Medición e incerteza

Medición e incerteza
El proceso de medición
La ciencia tuvo sus comienzos en el siglo XVII con los trabajos de Galileo
Galilei. Este físico italiano fue el primero en aplicar el método experimental en
la ciencia, de hecho podemos decir que antes de Galileo no había ciencia en
el sentido actual de la palabra.
El problema consistía en que no había verificación experimental del
conocimiento científico. Por ejemplo Aristóteles, el gran filósofo griego, decía
que si se sueltan dos cuerpos de diferente peso y a la misma altura, el más
pesado cae mas rápido y llega primero al suelo. Galileo demostró que eso era
falso con solo dejar caer dos cuerpos y verificar que eso no se cumplía.
Si un conocimiento quiere ser aceptado como científico debe ser verificado
por un experimento. Son estos últimos los que ayudan a tener confianza
sobre nuestras teorías sobre el mundo en que vivimos.
El proceso de medición es básicamente una comparación entre lo que
medimos y un patrón que aceptamos como referencia. Por ejemplo si
queremos medir el ancho y largo de este libro usamos una regla que este
graduada en un sistema de medida. Por lo general los mas usados son el
sistema inglés y el sistema internacional de unidades (SI). Si esta graduada
en el sistema inglés es posible que sean pulgadas y si es en el sistema
internacional en metros o en múltiplos de este.
Todos los objetos y fenómenos físicos tienen ciertas propiedades objetivas.
Estas pueden ser cualitativas o cuantitativas. Las propiedades cualitativas son
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aquellas que no pueden ser medidas o cuantificadas en algún sistema de
medición. Por ejemplo, el color de un cuerpo no puede ser cuantificada, ya
que ésta depende de
nuestro sentido de la vista. Otras propiedades
cualitativas son: la textura, sabor, tamaño, el olor, etc.
Las propiedades cuantitativas son aquellas que tienen asociados un valor y
una unidad. Por ejemplo al decir que la masa de un cuerpo es de 1.50 kg le
estamos asociando un número (1.50) y una unidad de medida (kg). Las
propiedades cuantitativas se denominan magnitudes físicas.
Constituyen
ejemplos de magnitudes físicas, la masa, la longitud, el tiempo, etc.
Ahora podemos precisar mas en que consiste el proceso de medición. Lo
que se mide en el laboratorio son magnitudes físicas y medir consiste en
comparar una magnitud física con otra de la misma naturaleza, la cual se
tiene como unidad de medida. Una vez que una magnitud física ha tomado un
valor concreto se denomina cantidad física. Por ejemplo si decimos que un
cuerpo tiene una longitud de 2.3 m entonces la cantidad física es 2.3, pero
aun queda otra parte importante en la medida la cual es la unidad.
La unidad es la cantidad que se toma como término de comparación para
medir una magnitud física. Para poder reproducir las unidades se necesitan
definiciones precisas u objetos que la materialicen. Por ejemplo la unidad de
tiempo es el segundo el cual se define en el
Sistema Internacional de
Unidades como: un segundo es igual a 9.192.631.770 períodos de radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs). Diferente es el
kilogramo patrón el cual no es una definición sino un objeto que es guardado
en Francia.
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Las medidas pueden ser de dos tipos: directa e indirecta. La medida es
directa
cuando se compara la propia cantidad a medir con la unidad
seleccionada. Por ejemplo si medimos el ancho de una pantalla de
computadora con una regla graduada en cm entonces es una medida directa
ya que estamos haciendo la comparación directamente.
La medida es indirecta cuando se encuentra esta midiendo otras cantidades
y a partir de estas mediante el cálculo y el uso de ecuaciones o relaciones
matemáticas. Por ejemplo si queremos encontrar el volumen de una esfera,
primero medimos su diámetro con el instrumento adecuado y después
calculamos el volumen con una fórmula.
El error
Siempre que tomamos una medida es inevitable que esta este acompañada
de un error. Esto es debido a en primer lugar a que siempre que medimos
debemos interactuar con lo que medimos y de esa manera medir es lo mismo
que alterar la magnitud que medimos. Por ejemplo si queremos medir la
temperatura de de un cuerpo se deber poner en contacto el instrumento,
como un termómetro, con el cuerpo por lo que la temperatura del termómetro
afecta el valor final que observamos. En segundo lugar debemos tener en
cuenta que tanto los instrumentos como la persona que mide tiene
imperfecciones que afectaran la medida.
Daremos el nombre de error (E) al valor absoluto de la diferencia entre el
valor verdadero (x) y el valor medido (Χ).
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Como nunca podemos conocer
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cual es el valor verdadero de la medida, el error no se puede conocer, pero si
se pueden saber sus causas y tratar de minimizarlas.
Los errores asociados a las mediciones pueden dividirse en dos grandes
clases:
Error sistemático. Los errores sistemáticos se cometen de una misma manera
cada vez que se mide, es decir, permanecen constantes a través del proceso
de medición. Los errores sistemáticos también son conocidos como errores
corregibles. Esto es debido a que una vez detectados puede reducirse su
influencia hasta hacerla casi despreciable. Un ejemplo de error sistemáticos
sería que el instrumento con que tomemos la medida no este calibrado y de
esa manera siempre que lo utilizamos para medir se comete ese error. Al
calibrarlo el error debido a esta causa desaparece.
Error casual o aleatorio. Este son los errores que se producen al azar y sobre
los que no tenemos ningún control. Aparecen como fluctuaciones al azar en
los valores de mediciones sucesivas. Estas variaciones aleatorias se deben a
pequeños errores que escapan al control del observador. Ya que de varias
medidas podemos tener
diferentes resultados se debe ser capaz de
determinar el valor más probable de una cantidad medida y estimar su
confiabilidad.
Las causas de error en las medidas pueden ser de varios tipos:
Ambientales. El ambiente es importante ya que tiene influencia sobre los
instrumentos que utilizamos para hacer las medidas. Factores que pueden
tener influencia en el funcionamiento de los aparatos de medición pueden ser
la temperatura, presión, grado de humedad, nivel de luminosidad, etc.
Metodológicas: Éstas ocurren cuando no se ha escogido el equipo,
procedimiento o técnicas adecuadas para realizar la medida.
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Instrumentales: Ocurren cuando el equipo está mal calibrado o tiene
defectos graves en su construcción.
Personales: Ésta tiene que ver más con la persona que realiza la medición.
Por ejemplo, de cómo aprecia las divisiones menores del instrumento o forma
de calibrarlo.
Dos conceptos que suelen confundirse son los de exactitud y precisión. La
exactitud tiene que ver con que tan cerca del valor real se encuentra el valor
medido. Mientras que la precisión se refiere al grado de dispersión de las
medidas obtenidas al repetirla varias veces.
Figura
En este caso, el experimento consiste en una serie de disparos hechos a un
blanco de tiro. Si tomamos el centro como el valor verdadero podemos decir
que el experimento a es muy exacto ya que esta cerca del blanco y muy
preciso debido a que hay poco dispersión. En el experimento b es muy
preciso, pero menos exacto, mientras en c
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están muy disperso (poca
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precisión) pero dentro del blanco (mayor exactitud). Finalmente en el
experimento d tiene poca exactitud y precisión.
Para aclarar más el concepto de exactitud y precisión veamos el siguiente
ejemplo. Si tenemos dos relojes uno a que mide hasta segundos y otro hasta
décimas de segundo. Ahora supongamos que el que mide hasta segundos se
calibra automáticamente con un reloj atómico y el que mide hasta décimas de
segundo se retrasa un segundo por día. El que mide hasta décimas de
segundo es más preciso que el que mide hasta segundos, pero como se
atrasa es menos exacto que el otro. Lo ideal es tener un aparato que sea lo
más preciso y exacto posible.
También hay que mencionar que la precisión esta más relacionada con los
errores casuales o aleatorios, ya que entre menos errores de estos últimos
tengamos más precisa es la medición. Por otro lado la exactitud esta más
relacionada con el error sistemático, como vimos en el ejemplo del reloj.
Formas de expresar una medida
Orden de magnitud
Cuando solo queremos dar una idea del orden en el que anda la medida se
hace utilizando el orden de magnitud. El orden de magnitud se expresa en
potencias de 10. Para encontrar el orden de magnitud se sigue el siguiente
criterio: Todo numero entre 100=1 y 101/2=3.162277... estará más cerca de 100
y aquellos que se encuentren entre 101/2 y 101 estará más cerca de 10. Por
ejemplo la distancia a la estrella más próxima al sistema solar esta a 4.12 x
1014 km. Esta estrella se llama Próxima Centauri y es una enana roja. ¿Cuál
es en orden de magnitud la distancia al sistema solar? Ya que 4.12 es mayor
que 101/2 entonces el orden de magnitud es 10x1014=1015 km.
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Cifras significativas
Supongamos que queremos medir la longitud de un objeto. Para esto
contamos con dos reglas diferentes graduadas una en centímetros y la otra
hasta los milímetros como se muestra en la figura.
Figura
Con la regla A estamos seguros que esta entre 2 y 3 cm. Como tiene mas
divisiones también sabemos que esta entre 7 y 8 mm. Ahora dentro de esta
división podemos estimar que la siguiente cifra puede ser 8 o 9, por lo que la
medida puede ser 2.78 cm o 2.79 cm siendo ambas igual de válidas.
Con la regla B sólo estamos seguros que la medida esta en el rango de 2 a 3
cm, pero el siguiente valor lo tenemos que estimar. Podríamos decir que el
valores estimados pueden ser 7, 8 o quizá hasta 9. Por lo que la medida sería
2.7, 2.8 o 2.9 siendo las tres igual de válidas.
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Entonces el número de cifras que tiene una medida esta formada por las que
estamos seguros mas la primera estimada. Estas reciben el nombre de cifras
significativas y cualquier medida debe estar expresada con ellas.
Norma
Ejemplo
Son significativos todos los dígitos distintos 9345
Cifras significativa
cuatro
de cero
Los
ceros
situados
entre
dos
cifras 207
tres
significativas son significativos
Los ceros a la izquierda de la primera cifra 0.0064
dos
significativa no lo son
Para números mayores que 1, los ceros a la 4.2700
cinco
derecha de la coma son significativos.
Para evitar la ambigüedad en mediciones 2500
dos
terminadas en varios ceros se debe usar como
notación científica expresando la medida con 2.5 x103
sus cifras significativas.
Así el número de cifras significativas va ha estar determinada por la precisión
del aparato que utilicemos. Cuando una medida esta expresada en notación
científica la potencia de 10 no se toma en cuenta para el número de cifras
significativas.
Al operar cifras significativas se debe tener en cuenta las siguientes reglas:
Cuando se suman o restan números, el número de decimales que resultan de
la operación debe ser igual al número más pequeño de cifras decimales de
cualquier término de la suma.
Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el resultado debe tener el
mismo número de cifras significativas que la cantidad que tenga el menor
número de estas.
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Hay que tener cuidado con las restas, pues con estas pueden ocurrir pérdidas
de cifras significativas. Por ejemplo 5.783-5.779 = 0.004. En este caso cada
una de las cantidades tenía 4 cifras significativas y al final solo tenemos una.
Por lo que para evitar la pérdida es necesario hacer primero las restas y
después las sumas. Esto por ejemplo cuando se usan calculadoras o
computadoras.
Si tenemos que hacer la suma 12.45+5.764+24.5 al realizarla sin tener en
cuenta las cifras significativas se tiene el resultado 42.714, pero según la
regla 1 la suma debe escribirse 42.7 ya que la medida con menos decimales
es de uno. Ahora si hay que hacer la multiplicación (23.78)(2.6) el resultado
normalmente da 61.828, pero atendiendo a la regla 2 el resultado debe
escribirse con solo dos cifras significativas. Por lo que tenemos que
(23.78)(2.6)=62, esto es teniendo también en cuenta las reglas de redondeo
que veremos a continuación.
Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra
retenida.
Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más
próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la
cifra superior.
Cantidades a redondear
Cifras
a Cantidad redondeada
redondear
5.638
3
5.64
24.8324
5
24.832
6.435
3
3.44
7.5965
4
4.596
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La incerteza
Supongamos que a un grupo de estudiantes de física se les pide medir el
diámetro de de una esfera. Utilizando un instrumento graduado en cm
obtuvieron los siguientes resultados:
Figura
Estudiante
Medida
de física
diámetro cm
1
14.4
2
14.5
3
14.4
4
14.3
5
14.6
6
14.5
Con esto podemos observar que el valor de la medida es diferente para cada
estudiante. Esto es debido a la presencia del error al tomarla. Como
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habíamos dicho anteriormente el valor verdadero nunca lo podremos conocer,
pero sin embargo se puede tener una idea del intervalo en que se encuentra
el este valor de la medida.
Evaluación tipo A
La incertidumbre de una magnitud física medida varias veces se determina
generalmente midiendo la dispersión de los resultados individuales.
Si hacemos n mediciones de la magnitud X y estas son independientes unas
de otras se tendrían los resultados x1 , x 2 , x3 ,..., x n el mejor valor para X se
encuentra mediante el promedio de los resultados:
−
x=
1 n
∑ xi
n i =1
Para determinar la dispersión de los datos alrededor del mejor valor se
encuentra la desviación estándar experimental dada por:
Δx =
−
1 n
(
x
−
x
∑ i )2
n − 1 i =1
Así para el caso de la medida de la esfera se tiene que el mejor valor es
−
x = 14.5 cm y la incerteza Δx = 0.1 cm por lo que la medida queda expresada
como:
X = (14.5 ± 0.1) cm
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Hay que notar que los datos en bruto dan como resultado:
X = (14.45 ± 0.10488) cm
Pero el resultado final debe tener el mismo número de cifras significativas de
las medidas y la incerteza no puede superar el orden del último decimal
significativo. Así no podríamos aceptar una medida como (14.45 ± 1.15) cm
por poner un ejemplo.
Evaluación tipo B
Para obtener la incerteza para este tipo se recurre a fuentes externas a la
medida propiamente dicha. Entre estas fuentes se pueden tener:
Manual del instrumento de medición
certificados de calibración
Valores medidos del sistema físico en estudio como investigaciones
anteriores o normas establecidas.
Para nuestro caso la fuente principal de información externa es el manual del
instrumento de medición. En la mayoría de casos sería el de instrumentación
eléctrica como tester, balanza digitales, etc.
Incerteza absoluta y relativa
Al expresar una medida como X ± Δx al Δx se le da el nombre de incerteza
absoluta. Esta no nos da una idea muy clara sobre la calidad de la medida ya
que si tenemos que al medir dos distancias se tiene que una es de (100 ± 3)
m y la otra de (20 ± 3) m la calidad de la medida es diferente en ambos
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casos. Ya que tener una incerteza en 100 m no es lo mismo que tenerlo en 20
m.
Para tener una mejor idea de la calidad de la medida vamos a definir la
incerteza relativa unitaria de X ± Δx como:
X
Δx
Y la incerteza relativa porcentual como
X
× 100
Δx
Así por ejemplo si tenemos que al medir un tiempo se tiene t = (15.8 ± 0.6 ) s
Entonces:
15.8 es el mejor valor
8 es la cifra dudosa
0.6 es la incerteza absoluta
0.0379 la incerteza relativa unitaria
3.19 % la incerteza relativa porcentual
Propagación de incertezas
Si la magnitud física que deseamos medir debe hacerse indirectamente a
traves de otras magnitudes, de la cuales conocemos su incerteza, entonces
¿Cómo calcular la incerteza de esta magnitud física?
Para responder a nuestra pregunta vamos a suponer que la magnitud física M
de la que deseamos encontrar la incerteza es función de otras variables
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x1 , x 2 , x3 , x 4 ,... de las que son conocidas sus incertezas respectivas
Δx1 , Δx 2 , Δx3 , Δx 4 ,.... luego la incerteza de M (x1, x 2 ,...) esta dada por:
2
2
2
⎞
⎛ ∂M
⎞ ⎛ ∂M
⎞ ⎛ ∂M
ΔM = ⎜⎜
Δx1 ⎟⎟ + ⎜⎜
Δx 2 ⎟⎟ + ⎜⎜
Δx3 ⎟⎟ + ...
⎝ ∂x1
⎠ ⎝ ∂x 2
⎠ ⎝ ∂x3
⎠
Que es la llamada regla de propagación de incertezas de Gauss.
Haciendo aproximaciones a la primera potencia con el teorema de Taylor se
puede tener de forma rápida la incerteza por:
ΔM =
∂M
∂M
∂M
Δx1 +
Δx 2 +
Δx 2 + ...
∂x1
∂x 2
∂x 2
Donde el operador
∂
es el de derivada parcial y el cual a estas alturas no
∂xi
se ha tratado todavía en alguno de sus curso. Para efectos prácticos solo nos
interesa su uso y no la comprensión de su significado.
Supongamos que tenemos una función dada por
f ( x, y , z ) = x + y 2 z 4 y
vamos a derivar parcialmente respecto de cada una de las variables.
∂f
= 1 se derivo con respecto a “x” y se tomaron como constantes “z” e “y”
∂x
∂f
= 2 yz 4 se derivo con respecto a “y” y se tomaron como constantes “z” e
∂y
“x”
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∂f
= 4 y 2 z 4 se derivo con respecto a “z” y se tomaron como constantes “y” e
∂x
“x”
Ahora si lo que se quiere es estimar las incertezas de una manera bastante
burda y general se pueden utilizar las siguientes expresiones.
Suma y resta: Al sumar o restar dos magnitudes, las incertezas absolutas se
suman.
X = A± B
ΔX = ΔA + ΔB
Multiplicación y división: La incerteza relativa de un producto o de un
cociente es la suma de la incerteza relativa de las cantidades.
X = AB o X =
ΔX ΔA ΔB
=
+
X
A
B
A
B
Potencia y radicación: La incerteza relativa de una potencia “n” es n veces
la incerteza relativa de la magnitud.
X = An
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ΔX
ΔA
=n
X
A
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Métodos cualitativos de análisis gráfico
Diseño de gráficos
Para hacer un estudio sobre la relación entre las variables de estudio a
menudo es importante representar estos por medio de gráficos que nos
ayuden a tener una idea general sobre el comportamiento de estas.
Para los casos que se van a necesitar en el laboratorio las graficas se limitan
a la de representar relaciones entre dos variables. En general vamos a
suponer que después de la toma de datos estos han sido ordenados en una
tabla de tabulación como la siguiente:
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
xn
yn
En donde la primera columna es la variable independiente “x” y la segunda
columna la variable dependiente “y”.
Lo que se busca siempre es encontrar una relación funcional entre ambas
variables. La cual posiblemente no se puede ver a simple vista en una tabla
por lo que se hace necesario otro tipo de representación.
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Para hacer un buen gráfico deben tenerse en cuenta las siguientes
recomendaciones:
Escoger la escala adecuada para que los diferentes datos puedan apreciarse,
teniendo el cuidado de poner los rótulos respectivos en la escala.
Graficar en el eje horizontal la variable independiente y en el eje vertical la
variable dependiente. Teniendo el cuidado de rotular respectivamente cada
uno de los ejes, indicando las unidades utilizadas para medir las magnitudes
físicas.
Los datos deben ser ubicados con símbolos especiales como cuadros,
círculos o rombos y de ser posible acompañado de las barras de incerteza.
Incluir al pie del gráfico un texto donde se describa brevemente lo que esta
representado en este o alguna información adicional que se considere
necesaria.
Se pueden utilizar carteles interiores para especificar alguna condición
especial o alguna información complementaria.
Si se comparan los datos experimentales con algún modelo teórico en el
mismo gráfico deben quedar totalmente diferenciado o identificados.
Un gráfico bien hecho es el que presenta en la siguiente figura:
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Escala lineal y logarítmica
La escala que se utiliza normalmente para hacer los gráficos es la escala
lineal en la cual una vez definido el valor de una división en la escala esta
crece de manera uniforme. Un ejemplo seria el mostrado en la siguiente
figura.
Figura Ejemplos de escala lineal en las que las distancias entre cada división
permanece constante.
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Un problema que puede presentar esta escala es que si los datos que se
quieren graficar tienen una diferencia considerable entre ellos el gráfico no se
apreciaría lo suficientemente bien. Por ejemplo el caso mostrado en la
siguiente figura.
Figura .Función en la que hay una diferencia considerable entre los puntos a
graficar.
Como puede observarse los datos menores que dos están muy cerca al eje x
y esto puede ser un impedimento para observar esta parte de los datos.
Para resolver este inconveniente existe una escala que hace justicia tanto a
los datos pequeños como a los grandes. Esta escala es la logarítmica.
Para construir esta escala calculamos los logaritmos de 1, 2 ,3…, 10, 20, 30
,…,100, 200, 300,… y representamos los logaritmos en papel milimetrado
normal y ya esta lista nuestra escala logarítmica. Por suerte existe software
que nos permite hacer hojas de papel logarítmico sin necesidad de hacer
ningún cálculo.
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Figura . Función exponencial representada es
escala logarítmica
Para dibujar en la escala logarítmica debemos tener en cuenta que esta varía
en potencias de 10 o de la base del logaritmo que hubiéramos escogido.
Como podemos apreciar en la siguiente figura el espacio entre cada división
no se mantiene constante como es el caso de la escala lineal.
Figura Escala logarítmica donde se representan las diferentes divisiones.
Para ejemplificarlo suponga que tenemos que ubicamos los siguientes
valores: 11, 32, 93, 270, 460. Aunque cada división se puede dividir en
múltiplos de 10, éstos, a su vez, se pueden dividir en diez partes y así
sucesivamente. La grafica quedaría así:
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Figura . Ubicación de diferentes valores en escala logarítmica para
valores grandes.
Ahora, si los valores son pequeños como: 0.011, 0.032, 0.093, 0.270, 0.460
entonces se tiene:
Figura . Ubicación de diferentes valores en escala logarítmica para
valores pequeños.
Puede suceder que sólo sea necesario aplicar la escala logarítmica en un eje,
en este caso se tiene que hacer en papel semilogaritmico. Este consiste en
que un eje esta en escala logarítmica y el otro en escala lineal.
Otro método es utilizar un programa de computadora especializado o también
una hoja de cálculo. Por ejemplo, en Excel, al graficar datos y ponerse sobre
un eje y darle clic derecho, aparece un menú contextual. Luego hacer clic
sobre “Formato de ejes” y seleccionamos la pestaña “Escala”. Basta marcar
sobre “Escala logarítmica”, para que cambie de la escala normal a la
logarítmica.
Métodos cualitativos de análisis gráfico
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Métodos cuantativos de análisis gráfico
Relación lineal: método de mínimos cuadrados
Una vez hecha la toma de datos es indispensable investigar que tipo de
comportamiento siguen las variables entre ellas. Una de las relaciones más
comunes entre estas es la de tipo lineal, la cual sigue la ecuación:
Y = aX + b
Donde “a” es la pendiente de la recta y “b” el intercepto con el ejes de las
ordenadas.
Al hacer la toma de datos, estos aunque se comporten de manera lineal se
desviaran siempre de la línea recta perfecta. Esto es debido a que al
momento de tomar los datos siempre aparece el error. Por lo que los datos
sólo se van aproximar a una línea recta.
Sería deseable tener un método mediante el cual encontráramos la línea
recta a la que mejor se ajustan los datos obtenidos en nuestro experimento.
El método que se utiliza es el llamado método de mínimos cuadrados. Éste
consiste en utilizar unas fórmulas que se deducen del cálculo diferencial que
para nuestros propósitos solo nos interesa aplicar.
Como sabemos, para determinar la ecuación de una recta sólo necesitamos
la pendiente y el valor del intercepto. Supongamos que nuestros resultados
experimentales son los siguientes:
Métodos cuantativos de análisis gráfico
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x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6...
y6...
xn
yn
La pendiente(a) y el intercepto (b) se encuentra por:
⎛ n
⎞ ⎛ n ⎞⎛ n
⎞
n⎜ ∑ xi y i ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟
⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
a = ⎝ i =1
2
⎛ n 2⎞ ⎛ n ⎞
n⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
⎛ n
⎞⎛ n
⎞ ⎛ n ⎞⎛ n
⎞
⎜ ∑ y i ⎟⎜ ∑ xi2 ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ xi y i ⎟
⎠
b = ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ 2i =1
⎛ n
⎞ ⎛ n ⎞
n⎜ ∑ xi2 ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
Donde n es el numero de datos y
∑
representa la sumatoria.
Puede resultar que, en realidad, los datos no se ajusten a una línea recta,
sino a otra curva, sin embargo el método hace su trabajo sin importarle esto
último. En ese caso, necesitamos un criterio para determinar qué tan bien se
ajustan los datos a una recta. Para eso existe el llamado coeficiente de
correlación lineal el que se calcula por:
Métodos cuantativos de análisis gráfico
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r=
⎛ n
⎞ ⎛ n ⎞⎛ n
⎞
n⎜ ∑ xi y i ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
2
⎡ ⎛ n 2 ⎞ ⎛ n ⎞2 ⎤⎡ ⎛ n 2 ⎞ ⎛ n
⎞ ⎤
⎢n⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ ⎢n⎜ ∑ y i ⎟ − ⎜ ∑ y i ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦
Este número está entre –1 y 1 y nos dice qué tanto se ajustan los datos a una
línea recta. Entre más cerca este r2 de 1, mejor se ajustan los datos y entre
más alejado se encuentre la correlación disminuye. Si se ha tomado mas de
diez datos y r es mayor que 0.80, entonces se puede aceptar una relación de
tipo lineal, con una probabilidad de acierto menor al 0.5%.
Hay que aclarar que el criterio que utilicemos debe cumplir los estándares de
la comunidad internacional de científicos, de lo contrario se podría rechazar
nuestro trabajo de investigación.
En la tabla de la siguiente página se muestran los porcentajes de probabilidad
de que dos variables no estén en relación lineal, para un “r” dado y una
cantidad “n” de mediciones (pares ordenados).
Por ejemplo, para 7 pares ordenados de datos y con una r>0.9, según la
tabla, tiene una probabilidad de 0.6% de no ser lineal. Por lo que se podría
aceptar con un 99.4% de confianza que la relación entre las variables es de
tipo lineal.
Métodos cuantativos de análisis gráfico
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n
ro
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
3
100 94 87 81 74 67
59
51
41
29
4
100 90 80 70 60 50
40
30
20
10
5
100 87 75 62 50 39
28
19
10
3,7
6
100 85 70 56 43 31
21
12
5,6
1,4
7
100 83 67 51 37 25
15
8,0
3,1
0,6
8
100 81 63 47 33 21
12
5,3
1,7
0,2
9
100 80 61 43 29 17
8,8
3,6
1,0
0,1
10 100 78 58 40 25 14
6,7
2,4
0,5
<0,05
11 100 77 56 37 22 12
5,1
1,6
0,3
<0,05
12 100 76 53 34 20 9,8
3,9
1,1
0,2
<0,05
13 100 75 51 32 18 8,2
3,0
0,8
0,1
<0,05
14 100 73 49 30 16 6,9
2,3
0,5
0,1
<0,05
15 100 72 47 28 14 5,8
1,8
0,4
<0,05 <0,05
16 100 71 46 26 12 4,9
1,4
0,3
<0,05 <0,05
17 100 70 44 24 11 4,1
1,1
0,2
<0,05 <0,05
18 100 69 43 23 10 3,5
0,8
0,1
<0,05 <0,05
19 100 68 41 21 9,0 2,9
0,7
0,1
<0,05 <0,05
20 100 67 40 20 8,1 2,5
0,5
0,1
<0,05 <0,05
25 100 63 34 15 4,8 1,1
0,2
<0,05 <0,05 <0,05
30 100 60 29 11 2,9 0,5
<0,05 <0,05 <0,05 <0,05
Métodos cuantativos de análisis gráfico
25
Laboratorio de Física-UCA
35 100 57 25 8,0 1,7 0,2
<0,05 <0,05 <0,05 <0,05
40 100 54 22 6,0 1,1 0,1
<0,05 <0,05 <0,05 <0,05
45 100 51 19 4,5 0,6 <0,05 <0,05 <0,05 <0,05 <0,05
Para calcular la incerteza tanto de la pendiente como del intercepto
encontrado por este método se pueden utiliza las expresiones:
n
σ=
∑ (y
i =1
i
− axi − b )
2
(n − 2)
n ⋅σ
Δa =
⎛ n ⎞
n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
n
2
2
i
n
Δb =
(Δa )2
∑x
i =1
2
i
n
La pendiente de la recta será entonces a ± Δa y la ordenada en el origen
b ± Δb .
Relación potencial: método de logaritmos
En Principio, vamos a suponer que la relación entre las variables que estamos
estudiando es de la forma y = ax c . Así podemos formar pares ordenados con
los datos que se tienen en nuestra tabla de tabulación. Para dos pares
ordenados consecutivos cualquiera, se tiene (xi , y i ) y ( xi + 1, y i + 1 ) los cuales
ambos deben cumplir con la ecuación:
Métodos cuantativos de análisis gráfico
26
Laboratorio de Física-UCA
y i = axic
y i +1 = axic+1
Dividiendo una ecuación entre la otra se tiene que:
⎛ x ⎞
yi
= ⎜⎜ i ⎟⎟
y i +1 ⎝ xi +1 ⎠
c
Al aplicar logaritmos y despejar “c” se encuentra
⎛ y ⎞
log⎜⎜ i ⎟⎟
⎝ y i +1 ⎠
c=
⎛ x ⎞
log⎜⎜ i ⎟⎟
⎝ xi +1 ⎠
Este sería el valor de c para la primera pareja de pares ordenados. Se
procede a combinar todos los pares ordenados consecutivos y se obtendrá
c1,c2,c3,...cn-1 donde n es el numero de pares ordenados. Para tener un solo
valor de c, se encuentra el promedio de estas con lo que tendríamos una c
-
promedio que la representaremos por c .
-
Con c calculada, se puede determinar el valor de “a” mediante la ecuación
ai =
xi2
yi
_
Luego también se calcula la a promedio. Por lo que la ecuación a la que se
ajusta los datos sería:
Métodos cuantativos de análisis gráfico
27
Laboratorio de Física-UCA
_
y =ax
_
c
Hay que aclarar que aunque aquí suponíamos que los pares de datos eran
consecutivos, esto no es necesario y se pueden forman parejas entre
cualesquiera pares de estos. Para finalizar hay que decir que este método,
aunque da resultados bastante buenos nos que daría el problema de las
incertezas.
Para solucionar el problema de las incertezas y lo del grado de confianza en
nuestros resultados podemos aplicar a la ecuación y = ax c logaritmos
directamente.
log( y ) = log(ax c )
log( y ) = c(log x ) + log(a )
Con lo que se ha obtenido una ecuación de la forma Y = mX + b que es la de
una línea recta. Por lo que podemos utilizar el método de mínimos cuadrados
y se tendría que la pendiente sería el exponente buscado y el intercepto el
logaritmo del coeficiente “a” y sus incertezas estarían dadas por:
Δc =
c2 ⎛ 1
⎞
⎜ 2 − 1⎟
( n − 2) ⎝ r
⎠
Δa = 2 (Δc )
2
Métodos cuantativos de análisis gráfico
(log x )2
28
Laboratorio de Física-UCA
Donde r es el coeficiente de correlación lineal y
(log x )2
es el valor
promedio de (log x ) .
2
Otra opción, solo para verificar los resultados anteriores, es la de graficar los
datos en papel logaritmo y encontrar la pendiente y el intercepto
directamente. Solo se debe tener el cuidado de que tanto la escala horizontal
como la vertical sean iguales.
Métodos cuantativos de análisis gráfico
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