Mathcad - Apendice5vectores - ing. jose cruz toledo matus

Apéndice V
Ing. José Cruz Toledo M.
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Vectores tridimensionales
En este apéndice se presenta un
resúmen de las relaciones vectoriales
que son referenciados en este libro.
(ax,ay,az)
ay(j)
|a|
ay
ax(i)
Simbología (Ver Fig. V-1):
az(k)
ax
→
a = ( ax ⋅ i + ay⋅ j + az ⋅ k)
c
az
→
b = ( bx ⋅ i + by⋅ j + bz ⋅ k)
Fig. V-1
Donde:
→ →
a b
son cantidades vectoriales
( ax , ay , az)
son las coordenadas en los ejes "X", "Y" y "Z"
( i , j , k)
son los vectores unitarios en los ejes "X", "Y" y "Z"
→
a
es la magnitud del vector.
Vectores unitarios:
ax
i=→
a
ay
j=→
a
az
k=→
a
Magnitud del vector:
1.- Primero, calcular "c" trigonométricamente:
c 2 = ax 2 + az 2
2.- Luego, calcular trigonométricamente.
→
a =
c 2 + ay2
3.- Al último, Sustituyendo "c":
→
a =
ax 2 + az 2 + ay2
Ángulos respecto a los ejes:
Respecto al eje "X": θx
ax
Cos ( θx) = → = i
a
Respecto al eje "Y": θy
ay
Cos ( θy) = → = j
a
Respecto al eje "Z": θz
az
Cos ( θz) = → = k
a
Coordenadas del vector:
→
ax = a ⋅ Cos ( θx)
→
ay = a ⋅ Cos ( θy)
→
az = a ⋅ Cos ( θz)
Suma y resta de vectores
Se suman o se restan las coordenadas que se encuentran en el mismo eje:
→ →
a + b = ( ax ⋅ i + ay⋅ j + az ⋅ k) + ( bx ⋅ i + by⋅ j + bz ⋅ k)
Coordenada en el eje "X":
(i):
ax + bx
Coordenada en el eje "Y":
(j):
ay + by
Coordenada en el eje "Z":
(k):
az + bz
→ →
a + b = ( ax + bx) ⋅ i + ( ay + by) ⋅ j + ( az + bz) k
Además si:
→ → →
c= a+b
( ax + bx) = cx
( ay + by) = cy
( az + bz) = cz
→
c = cx ⋅ i + cy⋅ j + cz ⋅ k
Multiplicación de vectores
→→
A) Producto Punto (Producto escalar): a ⋅ b
→ →
B) Producto Cruz (Producto vectorial): a × b
A) Producto Punto (Producto escalar).- El resultado que se obtiene de
este producto es un valor escalar.
La operación se puede
efectuar a partir de los datos
disponibles de los vectores:
→
b
θab
→
a
1.- Conociendo las 2 magnitudes y el
ángulo (θab) entre los dos vectores, se
puede usar la siguiente expresión:
Fig. V-2
→→ → →
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ Cos ( θab)
Donde:
→
b ⋅ Cos ( θab)
(
)
Es el componente del vector (b) en la dirección del vector (a); o sea la
proyección de uno de los vectores sobre el otro. El resultado escalar que se
obtiene tendrá su signo según el valor del ángulo (θab). Ver. Fig. V-2.
Si:
θab <
Si:
θab >
Si:
θab =
π
2
π
2
π
2
El resultado es positivo
π=
180o
El resultado es negativo
El resultado es cero
2.- Conociendo las coordenadas (ax,ay,az), (bx,by,bz) de los vectores (a)
y (b) respectivamente, se puede usar la siguiente expresión:
→→
a ⋅ b = ( ax ⋅ i + ay⋅ j + az ⋅ k) ⋅ ( bx ⋅ i + by⋅ j + bz ⋅ k)
Desarrollando el producto y aplicando las reglas de los vectores unitarios
siguientes:
i ⋅i =
1
i⋅ j = 0
i ⋅k = 0
j⋅ j =
k⋅k =
1
j⋅ j = 0
j ⋅k = 0
1
k⋅ j = 0
k⋅k = 0
Se obtiene:
→→
a ⋅ b = ( ax ⋅ bx) + ( ay⋅ by) + ( az ⋅ bz)
Además debe observarse la aplicación de las siguientes propiedades:
Conmutativa:
→→ →→
a⋅b = b⋅a
Distributiva:
→ → → →→ →→
a⋅ b + c = a⋅b + a⋅c
No Asociativa:
→ →→
→→ →
a⋅ b⋅c ≠ a⋅b ⋅c
(
)
( ) ( )
Aplicaciones:
Tiene su aplicación en el desarrollo de las siguientes magnitudes físicas:
Trabajo (W).- Es el producto punto de dos vectores: Fuerza (F) y
desplazamiento (dS) en la dirección del movimiento:
→ →

→ →

W = F ⋅ dS = dS ⋅ F ⋅ Cos ( θ)
Gasto volumétrico (Q).- Es el producto punto de dos vectores:
Elemento de área (dA) y velocidad de flujo (v) en la dirección del
movimiento:

→→ → 
→
Q = dA⋅ v = v ⋅ dA ⋅ Cos ( θ)
B) Producto Cruz (Producto vectorial).- El resultado que se obtiene de este
producto es otro vector, perpendicular al plano de los vectores multiplicandos, y su
sentido se determina con la regla de la mano derecha.
La operación se puede efectuar a partir de los datos disponibles de los
vectores:
1.- Conociendo las magnitudes de los vectores (a) y (b) y el ángulo (θab)
entre los dos vectores, se puede usar la siguiente expresión:
→ → → →
a × b = a ⋅ b ⋅ Sen ( θab)
Donde:
→
b ⋅ Sen ( θab)
Es el componente del vector ( b) en la dirección del vector (a); o sea la
proyección de uno de los vectores sobre el otro. El resultado es otro vector
perpendicular al plano de los vectores multiplicandos y su sentido se determina
con la regla de la mano derecha.
π
Si:
θab =
Si:
θab = π
2
π=
El resultado es cero
180o
El resultado es cero
O sea que el resultado es cero cuando los vectores son colineales.
2.- Conociendo las coordenadas (ax,ay,az), (bx,by,bz) de los vectores (a) y (b)
respectivamente, se puede usar la siguiente expresión:
→ →
a × b = ( ax ⋅ i + ay⋅ j + az ⋅ k) × ( bx ⋅ i + by⋅ j + bz ⋅ k)
Desarrollando el producto y aplicando las reglas de los vectores unitarios
siguientes (Ver. Fig. V-3):
i× j =
( k)
j × i = ( − k)
j×k = i
k×i = j
k × j = ( −i )
k × j = ( − j)
j
i
k
i×i =
0
j× j =
k×k =
0
0
Se obtiene:
→→
a ⋅ b = ( ax ⋅ bx) ⋅ i × i + ( ax ⋅ by) ⋅ i × j + ( ax ⋅ bz) ⋅ i × k + .
Fig. V-3
( ay⋅ bx) ⋅ j ⋅ i + ( ay⋅ by) ⋅ j ⋅ j + ( ay⋅ bz) ⋅ j ⋅ k + .
( az ⋅ bx) ⋅ k ⋅ i + ( az ⋅ by) ⋅ k ⋅ j + ( az ⋅ by) ⋅ k ⋅ k
Simplificando:
→→
a ⋅ b = ( ax ⋅ by) ⋅ ( k) + ( ax ⋅ bz) ⋅ ( − j) + ( ay⋅ bx) ⋅ ( −k) + ( ay⋅ bz) ⋅ ( i) + .
( az ⋅ bx) ⋅ ( j) + ( az ⋅ by) ⋅ ( −i)
Agrupando o sumando los del mismo eje:
Coordenada en el eje "X":
(i):
ay⋅ bz − az ⋅ by
Coordenada en el eje "Y":
(j):
az ⋅ bx − ax ⋅ bz
Coordenada en el eje "Z":
(k):
ax ⋅ by − ay⋅ bx
Finalmente:
→→
a ⋅ b = ( ay⋅ bz − az ⋅ by) ⋅ i + ( az ⋅ bx − ax ⋅ bz) ⋅ j + ( ax ⋅ by − ay⋅ bx) ⋅ k
También se puede obtener el producto cruz por el método de determinantes:
i j k 
→ → 
a × b =  ax ay az 


bx
by
bz


Se obtiene el mismo resultado:
→→
a ⋅ b = ( ay⋅ bz − az ⋅ by) ⋅ i + ( az ⋅ bx − ax ⋅ bz) ⋅ j + ( ax ⋅ by − ay⋅ bx) ⋅ k
Además, cualquiera que sea el método de multiplicación, debe observarse la
aplicación de las siguientes propiedades:
→ → → →
a×b ≠ b×a
No Conmutativa:
Distributiva:
→ → → → → → →
a× b+c = a×b+a×c
No Asociativa:
→ → →
→ → →
a× b×c ≠ a×b ×c
(
(
)
) (
)
Aplicación:
Tiene su aplicación en el desarrollo de la siguiente magnitud física:
Momento de fuerza (Mo).- Es el producto cruz de dos vectores: vector
fuerza (F) y vector de posición (r):
→→ → →
Mo = F × r = r ⋅ F ⋅ Sen ( θ)
*