incerteza en mediciones de laboratorio

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS
INSTITUTO DE FISICA
FSCA 116
INCERTEZA EN MEDICIONES DE LABORATORIO
1.- NORMAS DE CALCULO CON INCERTEZAS
El resultado de una medición se expresa en general en la forma:
(a ± a) U
siendo
a = cantidad medida
a = incerteza o error asociado a la medición
2a = intervalo de incerteza o de error
U = unidad en que se expresa a ± a
Existe más de una convención válida para trabajar con incertezas. A continuación se indican algunas reglas
que se utilizan con frecuencia en la formulación de resultados experimentales.
i)
Estimación de la incerteza de una medición
Como intervalo de incerteza de una medición se elegirá como mínimo la menor división de la escala del
instrumento, llamada apreciación del instrumento. Por ejemplo, al usar una regla graduada en mm, el mínimo
intervalo de incerteza será 1 mm, que es equivalente a escribir ± 0.5 mm.
Si existen otras fuentes de error que deban tomarse en cuenta, aumentará la incerteza mínima a criterio de la
persona que realiza la medición. Si al medir el largo de una mesa con la regla graduada en mm se tiene que
considerar la posición relativa del ojo, ver si el origen de la regla coincide con el extremo de la mesa, que la
regla y el borde de la mesa están paralelos, etc., entonces la incerteza puede tomar valores como ± 1 mm, ± 2
mm, ± 3 mm, etc.
ii)
Incerteza de un número aproximado
Si se señala un número aproximado sin indicar cuál es su error, se supondrá que éste es igual a una unidad del
último dígito. Por ejemplo, si el número aproximado es 32.3 cm, se subentiende que su incerteza es ± 0.1 cm.
Si una medición se señala como 132.58 g está implícito que la incerteza es ± 0.01 g.
iii)
Reglas para operar con números aproximados (propagación de incertezas)
Muchas veces la cantidad que se quiere medir, se determina indirectamente a través de la medición de otras
cantidades; es decir, la cantidad que se quiere medir se calcula empleando una fórmula conocida, midiendo
directamente las cantidades que intervienen en la fórmula.
Por ejemplo, en la medición del área de una superficie S, aún cuando sea cuadrada, no se emplea un cuadrado
unidad; lo usual es que se mida la longitud del lado y que a continuación se calcule el área. Es decir, en
general se mide otra cantidad (la longitud “a” del lado) y mediante una fórmula adecuada, S = a 2, se calcula la
cantidad cuya medida se quiere obtener.
El problema que se enfrenta es: Conocida la fórmula que debe utilizarse y la incerteza asociada a cada
cantidad que interviene en la fórmula, ¿cuál es la incerteza del resultado? En el caso del cuadrado, el problema
es calcular la incerteza del área, S, conociendo la fórmula S = a2 y a.
En caso se desee determinar la velocidad v = x/t de un móvil a partir de las mediciones de la distancia x
± x recorrida en el lapso de tiempo t ± t, el problema es calcular el error asociado a la velocidad, v.
Regla 1: Sean x e y las cantidades que se miden directamente, x y y sus respectivas incertezas y k una
constante. Entonces,
k (x  x)  kx  kx
(x  Δx)  (y  Δy)  x  y  ( x) 2  (y)2
(x  Δx)  (y  Δy)  x  y  ( x) 2  ( y)2
2
 y 
 x 

(x  x)(y  y)  xy  xy 
  
 x 
 y 
2
2 
x  Δx x x  Δx 
Δy 


 



 y 
y  Δy y y  x 


2
Después de efectuado el cálculo, el error debe redondearse a una sola cifra significativa.
Excepción: Si la primera cifra significativa del error es 1, entonces puede ser conveniente dejarlo expresado
con dos cifras. Ejemplo: Si x = 0.14, redondear a 0.1 implica disminuir el error en un 40%. En este caso se
puede optar también por considerar x = 0.14, o bien x = 0.2 para no subestimar el error.
Una vez redondeado el error, se redondea la cantidad a medir, de modo que su precisión no exceda al error
(ver punto v).
Para estimaciones rápidas de errores se pueden reemplazar las ecuaciones por fórmulas más simples que son
válidas para situaciones menos exigentes.
Regla 2
(x  Δx)  (y  Δy)  x  y  ( x  Δy)
(x  Δx)  (y  Δy)  x  y  ( x  Δy)
 Δx Δy 

(x  Δx)(y  Δy)  xy  xy 

y 
 x
x  Δx x x  Δx Δy 

  

y  Δy y y  x
y 
iv)
Incerteza relativa
Δx
constituye una expresión de la calidad de la medición de una
x
magnitud realizada con cierto instrumento.
Por ejemplo, se mide una longitud de 50 cm, con una regla cuya apreciación es 2 cm. La incerteza relativa o
Δx
1cm
error relativo de la lectura es:

 0.02
x
50cm
Δx
También se suele expresar el error relativo en forma porcentual:
 100  2%
x
Ejemplos concretos de propagación de errores utilizando la regla 1:
La incerteza relativa o error relativo
a) Se desea medir la longitud total, A, ocupada por dos piezas metálicas de longitudes B y C. Para ello se
utiliza un instrumento de 0.2 mm de apreciación. Supongamos, por ejemplo, que la longitud de cada pieza se
lee una sola vez:
B = (16.4 ± 0.1) mm
C = (9.9 ± 0.1) mm
Sumando:
A ± A = (26.3 ± 0.14) mm
El error debe expresarse con un solo dígito. En este caso, para no subestimar el error, se redondea a
A ± A = (26.3 ±0.2) mm.
b) Supongamos que se quiere medir el espesor de una moneda. Para ello se siguen dos procedimientos
diferentes:
b1) Se mide el espesor de una moneda sola, mediante un pie de metro que permite leer con una apreciación 0.1
mm.
b2) Se mide la altura de una columna de 20 monedas iguales mediante una regla con apreciación 1 mm.
En el primer caso obtenemos:
x ± x = (1.30 ± 0.05) mm
En el segundo caso obtenemos:
y ± y = (26.5 ± 0.5) mm
Como y/k = 26.5 mm/20 = 1.325 mm
y/k = 0.5 mm/20 = 0.025 mm
Conservando una sola cifra en el error y las cifras en la medida sólo hasta ese mismo lugar decimal:
y/k ± y/k = (1.32 ± 0.03) mm
Comparando los resultados obtenidos con los procedimientos (b 1) y (b2), a pesar de que la apreciación de la
regla es mayor que la del pie de metro, la medición hecha con ella ha sido más precisa. Ello se debe a haber
yuxtapuesto las 20 monedas, con lo cual la apreciación de la regla se divide entre 20.
c) Una pieza metálica tiene forma tal, que sólo es posible medir su longitud A indirectamente, como diferencia
entre B y C
Sea, por ejemplo:
B ± B = (17.5 ± 0.1) mm
C ± C = (7.2 ± 0.1) mm
Restando:
A ± A = (10.3 ± 0.2) mm
d) Se quiere medir la sección S de una barra rectangular de lados A y B, con un pie de metro de apreciación
0.1 mm.
Supongamos que se obtenga:
A ± A = (32.60 ± 0.05) mm
B ± B = (12.40 ± 0.05) mm
Luego:
S ± S = 404.24 ± 1.74 = (404 ± 2) mm2
Obsérvese que si bien con el pie de metro se miden las dos cantidades con al misma incerteza, los errores
relativos de las dos lecturas no son iguales: la mayor lectura tiene menor error relativo.
e) Con un tornillo micrométrico de 0.01 mm de apreciación se mide la arista “a” de un cubo.
a ± a = 42.560 mm ± 0.005 mm. Por lo tanto, el volumen V ± V del cubo será
V ± V = 77091.209 ± 15.687 = (77090 ± 20) mm3
v)
Redondeo de resultados experimentales
Si el resultado es:
Debe escribirse:
Notación científica:
(7.895 ± 0.03673) N
(7.90 ± 0.04) N
(7.90 ± 0.04) N
(342.51 ± 2.88) g
(343 ± 3) g
(3.43 ± 0.03)x102 g
(67.5421 ± 0.1) cm
(67.5 ± 0.1) cm
(6.75 ± 0.01)x10 cm
(0.421 ± 0.027) g
(0.42 ± 0.03) g
(4.2 ± 0.3)x10-1 g
4
(48203 ± 155) m (48200 ± 200) m (4.82 ± 0.02)x10 m
(0.3142 ± 0.14) ms-1
(0.31 ± 0.14) ms-1
(3.1 ± 1.4)x10-1 ms-1
2.- VALOR VERDADERO Y ERROR MEDIO
Suponga que se mide reiteradas veces una magnitud. Es muy frecuente tomar como punto de partida la
hipótesis de que existe un valor verdadero de la cantidad que se quiere medir, y que el proceso de medición
tiene por objeto determinar ese valor verdadero tan aproximadamente como sea posible.
El resultado de una medición puede expresarse por el valor promedio x de mediciones sucesivas y por el
error medio cuadrático del promedio E.
 x  x 2  x 3  ....  x N
x   1
N

 1 N

 N  xi

i 1
El valor promedio x de las N mediciones es más preciso en un factor N que una medición individual xi.
De allí que la incerteza asociada a una medición está definida por el error medio cuadrático del promedio, E,
que se define por:
E
N
N
,
siendo
El resultado de la medición se expresa:
N 
 x - x i 
N
2
la desviación estándar.
x Δx  x  E
3.- TRABAJO EXPERIMENTAL
Objetivos
 Estimar la incerteza de mediciones efectuadas con instrumentos de diferente apreciación
 Estimar la incerteza de una medición por repetición de ésta con el mismo instrumento
Desarrollo experimental
1.- Calcular el volumen de un paralelepípedo con su respectiva incerteza:
Midiendo el largo, ancho y alto del paralelepípedo con una regla y un pie de metro.
Midiendo el volumen con una probeta graduada en 2 ml y 1 ml.
2.- Determinar la aceleración de gravedad g  g en la sala de clases con ayuda de un péndulo. Para ello
considere que el período de oscilación de un péndulo (tiempo que demora una oscilación completa), T,
depende del largo del péndulo, , y de g, según la expresión:
T  2

g