la recta

U NI DAD 3
ESPACIO BIDIMENSIONAL: LA RECTA
Objetivos
Geometría analítica
Introducción
U
3.1. Definición de recta
91
Dos puntos sólo pueden ser unidos por una sola recta y la relación matemática
que satisface la unión de estos se llama ecuación de la recta.
x= y
x= –y
y = 0.
x = 0.
k y= k
h x= h
Ejemplo 1
A
B
x y
Solución
A
B
.
3.2. Ángulo de inclinación de una recta
92
Geometría analítica
Inclinación de una recta
Es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje X. Se mide a partir
del eje X en el sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj y los
valores son de 0 a 180 como se aprecia en la figura 3.1.
Y
L2
L
y
y
O
(x,
x
X
La inclinación de la recta L1 se representa por el ángulo ; asimismo, la
inclinación de la recta L2 es el ángulo .
=
L2
L
93
Ejemplo 2
A
B
Solución
=
3.3. Pendiente de una recta
La pendiente de una recta
el valor de la tangente del ángulo
de inclinación
pendiente es positiva
pendiente es negativa
Pendiente de una recta que pasa por dos puntos
Sean A(x1, y1) y B(x2, y2), puntos de la recta L , si desde A trazamos una línea
recta paralela al eje X e igualmente desde B una paralela al eje Y, se forma el
triángulo ABC. La inclinación de la recta AB es el ángulo y éste es igual al
ángulo CAB, como se observa en la figura 3.2.
L
Y
(x2 y2
y2
y

(x y
x
x2
Entonces, por la definición de pendiente se tiene que la pendiente de:
94
X
Geometría analítica
La pendiente de una recta, llamada también por algunos autores coeficiente
angular de la recta, se suele representar por la letra m. Así, se tiene la siguiente
fórmula:
Significa que la pendiente de la recta que pasa por dos puntos es igual a la
diferencia de ordenadas dividida entre la diferencia de abscisas, tomadas en el mismo
orden.
y2 – y
m
x2 – x
m
Ejemplo 3
A
C
B
D
Solución
B
A
A
m
m
B
m
m
95
AB
AB
CD
CD
3.4. Ecuación punto-pendiente de una recta
el origen
m
m
La ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene pendiente m, se
puede obtener de una manera sencilla, considerando la figura 3.3, en donde si
A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), son puntos de la recta AB, los triángulos AOA’, BOB’
y COC’ son semejantes; entonces se tiene que:
Y
O
96
X
Geometría analítica
, entonces
, es decir:
para cualquier punto P(x, y) de la recta AB se verifica que:
Así, la ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m
es y = mx.
Ahora bien, para la obtención de la ecuación de la recta que pasa por un punto
y tiene una pendiente dada, se considerará que A(x1, y1) es un punto de la recta y
m1 su pendiente. Si P (x, y) es un punto cualquiera de la recta, por definición de
pendiente se tendrá la ecuación:
; por lo tanto
que es la ecuación buscada.
A esta ecuación se le suele llamar forma ordinaria de la ecuación de la recta o
ecuación punto-pendiente.
Ejemplo 4
A
Solución
y = 2x
y =mx
x
m
y
97
x
y
Ejemplo 5
A
Solución
A (x , y
B
B (x2, y2
,
AB
m
AB y
=
x
x
y
3.5. Ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta
y =mx
Se llama ordenada al origen de una recta, al valor de la ordenada en el punto
de intersección de la recta con el eje Y. Se representa por la letra b. Para obtener
la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b se procederá
como sigue:
98
Geometría analítica
Y
L2
L
b
X
0
Considerando la figura 3.4 se tiene que la recta L1, cuya ecuación es y= mx
pasa por el origen y es paralela a L2, de lo que si la pendiente de L1 es m la de L2,
también lo es.
Analizando ahora la relación que hay entre las coordenadas de los puntos
correspondientes A y A’, B y B’ sobre ambas rectas, se tiene que:
Las abscisas son las mismas para las dos parejas de puntos, esto es, la abscisa de
A es la misma que la de A’, la abscisa de B es la misma que la de B’. Las ordenadas
de los puntos A, B, de la recta L2 son iguales a las de los puntos correspondientes
A’, B’, de la recta L1 aumentadassiempre en la misma cantidad b, que esla ordenada
en el origen de la recta L2, es decir:
La ordenada de A = ordenada de A’ + b.
La ordenada de B = ordenada de B’ + b.
De una manera general, para un punto cualquiera P(x, y) de la recta L2 se
tendrá que:
ordenada de P = ordenada P’ + b
Por lo tanto, la ordenada al origen de la recta L1, cuya ecuación es y = mx, tiene
valor cero; asimismo, la ordenada al origen de la recta L2 tiene el valor b, por lo
que concluimos que la ecuación es y = mx + b.
Esta relación entre las coordenadas (x, y) de un punto cualquiera de la recta
L2, su pendiente m y su ordenada en el origen b es la ecuación de la recta, se suele
llamar forma tangencial o abreviada de la ecuación de la recta.
99
Ejemplo 6
Solución
y= x+ 2
=
y= x
y = –x +
Ejercicio 1
1.
2.
3.
4.
5.
100
x
x
y
y
Geometría analítica
3.6. Ecuación simétrica de una recta
-
Ecuación simétrica es aquella que está determinada en función de los
segmentos a y b, en magnitud y signo, los que determinan las intersecciones sobre
los ejes de las coordenadas. Como se aprecia en la figura 3.5, la ecuación de la
recta que pasa por los puntos A y B se obtiene utilizando la ecuación puntopendiente, esto es:
Y
B
b
b
(a
X
a
0
esto es, –ay = bx – ab, trasponiendo términos y
dividiendo por ab, resulta
, es la ecuación simétrica de la recta que
pasa por los puntos A y B.
Ejemplo 7
101
Solución
a
b
3.7. Ecuación general de una recta
La ecuación general de primer grado con dos variables es de la forma:
A x + By + C = 0
Si alguno de los coeficientes es igual a cero, se tienen los casos siguientes:
A = 0, C = 0 y B no es igual a cero, la ecuación es de la forma
By = 0, equivale a y = 0, que representa al eje X.
B = 0, C = 0 y A no es igual a cero, la ecuación es de la forma
Ax = 0, equivale a x = 0, que representa al eje Y.
A = 0 y B y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma
By + C = 0; esto es y = –C/B, que representa una recta paralela al
eje X a la distancia –C/B.
B = 0 y A y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma
Ax + C = 0; esto es, x = –C/A, que representa una recta paralela
al eje Y a la distancia –C/A.
102
Geometría analítica
C = 0 y A y B no son cero, la ecuación es de la forma Ax + By = 0;
esto es, y = –Ax/B, que representa una recta que pasa por el origen y tiene de
pendiente –A/B.
En resumen, cualesquiera que sean los valores de A, B y C, con A y B diferentes
de cero, una ecuación de la forma:
Ax + By + C = 0
representa una recta. A esta ecuación se le llama forma general de la ecuación de
la recta.
A B
C
B
y
y = mx + b
C/B
A/B
Ejemplo 8
x=0
x
x
y=0
x y
Solución
x
x
y
y
103
Ejemplo 9
Solución
general
Ax + By + C =
forma
x
x
y
y
y
NOTA
B
y
B
x
B
3.8. Distancia de un punto a una recta
forma normal
Forma normal de la ecuación de la recta
Es aquella que viene determinada en función de la distancia (d) del origen a la
recta y del ángulo , que es el ángulo formado por el segmento d con la dirección
positiva del eje X, como se muestra en la figura 3.6.
104
Geometría analítica
Y
b
d
X
0
a
AB
AOP
BOP
Sustituyendo estos valores en la ecuación simétrica anterior, resulta:
, entonces la ecuación normal de la recta es:
x
+y
=d
Ax + By +C
d
Ax + By +C
x
+y
d
dk = C
(*)
105
k2
2
x
+y
2
=d
d
x
d
Ax + By + C
2
106
2
Geometría analítica
Ejemplo 10
x + 4y
x y
Solución
d
x
y
d
x
y
P(x y
Ax + By + C
P
Ax + By + C
2
2
107
en valor absoluto,
Ax + By + C
P(x y
Ax + By + C
C
Ax
By
d
x
x
108
y
y
Geometría analítica
Ejemplo 11
O
P
Q
x + 4y
Solución
O
d
P
d=
Q
d=
3.9. Intersección de rectas
intersección
Ecuación de todas las rectas que pasan por un punto dado A (x1, y1)
Se denomina haz de rectas a la familia de rectas que pasan por el punto A
y difieren sólo en su pendiente. Si se nombra m a una pendiente cualquiera,
entonces la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto A, con exclusión
de la paralela al eje Y, que no tiene pendiente, es:
A cada valor de m le corresponderá una recta del haz. Asimismo, la ecuación
de la recta que pasa por A y es paralela al eje Y es x = x1, ahora bien, si se conocen
por lo menos dos rectas de esta familia, cómo podremos calcular el punto de
intersección.
Cálculo del punto de intersección de dos rectas. Para hallar el punto de
intersección de las dos rectas.
109
y
Se resuelve el sistema de ecuaciones. Las soluciones del sistema formado por las
ecuaciones de las rectas dan las coordenadas del punto de intersección.
Ejemplo 12
A
x y
Solución
x y
y+
= m (x –
A
y
x
x
x
x
x
x y
x
x
y
x
y
P
3.10. Ángulo entre rectas
ángulo entre dos
rectas
110
Geometría analítica
Ángulo de dos rectas en función de sus pendientes
Sean las rectas L1 y L2, de la figura 3.8, cuya inclinación es
pendientes son m1 y m2, respectivamente.
1
y
2
y cuyas
Consideramos el ángulo , medido de L1 a L2, en dirección contraria de las
manecillas del reloj. se puede calcular en función de las pendientes de L1 y L2,
es decir m1 y m2.
En el triángulo MNP, el ángulo
2
=
1
+ ; por lo tanto =
2
es exterior y consecuentemente:
2
–
1
De la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, resulta:
m
m
mm
Si se quisiera calcular el ángulo ’ de L2 a L1 en dirección contraria de las
manecillas del reloj, la fórmula sería:
m
m
mm
que es igual a tan pero con signo contrario, lo que nos dice que se trata de
ángulos suplementarios, como ya lo habíamos mencionado.
111
Ejemplo 13
A
B
C
A
Solución
AB
A
AC
Y
X
A
A
NOTA
y la fórmula no se puede aplicar
112
Geometría analítica
Ejercicio 2
x
A
y
B
A
x
x
y
x
y
x
y
y
x
y
3.11. Familia de rectas paralelas
Ecuación de todas las rectas paralelas a una recta de pendiente dada
Es la ecuación de la familia de rectas paralelas a una recta dada. Todas estas
rectas se diferencian en la ordenada en el origen. Así, si m1 es la pendiente de la
recta dada y llamamos b a una ordenada al origen cualquiera, tendremos que la
ecuación buscada es:
y = m1 x + b
Ahora bien, cómo saber si dos rectas son paralelas.
La condición de paralelismo de dos rectas es que sus pendientes sean iguales.
Si dos rectas son paralelas, su ángulo es cero y la tangente de cero grados es
también cero. Por lo tanto, en la fórmula:
m
m
mm
el numerador es igual a cero, o sea m1 – m2 = 0, entonces m1 = m2, por lo que si
las pendientes son iguales, las rectas son paralelas.
113
Ejemplo 14
y = 4x –
Solución
y = 4x –
y = 4x + n
3.11.1. Distancia entre rectas paralelas
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera
de una de las rectas y se calcula la distancia de este punto a la otra recta. Si ambas
rectas están en su forma normal, sus ecuaciones solamente se diferencian en sus
distancias d y d’ al origen. La distancia entre las dos rectas será:
| d – d’| o | d + d’|
dependiendo de si lasrectasse encuentran en el mismo cuadrante o en cuadrantes
distintos (el origen se encuentra entre las dos rectas) respectivamente.
Ejemplo 15
x y
Solución
x
x y
x
114
y
y
Geometría analítica
d
d
d
d
d
d d
3.11.2. Ecuación de una recta y es paralela a otra que pasa por un
punto dado
Ejemplo 16
A
x–y
Solución
y – y = m (x – x
A
x = 3, y = – m =
y
m (x
x y
y+
= (x
y= x–
.
115
3.12. Familia de rectas perpendiculares
Condición de perpendicularidad entre rectas
Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo entre ellas es de 90 y la tangente
de 90 no existe, pero la cotangente es igual a cero.
Entonces, para que:
mm
sea igual a cero se debe cumplir que:
m m
mm
, por lo que m
m
, o también m m
.
Así dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son negativamente recíprocas,
es decir, si su producto es igual a –1.
Entonces, una familia de rectas perpendiculares es la que todas sus rectas
forman un ángulo de 90°con una recta dada, sus pen dientes son negativamente
recíprocas y su producto es igual a –1.
Ejemplo 17
l
A
B
D
Solución
AB
AB
116
CD
CD
l2
C
Geometría analítica
3.12.1. Ecuación de una recta perpendicular a otra que pasa por un
punto determinado
Ejemplo 18
P
x
y
Solución:
P
x + 9y – =
3.13. Representación de regiones en el plano utilizando
desigualdades y rectas
y
x
x
x
x
y
(x
x
x y
x y
y
y
117
y
y
y > mx + b
y = mx + b.
y < mx + b
y = mx + b.
Y
Y
y > mx + b
y = mx + b
X
X
y < mx + b
y = mx + b
y> a
y< a
118
x= a
x= a
Geometría analítica
Ejemplo 19
Solución
x
x
y
x
y
y
y
y
119
Ejercicio 3
A
A
D
Ejercicios resueltos
A
Solución
m
m
120
B
Geometría analítica
2.
AB
A
B
y
B
Solución
y
y
y
y
y
y
y
y
B
3.
Solución
m
b
4.
Solución
y
m
b
121
5.
M2
M
Solución
Ax + By + C
,
y
x
x
A
x
y
B
6.
M
Solución
M
122
y
M2
M2
Geometría analítica
y
x
x
7.
A
x
y
y
y
B
Solución
AB
AB
AC
AC
BC
BC
123
8.
A
Solución
d
d
9.
Solución
0
x y
124
Geometría analítica
10.
A
B
C
Solución
AB
AB
m
AC
AC
m
BC
BC
m
AB
m
m
m
AC
m2
m
mm
m
mm
125
11.
P
C
O
Solución:
CO
m
P
CO
P
CO
12.
Solución
m,
m
m2
m
m
126
Geometría analítica
m
13.
Solución
d
A
u
d2
u
127
d
d
14.
A
B
C
Solución
m
x
y
15.
x– y=
A
Solución
128
D
Geometría analítica
AD
m
m
x
y
16.
0
Solución
L
Q
L2
0
L
L L2
L2 L
R
P
L
L
L
L2
L
L2
L
129
PQR
P Q
130
PR QR
Geometría analítica
Autoevaluación
1.
x y
x y=0
x y=0
x y=0
2.
3.
4.
131
5.
B
C
O
x
y
x +2y
x +2y
x y
6.
P
A
B
x y
x y
x
y=0
x
y
7.
A
B
A
C
8.
9.
132
B
C
Geometría analítica
10.
4x
d
y
x
y
d
d
d
d
Ejercicios opcionales
1.
M
M2
M
2.
P
Q
3.
M
M2
N
M
4.
A
5.
A
133
Geometría analítica
Respuestas a los ejercicios
1
m= –
b= 2
2
x
y
x + 2y
d=4
P
3
x
y
b
Respuestas a la autoevaluación
135
Respuestas a los ejercicios opcionales
x
M
A
136