w
96
MATEMÁTICA BÁSICA II
JJG JJG
G JJG0 JJG0
4
5 1
1
z = v + w = ( , − , ) ⇒ u0 = z0 =
( 4, − 5,1) ,
21 21 21
42
G JJG G
entonces u = u 0 u = (12, −15,3) .
Por
8.-
tanto
Si P = ( − 1, −3) y R = ( 8, 0) son los extremos de una diagonal del
G
rectángulo PQRT , si el lado PT es paralelo al vector v = ( 1,1) . Hallar
los vértices Q y T
a) Usando proyección ortogonal de vectores
b) Usando paralelismo y ortogonalidad de vectores
Solución
Figura 24
a)
9.-
JJJG G
JJJG
JJJG
JJJG
PR.v G
PR = R − P = ( 9,3) , PT = Pr oyvG PR = ( G 2 )v = ( 6 ,6 )
v
JJJG
JJJG
Pero PT = T − P ⇒ T = P + PT = ( 5,3) , además
JJJG JJJG JJJG
JJJG
QR PT = QR = R − Q ⇒ Q = R − QR = ( 2, − 6) ,
por
Q = ( 2, − 6) .
tanto
G
G
JG
Los vectores v y w forman un ángulo θ = 30º , si
v = 3 y
JG
G G JG
w = 1 .Hallar el ángulo ϕ formado por los vectores z = v + w y
G G JG
t =v−w .
Solución
G G G JG G JG
G JG
z.t = ( v + w ).( v − w ) = v − w
G JG
G
v − w cos ϕ ⇒ v
G JG G JG
Por tanto 3 − 1 = v + w v − w cos ϕ ⇒ 2 =
G JG 2
G 2
JG 2
G JG
v + w = v + w + 2v.w = 3 + 1 + 2
97
2
JG
− w
2
G JG
= v−w
G JG G JG
v + w v − w cos ϕ
G JG
v w cos 30º = 7
(1)
(2)
G JG
v − w cos ϕ
MATEMÁTICA BÁSICA II
G JG
v−w
2
G
= v
2
JG
+ w
2
G JG
G
− 2v.w = 3 + 1 − 2 v
JG
w cos 30º = 1
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos que
2
2
⇒ ϕ = arccos(
2 = 7 (1) cos ϕ ⇒ cos ϕ =
) es el ángulo buscado.
7
7
10.-
G JG
G
Los vectores v y w forman ángulo recto entre sí, el vector u forma con
G
JG
G
ellos ángulos iguales a 60º , si v = 3 , w = 5 y u = 8 , calcular
G JG G
v + 2w − 3u .
Solución
Por datos del problema tenemos que:
G JG
G JG
G G
G G
v ⋅ w = v w cos 90º = 0 , v ⋅ u = v u cos 60º = 12 ,
JG G
JG G
w ⋅ u = w u cos 60º = 20
G JG G 2
G 2
JG 2
G 2
G JG G G
JG G
v + 2 w − 3u = v + 4 w + 9 u + 4v ⋅ w − 6v ⋅ u − 12 w ⋅ u =
G
JG
G
9 + 4 (25) + 9(64) + 4(0) − 6(12) − 12(20) = 373 ⇒ v + 2 w − 3 u = 373 .
11.-
Un peso de 100 libras cuelga de dos cables como se muestra en la figura
G
JG
25 adjunta, encuentre las tensiones (fuerzas) v = F1 , w = F2 en ambos
cables, así como sus magnitudes.
Solución
Figura 25
Figura 26
Expresando a F1 y F2 en términos de sus componentes verticales y
horizontales. De la figura, tenemos que:
(1)
F1 = − F1 cos 50º i + F1 sen50º j
F2 = F2 cos 32º i + F2 sen32º j
98
(2)
MATEMÁTICA BÁSICA II
La resultante F1 + F2 contrabalancea el peso w , por consiguiente
F1 + F2 = − w = 100 j , así teneos que:
(− F1 cos 50º i + F2 cos 32º ) i +
( F1 sen50º + F2 sen32º ) j = 100 j ⇒
⎧⎪ − F1 cos 50º i + F2 cos 32º = 0
⇒ Resolviendo el sistema tenemos
⎨
⎪⎩ F1 sen50º i + F2 sen32º ) = 100
100
que F1 =
≈ 85, 64 lb ,
sen50º +tg 32º cos 50º
F cos 50º
F2 = 1
≈ 64,91lb
cos 32º
Reemplazando en (1) y (2) tenemos los vectores tensiones:
JG
G
v = F1 ≈ −55, 05i + 65, 60 j y w = F2 ≈ −55, 05i + 34, 40 j
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
G
JG JJG
JJG
Definición.- Sean v1 , v2 , ..., vn ∈ Vn , v ∈ Vn y λ1 , λ2 , ..., λn ∈ R , si
G
G
JG
JJG
JJG
v = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn , entonces el vector v se denomina combinación
JG JJG
JJG
lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vn .
Ejemplo
Dados los vectores:
JG
JJG
JG
JJG
v1 = ( − 9, − 3,1), v2 = (−1, 2, 0) , v3 = ( 3,1, 2) , v4 = ( 2, −4, 7) ∈ V3 ,
JJG JG JJG
JG
v1 como combinación lineal de los vectores v2 , v3 , v4 .
Solución
expresar
G
JJG
JG
JJG
v1 = λ1 v2 + λ2 v3 + λ3 v4 ⇒ reemplazando los vectores tenemos:
⎧ −λ1 + 3λ2 + 2λ3 = −9
⎪
⎨ 2λ1 + λ2 − 4λ3 = −3 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3, λ3 = 1 , por tanto tenemos que
⎪
2λ2 + 7λ3 = 1
⎩
G
JJG JG JJG
v1 = 2v2 − 3v3 + v4 .
99
MATEMÁTICA BÁSICA II
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
JG JJG
JJG
Definición.- Dados n-vectores no nulos v1 , v2 , ..., vn ∈ Vn y n-números reales
JG JJG
JJG
λ1 , λ 2 , ..., λ n ∈ R no todos nulos, se dice que los vectores v1 , v2 , ..., vn son
JG
JJG
JJG G
linealmente
independientes
si
λ1 v1 + λ 2 v2 + ... + λ n vn = 0
y
λ1 = λ 2 = ... = λ n = 0 y se dice que son linealmente dependientes
JG
JJG
JJG G
λ1 v1 + λ 2 v2 + ... + λ n vn = 0
Ejemplo
Analizar la dependencia o independencia de los vectores:
JG
JG
JJG
v1 = ( 2, − 1,1) v2 = ( 1, 2, − 1) v3 = ( 2, − 11, 7)
Solución JG
JJG
JG G
Sea
λ1 v1 + λ 2 v2 + λ 3 v3 = 0
para algunos λ1 , λ 2 , λ 3 ∈ R
si
, entonces
reemplazando valores tenemos que:
⎧ 2λ1 + λ 2 + 2λ 3 = 0
⎪
⎨ −λ1 + 2λ 2 − 11λ 3 = 0 ⇒ λ1 = −3λ 3 , λ 2 = 4λ 3 ⇒
⎪ λ − λ + 7λ = 0
2
3
⎩ 1
para cualquier valor real λ 3 = t ∈ R , tenemos que λ1 = −3 t , λ 2 = 4 t
JG JJG JG G
Si t = 1 tenemos que λ1 = −3 , λ 2 = 4 , λ 3 = 1 , luego −3v1 4v2 + v3 = 0
Por tanto los vectores son linealmente dependientes.
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
G
JG
Definición.- Dados v = ( v1 , v 2 , v 3 ) , w = ( w1 , w 2 , w3 ) ∈ V3 , el producto
G JG
vectorial (Producto cruz o aspa) se denota por v × w y se define como el
G
vector u = ( u 1 , u 2 , u 3 )
G G JG
u = v × w = ( v2 w3 − v3 w2 )i + ( v3 w1 − v1w3 ) j + ( v1w2 − v2 w1 )k .
En términos de determinantes se define como:
i
j k
G G JG
u = v × w = v1 v2 v3 = ( v2 w3 − v3 w2 )i + ( v3 w1 − v1w3 ) j + ( v1w2 − v2 w1 )k
w1 w2 w3
100
MATEMÁTICA BÁSICA II
Propiedades
G
JG
G
Dados los vectores v = ( v1 , v 2 , v 3 ) , w = ( w1 , w 2 , w3 ) , u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ V3 no
nulos y λ ∈ R , se cumplen las siguientes propiedades:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.-
G JG G
G G JG
v ⋅( w × u ) = 0 , v ⋅(v × w) = 0
G JG
JG G
v × w = − w × u (El producto vectorial es anticonmutativo)
G JG G
JG
G JG
(λ v )× w= v×(λ w) = λ (v × w)
G
JG G
G JG G G
v × ( w + u ) = v × w + v × u (distributiva)
G G G
v×v=0
G JG G
G G JG G JG G
v × ( w × u ) = ( v ⋅ u ) w − ( v ⋅ w ) u (Teorema de O .Valdivia)
G JG 2
G 2 JG 2
G JG
v×w = v
w − ( v⋅w )2
G
JG
G JG
G JG
v × w = v w sen θ , 0 ≤ θ ≤ π , θ ángulo entre los vectores v y w .
G JG G
G JG
v × w = 0 ⇔ v // w
G JG
G
JG
El vector v × w es ortogonal a v como a w
G JG G
G JG JG
(v × w ⊥ v ∧ v × w ⊥ w )
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA Y FÍSICA
G
JG
Si v y w representamos con un mismo punto inicial, entonces la propiedad
G JG
(10) dice que v × w apunta en una dirección perpendicular al plano que
G
JG
G JG
contiene a v y w .Resulta que la dirección de v × w está dado por la Regla
de la mano derecha: si los dedos de su mano derecha se curvan en la
G
dirección de una rotación (en un ángulo menor que 180º) de v hacia,
G JG
entonces su dedo pulgar señala la dirección de v × w .
G JG
Como ya conocemos la dirección del vector v × w , lo que necesitamos para
G JG
completar su descripción geométrica es su longitud v × w , pero esto está
dado por propiedad (8).
Puesto que un vector está completamente determinado por su magnitud y
dirección podemos confirmar la propiedad (10) que su orientación está dado
G JG
por la regla de la mano derecha y cuya longitud es v w sen θ y así es que
G JG
G
JG
los físicos interpretan a v × w . Además, Si v y w está representados por
segmentos de recta dirigidos y que tienen el mismo punto inicial, entonces
101
MATEMÁTICA BÁSICA II
determinan un paralelogramo con base
G
A .= v
G
v
, altura
JG
w sen θ
y
área
JG
G JG
1 G JG
w sen θ = v × w u 2 y el A+=
v × w u2
2
Figura 27
Ejemplo
Hallar el área del triángulo de vértices P ( − 1, 2,3) , Q( − 2, 4,1) y R( 3,5, − 2)
Solución
Figura 28
G JJJG
JG JJJG
v = PQ = Q − P = ( − 1, 2, − 2)
,
w = PR = R − Q = ( 4,3, − 5) . Entonces
G JG
G JG
v × w = ( − 4, − 13, − 11) ⇒ v × w = 16 + 169 + 121 = 3 34 ,
por
tanto
1
3
A+ = (3 34) =
34 u 2 y A . = 3 34 u 2
2
2
102
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O MIXTO
G
JG
G
Definición.- Sean v = ( v1 , v 2 , v 3 ) , w = ( w1 , w 2 , w3 ) , u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ V3 .
G
JG
G
El triple producto escalar de los vectores v , w y u es el número real
G JG G
denotado por ⎡⎣ v wu ⎤⎦ y definido como:
v1 v 2 v 3
G JG G
G JG G
⎡ v w u ⎤ = v ⋅ ( w × u ) = w1 w 2 w 3 , estos cálculos ya son muy familiares!
⎣
⎦
u1 u 2 u 3
Ejemplo
G
Si v = ( 2, − 1,1)
G
JG
G JG G
w = ( 1, 2, − 1) u = ( 2, − 11, 7) , hallar ⎡⎣ v wu ⎤⎦
Solución
2 −1 1
G JG G
⎡ v w u ⎤ = 1 2 −1 = 2(14 − 11) + ( 7 + 2) + (−11 − 4) = 0 , esto es al hecho
⎣
⎦
2 −11 7
que se probó que estos tres vectores son linealmente dependientes.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
El significado geométrico del triple producto escalar puede verse si se considera
G JG
G
el paralelepípedo determinado por los vectores v , w y u , como se aprecia
en el gráfico adjunto.
JG G
El área de la base del paralelogramo es A . = w × u u 2 , si θ es el ángulo
G
JG G
formado por
v y
w × u entonces la altura h del paralelogramo es
G
π
h = v cos θ ( usaremos cos θ , en lugar de cos θ en caso que θ > ) .
2
Así
el
volumen
del
paralelepípedo
estará
JG G
G JG JG
G JG G
3
V = A . h = w × u cos θ = v ⋅ ( w × u ) = ⎡⎣v w u ⎤⎦ u .
dado
por
Como consecuencia del anterior tenemos que el volumen V1 del tetraedro de
G JG
G
1 ⎡ G JG G ⎤ 3
v w u⎦ u .
aristas v , w y u está dado por V1 = A . h =
6 ⎣
103
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura29
Ejemplo
G
Hallar el volumen del paralelepípedo y del tetraedro de aristas v = ( 2, − 1,1)
JG
G
w = ( 4, − 9, − 1) u = ( 2, − 11, 7) .
Solución
2 −1 1
G JG G
⎡ v wu ⎤ = 4 −9 −1 = 2( − 63 − 11) + ( 28 + 2) + (−44 + 18) = −144
⎣
⎦
2 −11 7
V = A . h = − 144 = 144 u 3 y
V1 =
1
1
− 144 = (144) = 24 u 3
6
6
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-
Dos vectores forman un ángulo de 120 º
y sus módulos son
respectivamente 4 y 3. Hallar el modulo de la suma y el modulo de la
diferencia de estos vectores.
2.-
Sean los vectores:
G
JJG
G
v = ( 3 , 3 ) , w = ( 1, −1 ) y u = ( 3r , −2r
G G G G G
G G
G
G
v - w = a , v // b y w // c . Hallar 2v + 3w .
104
),
r≠0 .
MATEMÁTICA BÁSICA II
3.-
G
JJG
Si v = (−2 , 1 , −1 ) y w = ( 0 ,y , z) , hallar y, z
tal que
G JG
G G G
v × w = 4 3 y que el vector v = a × b forma ángulos iguales con
los semiejes positivos OX y OY.
4.-
5.-
G JG
G JG
Calcular el área del paralelogramo de lados adyacentes v + 3w y 3v + w ,
G JJG
G
JG
si
v = w = 1 y el ángulo formado por v y w es de 300 .
El módulo de la suma de dos vectores es
34 , su producto escalar es 4
y su producto vectorial tiene módulo 3. Hallar el ángulo que forman
dichos vectores y el módulo de cada uno de los vectores.
6.-
Dado el triangulo ABC tal que el ángulo en A es 120 º ,
G
G
G
G
w = AC , u = BC y
v = 4 , w = 7 . Hallar
G
v = AB
G
u
,
G
G
Comp uG v , Comp uG w Graficar.
7.-
G
Dado el triangulo ABC tal que el ángulo en A es 45 º donde v = AB ,
G
G
G
G
G
w = AC , u = BC y
v = 8, w = 6 2 . Hallar u y
G
Comp uG v
8.-
,
G
Comp uG w con su respectiva gráfica.
G
G
G
Dado el triángulo ABC con v = AB , w = AC , u = BC tal que
G
G
G
G
G
v = 10 , w = 9 , u = 7 . Hallar Comp vG w , Comp vG u con su
gráfica.
9.-
G
G
G
Dado el triángulo ABC con v = AB , w = AC , u = BC tal que
G
G
G
G
G
v = 5 , w = 7 , u = 9 , hallar Comp zK v , Comp zG w donde
G
z = CB con su gráfica.
105
MATEMÁTICA BÁSICA II
10.-
11.-
G G
Si u , w son vectores unitarios y mutuamente ortogonales y
G
G
G G
G
G
G G
G G
v = 3u − 4w, z = 4u − 3w, θ = 60º ( θ ángulo entre v , z ), hallar v . z .
Si
DE = 5 ,
EF = 12 ,
AB = 5 ,
BC
= 4 , hallar el
vector AB
D
C
B
A
E
12.-
G
Un vector v
F
con
G
v = 6 tiene cosenos directores que cumplen la
G
cos θ
3
cos ϑ
2
, hallar el vector v y
=
,
=
cos ϕ
2
cos γ
2
G
G
el ángulo entre v y w = (2 3,-2 2,4) .
siguiente relación
13.-
14.-
15.-
Hallar:
JG
G
G
v 1 . w , si Comp vG1 w = 3
G
G
y v = 12 w
0
G
+16 u
0
G G
, donde u = w
G
G
Pr oy vG u = (1, 3 , 2 ) , Pr oy uG v = ( 3 , 1 , 2 ) , hallar los vectores
G G
u , v.
Sean A = (3, 2, 1), B = (4, 1, -2), C = (6, 3, 7), D = (3, -3, -1) los
vértices de un tetraedro. Hallar la longitud de la altura bajada desde el
vértice C.
106
1
MATEMÁTICA BÁSICA II
16.-
G
Sea el tetraedro formado por los vectores v ,
JJG
w y
G
u de volumen
Hallar el volumen del tetraedro formado por los vectores
400u3.
G
G
G
G JG JJG
v+ w,w + u y v + u .
17.-
G
G
G
Si los vectores a , b son paralelos y además v = ( − 3 p , q )
JG
G JG
w = ( r , 2p )
v + w = ( 4 , 8 ) , hallar el valor de p +
q + r.
18.-
G
Cada par de vectores v ,
sabiendo
G JG G
v+w+u
19.-
que
JJG
G
w , u forman entre si un ángulo de 600
G
JG
G
Hallar
v = 4,
w
=2 y u =6.
.
Demostrar que el volumen V1 del tetraedro que tiene a los vectores
G JJG JJG
G
G
G
v + w , w + u y v + u como aristas concurrentes, es el doble del
G JG G
volumen V 2 del tetraedro que tiene a los vectores v , w y u ∈ V3 como
aristas concurrentes., esto es V1 = 2V 2 .
20.-
La trayectoria de un barco que parte de A con un curso de 22º este desde
norte durante 250 millas .Al llegar a B , cambia de curso a 58º este
desde el norte y navega durante 180 millas hasta C .Hallar la distancia,
en línea recta que separa los puntos A y C . ¿Que curso debería tomar
el barco para seguir una trayectoria directa de A a C ?
21.-
Un beisbolista golpea una pelota imprimiendo una velocidad inicial 230
ft/seg. Si la pelota sale con una trayectoria inicial con un ángulo de 44º
con la horizontal. Hallar la velocidad inicial de la pelota en la dirección
horizontal y luego en la dirección vertical.
107
MATEMÁTICA BÁSICA II
22.-
Un aeroplano vuela a una velocidad aerodinámica de 350 Km. /h, su
rumbo es de 283º . S la dirección del viento es 167º al este del norte y
su velocidad es 32 Km. /h
¿Cuál es su velocidad respecto al suelo y
curso?
23.-
Un bote avanza en la dirección de Este-Norte 30º a una velocidad de 20
m/seg. Hallar el vector velocidad y su dirección.
24.-
G JG
G
Los vectores v , w y u ∈ V3 forman una terna de mano derecha y son
perpendiculares entre sí. Si
G
JG
G
v = 4 , w = 2 , u = 3 , calcular
G JG G
⎡ v w u⎤ .
⎣
⎦
25.-
Si, el par de torsión τ con relación al origen está definido como el
producto cruz de la posición y los vectores fuerza τ = r × F y mide la
tendencia del cuerpo a rotar con respecto a su origen. La dirección del
vector del par de torsión indica el eje de rotación. De acuerdo con la
propiedad
(8)
τ = r×F = r
la
magnitud
del
vector
par
de
torsión
es
F sen θ , donde θ es el ángulo de posición y los
vectores fuerza. Observar que la única componente de F
que puede
provocar una rotación es la perpendicular a r , es decir ,
F sen θ .La
magnitud del par de torsión es igual al área del paralelogramo
determinado por r , F .
Usando estos conceptos resolver:
Una tuerca se sujeta al aplicar una fuerza de 40 N a una llave de
0, 25 m de longitud, como se muestra en la figura .Calcule la magnitud
del par de torsión alrededor del centro de la tuerca.
108
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 30
26.-
27.-
28.-
G G
v ⋅t
JG
G JG G G G G
Verificar que ⎡⎣ v w u ⎤⎦ ⎡⎣ t s z ⎤⎦ = w ⋅ t
G
u ⋅t
G G G G
v⋅s v⋅ z
JG G JG G
w⋅ s w⋅ z
G G G G
u⋅s u⋅z
G JJG JG JJG G JJJG
Sean v = 0 A , w = 0 B y u = 0C tres vectores, verificar que las medianas
G JJG
G
del ΔABC concurren en un punto P y expresar t = 0 P en función de v ,
JG G
w y u . Dibujar la figura.
Pruebe vectorialmente que el área de un ΔHJG es un séptimo del área
del ΔABC , si los puntos D , E , F dividen a los segmentos BC , CA y
AB en la razón de 1 a 2. Los puntos G , H , J dividen a los segmentos
BE , CF y AD en la razón de 3 a 1. Los puntos H , J , G dividen a los
segmentos en la razón de 6 a 1. Dibujar la figura.
109
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO V
RECTAS Y PLANOS EN
R3
Por conveniencia, primero estudiaremos planos.
EL PLANO EN R 3
Definición.- U conjunto de puntos P de R 3 es un plano, si existe un
punto P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R 3 y dos vectores no paralelos:
v , w ∈ V 3 tales que P =
{P
0
+ λ v + κ w / λ ,κ ∈ R}.
ECUACIONES DEL PLANO
I.-
Ecuación Vectorial del Plano.-Sea P un plano determinado por uno
de
sus
puntos
P0 ( x0 , y 0 , z 0 )
y
dos
vectores
no
colineales v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) , w ( w 1 , w 2 , w 3 ) ∈ V 3 paralelos a P .
Si
P ( x , y ,z )
es un punto genérico, entonces se tiene que
P ( x , y , z ) R 3 ⇔ P P0 = λ v + κ w
, para algunos λ , κ ∈ R
⇔ P − P0 = λ v + κ w ⇔ P = P0 + v + κ w ,
λ ,κ ∈ R
para
algunos
Tomando todos los valores λ , κ ∈ R resulta la ecuación vectorial del
plano:
P : P = P0 + v + κ w . Más aun P =
111
{P
0
+ λ v + κ w / λ ,κ ∈ R}
MATEMÁTICA BÁSICA II
Figura 1
II.-
Ecuaciones Paramétricas del plano.- Tenemos que P = P0 + v + κ w ,
entonces
reemplazando
por
sus
valores
tenemos
que
( x , y , z ) = ( x 0 + λ v1 + κ w 1 , y 0 + λ v 2 + κ w 2 , z 0 + λ v 3 + κ w 3 ) ⇒
⎧ x = x0 + λ v1 + κ w1
⎪
⎨ y = y0 + λ v2 + κ w2 , que son las ecuaciones paramétricas del plano P .
⎪ z = z +λv + κw
0
3
3
⎩
Observación.- Dado el plano P = { P0 + λ v + κ w / λ , κ ∈ R } ,
todo vector n ≠ 0 ∈ V 3 que sea perpendicular a ambos v , w ∈ V 3 ,
se denomina Vector Normal al plano P .
Como v × w ⊥ v y v × w ⊥ w , entonces v × w es una normal al
plano, entonces n = t ( v × w ) es una normal para t ≠ 0 .
Teorema.- Si n ∈ V 3 es una normal al plano
P =
{P
0
+ λ v + κ w / λ ,κ ∈ R}
(2)
de (1) y (2) tenemos que P = P1 . La unicidad queda como ejercicio.
112
MATEMÁTICA BÁSICA II
Entonces P =
{P∈ R
3
/ n ⋅ ( P − P0 ) = 0
}
y este es el único
plano que pasa por P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) con normal n .
Demostración
Como n ∈ V 3 es normal al plano P , entonces n ⋅ v = 0 y n ⋅ w = 0
Además n = t ( v × w ) para t ≠ 0 , sea:
P1 =
{P∈ R
3
/ n ⋅ ( P − P0 ) = 0
}
Luego probaremos que P = P 1 , entonces:
Si P ∈ P ⇒ ∃ λ , κ ∈ R tales que
P = P0 + λ v + κ w ⇒ P − P0 = λv + κ w ⇒
n ⋅ ( P − P0 ) = n( λ v + κ w ) = λ ( n iv ) + κ ( ni w ) = 0 ⇒ P ∈ P ⇒ P ⊂ P1 (1)
P ∈ P1 ⇒ n ⋅ ( P − P0 ) = 0 ⇒ t ( v ⋅ w ) ⋅ ( P − P0 ) = 0 ⇒
v , w y P − P0 son linealmente dependientes y como
linealmente independientes existen m ,n ∈ R tales que:
v ,w
son
P − P0 = mv + n w ⇒ P = P0 + mv + n w ⇒ P ∈ P ⇒ P ⊂ P1
III.-
Ecuación Vectorial- Normal del Plano.- La ecuación
P : n .( P − P0 ) = 0 , se llama Ecuación Vectorial-Normal del plano
que pasa por P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) y que tiene como normal el vector n .
Teorema.-
Para
todo
n ≠ 0 ∈ V3 y
para
todo
P0 ∈ R 3 ,
n .( P − P0 ) = 0 es una ecuación vectorial- Normal de un plano que
pasa P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) con normal n .
IV.-
P el plano que pasa por
Ecuación General del Plano.- Sea
P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , con normal n = ( A , B ,C ) ≠ 0 , entonces
P :
n .( P − P0 ) = 0 es una ecuación vectorial – normal del plano
donde P ( x , y , z ) ∈ R 3 , entonces sustituyendo sus valores tenemos
que
113
MATEMÁTICA BÁSICA II
( A , B ,C ).( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = 0 ⇒
Ax + By + Cz + D = 0
donde D = − ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) y A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 , por
tanto P : A x + B y + C z + D = 0 , es la ecuación general del plano.
V.-
Ecuación normal del Plano.- Sea P un plano con normal n tal que
n
n =
= ρ > 0 , entonces:
ρ ( cos α ,cos β ,cos γ )
n n 0 = P0 = ρ n 0 =
,
donde
cos α ,cos β ,cos γ son los cosenos directores de n . Entonces:
n .( P − P0 ) = 0 ⇒ n .P − n .P0 = 0 ⇒ n .P =
n
2
= ρ
⇒
2
ρ ( c o s α , c o s β , c o s γ ).( x , y , z ) − ρ 2 = 0 ⇒
P :
x c o s α + y c o s β + z c o s γ − ρ = 0 , se llama ecuación
vectorial del plano.
VI.-
Ecuación Segmentaria del plano.- La ecuación del plano que pasa
por el punto P ( a , 0 , 0 ) ,Q ( 0 ,b , 0 ) y R ( 0 , 0 , c ) está dado por
x
y
z
P:
+
+
= 1 es la ecuación segmentaria del plano.
a
b
c
LA RECTA EN R 3
Un conjunto de puntos L ∈ R 3 , es una recta si existe un punto P0 ∈ R
vector v ≠ 0 en V 3 tal que L =
{P 0
3
y un
+ λ v / λ ∈ R}.
ECUACIONES DE LA RECTA
I.-
Ecuación Vectorial de la Recta.- Sea L una recta determinada por el
punto P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) y el vector v ∈ V 3 , llamado vector dirección
y sea P ( x , y , z ) ∈ R 3 un punto genérico , entonces:
P ∈ L ⇔ P0 P ∧ v son paralelos ⇔ P0 P = λ v para algún
λ ∈ R ⇔ P − P0 = λ v ⇔ P = P0 + λ v , al variar para todo
λ∈R ,
tenemos la ecuación Vectorial de la recta L , definido como el conjunto
de puntos:
114
MATEMÁTICA BÁSICA II
L =
{P ∈ R
3
/ P = P + λ v ,λ ∈ R }
0
Figura 2
II.-
Ecuaciones Paramétricas de
P ( x , y ,z )∈ R 3
y
la
Sabemos que
recta.P = P0 + λ v
donde
v = ( v1 , v 2 , v 3 ) ∈ V 3 ⇒
( x , y , z ) = ( x 0 + λ v1 , y 0 + λ v 2 , z 0 + λ v 3 ) ⇒
⎧ x = x 0 + λ v1
⎪
L : ⎨ y = y 0 + λ v 2 , son las ecuaciones paramétricas de la recta.
⎪ z = z +λv
0
3
⎩
III.-
Ecuación Biplanar de la recta.Teorema1.- Si dos planos P y P1 son paralelos, entonces:
P = P1 ∨ P ∩ P1 = Φ .
Teorema 2.- Si dos planos P y P1 no son paralelos, entonces:
P ∩ P1 = L donde L es una recta.
Si L es la recta de intersección de los planos
P : A1 x + B y 1 + C 1 z + D 1 = 0
P 1 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , entonces
115
MATEMÁTICA BÁSICA II
L =
{(
x , y , z ) ∈ R 3 / A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
∧
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0}
⎧ A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
sistema ⎨
⎩ A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
representación biplanar de la recta.
Entonces el
IV.-
, es una
Ecuación canónica o simétrica o continua de la recta.- Sabemos que:
⎧ x = x 0 + λ v1
x − x0
y − y0
z − z0
⎪
L : ⎨ y = y0 + λ v2 ⇒ λ =
,λ =
,λ =
⇒
v1
v2
v3
⎪ z = z +λv
0
3
⎩
L:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
, es la ecuación simétrica de la recta, donde
v1
v2
v3
v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) , es un vector donde cada v i ≠ 0 , i = 1 , 2 , 3 .
Observación:
y − y0 z − z0
,x = x0
=
v2
v3
x − x0 z − z0
, y = y0
Si v 2 = 0 , v 1 v 3 ≠ 0 ⇒ L :
=
v1
v3
x − x0 y − y0
,z = z0
Si v 3 = 0 , v 1 v 2 ≠ 0 ⇒ L :
=
v1
v2
son representaciones biplanares de la recta , v 1 , v 2 , v 3 .se llaman
Si v 1 = 0 , v 2 v 3 ≠ 0 ⇒ L :
números directores de L .
Planos Paralelos-Planos ortogonales –Angulo entre Planos
Teoremas.- Sean P y P1 dos
respectivamente, entonces:
planos
con
normales
1) P y P1 son paralelos ⇔ m // n
2) P y P1 son ortogonales ⇔ m ⊥ n
3) El ángulo formado por P y P1 , es el ángulo formado por
m y
n esto es
( P , P1 ) =
116
( m ,n ) .
n ,m
MATEMÁTICA BÁSICA II
RECTAS PARALELOS-RECTAS ORTOGONALES – ANGULO ENTRE
RECTAS
Teoremas.-
Sean
L , L ' dos
rectas
con
vectores
de
dirección
v , w respectivamente.
Entonces:
1)
L // L ' ⇔ v // w
2)
L ⊥ L' ⇔ v ⊥ w
3)
El ángulo formado por L y L ' , es el ángulo formado por v y
esto es,
( L ,L' ) =
w
( v ,w ) .
PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE PLANO Y RECTA
1.Sea L una recta con vector dirección v y
P un plano con
normal n , entonces L // P ⇔ v ⊥ n
2.-
Sea L una recta con vector dirección v
y P un plano con normal
entonces L ⊥ P ⇔ v // n .
Teoremas.1.Si L // L ' ⇒ L = L ' ∨ L ∩ L ' = Φ
2.Si L y L ' no son paralelos ⇒ L ∩ L' = Φ ∨ L ∩ L' = P (un punto)
3.Si
una
recta
L y
un
plano
P son
paralelos ⇒ L ⊂ P ∨ L ∩ P = Φ
4.Si una recta L y un plano P no son paralelos ⇒ L ∩ P = P (un
punto)
ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO
π
) que forma una recta L con vector dirección v y un
El ángulo θ ( θ ≤
2
π
plano P con normal n es complementario del ángulo ϕ ( ϕ ≤
) entre los
2
vectores v y n y
v .n = v
n cos ϕ = v
n c o s ( 9 0º − θ ) = v
n sen θ ⇒
117
MATEMÁTICA BÁSICA II
θ = arcsen (
v ⋅n
v
)
n
Figura3
INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS ORTOGONALES A DOS PLANOS
COORDENADOS
⎧ x = m z+ p
L :⎨
Las ecuaciones reducidas de la recta
, es una
⎩ y = nz+q
representación biplanar de L donde x = m z + p es la ecuación de un plano
P1 tal que L ⊂ P1 y P1 ⊥ X Z ( Plano XZ ) y donde y = n z + q es la
ecuación de un plano P 2 tal que L ⊂ P2 y P 2 ⊥ Y Z ( plano YZ ).
Figura 4
118
MATEMÁTICA BÁSICA II
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sean Q ∈ R 3 un punto y P = P0 + λ v + κ w / λ , κ ∈ R } un plano,
{
entonces la distancia de Q a P es el número que es denotado por d ( Q , P )
y
definido
por
d ( Q ,P ) =
Q'Q
,
Q ' = Pr oyPQ ,
pero
Q Q ' = P r o y v × w P0 Q , entonces:
Q'Q
Sean
=
= C om
P r o y v × w P0 Q
Q 0 ( x0 , y0 , z
0
)∈ R 3 ,
P : Ax + By + Cz + D = 0
v× w
la
y
P0 Q ⇒ d ( Q , P ) = C o m
ecuación
general
P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ P ,
del
v× w
plano
entonces
A x 1 + B y 1 + C z 1 + D = 0 ⇒ − ( A x 1 + B y 1 + C z 1 ) = − D , usando el
método anterior tenemos que:
PQ
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 )
1 ⋅n
, por
d( Q , P ) = Com n PQ
=
=
1
n
A2 + B 2 + C 2
consiguiente d( Q , P ) =
Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2
.
Figuras 5 a) y b)
DISTANCIA ENTRE PLANOS
Dados dos planos paralelos P : A x + B y + C z + D 1 = 0 ,
P1 : A x + B y + C z + D 2 = 0 , la distancia entre ellos denotamos por
d( P , P1 ) .Sea P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ P , entonces
A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 1 = 0 ⇒ − ( A x 1 + B y 1 + C z 1 ) = − D 1 , luego
119
P0 Q
MATEMÁTICA BÁSICA II
d( P , P1 ) = d ( P1 , P1 ) =
d( P , P1 ) =
Ax1 + By1 + Cz1 + D2
A + B +C
2
2
2
=
D2 − D1
A + B2 +C2
2
⇒
D2 − D1
A + B2 +C 2
2
Figura 6
Distancia Mínima entre dos rectas.- Sean L 1 =
L2 =
{Q0
{P0
+ λ v ,λ ∈ R } ,
+ κ w , κ ∈ R } dos rectas, denotamos por d( L 1 ,L 2 ) la mínima
distancia entre las dos rectas ,la cual definimos como d( L 1 ,L 2 ) = ST donde
ST ⊥ L 1 y ST ⊥ L 2 para S ∈ L 1 , T ∈ L 2 como se muestra en la gráfica .
Como v × w ⊥ v y v × w ⊥ w , entonces v × w es ortogonal a L 1 y L 2 , por
tanto v × w // ST y S T = P r o y v × w P0 Q 0 por consiguiente:
d( L 1 ,L 2 ) = ST = Pr oy v × w P0Q0 = Com v × w P0Q0 =
Si L 1 // L 2 entonces d( L 1 ,L 2 ) = d( Q ,L 2 ) donde
arbitrario.
120
P0Q0 .( v × w )
v× w
Q ∈ L 1 es un punto
MATEMÁTICA BÁSICA II
PROBLEMAS RESUELTOS
1.-
Encuentre el punto en el que la recta con ecuaciones paramétricas
⎧ x = 2 + 3t
⎪
L : ⎨ y = − 4 t , cruza al plano P : 4 x + 5 y + − 2 z = 1 8
⎪ z = 5+t
⎩
Solución
P = ( 2 + 3t , − 4 t ,5 + t ) ∈ P ⇒
4 ( 2 + 3t ) + 5 ( − 4 t ) + − 2( 5 + t ) = 1 8 ⇒ t = − 2 ⇒ P ( − 4 ,8 ,3 )
2.-
P : x+ y+ z =1,
Halle
el
ángulo
entre
los
planos
P 2 : x − 2 y + 3 z = 1 y encuentre la ecuación simétrica de la recta
L de intersección de estos planos.
Solución
Los
vectores
normales
de
estos
planos
son
n 1 = ( 1 ,1 ,1 ) n 2 = ( 1 , − 2 , 3 ) respectivamente, entonces el ángulo
entre
los
cos θ =
planos
n 1 .n 2
n1
n 21
es
el
=
2
⇒ θ = arccos(
42
121
ángulo
entre
las
normales
2
)
42
7 2º
y
MATEMÁTICA BÁSICA II
Primero hallemos un punto en L . Hallemos el punto donde la recta cruza
al plano X Y al hacer z = 0 en las ecuaciones de ambos planos,
⎧ x+ y =1
entonces obtenemos el sistema ⎨
, cuya solución es
⎩ x− 2y =1
x = 1 , y = 0 , por tanto el punto P ( 1 , 0 , 0 ) está sobre la recta L .
Como L ⊂ P ∧ L ⊂ P 1 entonces:
L ⊥ n1
L :
∧ L ⊥ n 2 ⇒ n 1 × n 2 // L ⇒ v = n 1 × n 2 = 5 i − 2 j − 3 k
x −1
y
z
=
=
−2
−3
5
Figura7
3.-
Hallar la distancia entre los planos P : 1 0 x + 2 y − 2 z = 5 ,
P1 : 5 x + y + − z = 1 .
Solución
Dos planos son paralelos cuando sus normales son paralelos
n = ( 1 0 , 2 , − 2 ) , n 1 = ( 5 ,1 , − 1 ) , calculamos un punto
cualesquiera en el plano P , en particular si
obtenemos:
1
Q ( , 0 , 0 ) ⇒ d ( P , P 1 ) = d ( Q , P1 ) =
2
122
hacemos y = z = 0
MATEMÁTICA BÁSICA II
5(
5
4.-
1
) + 1( 0 ) − 1
2
2
+1 +(1 )
2
2
3
6
=
x = 2s
⎧ x = 1+ t
⎧
⎪
⎪
Verificar que las rectas L 1 : ⎨ y = − 2 + 3 t , L 2 : ⎨ y = 3 + s
⎪ z = −3 + 4s
⎪ z = 4−t
⎩
⎩
son oblicuas y halle la distancia entre ellas.
Solución
Como las dos rectas L 1 y L
son oblicuas, se puede imaginarse que
2
están en los planos paralelos P 1 y P 2 .La distancia entre L 1 y L
2
es la misma distancia entre P 1 y P 2 .Las direcciones de L 1 y L
2
son
v = ( 1 ,3 , − 1 ) y
w = ( 0 , 1 , 4 ) , entonces un vector
normal es n = v × w =13 i − 4 j + k .
Haciendo s = 0 en L
L1 y
por
2
obtenemos el punto P 0 ( 0 , 3 , − 3 ) sobre
tanto
una
ecuación
P 2 es
para
13( x − 0 ) − 4( y − 3 ) + 1( z + 3 ) = 0 , es decir:
P 2 : 13 x − 4 y + z = −15 .
Si ahora hacemos t = 0 en la ecuación de L 1 , obtenemos el punto
Q 0 ( 1 , − 2 , 4 ) sobre P 1 .
Por lo que:
d ( L 1 ,L
5.-
Hallar
2
) = d ( Q 0 , P 2 )=
la
distancia
1 3 (1 )-4 (-2 )+ 1 (4 )+ 1 5
132 + ( − 4 ) 2 + 1 2
del
punto
=
40
186
Q 0 ( 1 , 5 , − 4 ) al
plano P : 3 x − y + 2 z = 6
Solución
n = ( 3 , − 1 , 2 ) es normal al plano P .Ahora hallamos un punto del plano
para ello
hacemos y = 0 y z = 0 por tanto obtenemos el
punto O 0 ( 2 , 0 , 0 ) , entonces v = P0Q 0 = ( − 1 , 5 , − 4 ) , entonces:
123
MATEMÁTICA BÁSICA II
v .n
d ( Q 0 ,P ) =
6.-
=
n
−3 − 5 − 8
9 +1+ 4
=
16
14
Hallar la ecuación del plano P que pasa por el punto T 0 ( − 2 , 3 ,1 )
y es
ortogonal a los dos planos
P 1: 3 x + 2 y − z = 1 y
P 2: 2 x − 5 y + 4 z = 7
Solución
La normal de los planos dados son n 1 = ( 3 , 2 , − 1 ) , n 2 = ( 23 , − 5 , 4 ) ,
como P ⊥ P 1 y P ⊥ P 2 , entonces
n 1 // P y n 2 // P y el vector
n = n 1 × n 2 = ( 3 , − 14 , − 19 ) es una normal al plano
P , por tanto
P : ( ( x , y , z ) − T 0 ).n = 0 ⇒ P : 3 x − 1 4 y − 1 9 z + 6 7 = 0
7.-
Hallar la ecuación del plano P que pasa por el punto T 0 ( 0 , 0 ,1 ) , es
ortogonal al plano X Z y hace un ángulo ϕ = a r c c o s (
plano P 1 : x + 2 y + 2 z = 5 .
Solución
Sea
n = ( a , b ,c )
una
de
sus
normales
1
) con el
3
de P tal
que
n =1 ⇒ a + b + c = 1
2
2
2
Como P ⊥ X Z , entonces:
n ⊥ j( 0 , 0 ,1 ) ⇒ n . j = 0 ⇒ ( a ,b ,c ).( 0 ,0 ,1 ) = 0
entonces tenemos que
P ,
n .n1 =
entonces
n
b = 0 ⇒ n = ( a ,0 ,c ) , n1 = ( 1 , 2 , 2 ) la normal a
ϕ=
( P 1 ,P ) =
( n ,n1 ) = arccos(
n 1 c o s ϕ ⇒ a + 2 c = 1 ( 3 )(
1
1
) ⇒ cos ϕ =
3
3
1
) = 1 ⇒ a = 1 − 2c
3
en a 2 + b 2 + c 2 = 1 , tenemos que:
4
3
4
5c 2 − 4c = 0 ⇒ c = 0 ∨ c = ⇒ n = ( 1 , 0 , 0 ) ∨ n = ( − , 0 , ) ,
por
5
5
5
tanto:
P : ( ( x , y , z ) − T 0 ).n = 0 ⇒ P : x = 0 ∨ P : 3 x − 4 y + 4 = 0
124
MATEMÁTICA BÁSICA II
8.-
Un
L =
rayo
de
luz
se
{ ( 2 − t , − t ,1 ) / t ∈ R } .Al
dirige
chocar
por
con
la
el
recta
espejo
(plano) P 1 : 2 x − y + z + 2 = 0 se refleja. Hallar la ecuación de
la recta L en la cual está inmerso el rayo reflejado.
Figura 8
Solución
n = ( 2 , − 1 ,1 ) es una normal al plano P
1
y sea P = L ∩ P1 ,como
P ∈ L ⇒ P = ( 2 − t , −t ,1 ) , para algún t ∈ R y como
P ∈ P1 ⇒ 2 ( 2 − t ) − ( −t ) + 1` +2 = 0 ⇒ t = 7 , por tanto P = ( − 5 , −7 ,1 ) .
Ahora tenemos un punto Q ∈ L distinto de P = ( − 5 , −7 ,1 ) , por
ejemplo para t = 0 tenemos Q = ( 2 , 0 ,1 ) .
Sea L 1 la recta que pasa por el punto Q = ( 2 ,0 ,1 ) y que L 1 ⊥ P1 ,
entonces
{
L 1 = Q + λ n / λ ∈ R} = { ( 2 + 2λ , − λ ,1 + λ ) / λ ∈ R} ,
sea
T = L 1 ∩ P1 ⇒ T = ( 2 + 2λ , −λ ,1 + λ ) y como:
T ∈ P1 ⇒ 2 ( 2 + 2λ ) − ( −λ ) + 1 + λ + 2 = 0 ⇒
7
2 7 1
λ = − ⇒ T = ( − , , − ) , ahora sea M = L ∩ L 1 , del gráfico como
6
6 6 6
125
MATEMÁTICA BÁSICA II
θ = ϕ , entonces los triángulos PQT y PTM son congruentes, entonces
7
tenemos que PM = PT + TNM = PT + QP ⇒ PM = ( 1 , 4 , −1 ) . Por
3
tanto L tiene por ecuación:
L = P + κ PM / κ ∈ R} = { ( −5 , −7 ,1 ) + κ ( 1 , 4 , −1 ) / κ ∈ R}
{
donde está inmerso el rayo reflejado.
9.-
Desde el foco F = ( 0 , 0 ,10 ) se emana un rayo luminoso el cual se refleja
en el plano P : x + y + z = 1 .Hallar la dirección con la cual se emana
el rayo reflejado, si pasa por el punto S = ( 2 ,3 ,15 ) .
Solución
Figura 9
Sea L la recta en la cual está inmerso el rayo emanado desde
F = ( 0 , 0 ,10 ) y L 1 la recta por la que viaja el rayo reflejado .
El vector n = ( 1 ,1 ,1 ) es la normal al plano P : x + y + z = 1 .Si
L 2 es la recta que pasa por F = ( 0 ,0 ,10 ) y L 2 ⊥ P , entonces
{
L 2 = F + λ n / λ ∈ R} = {( λ , λ , λ + 10 ) / λ ∈ R} ,
entonces tenemos que
H = ( − 3 , −3 , 7 ) . Sean
J = L ∩ P= L1 ∩ P
126
sea
H = L1 ∩ P ,
I = L1 ∩ L1
y
MATEMÁTICA BÁSICA II
Como θ = ϕ entonces los triángulos FHJ y HIJ son congruentes y
tenemos que FH = HI ⇒ H − F = I − H ⇒ I = 2 H − F = ( − 6 , −6 , 4 ) ,
como L 1 pasa por S = ( 2 ,3 ,15 ) e I tenemos que:
{
L 1 = S + λ IS / λ ∈ R} = {( 2 + 8λ ,3 + 9λ ,15 + 11λ ) / λ ∈ R} , si
24 87 211
,
,
) ⇒ la dirección con que se lanzo el
7 28 28
rayo luminoso desde F = ( 0 , 0 ,10 ) está dado por:
24 87 211
24 87 69
FJ = J − F = ( − , − ,
) − ( 0 ,0 ,10 ) = ( − , − , − )
7
28 28
7
28 28
J = L 1 ∩ P⇒ J = ( −
10.-
Dadas las rectas L 1 = {( 2 , 6 ,1 ) + λ( 1 , 2 , 0 ) / λ ∈ R} y
L 2 = {( 1 , 6 ,1 ) + κ ( 0 ,1 , 0 ) / κ ∈ R} , hallar la recta L que interfecta a
L1y L
determinando un triángulo de área 1 u 2 ,
2
L pasa por el
punto M = ( 3 , 2 ,1 ) .
Solución
Figura 10
Sea
A = L 1 ∩ L 2 entonces
obtiene
A = ( 2 + λ , 6 + 2λ ,1 ) = ( 1 , 6 + κ ,1 ) y se
que λ = −1 ∧ κ = −2 ⇒ A = ( 1 , 4 ,1 ) , sean B = L ∩ L 1 ,
C = L∩L2
y
los
vectores
directores
de
L1y
L
2
v = ( 1 , 2 ,0 ) , w = ( 0 ,1 , 0 ) respectivamente.
Entonces AB = m( 1 , 2 , 0 ) , AC = t( 0 ,1 ,0 ) ⇒ AB × AC = m t ( 0 ,0 ,1 )
127
son
MATEMÁTICA BÁSICA II
El área del triángulo ABC es A Δ =
AB × AC
2
AB = B − A ⇒ B = A + AB = ( m + 1 , 2 m + 4 ,1 )
= 1 , entonces m t = 2 (a)
AC = C − A ⇒ C = A + AC = ( 1 ,t + 4 ,1 ) , además MC = ( − 2 ,t + 2 ,0 ) y
MB = ( m − 2 , 2m + 2 ,0 ) son paralelos ,entonces MC × MB = 0 ⇒
2t
( b) , reemplazando (b)
( 0 ,0 , − 6m − mt + 2t ) = ( 0 , 0 , 0 ) ⇒ m =
t+2
2t2
= 2 ⇒ t = −2 ∨ t = 3 entonces:
en (a)
t +6
Para t = −2 ⇒ MC = ( − 2 ,0 , 0 ) ⇒ L = { ( 3 , 2 ,1 ) + r ( − 2 , 0 , 0 ) / r ∈ R}
Para t = 3 ⇒ MC = ( − 2 ,5 , 0 ) ⇒ L = { ( 3 , 2 ,1 ) + s( − 2 ,5 , 0 ) / s ∈ R} son
dos soluciones .
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P0 ( 1, 2 , 3 ) y
P1 ( − 3 , 2 , 1 ) .
2.-
Hallar la intersección de las rectas L 1 = { ( 1 − 1, 0 ) + k ( 2 , 3, 6 ) / k ∈ R } ,
L 2 = { ( 1, − 6 , 2 ) + t ( 1 , 4 , 2 ) / t ∈ R
}
3.-
Hallar los cosenos directores de la recta L = { ( a b , c ) + k ( 3 , 4 ,12 ) / k ∈ R }
4.-
Hallar
el
punto
de
intersección
L = { (− 1 , 7 , 17 ) + t ( − 1 , 2 , 3 ) / t ∈ R
}
de
las
rectas
x−7
z
=y=
y L' :
.
−5
4
5.-
Hallar la recta L que intercepta en ángulo recto a la recta
L 1 = { (2 , 1 , 3 ) + t ( − 1 , 2 , 1 ) / t ∈ R } y que pasa por el punto P 0 ( 0 , 3 , 2 ) .
6.-
Determinar bajo qué dirección debe ser lanzada rectilíneamente una
P0 ( 2 , 2 , 3 ) hacia
la
recta
partícula
desde
el
punto
L = { ( 0 , 1 + r , − r ) / r ∈ R } para que alcance al cabo de 2 seg. , siendo su
velocidad v = 3 u /seg.
128
MATEMÁTICA BÁSICA II
7.-
La recta L
que pasa por el punto P0 ( 2 , 1 , 5 ) intercepta y es
x −1 y + 2 z − 3
perpendicular a la recta L ' :
=
=
, hallar la ecuación de
3
4
2
la recta L y su punto de intersección con el plano XY.
8.-
Hallar la ecuación de la recta L que intersecta a las rectas:
L 1 = { (1 , 2 , 4 ) + t ( 1 , 0 , 1 ) / t ∈ R } , L 2 = { ( 0 , 0 , 2 ) + k ( 2 ,1 ,1 ) / k ∈ R
y sea paralela a los planos XY y ZX .
9.-
Hallar la ecuación vectorial de la recta L , sabiendo que se intersecta con
las rectas:
L 1 = { ( 0 , 1, 0 ) + t ( 2 ,1 , 2 ) / t ∈ R } , L 2 = { (1 , − 1,1 ) + k ( 3 , − 2 , 1 ) / k ∈ R }
}
y es perpendicular al plano Q : x + y − z + 2 = 0
10.-
11.-
12.-
Una recta L que pasa por el punto P0 ( 1, 3 ,1 ) es ortogonal al plano
P : 3 x − 2 y + 5 z − 15 = 0 . Hallar el punto de intersección de la recta y el
plano .
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto medio AB y corta
bajo un ángulo de 60º a la recta que pasa por M y N donde
A ( 2 , 4 , 0 ) , B ( 0 , 0 , − 2 ) , M ( 3 , 3 ,3 ) , N ( − 1 , 3 ,3 ) .
Desde el punto P ( − 10 , − 10 ,5 ) se emana un rayo de luz según el vector
v = ( 2 , 4 , − 3 ) el cual al chocar con el espejo
P : x + 2 y − 3z − 18 = 0 se
refleja. Hallar la trayectoria del rayo reflejado.
13.-
Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos
P1 ( 4 , 0 , 0 )
y
Q : x + y + z −1 = 0
que
forma un ángulo de 30º
con
P0 (1, 3 , 0 ) ,
el plano
.
14.-
Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos:
Q : 5 x + 3 y − z − 9 = 0 , Q 1 : 3 x − 2 y + 5 z − 6 = 0 . Se quiere aumentar un plano
mas tal que pase por la recta de intersección de los planos dados y que
sea paralelo a la columna que describe la ecuación de la recta :
L = { ( 3 , 1 , 8 ) + t ( 1 , 1 ,0 ) / t ∈ R } . Hallar la ecuación del plano
15.-
Dados los planos Q : x + y − 2 z − 2 = 0 , Q 1 : 2 x − 3 y + 3z − 2 = 0 , hallar la
ecuación paramétrica de la recta L que pasa por las proyecciones
ortogonales del punto P 0 ( 2 , 1 ,1 ) sobre cada plano .
129
MATEMÁTICA BÁSICA II
16.-
Un plano P pasa por P 0 ( 3 , 1 ,−1 ) y es perpendicular al plano
Q : 2 x − 2 y + 2 z + 4 = 0 y su
intersección con el eje z es –3 , hallar la
ecuación del plano P .
17.-
Hallar los puntos de intersección y el ángulo que forman los planos
Q : 4 x + 3 y + z = 0 y Q ' : x + y − z = 15 .
18.-
El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z
y mayor en dos unidades que su intercepto X . Si el volumen encerrado
por el plano y los tres planos coordenados es 15 u 3 . Hallar la ecuación
del plano .
19.-
Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se encuentran a dos
unidades del origen y tiene una normal que forma un ángulo de 60º con
los ejes X e Y .
Hallar la ecuación vectorial de la recta cuya proyección sobre el plano
XY está dado por z = 0 , x − 2 y = 5 y cuya proyección sobre el plano
YZ está dado por x = 0 , z = y + 2 ( proyección ortogonal ) .
20.-
21.-
Un rayo de luz se dirige por la recta L = { ( 2 − t , − t , 1 ) / t ∈ R } y al
chocar con el espejo Q : 2 x − y + z + 2 = 0 se refleja. Hallar la recta L' en
el cual está el rayo reflejado.
22.-
Hallar una recta L en el plano determinado por los puntos P 0 ( 0 ,0 ,0 ) ,
P1 ( 2 ,2 ,0 )
L :
y
P 2 ( 0 ,1 ,−2 )
y que corte ortogonalmente a la recta
x +1 y −1
=
= 2z
3
2
130
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO VI
NÚMEROS COMPLEJOS
El sistema de los reales R es el ámbito donde se realizan los estudios del cálculo,
análisis, geometría, etc., sin embargo no es suficiente para resolver ecuaciones de
la forma x 2 − x + 1 = 0 ∨ x 2 + 1 = 0 etc., por ello se buscó y se descubrió un
conjunto mas grande que R donde se pueden resolver estas ecuaciones, este
nuevo conjunto se llama Sistema de los números complejos, cuya propiedad
fundamental es: Todo polinomio con coeficientes en R o C posee una raíz en
C , además con el descubrimiento de C , aparecen nuevas teorías matemáticas
y dio el origen al estudio de una de las partes mas bellas de la matemática :Las
Funciones Analíticas.
El
sistema
de
los
números
complejos
C = R×R ={ z = x +i y / x , y ∈R ,
−1 = i
es
el
conjunto
2
∧ i = −1} , provisto
de dos operaciones: la suma y el producto
a)
+ : C×C → C
( z,w ) → +( z,w ) = z + w = x + i y + u + i v = ( x + u ) + i( y + v )
b)
⋅: C×C → C
( z,w ) → ⋅( z,w ) = zw = ( x + i y )( u + i v ) = ( xu − yv ) + i( xv + yu )
Estas operaciones satisfacen propiedades análogas a las de los números reales R
las mismas que enumeramos en las:
Proposiciones.- Para todo z ,w ,u ,v ∈ C , se cumplen:
1.-
z + w = w + z (conmutativa)
2.-
z +( w+u ) = ( z + w)+u
3.-
Existe 0 = 0 + 0i = ( 0,0 ) ∈ C /
aditivo)
4.-
z + ( − z ) = 0 , − z = − x − yi
(asociativa)
z + 0 = 0 + z = z (existencia del cero
(existencia del opuesto aditivo)
131
MATEMÁTICA BÁSICA II
5.-
zw = wz
6.-
z ( wu ) = ( z w )u
7.-
1 = 1 + 0 i = ( 1,0 ) ∈ C / 1.z = z
multiplicativo)
8.-
∀z ≠ 0, ∃ z −1 / z −1 z = 1 (existencia y unicidad del inverso multiplicativo)
9.-
z( w + u ) = zw + zu
10.-
zw = 0 ⇔ z = 0 ∨ w = 0
(existencia y unicidad del neutro
(distributiva)
Conjugado Complejo.- Para cualquier z∈ C , z = x − y i se llama conjugado
complejo de z .
Definición.- Dado z = x + y i ∈ C , x se llama parte real de z que se denota por
x = Re( z ) e y se denomina parte imaginaria denotado por y = Im( z ) , entonces
podemos escribir como z = x + y i = Re( z ) + i Im( z ) ∈ C .
Propiedades
Dados z ,w∈ C se cumplen:
z
z
)=
; w ≠0
w
w
1.-
z+w =z+w
3.-
2.-
zw = z w,
4.-
5.-
1
1
Si z ,w∈ C / z = x + y i , z = x − y i ⇒ x = ( z + z ) , y = ( z − z )
2
2i
z=z
(
Si z ∈ R ⇒ z = x
Observaciones
1.-
C ≅ R 2 , por ello todo complejo z = x + y i es un par ordenado, esto es,
z = x + yi =( x,y ) .
En particular si y = 0 , x = x + o i = ( x ,0 ) y de aquí se tiene que
R ⊂ C , esto es todo número real es complejo, pero no todo número
complejo es número real.
132
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
∀z ∈ C ,z ≠ 0 , siempre existe z −1 tal que z −1 z = z z −1 = 1 , más aún
1 z
x − yi
x
y
z −1 = =
= 2
= 2
− 2
i
2
2
z zz x + y
x +y
x + y2
Ejemplos
1.-
Dados z = 3 + 4 i , w = 7 − 8 i , calcular z + w ,zw ,
z
w
Solución
z + w = 11 − 4 i
zw = ( 3 + 4 i )( 7 − 8 i ) = ( 3 × 7 − 4 × ( −8 )i 2 ) + ( 4 i × 7 − 3 × 8 i ) = 53 + 4 i
z 3 + 4 i ( 3 + 4 i )( 7 + 8i ) −11 + 52i
=
=
=
w 7 − 8 i ( 7 − 8i )( 7 + 8i )
113
2.-
Dados z = 3 + 4 i , w = 7 − 8 i , calcular z + w , zw , (
z
)
w
Solución
Del problema anterior tenemos que z + w = 11 − 4 i ⇒ z + w = 11 + 4 i ,
zw = ( 3 + 4 i )( 7 − 8 i ) == 53 + 4 i ⇒ zw = 53 − 4i ,
z −11 + 52i
z
−11 − 52i
=
⇒( )=
w
w
113
113
133
MATEMÁTICA BÁSICA II
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado z = x + y i ∈ C , el módulo o norma de z∈ C se denota por z
como
y se define
z = x 2 + y 2 ≥ 0 , geométricamente representa la distancia
del punto
0 = 0 + 0 i = ( 0 ,0 ) a z = x + y i = ( x , y )
Im ( z )
z = x+i y
y
r=
z
θ
0
x
Re ( z )
Ejemplos
1.-
Si z = 3 + 4 i ⇒ z = 32 + 42 = 25 = 5
2.-
w = 3 8 − 3 8 i ⇒ w = ( 3 8 )2 + ( −3 8 )2 = 72 + 72 = 144 = 12
Propiedades.- Para todo z ,w∈ C , se cumplen:
1.-
z ≥0 ∧
2.-
z
3.-
-z
4.-
5.-
2
zw
z =0⇔ z=0
6.-
7.- Rez + Imz ≤ 2 z
= zz ⇒ z = zz
=
z
,
z
=
z
w
=
z − w ≤ z−w ≤ z + w
8.-
z
9.-
z+w ≤ z + w
10.-
134
z
z
=
, w≠0
w
w
z+w
z
w
≤
+
1+ z + w
1+ z 1+ w
z w+ w z
z+w
≤
2 zw
z+w
MATEMÁTICA BÁSICA II
Observación.- Existen muchas propiedades más, pero con la práctica constante
podrán ir afianzándose y descubrir poco a poco.
FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
x
Del gráfico anterior tenemos que cos θ = ⇒ x = r cosθ
r
y
senθ = ⇒ y = r senθ ⇒ z = x + i y = r ( cos θ + isenθ ) se denomina forma
r
polar o trigonométrica de z y z = rei θ se llama forma exponencial de z ,
y
donde θ se denomina argumento de z y se denota por θ = A rg z = arctg( ) .
x
Si θ es argumento de z ⇒ θ + 2k π también es argumento de z , k ∈ Z
Si k=0 , se llama argumento principal y es el único valor de:
θ / 0 0 ≤ θ < 2π ∨ − π ≤ θ < π .
Si z = 0 + 0 i , no está definido θ = Argz
Propiedades
1.-
Arg ( zw ) = Arg ( z ) + Arg ( w ) , para z ,w ∈ C y z ,w ≠ 0
2.-
Arg (
3.-
Sean θ = Arg ( z ) ,ϕ = Arg( w ) , entonces:
Arg ( zw ) = Arg ( z ) + Arg ( w ) + 2k π para
z ,w ∈ C y z ,w ≠ 0
donde k = −1 , 0 ,1 según que sea π < θ + ϕ ≤ 2π , −π < θ + ϕ ≤ π o
−2π < θ + ϕ ≤ −π
z
Sean
θ = Arg ( z ) ,ϕ = Arg( w ) Arg ( ) = Arg ( z ) − Arg ( w ) + 2k π ,
w
para z ,w ∈ C y z ,w ≠ 0 , k = −1 , 0 ,1 según que sea π < θ − ϕ ≤ 2π ,
−π < θ − ϕ ≤ π o −2π < θ − ϕ ≤ −π
Arg ( z n ) = n Arg ( z ) + 2k π , n ∈ Z y k ∈ Z con la propiedad de que
−π < n Arg ( z ) + 2k π ≤ π .
4.-
5.-
z
) = Arg ( z ) − Arg ( w ) , para z ,w ∈ C y z ,w ≠ 0
w
135
MATEMÁTICA BÁSICA II
Teoremas.- Sean z = r ( cos θ + isenθ ) y w = ρ ( cos ϕ + isenϕ ) ∈ C no nulos.
Entonces:
i)
z w = rρ ( cosθ ( θ + ϕ ) + isen ( θ + ϕ ) )
ii)
z r
= ( cos ( θ - ϕ ) + isen ( θ − ϕ ) )
w ρ
iii)
z −1 =
1 1
= ( cos θ − i senθ )
z r
Ejemplos
1.-
Dado z = ( 1 + i )( 1 + i 3 )( 3 − i ) , hallar z , θ = Arg ( z ) y expresar
en la forma z = m + n i
Solución
z = 1+ i
1+ 3
3 − i = 2 ( 2 )( 2 ) = 4 2
θ = Arg ( z ) = Arg( 1 + i ) + Arg( 1 + 3i ) + Arg( 3 − i ) =
π π π 5π
+ − =
4 3 6 12
z = ( 1 + i )( 1 + i 3 )( 3 − i ) = ( 1 + i )( 2 3 + 2i ) = 2( 3 − 1 + ( 3 + 1 ))
2.-
(1 + i 3 )9 (1 + i )3
.
Hallar el argumento principal de z =
i
(1 + i 3 )5
Solución
Aplicando propiedades tenemos que
Arg( z ) = Arg(
(1 + i 3 )9
(1 + i )3
) + Arg(
)=
i
(1 + i 3 )5
9 Arg( 1 + 3i ) − Arg( i ) + 3 Arg( 1 + i ) − 5 Arg( 1 + 3i ) =
9(
π π
π
π
π π
π
π
7π
) − + 3( ) − 5 ( ) = 9 ( ) − + 3( ) − 5 ( ) =
6
2
4
3
6
2
4
3
12
136
MATEMÁTICA BÁSICA II
Teorema (Moivre)
Si n ∈ Z y z = r ( cos θ + isenθ ) ⇒ z n = r n ( cos n θ + isen n θ ) = r n ei n θ
Si r = 1 ⇒ z n = ( cos n θ + isen n θ )
Demostración
Haciendo z = w en el teorema (i) tenemos que z 2 = r 2 (cos 2θ + i sen 2θ )
supongamos que se cumple z h = r h (cosh θ + i sen hθ ) , h ≥ 2 , entonces
z h +1 = r h (cosh θ + i senh θ )r (cos θ + i senθ , ) = r h +1( cos( h + 1 ) + i sen( h + 1 )) ,
entonces por el principio de inducción matemática se tiene que
z n = r n (cos nθ + i sen nθ ) , ∀n ≥ 1 .Si n ∈ Z y n < 0 , n = − m , m > 0 luego
tenemos que:
z n = z −m = (
1
1
1
)= m (
) = r − m ( cos mθ − i senmθ ) =
z
r cos mθ + i senθ
r − m (cos( .m θ ) + i sen( − m θ ) = r n ( cos nθ + i senθ )
RADICACIÓN EN EL PANO C
Dados z ∈ C ,
z≠0
y
n∈Z,
el complejo w ∈ C se llama raíz n-ésima de
z⇔w =z
n
Teorema.- Para todo z ∈ C , z ≠ 0 y todo n ∈ Z+ , existen n-raíces n-ésimas de z
Demostración
Sean z = r ( cos θ + isenθ ) y ρ ( cos ϕ + isenϕ ) no nulos, entonces por definición
de radicación wn = z ⇔ ρn ( cos nϕ + isennϕ ) = r( cos θ + isenθ )
⇔ ρn = r ∧ cos nϕ = cos θ ,sennϕ = senθ ⇔ ρ = r ∧ ϕ =
θ + 2k π
n
Luego las raíces n-ésimas de z están dados por:
wk =
n
z ( cos (
θ + 2k π
θ + 2k π ,
) + isen(
))
n
n
k = 0, ±1, ±2, ±3,... ( Δ )
137
MATEMÁTICA BÁSICA II
Observaciones
1.-
Estas raíces no todas son diferentes, pues:
wn = w0 ,
wn +1 = w1
,…, wn + j = w j , w−1 = wn −1 ,
w−2 = wn − 2 ,
w− j = wn − j
Es decir
wn + j = w j ,
j = 0, ±1, ±2 ,... y las n-raíces distintas son
w0 ,w1 ,w2 ,w3 ,...,wn −1
Los números wk de
( Δ ) son diferentes para k = 0,1, 2,3,...,( n − 1 )
En el caso particular para n = 2 tenemos que
Si z ,w∈ C , z ≠ 0 ⇒ ∃ w ∈ C / w2 = z ⇔ w = ± z y para z = x + i
y≠ 0 ⇒
1 ⎡
y
⎢ x+ z +
y
2⎣
w= ±
-x + z
⎤
i ⎥ , donde
⎦
y
y
es el signo
de y
2.-
Las raíces n-ésimas
w0 ,w1 ,w2 ,w3 ,...,wn −1 de un número complejo,
geométricamente representan los vértices de un polígono regular de n-lados
inscritos en una circunferencia de centro en el origen y radio R = n z .
Ejemplos
1.-
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
a) z =
i 4 + i 9 + i16
2 − i 5 + i10 + i16
b) w =
( 2 + i ) 8 ( 2 − i )10
25 ( 3 + 4i )
c) z = (
1 + 3 i 300
)
1− 3 i
138
MATEMÁTICA BÁSICA II
d) z =
( 1 − i )16 ( 1 + i ) 20
3 1 12 1
3 18
(−
− i) ( +
i)
2 2
2 2
( 1 + cos θ + isenθ ) n
e) w =
( 1 + i cos θ − senθ )4 n
Solución
a)
Como
i 4 = 1 ,i 5 = i ,
1+ i +1
= 2+i
z=
2 − i + i +1
b)
w=
c)
z =(
d)
z=
e) w =
i 9 = i, i10 = −1 ,i16 = 1
entonces
( 2 + i )8 ( 2 − i )8 ( 2 − i )2 58 ( 2 − i )2 3 − 4i
7 24
= 8
=
=− − i
5
2 ( 3 + 4i )
5 ( 3 + 4i ) 3 + 4i
25 25
2πi
1 + 3 i 300
2(cos 600 + isen600 ) 300
3
=
(
e
)300 = e 200 π i = 1
) =(
)
0
0
2(cos 60 + isen60 )
1− 3 i
( 1 − i )16 ( 1 + i ) 20
2 8 e −4 π i 2 10 e5 π i
=
= 2 18 e −19 π i = −2 18
14 π i 6 π i
e e
3 1 12 1
3 18
− i) ( +
(−
i)
2 2
2 2
( 1 + cos θ + isenθ ) n ( 2 cos 2 ( θ / 2 ) + 2isen( θ / 2 )cos( θ / 2 )) n
=
=
π
π
( 1 + i cos θ − senθ )4 n
4n
( 1 + isen( − θ ) − cos( − θ ))
2
2
θ
nθ
nθ
2n cos n ( )(cos(
) + isen(
))
2
2
2
=
θ
4n
4n π
n
2 ( −1 ) cos ( − )(cos( 2nθ ) − isen( 2nθ ))
4 2
θ
π θ
3
3
2−3n ( −1 )n cos n ( ) sec 4 n ( − )(cos( n θ ) − isen( n θ ))
2
4 2
2
2
139
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
π
Si z = ( 1 + i tg θ ) n . Hallar Re( ( 1 + itg( θ )) 8 )
8
Solución
z = ( 1 + i tg θ ) n = (
cos θ + i sen θ n
) = sec n θ ( cos( n θ ) + i sen( n θ ))
cos θ
Re z = Re(( 1 + i tg(
π 8
π
π
) ) ) = Re(sec8 ( )( cosπ + isenπ )) = sec8 ( )( cosπ ) =
8
8
8
− sec8 (
3.-
π
1
1
24
)=−
=−
=−
= −64( 17 − 12 2 )
8
8 π
2 π
4
2
4
cos ( )
(cos ( ))
(1 +
)
8
8
2
Hallar las raices cúbicas del complejo w = 1 + i
Solución
θ = Arg ( z ) = arctg( 1 ) =
π
, r = w = 2 entonces tenemos que en:
4
π
π
+ 2k π
+ 2k π
π + 8k π
π + 8k π
4
4
2 ( cos(
) + isen(
)) = 6 2(cos(
) + i sen(
))
3
3
12
12
wk = 3
están las tres raíces cúbicas para k = 0 ,1 , 2
Si k = 0 ⇒ w1 = 6 2(cos 150 + isen150 ) =
6
2
( 2+ 3 +i 2− 3 )
2
Si k = 1 ⇒ w1 = 6 2 (cos
6
3π
3π
2
2
2 2
+ isen ) = 6 2( −
+
i )=
( −1 + i )
4
4
2
2
2
Si k = 2 ⇒ w2 = 6 2( cos
17π
17π
+ isen
) = 6 2(cos( 150 + 2400 ) + isen( 150 + 2400 ))
12
12
=−
6
2
( 2− 3 +i 2+ 3 )
2
140
MATEMÁTICA BÁSICA II
4.-
Si z = −2 12 + 0 i , hallar w = 12 z
Solución
z = − 212 = 212 , θ = Argz = π , las doce raíces están dados por
wk = 12 212 ( cos (
π+ 2 k π
i
π + 2k π
π + 2k π
) + isen(
)) = 2e 12 , k = 0 ,1 , 2 ,...,11
12
12
Si k = 0 ⇒ w0 = 2 ( cis150 ) = 2 + 3 + 2 − 3 i
Si k = 1 ⇒ w1 = 2 ( cis 450 ) = 2 + 2 i
Si k = 2 ⇒ w2 = 2 ( cis 750 ) = 2 − 3 + 2 + 3 i , así sucesivamente se
calcula las demás raíces
Si k = 11 ⇒ w11 = 2 ( cis3450 ) = 2 + 3 + 2 − 3 i
5.-
Hallar las seis raíces de z = −1 + 0 i e interpretar geométricamente
Solución
z = 1 , θ = π , luego las seis raíces están dadas por la fórmula
wk = ( cos(
π+ 2 k π
i
π + 2k π
π + 2k π
) + isen(
)) = e 6 , k = 0 ,1 , 2 ,...,5
6
6
Si k = 0 ⇒ w0 = ( cis300 ) =
3 1
+ i
2 2
Si k = 1 ⇒ w1 = ( cis900 ) = i .
Si k = 2 ⇒ w2 = ( cis1500 ) = −
3 1
+ i
2 2
Si k = 3 ⇒ w3 = ( cis 2100 ) = −
3 1
− i.
2 2
141
MATEMÁTICA BÁSICA II
Si k = 4 ⇒ w4 = ( cis 2700 ) = − i
Si k = 5 ⇒ w5 = ( cis3300 ) =
3 1
− i
2 2
Figura 1
Observación.- Este problema es lo mismo que resolver w 6 + 1 = 0 y
aplicando los criterios de factorización se halla las raíces sin
dificultad w6 + 1 = 0
w 6 + 1 = ( w2 )3 + 1 = ( w2 + 1 )( w4 − w2 + 1 ) = ( w2 + 1 )( w4 + 2w2 + 1 − 3w2 ) =
( w − i )( w + i )( ( w2 + 1 )2 − ( 3 w )2 ) = ( w − i )( w + i )( w2 − 3 w + 1 )( w2 − 3 w + 1 )
Obvio de obtener las seis raíces.
Observación.-Sea μ una raíz arbitrario de z n = a . Si w es una n-ésima
raíz primitiva de la unidad , entonces la n raíces de z n = a están dados
por:
μ , μw , μw2 , ..., μwn −1 . En particular las n raíces de z = 1 está dado por
142
MATEMÁTICA BÁSICA II
wk = ( cos(
2kπ
i
2k π
2k π
) + isen(
)) = e n = wk , k = 0 ,1 , 2 ,...,( n − 1 )
n
n
, w = cis(
2π
)
n
Donde w0 = w0 = 1 , w1 = w1 = w , w2 = w2 = w2 ,…, wn −1 = wn −1 , por
tanto las n raíces de
la unidad son { 1 ,w ,w2 ,...,wn −1
}.
Teorema.- Si w ≠ 1 es una raíz n-ésima de la unidad, entonces
1 + w + w2 + ... + wn −1 = 0
Demostración
Sea S = 1 + w + w2 + ... + wn −1 y como 1 − w ≠ 0 , entonces:
( 1 − w )S = 1 + w + w2 + ... + wn −1 − w − w2 − ... − 1 = 0 ⇒ ( 1 − w )S = 0 ⇒ S = 0
6.-
Resolver para θ la ecuación:
( cos θ + isenθ )( cos 2θ + isen2θ )...( cos n θ + isen n θ ) = 1
Solución
Sea:
z = cos θ + isenθ
,
z 2 = cos 2θ + isen 2θ ,
z n = cos n θ + isenn θ⇒ sustituyendo
1++2 + 3+ ...+ n
…,
n
( n +1 )
2
=1⇒ z
=1
n
n
⇒ ( cos( ( n + 1 )θ ) + i sen( ( n + 1 )θ ) = 1 ⇔
2
2
z
n
⎧
⎪⎪ cos( 2 ( n + 1 )θ = 1
n
4k π
,k ∈ Z y n ∈ Z +
⇔ ( n + 1 )θ = 2k π ⇒ θ =
⎨
2
n( n + 1 )
⎪ sen( n ( n + 1 )θ = 0
⎪⎩
2
143
MATEMÁTICA BÁSICA II
7.-
Discutir
y
graficar
el
conjunto
1
1
1
1⎫
≤ Re( − ) − Re( − ) ≤ ⎬
T = { z ∈C /
4
iz
iz
2⎭
de
puntos
Solución
1
i
i
1
1
ix+ y
ix− y
1
≤ Re( ) − Re( ) ≤ ⇒ ≤ Re( 2
) − Re( 2
)≤ ⇒
2
2
4
z
z
4
x +y
x +y
2
2
1
2y
1
1
2y
2y
1
≤ 2
≤ ⇔ ≤ 2
∧ 2
≤ ⇔
2
2
2
2
2
4 x +y
4 x +y
x +y
x 2 + ( y − 4 )2 ≤ 16 ∧ x 2 + ( y − 2 )2 ≥ 2
Figura2
8.-
Sea
zn = xn + i yn = ( 1 + 3 i ) n
T = xn −1 yn − xn yn −1
,
hallar
el
valor
numérico
Solución
z = 2, θ =
π
nπ
nπ
nπ
⇒ zn = 2n (cos(
) + i sen(
)) ⇒ xn = 2n c os(
),
4
3
3
3
144
MATEMÁTICA BÁSICA II
nπ
) .Entonces
3
nπ
( n −1) π
( n −1 ) π
nπ ⎤
⎡
T = xn −1 yn − xn yn −1 = 22 n −1 ⎢ sen(
)cos(
) − sen(
)cos((
) =
3
3
3
3 ⎥⎦
⎣
nπ ⎤
3
⎡
)⎥ = 22 n −1
22 n −1 ⎢ sen(
= 4n −1 3
3 ⎦
2
⎣
yn = 2n sen(
Observación.- Cuando entre extremos de un conductor conectamos una
fuente de tensión o voltaje V, circula una corriente I .Al valor constante
V
V
se denomina resistencia y se mide en Ohm , esto es
= R Ohm .
I
I
V
La fórmula R =
es la expresión analítica de la ley de Ohm .Por tanto
I
V
I=
ampere ,es el flujo de la corriente.
R
9.-
En un circuito se dan las señales V = 5 + 7 i y R = 4 − 3 i , hallar la
intensidad de la corriente ,separando la parte activa y reactiva .
Solución
I=
V 5 + 7 i ( 5 + 7 i )( 4 + 3 i )
1 43
=
=
= − + i es la corriente
R 4 − 3i
25
25 25
Re( I ) = −
1
43
es la corriente activa y Im( I ) =
es la corriente reactiva,
25
25
Por tanto I =
10.-
Si
V
= Re( I ) + i Im( I ) = Corriente activa + corriente reactiva
R
z − 2 − i ≤ 5 , probar geométricamente que 8 ≤ z − 14 − 6i ≤ 18
Solución
Como z − 2 − i ≤ 5 , el punto z debe estar en el interior o sobre el circulo
C = { z ∈C /
z-2-i = 5 } . Ahora consideremos la circunferencia
145
MATEMÁTICA BÁSICA II
T = {z ∈ C /
z − 14 − 6i = λ } .Para satisfacer las condiciones dadas, T
deberá cortarse con C .Si la recta L que une ambos centros se interfecta
con C en P y Q ,entonces si B = 14 + 6i , A = 2 + i λ debe estar entre
BP y QB . Pero d( A,B ) = B − A = 12 + 5 i = 13 y
d( P,B ) = d( A,B ) − d( A ,P ) = 13 − 5 = 8
d( Q,B ) = d( Q , A ) + d( A ,B ) = 13 + 5 = 18 , por tanto 8 ≤ λ ≤ 18 como se
esperaba
Figura 3
EJERCICIOS Y APLICACIONES
1.-
Hallar la inversa se los siguientes números complejos:
z = 4 − 7i , w =
−1 + 3 i
−1 − 3 i 3
, u = 8 3 −8 3i , v = (
)
2
2
2.-
Sean z , w ∈ C , z w ∈ R , z w ≠ 0 , verificar que existe λ ∈ R tal que
z =λ w
3.-
Si z = 1 + 3 i , calcular Re( z 11 )
146
MATEMÁTICA BÁSICA II
4.-
En el plano complejo, graficar el conjunto de puntos o regiones que
representa cada una de las siguientes expresiones:
a) A = { z ∈ Z /
z −i
b) B = { z ∈ Z /
z + 2 − 3i +
c) C = { z ∈ Z /
z −3 +
z + 3 ≤ 10 }
d) D = { z ∈ Z /
z − 3i +
z + 3i
e) P = { z ∈ Z / 8 ≤
5.-
}
z +i
z −1 + i +
z − 2 + 3i
< 10 }
≤ 20 }
≤ 12 }
z + 2 − 3i
f) Q = { z ∈ Z /
z −1 − i
≤ 2 + y ∧ 2z − 2 + i < 4 }
g) S = { z ∈ Z /
z −1− i
≤ 3 ∧ Im ( z − 1 − i ) ≥ 2 }
h) T = { z ∈ Z /
z −i
Si
z
2
y
z−
z
2
z
}
= 9 Re ( z ) − 10 Im ( z ) , calcular
9
− 5i .
2
Si z − 8 = 2 z − 2 ,
hallar
≤ 3 4 z + 6i
= 10 Im ( z ) y
z + 5i
6.-
>
w + 16 = 4 w + 1
, w , u +1
y
u − 10 = 3 u − 2
.
z + i + z − i = 2λ , λ > 1 , verificar que z ≤ λ
7.-
Si
8.-
Si w =
z−a
1
, z ≠ , 0 < a < 1 .Verificar que
a z −1
a
w <1⇔ a <1 ∧
w >1⇔ a >1
147
,
MATEMÁTICA BÁSICA II
≤ Re z + Im z ≤ 2 z
9.-
Verificar que
10.-
Para z ,w∈ C , verificar que
z
z+w
1+ z + w
≤
z
+
1+ z
w
1+ w
(propiedad
métrica)
11.-
Para z ,w ≠ 0 ∈ C , verificar que
(
z + w )
z
z
w
w
+
≤2 z+w
[ 2(cos
7° + isen 7° )] [ 2(cos 8° + isen 8 )]
8
9
12.-
Hallar el equivalente de
13.-
Si z + u + v = 0 y z = u = v = 1 , pruebe que los puntos z ,u ,v son
vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unitaria.
14.-
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
2 (cos 15º +i sen15º ) 7
1 + 3 i 360
Q=
y
R =(
)
4 ( cos 45º +i sen 45º )
1− 3 i
15.-
Un marino viaja 12 kilómetros en dirección NE , 20 kilómetros en
[16(cos
17° + isen 17° )]
4
dirección 300 al NO y luego 18 kilómetros en dirección 600 al SO ,
hallar gráfica y
analíticamente la distancia y la dirección donde se
encuentra el marino de su punto de partida.
16.-
Sean z ,w∈ C arbitrarios y m ,n ∈ R tal que m 2 + n 2 ≠ 0 , verificar
que:
z
2
+ w
2
− z +w
2
2
mz+nw
≤2
m2 + n2
148
2
≤
z
2
+ w
2
+ z 2 + w2
MATEMÁTICA BÁSICA II
Sugerencia: Introduzca el ángulo auxiliar θ tal que tg θ =
m
, represente
n
la expresión estimada en la forma P + Qsen 2 θ + T cos 2 θ y encuentre
los valores máximos y mínimos ,( un problema interesante).
17.-
Un aeroplano viaja a 150 kilómetros en dirección SE , 100 kilómetros en
dirección directa al O , 225 kilómetros 300 hacía NE y luego 200
kilómetros hacía NE . Hallar gráfica y analíticamente la distancia y la
dirección donde se encuentra el aeroplano de su punto de partida.
18.-
Sea
F( n ) = (
1+ i n
1− i n
) +(
)
2
2
n∈Z
y
,
calcular
P = F( n + 4 ) + F( n )
19.-
El voltaje V ( voltios ) , la corriente I ( amperes ) y la resistencia R (
Ohms ) de un circuito eléctrico se relacionan por la ley de Ohm V = I
R. Determinar la corriente I si V = 15+8i , R=7-5i , separando la parte
activa y reactiva .
20.-
La fórmula de distribución de voltaje V1 =
VS Z 1
se emplea en la teoría
ZT
eléctrica para determinar el voltaje a través de cualquier elemento en un
circuito de corriente alterna
con dos o mas impedancias . VS es el
voltaje aplicado Z 1 es la impedancia del elemento considerado Z T la
impedancia total . Determinar V1
si VS = 21( cos oº + i senoº ) ,
Z 1 = 100( cos 45º + isen 45º ) y Z T = 219 ( cos 52º +isen52º ) .
21.-
La ecuación del puente Wheaststone
Rx =
R1 R3
R2
puede usarse para
determinar la resistencia R x de un circuito eléctrico, en forma tal que el
circuito esté balanceado .
149
MATEMÁTICA BÁSICA II
Hallar R x , si las resistencias variables son: R1 = 22 ( cos 24º +isen 24º )
R2 = 11 ( cos 18º +isen18º ) Ohms,
Ohms,
R3 = 8 ( cos 32º +isen32º )
Ohm punto de partida
22.-
Hallar las siguientes sumas:
a)
P = sen θ + 2 sen 2θ + ... + n sen n θ
b)
S = 1 + n cos θ + n 2 cos 2 θ + n3 cos 3 θ + ... + n k −1 cos( k − 1 ) θ ,
n ∈R , 0 < θ < π
T = n sen θ + n 2 sen 2 θ + n3 sen3 θ + ... + n k −1sen( k − 1 ) θ ,
c)
n ∈R ,
0<θ<π
23.-
Sabiendo que w es una raíz novena primitiva de la unidad, hallar el valor
4
de
∑ cos
k =1
24.-
Si θ =
4
(
kπ
)
9
2π
, aplicando la identidad:
13
m
z 2 m − 1 = ( z − 1 ) Π ( z 2 − 2 z cos(
k =1
2k π
) + 1 ) . Verificar que:
2m + 1
P = ( cos θ + cos 5θ )( cos 2θ + cos 3θ )( cos 4θ + cos 6θ ) = −
25.-
Si θ =
π
, verificar que
14
2
∑ ( tg
n =0
2
1
17
=
2
( 4n + 2 ) θ + tg ( 4n + 6 ) θ ) 26
m
⎡ p i + 1⎤
⎢ p i − 1⎥ = 1
⎣
⎦
26.-
Sean p , m ∈ R , verificar que e
27.-
Hallar todos los números complejos z ≠ 0 , tal que:
a) z 5 = z ,
b) z 7 = z ,
1
8
2 mi arc ctg p
c) z11 = z
150
d) z12 = z
MATEMÁTICA BÁSICA II
28.-
Evaluar las siguientes expresiones:
a)
3
d)
3
g)
6
4 3 − 4i ,
b)
i
e)
,
1+ i
1− i
,
4
3
h)
4
128 + 128 3 i , c)
1+ i
8 2 +8 2i
384
3 − 128 i
,
f)
,
j)
5
16 2 + 16 2 i
9
( 16 + 16 i )( 16 −16 i )
4
i
29.-
Hallar las raíces cúbicas de los números z = −1 , w = −i, u = 1 + i
30.-
Sin el uso de calculadoras, hallar todas las raíces de z 5 − 1 = 0 en forma
detallada y especificada, luego de una interpretación geométrica.
31.-
Hallar todas las raíces de ( 1 + z ) 5 = ( 1 − z ) 5 y luego generalizar
(1+ z ) n= (1− z ) n
32.-
Resolver las siguientes ecuaciones y dar una interpretación geométrica de
las raíces:
a) z 6 + i = 0 , b) z 4 + 1 = 0 , c) z12 + i = 0 , d) z 5 + 32 = 0
e) z 4 + 1 − 3 i = 0 ,
h) z 4 −
f) z 8 − 1 + 3 i = 0 , g) z 4 = − 2 + 2 3 i
1 + i( 1 + 2 ) 2 1 − i
= 0 , j) z 6 − 2 i z 3 − 1 = 0
z −
2
2
FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Definición.-
Para
z = x + i y∈C,
F :C→C
tal
que:
w = F( z ) = e z = e x +i y = e x (cos y + i seny ) , donde e = 2,71828... es la base de los
logaritmos
naturales , se
denomina forma exponencial de los números
complejos.
Teorema.- Si θ ∈ R es un número real medido en radianes
⎧ ei θ = cos θ + i sen θ
, se llaman fórmulas de Euler.
⎨ −i θ
=
θ
−
θ
e
cos
i
sen
⎩
151
MATEMÁTICA BÁSICA II
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y HIPERBÓLICAS
Las funciones trigonométricas y trigonométricas hiperbólicas, se definen en
términos de las funciones exponenciales como sigue:
sen z =
1 i z −i z
1
ei z − e − i z
( e − e ) , cos z = ( ei z + e − i z ) , tg z =
,
i( ei z + e − i z )
2i
2
ctg z =
i( ei z + e − i z )
2
, sec z = i z −i z
iz
−i z
e +e
e +e
, cs ec z =
2i
e − e−i z
iz
, son las seis
funciones Trigonométricas.
Observación.- Muchas de las propiedades familiares de las funciones
trigonométricas reales también son válidas para las funciones complejas.
Las seis funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como:
1 z −z
1 z −z
e z − e− z
sen h z = ( e − e ) , cos h z = ( e + e ) , tg h z = z − z ,
( e +e )
2
2
ctg h z =
( e z + e− z )
2
2
, sec z = z − z , cs ec h z = z − z
z
−z
e +e
e +e
e −e
152
MATEMÁTICA BÁSICA II
CAPÍTULO VII
POLINOMIOS EN UNA VARIABLE
Se llama polinomio formal o expresión polinomial con coeficientes en un
conjunto k
( k = Z , Q , R o C ) a toda expresión de la forma
p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an
,
n ∈ Z 0+
y
los
a 0 , a1 , a 2 , a3 , ..a n −1 , a n son los coeficientes del polinomio que pertenecen a k
y x es una variable indeterminada.
El conjunto de los polinomios con coeficientes en k se denota por k [ x ] .
Si a0 ≠ 0 , el grado de p (x ) es n y se denota por grd ( p ( x )) = n .
Si a0 ≠ 0 , en este caso se llama coeficiente principal de p (x )
Las expresiones a0 x n , a1 x n −1 , a2 x n − 2 , ...an −1 x
, an
se llaman términos del
polinomio y a0 x n se denomina término principal.
Si a0 = 1 el polinomio p( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an , se llama
mónico.
p( 0 ) = an , se llama término independiente del polinomio
p( x ) = an , se llama polinomio constante, an ≠ 0
n
p( 1 ) = a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an = ∑ ak
, es la suma de coeficientes del
k =0
polinomio.
Si a 0 = a1 = a 2 = a3 = ... = a n −1 = a n = 0 ,
idénticamente nulo.
p (x ) ≡ 0
se llama polinomio
Ejemplos
1.- p( x ) = 3 + 6 x + 9 x12 + 3 x36 polinomio en R [ x ]
polinomio en C [ x ]
2.- p( x) = 3 + 6 x + 9 i x 22 + 3 x56
3.- p( x ) = −3 + 6 x + 9 x + x − 20 x polinomio en Z [ x ]
2
6
15
1
7
4.- p( x) = + 6 x − 9 x 4 − x 9 − 12 x10 + 13 x 234 polinomio en Q [ x ]
3
5
153
MATEMÁTICA BÁSICA II
Definición.- Dos polinomios
p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an y
q( x ) = b0 x m + b1 x m −1 + b2 x m − 2 + ... + bm −1 x + bm , son iguales ⇔ m = n ∧ ai = b j ,
i , j = 0,1, 2 ,...,n
Algoritmo de la división para polinomios
Dados dos polinomios p ( x ) y d ( x ) ≠ 0 en R [ x ] , grd( p( x )) = n ,
grd( d( x )) = m ,
n ≥ m ≥1
respectivamente
existen
dos
polinomios q ( x ) , r ( x )
tales
que
p ( x ) = d ( x )q ( x ) + r ( x ) , q ( x ) , r ( x ) son llamados
cociente y resto respectivamente, donde grd ( r ( x ) ) < grd ( d ( x )) .
Si r ( x ) = 0 , se dice que p ( x )
un divisor o factor de p( x ). .
p( x )
es divisible por d ( x ) o que d ( x ) es
d(x)
⇒ p( x ) = d ( x )q ( x ) + r ( x )
r ( x)
q( x )
Esto representa el esquema tradicional de la división de polinomios.
División Sintética.- La división sintética es un procedimiento práctico para
determinar el cociente y el resto de la división de un polinomio p ( x) por el
binomio ( x − λ ) .
A la división sintética también se le conoce con el nombre de REGLA DE
RUFFINI.
Dado p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an , por el algoritmo de la
división, existe un cociente q( x ) = b0 x n −1 + b1 x n − 2 + b2 x n −3 + ... + bn − 2 x + bn −1 y un
resto r tal que:
p( x ) = ( x − λ )( b0 x n −1 + b1 x n − 2 + b2 x n −3 + ... + bn − 2 x + bn −1 )
a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an = ( x − λ )( b0 x n −1 + b1 x n − 2 + ... + bn −1 )
a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an −1 x + an = b0 x n + ( b1 − λb0 )x n −1 + ( b2 − λb1 )x n − 2 + ...( bn −1 − λbn − 2 ) + r − λbn −1
Por igualdad de polinomios tenemos que:
b0 = a0 , b1 = a1 + λb0 , b2 = a2 + λb1 , b3 = a3 + λb2 , …, bn −1 = an −1 + λbn − 2
r = an + λbn −1
154
,
MATEMÁTICA BÁSICA II
Este último, podemos representarlo mediante el siguiente esquema denominado
Regla de Ruffini
a0
a1
a2
an −1
λ
an
λb0 λb1
λbn −1
λbn −1
____________________________________
b0
b1
b2
r
bn −1
Este esquema proporciona los coeficientes del cociente y el residuo de la
división de p( x ) por x − λ .
Ejemplos
1.-
Al dividir p( x ) = 6 x 5 + 4 x 4 − 9 x3 + 4 x 2 + 2 x − 9 por d( x ) = x − 5 , hallar
el cociente y el residuo.
Solución
6
4
−9
4
2
−9
5
30
170
805
4045 20235
____________________________________
6
34
161
809
4047
20226
q( x ) = 6 x 4 + 34 x3 + 161x 2 + 809 x + 4047 , r = 20226 , entonces
p( x ) = d( x )q( x ) + r
Teorema del Resto.- El resto de dividir p ( x) por el binomio d( x ) = ( x − a)
es r = p ( a )
p( x )
x−a
r
q( x )
⇒
p ( x ) = q ( x )( x − a) + r
Demostración
Por el algoritmo de la división p( x ) = q( x )( x − a ) + r( x ) , donde
r( x ) = 0 o grd( r( x )) < grd( d( x )) = 1 ,
r( x ) = 0 ∨
entonces
grd( r( x )) = 0 .
155
MATEMÁTICA BÁSICA II
Si r( x ) = 0 ⇒ p( x ) = q( x )( x − a ) ⇒ p( a ) = 0 = r( x )
grd( r( x )) = 0 ⇒ grd( r( x )) = 0 ⇒ r( x )
Si
luego p ( x ) = q ( x )( x − a) + r .
es
constante,
Por tanto p( a ) = r .
Raíces de un polinomio.-
Se dice que un número r es raíz o cero de un polinomio p( x ) ⇔ p( r ) = 0 ,
donde grd( p( x ) = n ≥ 1 .
Ejemplo
1.-
El número r = 1 es una raíz del polinomio p( x ) = 3x 2 − 4 x 2 + 9 x − 8 ,
pues p( 1 ) = 0
2.-
El número r = 2
es una raíz del polinomio
p( x ) = x 4 − 4 , pues
p( 2 ) = 0
Teorema del factor o divisor.- Si r es un cero o raíz de p( x ) ,
entonces ( x − r ) es un factor o divisor de p( x) .
Teorema Fundamental del Álgebra
Todo polinomio p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x n + an de grado n ≥ 1 tiene una
raíz compleja.
Teorema (número de raíces de un polinomio)
Todo polinomio p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x n + an de grado n ≥ 1 , con a0 ≠ 0
tiene exactamente n - raíces.
Teorema
(Factorización
única).Todo
n
n −1
n
p( x ) = a0 x + a1 x + ... + an −1 x + an con coeficientes en C con
factoriza en forma única (salvo el orden de sus factores):
p( x ) = a0 ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn ) .
156
polinomio
a0 ≠ 0 , se
MATEMÁTICA BÁSICA II
RELACION ENTRE LAS RAICES Y LOS COEFICIENTES DE UN
POLINOMIO
Consideramos el polinomio p( x) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , si r , s son las raíces,
b
⎧
⎪⎪r + s = − a
la relación de raíces y coeficientes de p ( x) están dados por ⎨
⎪ rs = c
⎪⎩
a
⎧ r + s = −b
y si a = 1 ⎨
⎩ rs = c
Si p( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 tiene por raíces r,s,t , entonces
b
⎧
⎪ r + s+t = − a
⎪
c
⎪
⎨ rs + rt + st =
a
⎪
d
⎪
rst = −
⎪
a
⎩
⎧ r + s + t = −b
⎪
y si el polinomio es mónico ⎨ rs + rt + st = c ,
⎪
rst = − d
⎩
Así, se generaliza
y
si
r1 , r2 , r3 , ... , rn se tiene:
n
∑r = r + r
i =1
1
i
n
∑rr
i< j
i j
2
+ ... + rn = −b1
p ( x)
es un polinomio
con n-raíces
, suma de raíces.
= r 1 r2 + r2 r3 + ...rn −1rn = b2 ; suma de los productos de las raíces de dos en
dos
n
∑ rr r
i< j <k
i j k
= r1r2 r3 + rn −1rn = −b3 ; suma de los productos de las raíces de tres en tres
r1r2 r3 ...rn = (−1) n bn , producto de todas las raíces
Esta relación de raíces y coeficientes se cumplen también para ecuaciones.
Observaciones:
1.Dados los polinomios p( x ) = x 2 − 9 ,
Z [ x ] vemos que sus raíces
q( x ) = x 2 − 3 , h( x ) = x 2 + 3 en
±3 , ± 3 ,
respectivamente.
157
± 3 i están en Z , R , C
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
Las raíces de un polinomio p( x ) ∈ k [ x ] no siempre están en k , salvo
cuando k = C (Al respecto ver Teorema Fundamental del álgebra,
establecido por J. R .D’ Alambert entre 1717 y 1789).
Teorema.- Dado p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an ∈ Z [ x ] .Si r ∈ Z es una
raíz de p( x ) , entonces r|an (r divide a an ) .
r
, donde r , s ∈ Z primos entre sí, es una
s
polinomio p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an ∈ Z [ x ] , an > 0
Teorema.- Si un número racional
raíz de un
verifica que r|an y s |a0 .
Corolario.-Si p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an ∈ Q [ x ] tiene una raíz de la
forma a + b r con a ,r ∈ Q , pero
de p( x ) .
r ∉ Q , entonces a − b r es una raíz
Teorema.- Un número λ ∈ C es una raíz de multiplicidad n ∈ N de p( x ) , si
p( x ) = ( x − λ ) n h( x ) cuando h( λ ) ≠ 0.
Teorema.- Si λ ∈ C es una raíz de p( x ) ∈ R [ x ] , entonces λ ∈ C también es
una raíz de p( x ) .
Ejemplos:
1.-
Si las raíces del polinomio p ( x) = x 3 + 6 x 2 − 13 x − 42, están en progresión
aritmética. Hallar la suma de sus raíces negativas.
Solución
Las raíces de p( x) serán a − r , a, a + r
⎧ ( a − r ) + a + ( a + r ) = −6
⎪
⎨ ( a − r ) a + a ( a + r ) + (a − r )(a + r ) = −13
⎪
( a − r ) a (a + r ) = 42
⎩
De (1) se tiene a = −2 en (2) y r = ±5
Luego las raíces son: -2, -7, 3
La suma de las raíces negativas: -7 + (-2)= -9
158
..................(1)
...................(2)
....................(3)
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
Hallar
el
producto
de
4
3
2
p( x ) = 2 x + 3x − 9 x − 8 x + 12
las
raíces
del
polinomio
Solución
Sean r1 , r2 , r3 y r4 las raíces del polinomio p( x) ; entonces aplicando la
12
relación entre las raíces y los coeficientes se tiene: r1r2 r3r4 = = 6
2
3.-
Si r1 , r2 y r3 ; son las raíces de la ecuación 2 x3 + x 2 − 3x + 2 = 0 , calcular el
1
1
1
valor de: E =
+
+
r1r2 r1r3 r2 r3
Solución
1
⎧
⎪ r1 + r2 + r3 = −
Aplicando la relación entre raíces y coeficientes se tiene ⎨
2
⎪⎩ r1 r2 r3 = −1
1
r1 + r2 + r3 − 2 1
1
1
1
Entonces E =
+
+
=
=
=
r1r2 r1r3 r2 r3
r1r2 r3
−1 2
4.-
Hallar el resto de dividir p( x ) = x17 − x10 + 4 x5 + 10 por q( x ) = x 4 − 2
Solución
x 4 − 2 = 0 ⇒ x 4 = 2 y p( x ) = ( x 4 ) 4 x − ( x 4 ) 2 x 2 + 4( x 4 )x + 10 ⇒
r( x ) = p( 2 ) = 16 x − 12 x 2 + 8 x + 10 = −12 x 2 + 8 x + 10
5.-
Hallar resto de dividir p( x − 10 ) = x 2 + 6 x + 5 por q( x − 4 ) = x + 3
Solución
u = x − 10 ⇒ x = u + 10 ⇒ p( u ) = u 2 + 26u + 165 ⇒
p( x ) = x 2 + 26 x + 165
v = x − ⇒ x = v + 4 ⇒ q( x ) = x + 7 ⇒ x = −7 ⇒ r = p( −7 ) = 32
6.-
Hallar el resto de la división del polinomio
p( x ) = ( x 4 n + x 2 n − 3 )2 n + 2 + ( x 2 n + x n + 1 )( x 2 n − x n + 1 ) + 10 por
q( x ) = x 4 − 2
Solución
x n + 1 = 0 ⇒ x n = −1
⇒ r = p( −1 ) = ( 1 + 1 − 3 )2 n + 2 + ( 1 + 1 + 1 )( 1 − 1 + 1 ) + 10 = 13
159
MATEMÁTICA BÁSICA II
7.-
Si el término independiente de la división p( x ) = ( 2 x + 3 )4 n ( x + 5 ) por
q( x ) = ( x + 1 )( x + 2 ) es 1820 y su residuo es r( x ) = x + 5 .Hallar el valor
de n .
Solución
p( x ) = ( x + 1 )( x + 2 )h( x )x + 5 ⇒ ( 2 x + 3 )4 n ( x + 5 ) =
( x + 1 )( x + 2 )h( x )x + 5 ⇒
Si x = 0 ⇒ ( 3 )4 n ( 5 ) = ( 1 )( 2 )h( 0 ) + 5 ⇒ h( 0 ) =
8. -
5.34 n − 5
3
= 1820 ⇒ n =
2
2
Si p( x ) − p( x − 100 ) = 5 x + 16 , hallar la diferencia de los residuos de
dividir p( u ) por u − 100 y u + 100
Solución
⎧ p( u ) ÷ u − 100 ⇒ r1 = p( 100 )
⎨
⎩ p( u ) ÷ u + 100 ⇒ r2 = p( −100 )
x = 100 ⇒ p( 100 ) − p( 0 ) = 516
Si
x = 0 ⇒ p( 0 ) − p( −100 ) = 16 (2)
Sumando miembro a miembro (1) y (2) tenemos que
r1 − r2 = p( 100 ) − p( −100 ) = 532
9.-
(1)
y
si
Al dividir p( x ) por Q( x ) = ( x + 1 )( x − 2 ) el residuo es r( x ) = 3x + 2 .
Si q( x ) es el cociente al dividir h( x ) = ( x − 1 )( x + 2 ) y q( 2 ) = q( −1 ) ,
hallar el término independiente del residuo.
Solución
p( x ) = ( x + 1 )( x − 2 )q1 ( x ) + 3 x + 2 y
p( x ) = ( x − 1 )( x + 2 )q( x ) + mx + n ⇒
( x + 1 )( x − 2 )q1 ( x ) + 3x + 2 = ( x − 1 )( x + 2 )q( x ) + mx + n ⇒
⎧ x = 2 ⇒ 8 = 4q( 2 ) + 2m + n
⇒ n =2
⎨
⎩ x = 1 ⇒ −1 = −2 q( −1 ) − m + n
10.-
Las raíces de un polinomio de tercer grado están en progresión aritmética,
si su suma es 18 y su producto es 162, hallar la suma de los coeficientes
del polinomio.
Solución
160
MATEMÁTICA BÁSICA II
Sean r1 = x − r ,
r2 = x ,
r3 = x + r ,
luego
tenemos
que
⎧ r1 + r2 + r3 = 18
⇒ x = 6 y r = ±3 ⇒ las raíces son r1 = 3 , r2 = 6 , r3 = 9 ,
⎨
⎩ r1 r2 r3 = 162
por tanto:
p( x ) = a x3 + b x 2 + cx + d = ( x − 3 )( x − 6 )( x − 9 ) =
x3 − 18 x 2 + 99 x − 162 ⇒
p( 1 ) = 1 − 18 + 99 − 162 = −80
11.-
Hallar las raíces del polinomio p( x ) = 24 x3 − 26 x 2 − 73x − 30
Solución
Analizando las cotas superior e inferior:
24
− 26
− 73
− 30
3
72
138
195
____________________________________
24
46
65
165
Entonces p( x ) = ( x − 3 )( 24 x 2 + 46 x + 65 ) + 165
Análogamente
-2 es una cota inferior, por tanto tenemos que
p( x ) = ( x + 2 )( 24 x 2 − 74 x + 75 ) − 180 , luego las raíces racionales
están
comprendidos
en el intervalo < −2 , 3 > , más
aún
5
2
4
p( x ) = ( 2 x + 5 )( 3x + 2 )( 4 x + 3 ) , por consiguiente
, − , − son
2
3
3
las raíces.
12.-
Si p( x ) = x3 + x 2 − 7 x − 3 tiene por raíz r = 1 + 2 , hallar las otras
raíces.
Solución
Por corolario s = 1 − 2 también es una raíz, por tanto
( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2 ) = x 2 − 2 x − 1 divide al polinomio original,
entonces p( x ) = ( x 2 − 2 x − 1 )( x + 3 ) y finalmente las raíces son
1 + 2 , 1 − 2 , −3 .
161
MATEMÁTICA BÁSICA II
13.-
Si p( x ) = x 4 − 3 x3 + 2 x 2 − 19 x + 5 tiene por raíz r = 2 + 3 , hallar las
otras raíces.
Solución
Por corolario s = 2 − 3 es otra raíz, luego p( x ) es divisible por el
producto q( x ) = ⎡⎣ x − ( 2 + 3 )⎤⎦ ⎡⎣ x − ( 2 − 3 )⎤⎦ = x 2 − 4 x + 1 ⇒
p( x ) = x 4 − 3x3 + 2 x 2 − 19 x + 5 = ( x 2 − 4 x + 1 )( x 2 + x + 5 ) ⇒ las
otras
1
19
i , por tanto las
raíces están dados por x 2 + x + 5 = 0 ⇒ x = − ±
2
2
raíces del polinomio son:
1
19
1
19
r = 2 + 3 , s = 2 − 3 ,t = − +
i ,w=− −
i
2
2
2
2
14.-
Hallar todas las raíces racionales de la ecuación
p( x ) = 3x 4 − x3 + 4 x 2 − 20 x − 16 = 0
Solución
Todas las raíces racionales posibles están dados por:
1
2
4
8
16
± 1 , ± , ± 2 , ± , ± 4 , ± , ± 8 , ± , ±16 , ±
3
3
3
3
3
método de Ruffini tenemos que cada uno de ellos :
3
-1
6
4
10
−20
28
−16
16
3
5
14
8
0
-2
-2
-8
3
12
0
3
, probando por
2
−
2
3
1
15
3x 2 + 3x + 12 = 0 ⇒ x 2 + x + 4 = 0 ⇒ x = − ±
i , por tanto las raíces
2
2
son:
2
1
15
1
15
r = 2 , s = − ,t = − +
i ,w=− −
i de los ejercicios
3
2
2
2
2
Observación.- En la solución de los ejercicios, algunos detalles que da
para el estudiante, pues es un tema muy familiar al de educación
secundaria.
162
MATEMÁTICA BÁSICA II
Ecuaciones de tercero y cuarto grados
La teoría de ecuaciones siempre ha sido una tarea difícil pero interesante que
ha mantenido vivo la atención de los matemáticos de todas las generaciones,
pero los de mayor importancia son las de tercer y cuarto grados respectivamente.
Solución de una ecuación de tercer grado
Una ecuación de tercer grado o cúbica tiene la forma x3 + ax 2 + bx + c = 0 ( • )
a
Para eliminar el término cuadrático hacemos la sustitución x = y −
y
3
a
a
a
reemplazando en ( • ) tenemos que ( y − ) 3 + a( y − ) 2 + b( y − ) + c = 0 ⇒
3
3
3
2
3
2
3
a y a
2a y a
ac
y 3 − ay 2 +
− + ay 2 −
+ + cy − + c = 0 ⇒
3
27
3
9
3
2
3
a
2a ac
y 3 + ( c − )y +
− +c =0
3
27 3
Esta ecuación podemos escribir como y 3 + p y + q = 0 ( • • ), llamado ecuación
reducida de ( • ) (donde
p =c−
a2
2a 3 ac
,q=
− + c ). (O de la forma
3
27 3
x3 + p x + q = 0 )
El problema de resolver ( • ) se convierte en solucionar la ecuación ( • • ) y
presentaremos dos soluciones : 1) Debido a Ferro-Tartaglia
, 2) Debido a
F.Vieta (1540-1603)
Solución de Ferro-Tartaglia: Sea x = y + z ⇒ x3 = y 3 + z 3 + 3 yz( y + z ) ,
sustituyendo en ( • • ) tenemos que y 3 + z 3 + ( 3 yz + p )( y + z ) + q = 0
que se
⎧ y 3 + z 3 = −q
p3
verifica si se cumple ⎨
( Δ ) ⇒ y3 z3 = −
⇒ y 3 , z 3 son raíces de
27
⎩ 3 yz = − p
p3
= 0 ( ⊗ ) , ( t = y 3 ∨ t = z 3 ). Esta última ecuación se
la ecuación t 2 + qt −
27
denomina resolvente de la ecuación ( • )
Las soluciones de t 2 + qt −
p3
= 0 están dados por:
27
163
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎧ 3
q
q 2
p 3
⎪ y = − + ( ) +( )
2
2
3
⎪
⎨
⎪ z3 = − q − ( q ) 2 + ( p ) 3
⎪⎩
2
2
3
1
w = ( −1 + 3 i )
2
( ⊕ ).
Haciendo λ = (
Tenemos las soluciones de las ecuaciones:
q
q
p
i)
De y 3 = − + ( ) 2 + ( ) 3
está
2
2
3
q
A= 3 − + λ
2
ii)
De
q
q
p
z3 = − − ( ) 2 + ( )3
2
2
3
q
B=3− −
2
está
dado
dado
q 2
p
) +( )3
2
3
y
por A , A w , Aw 2 donde
por B ,B w , Bw 2 donde
λ
Por tanto las soluciones de ( • • ) están dadas por:
x = y + z = wk A + wr ,0 ≤ k ,r ≤ 2 , pero aquí existen nueve soluciones, sin
p
embargo deben satisfacer la condición ( Δ ) , esto es ( wk A )( wr A ) = − , pero
3
p
vemos que AB = − entonces esta condición se reduce a que wk + r = 1 .
3
Tener presente que w es la raíz de la unidad y satisface 0 ≤ k ,r ≤ 2 .Por tanto las
⎧ x0 = A + B
⎪
soluciones de ( • • ) están dadas por ⎨ x1 = wA + w2 B y se conocen como las
⎪ x = w2 A + wB
⎩ 2
Fórmulas de Girolamo Cardano o simplemente fórmulas de Cardano.
Observación.- Si A = a + b i ⇒ B = a − b i , a ,b ∈ R , luego las raíces de
A + B = −2a
⎧
⎪
x 3 + p x + q = 0 , están dadas por ⎨ wA + wB = −a − b 3
⎪
⎩ wA + wB = a + b 3
164
MATEMÁTICA BÁSICA II
Solución de Francois Vietá: Reemplazando x = y −
p
en x 3 + p x + q = 0 se
3y
p3
= 0 que es una ecuación bicuadrática,
obtiene la ecuación y − q y −
27
q
q
p
q
q
entonces y 3 = − ± ( ) 2 + ( ) 3 = − ± λ , si denotamos A = 3 − + λ ,
2
2
3
2
2
6
3
q
q
q
B = 3 − − λ las raíces de las ecuaciones y 3 = − + λ , y 3 = − − λ son:
2
2
2
A ,wA , wA ; B ,wB ,w B , respectivamente.
Definición.- Si α ,β , γ son raíces de la ecuación x3 + ax 2 + bx + c = 0 entonces
Δ = ( α − β ) 2 ( α − γ ) 2 ( β − γ ) 2 , se denomina discriminante de la ecuación cúbica.
Teorema.- El discriminante
Δ = − 4 p 3 − 27q 2 .
de
x3 + p x + q = 0
está
dado
Ejemplos
1.Resolver x 3 − 6 x + 4 = 0
Solución
q
p
4
−6 3
) = 4 − 8 = −4 , luego tenemos que
λ = ( ) 2 + ( ) 3 = ( )2 + (
2
3
2
3
4
4
A = 3 − + − 4 = 3 −2 + 2 i , B = 3 − − −4λ = 3 −2 − 2 i , pero
2
2
raíces cúbicas de un número complejo ya es familiar y
4
3π
3π
A = 3 − + − 4 = 3 −2 + 2 i = 3 2 2 (cos + i sen ) =
2
12
12
por
las
π
π
2
2
+ i sen ) = 3 2 2 (
+i
) = 1 + i , análogamente
4
4
2
2
−6
4
B = 3 − − −4λ = 3 −2 − 2 i = 1 − i , además AB = −
= 2 se cumple,
2
3
x0 = A + B = 2
⎧
⎪
por tanto las raíces son ⎨ x1 = w( 1 + i ) + w( 1 − i ) = −1 − 3
⎪
⎩ x2 = w( 1 + i ) + w( 1 − i ) = −1 + 3
3
2 2 (cos
165
MATEMÁTICA BÁSICA II
2.-
Resolver x 3 + 3x 2 − 15 x − 47 = 0
Solución
a
x = y − = y −1 ⇒
3
3
( y − 1 ) + 3( y − 1 )2 − 15( y − 1 ) − 47 = 0 ⇒ y 3 − 18 y − 30 = 0 .
q 2
p
) + ( ) 3 = −216 + 225 = 9 ⇒ A = 3 15 + 9 = 3 18 ,
2
3
⎧
y0 = A + B = 3 18 + 3 12
⎪
⎪
B = 3 15 − 9 = 3 12 .Entonces ⎨ y1 = w A + w2 B = 3 18 w + 3 12 w2 es la
⎪
2
2
3
3
⎪⎩ y2 = w A + B w = 18 w + 12 w
1
solución de y 3 − 18 y − 30 = 0 donde w = ( −1 + 3 i ) es la raíz de la
2
3
unidad y finalmente las soluciones de x + 3x 2 − 15 x − 47 = 0 están dadas
por:
Luego λ = (
a
⎧
3
3
⎪ x0 = y0 − 3 = y0 − 1 = 18 + 12 − 1
⎪
a
⎪
2
⎨ x1 = y1 − = y1 − 1 = 3 18w + 3 12 w − 1
3
⎪
a
⎪
2
3
3
⎪ x2 = y2 − 3 = y2 − 1 = 18w + 12 w − 1
⎩
Observación.- Cuando λ < 0 , se conoce como el caso irreducible, por el hecho
de que cualquier intento de resolver por radicales siempre fracasa, entonces se
aplica soluciones trigonométricas que no es tema de esta asignatura.
Solución de una Ecuación de cuarto grado
La solución de una ecuación de cuarto grado (cuártica) x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d = 0
se debe Ludovico Ferrari (1522-1562) quien publica en 1545 en la obra Ars
Magna en la misma obra que Cardano publicó sus fórmulas, posteriormente
Renato Descartes (1596-1650) dio otra solución.
166
MATEMÁTICA BÁSICA II
Aquí expondremos la solución de Ferrari:
x 4 + ax 3 = −bx 2 − cx − d ⇒ x 2 ( x 2 + ax ) = −( bx 2 + cx + d ) , luego completando a
cuadrados;
a2 x2 a2 x2
ax
a2
x 2 ( x 2 + ax ) +
=
− ( bx 2 + cx + d ) ⇒ ( x 2 + )2 = ( − b )x 2 − ( cx + d ) ,
4
4
2
4
ax
y2
tenemos que
sumando a ambos lados la expresión ( x 2 + )y +
2
4
ax
ax
y2
a2
ax
y2
( x 2 + ) 2 + ( x 2 + )y +
= ( − b )x 2 − ( cx + d ) + ( x 2 + )y +
⇒
2
2
4
4
2
4
ax y 2
a2
ay
y2
2
2
( x + + ) = ( − b + y )x + ( − c )x + ( − d ) ( Θ ), como el primer
2 2
4
2
4
miembro es un cuadrado ,el segundo también debe ser cuadrado
ay
a2
y2
⇔ Δ =(
− c ) 2 − 4 ( − b + y )(
− d ) = 0 , desarrollando para y tenemos
2
4
4
una ecuación cúbica y 3 − by 2 + ( ac − 4d )y + ( 4bd − a 2 d − c 2 ) ( : ), llamada
ecuación resolvente de la ecuación x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Si y0 es cualquier raíz de ( Θ ), nos permitirá expresar el segundo miembro de
( Θ ) como el cuadrado perfecto de un polinomio lineal en x .
⎧ 2 ax y0
⎪⎪ x + 2 + 2 = mx + n
ax y 2
2
2
( x + + ) = ( mx + n ) , m ,n ∈ R , entonces ⎨
, la
y
ax
2 2
2
0
⎪ x + + = mx − n
⎪⎩
2 2
solución de estas dos ecuaciones son las cuatro raíces
de la
ecuación x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Ejemplos
1.-
Resolver la ecuación x 4 + 3x3 − 2 x 2 − 10 x − 12 = 0
Solución
Aplicando el método de Ferrari, tenemos
x 4 + 3x3 = 2 x 2 + 10 x + 12 ,
completando cuadrados
9 x2 9 x2
3x 2 17 x 2
4
3
2
2
x + 3x +
=
+ 2 x + 10 x + 12 ⇒ ( x + ) =
+ 10 x + 12 ,
4
4
2
4
167
MATEMÁTICA BÁSICA II
sumando
la
expresión
( x2 +
3x
y2
)y +
2
4
a
ambos
miembros
obtenemos
3x
3x
y2
3x
y 2 17 x 2
( x 2 + )2 +(x 2 +
) y+
)y+ +
= (x 2 +
+ 10 x + 12 ⇒
2
2
4
2
4
4
3x y
17
3y
y2
( x 2 + + )2 = ( y + )x 2 + (
+ 10 )x + + 12 ( ∇ ) , igualando a
2 2
4
2
4
cero
el
discriminante
del
segundo
2
3y
17 y
+ 10 ) 2 − 4( y + )( + 12 ) = 0 obtenemos la ecuación
miembro Δ = (
2
4
4
3
2
cúbica y + 2 y + 18 y + 104 = 0 y y0 = −4 es una raíz, entonces la
3x
1
x
ecuación ( ∇ ) se reduce a ( x 2 + − 2 )2 = x 2 + 4 x + 16 = ( + 4 )2 ⇒
2
4
2
de aquí obtenemos las ecuaciones:
x
⎧ 2 3x
⎪⎪ x + 2 − 2 = 2 + 4
⎧ x2 + x − 6 = 0
⇔
, cuyas raíces son:
⎨
⎨ 2
3
x
x
x
2
x
2
0
+
+
=
2
⎩
⎪ x + −2 = − −4
⎪⎩
2
2
x0 = 2 , x1 = −3 , x2 = −1 + i x3 = −1 − i y
ecuación original.
2.-
son las cuatro raíces de la
Resolver la ecuación x 4 − x3 + x 2 − x + 1 = 0
Solución
x2 x2
x 2
3x 2
4
3
2
4
3
2
2
x − x = −x + x −1 ⇒ x − x + = − x + x −1 ⇒ ( x − ) = −
+ x −1
4
4
2
4
x
y2
tenemos que
Sumando a ambos miembros la cantidad ( x 2 − )y +
2
4
x
x
y2
x
y 2 3x 2
( x 2 − )2 + ( x 2 − )y +
= ( x 2 − )y + −
+ x − 1 , análogamente
2
2
4
2
4
4
que en el Ejemplo (1), simplificando e igualando el discriminante a cero,
obtenemos la ecuación resolvente y 3 − y 2 − 3 y + 2 = 0 que tiene por raíz
y0 = 2 y reemplazando en la fórmula que se ha deducido obtenemos
x
5
( x 2 − + 1 )2 = x 2 , la cual origina las ecuaciones:
2
4
168
MATEMÁTICA BÁSICA II
⎧ 2 x
5
x
2
⎪ x − +1 =
⎪
⎪⎧ 2 x + ( 1 + 5 )x + 2 = 0
2
2
⇔⎨
, cuyas raíces están
⎨
2
⎪ x2 − x + 1 = − 5 x
⎩⎪ 2 x − ( 1 − 5 )x + 2 = 0
⎪⎩
2
2
dados por:
1
1
x0 = ( 1 + 5 + −10 + 2 5 ) , x1 = ( 1 + 5 − −10 + 2 5 ) ,
4
4
1
1
x2 = ( 1 − 5 + −10 − 2 5 ) ,
x3 = ( 1 − 5 − −10 − 2 5 ) .
4
4
Obviamente son raíces complejas (interpretar).
3.-
Como ejercicio , los ejemplos (1) y (2) resolver con el método de Renato
Descartes.
Problemas propuestos
1.-
Dado el polinomio p( x ) = x 4 − 9 x 3 + 27 x 2 − 26 x + 8 , hallar el valor
numérico en x = 2 + 3
2.-
Al dividir
p( x ) = 3ax 4 + a( 10 − 3a )x 3 + ( b − a 2 )x 2 + ( 3a 2 + 3b − ab )x + 20 por
Q( x ) = x − a + 3 , el resto es 2 . Si la suma de los coeficientes del
cociente es 24 , hallar el valor de a 3 + 6b .
3.-
λ es un cero del polinomio p( x ) = x 3 + 7 x 2 + γx − 21 , hallar el
El
valor λ + 7 γ .
4.-
Si r , s , t son raíces de p( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3 i x − 2 , calcular r 2 + s 2 + t 2
5.-
Si
r = 1 + 2 ,s = 1 + i son raíces de p( x ) ∈ Q [ x ] , hallar el término
independiente del polinomio mónico de menor grado.
6.-
Si p( x ) = ax n +1 + bx n + 1 es divisible por q( x ) = ( x − 1 ) 2 , hallar los
valores de a y b
7.-
para que el
Hallar los valores de λ y μ
4
3
2
p( x ) = x + λx + μx + 12 x + 4 sea un cuadrado perfecto.
169
polinomio
MATEMÁTICA BÁSICA II
8.-
Descomponer p( x ) = x 6 − 2 x5 + 7 x 4 − 2 x3 + 7 x 2 − 2 x + 6 en C , sabiendo
que r = 1 + 5 i es una raíz.
9.-
Si la suma de dos raíces de la ecuación p( x ) = x 4 + λx3 + μx 2 + τ x + ω = 0
es igual a la suma de las otras dos raíces ,verificar que sus coeficientes
satisfacen la relación λ 3 − 4λμ + 8τ = 0 .
Las ecuaciones de este tipo se resuelven mediante la sustitución
λ
x= y− ,
como
una
aplicación
resolver
la
ecuación
4
p( x ) = x 4 + 4 x3 + 2 x 2 − 4 x − 2 = 0 .
10.-
Sin la ayuda de la tecnología moderna, hallar todas las raíces de la
ecuación
x 4 + x3 + x 2 + x + 1 = 0 , luego encuentre una fórmula de
recurrencia para resolver x n + x n −1 + x n − 2 + ... + x + 1 = 0
11.-
Resolver las siguientes ecuaciones, sabiendo que r , s son raíces:
1
i) 4 x 4 − 15 x 2 − 3 x + 7 = 0 ,r = − 2
2
3
2
ii) 2 x − 3x − 44 − 60 = 0 , r = 2 + 3 2
iii) x 6 + x 5 − 4 x 4 − 6 x3 + 3 x 2 + 9 x + 9 = 0 , r = 3 es raíz doble
iv) 3x 5 − 20 x 4 + 62 x 2 − 51x + 10 = 0 , r = 2 − 3 , s = 1 − 6
12.-
Hallar los números reales m , n tal que r = 1 + i es una raíz de la ecuación
x 5 + mx3 + n = 0
13.-
Si la ecuación x 5 − 55 x + λ = 0 tiene dos raíces mutuamente reciprocas,
hallar dichas raíces y el valor de λ .
14.-
Resolver las siguientes ecuaciones
desarrollado:
iv)
i) x 3 + 12 x + 12 = 0
3
ii) x + 3 px − 2q = 0 , p > 0
v)
3
2
vi)
iii) x + 6 x + 6 x − 10 = 0
15.-
cúbicas, siguiendo el método
x 3 − 3x 2 + 2 x + 2 = 0
x 3 + 30 x + 15 = 0
x 3 − 3x 2 − 18 x − 36 = 0
Aplicando el método trigonométrico, resolver las siguientes ecuaciones:
iii) x 3 + 3x + 2 i = 0
i) x 3 − 12 x + 8 = 0
iv) x 3 + x 2 − 4 x + 1 = 0
ii) x 3 − 9 x + 9 = 0
170
MATEMÁTICA BÁSICA II
16.-
Aplicando el método de Ludovico Ferrari y de Renato Descartes, resolver
las siguientes ecuaciones:
i) x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0
iv) x 4 − 37 x 2 + 18 x − 2 = 0
v) x 4 + 6 x3 + 8 x 2 + 8 x − 16 = 0
ii) x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 3 = 0
vi) x 4 + x 3 + 5 x 2 + 5 x + 12 = 0
iii) x 4 + 2 x3 − 8 x 2 − 6 x − 1 = 0
Nota.- El siglo XVI marca una época de oro de las matemática en Italiana,
gracias a los grandes matemáticos de ese entonces:
Scipiane del Ferro
Niccola Tartaglia
Girolamo Cardano
Ludovico Ferrari
Francois Vietá
(1465 - ….)
(1500 -1557)
(1501 -1576)
(1522 -1562)
(1540 -1603)
y otros matemáticos más, quienes resolvieron las ecuaciones de tercer
y cuarto grados.
171
MATEMÁTICA BÁSICA II
172
MATEMÁTICA BÁSICA II
BIBLIOGRAFÍA
1. SEYMUR LIPSCHUTZ: Algebra Lineal. Ed. Mc Graw-Hill.
2. MINA S. DE CARAKUSHANSKY: Algebra Lineal. Ed. Mc Graw-Hill.
3. BEN NOBLE JAMES W.: Algebra Lineal Aplicada. Ed. P.H.H.
4. HAASE LA SALLE SULLIVAN: Análisis Matemático V-I. Ed. Trillas.
5. JAMES STEWART: Cálculo Multivariable. I. Thomson Editores.
6. VÍCTOR CÓRDOVA: Planos y Rectas.
7. CARLOS CHÁVEZ V.: Notas de Algebra. UNMSM.
8. J. WILLIAMS: Algebra de Números Complejos. Ed. Trillas.
9. MURRAY R. SPIEGEL: Variable Compleja. Mc Graw-Hill.
10. FÉLIX CUROTTO A.: Complemento de Matemática. UNMSM.
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