Física I- Un espacio virtual - Universidad Tecnológica Nacional

¡¡¡¡¡Bienvenidos al Espacio Virtual de la Cátedra de Física I !!!
En primer lugar, ¡quienes somos?
Nos presentamos!
Equipo de trabajo:
Graciela Mansilla
Edgardo Benavidez
Walter Meonis
Rubén López
Ana Rossi
Y te invitamos a la cafetería, allí podrás además de conocernos subir tu foto.
Todas tus inquietudes nos interesan y mucho.
No temas en contactarte ante cualquier duda, observación, etc.
ACTIVIDAD INGRESAR A LA CAFETERIA Y SUBIR TU FOTO
Metodología general para resolver problemas
Lo primero que se debe hacer cuando estamos frente a un problema de física, es la de realizar
una lectura rápida, para tener un panorama general, luego leer nuevamente en forma pausada,
para así poder establecer cuales son las leyes físicas que nos van a servir de base para plantear
el problema.
Posteriormente se procede a establecer, por un lado los datos que nos da el enunciado, y por otro
las incógnitas, para así de esta manera escribir las fórmulas que expresan las leyes
correspondientes, y que nos ayudaran a encontrar la solución primeramente en forma literal, para
luego introducir los datos numéricos, con el cuidado de colocar siempre expresado en unidades
del mismo sistema de medidas.
Luego de obtener el resultado numérico hay que prestar atención al grado de exactitud del mismo.
Comenzamos? Para iniciar el tratamiento de los contenidos te invitamos a hacer Clic en el
vínculo y abrir el archivo – Magnitudes unidades y vectores.doc
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Nicolás
Departamento: MATERIAS BÁSICAS
Área o Unidad Docente: FÍSICA
Cátedra: FÍSICA I
MAGNITUDES, UNIDADES Y VECTORES
Introducción
Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una operación
fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. Las
unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los resultados de las
mediciones. Se consideran ciencias experimentales aquellas que por sus características y,
particularmente por el tipo de problemas de los que se ocupan, pueden someter sus afirmaciones o
enunciados al juicio de la experimentación. En un sentido científico la experimentación hace alusión a una
observación controlada; en otros términos, experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en
estudio con la posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación.
La física y la química constituyen ejemplos de ciencias experimentales. La historia de ambas disciplinas
pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con
frecuencia, los experimentos científicos sólo pueden ser entendidos en el marco de una teoría que orienta
y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser
contrastadas experimentalmente. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan
información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. Este doble papel de la
experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan
una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación
clave en las ciencias experimentales.
Una invitación poco formal para charlar en el foro…………
Para discutir en el Foro:
¿Podrías precisar cuál es la relación de la física con la especialidad de ingeniería que
elegiste?
MAGNITUDES Y MEDIDA
El gran físico inglés Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como satisfactorio nuestro
conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante números. Aun cuando la afirmación de Kelvin
tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas de conocimiento, destaca la
importancia del conocimiento cuantitativo. La operación que permite expresar una propiedad o atributo
físico en forma numérica es precisamente la medida.
Magnitud, cantidad y unidad
La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a
ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma
numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.
La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de
magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es
posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una
persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de
aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.
En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un
cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de ese
lapicero, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico
que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón.
Resolvemos la ACTIVIDAD Nº1 (haciendo click aquí se abre la misma)
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD 1
1
Esta
Esta actividad
actividad te
te sugerimos
sugerimos que
que la
la subas
subas al
al campus.
campus.
(a)
tabla
donde
se enumeren
menos
diez (10) magnitudes
(c) Confecciona
Confecciona unauna
tabla
donde
se enumeren
al menosaldiez
(10) magnitudes
físicas y ysus
respectivas
unidades.
físicas
sus
respectivas
unidades.
(d) En
En una
indica
al menos
cinco(5)
magnitudes
de otra disciplina
(b)
unalista
lista
indica
al menos
cinco(5)
magnitudes
de otra disciplina
Nota intenta no repetir las indicadas en el texto.
Nota intenta no repetir las indicadas en el texto.
Existen diferentes tipos de magnitudes (haciendo click aquí se abre el archivo)
Tipos de magnitudes
Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo importante
de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido
de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La
longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos ejemplos.
Sin embargo, existen otras que precisan para su total definición que se especifique, además de los
elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes
vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar
sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza
su acción.
Al igual que los números reales son utilizados para representar cantidades escalares, las cantidades
vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números, con mayor
capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar intensidad, dirección y
sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general,
escalares.
En otras palabras, el dependiente de una tienda de ultramarinos, el comerciante o incluso el contable,
manejan masas, precios, volúmenes, etc., y por ello les es suficiente saber operar bien con números. Sin
embargo, el físico, y en la medida correspondiente el estudiante de física, al tener que manejar magnitudes
vectoriales, ha de operar, además, con vectores.
Ahora te invitamos a resolver la Actividad Nº2 (haciendo click aquí se abre la
misma)
ACTIVIDAD 2
Enumera cinco magnitudes escalares y cinco vectoriales.
¿Por qué resulta necesario definir un sistema único de unidades?
Lee atentamente el archivo SISTEMA DE UNIDADES
SISTEMAS DE UNIDADES
En las ciencias físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos,
por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo
de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas
pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que
pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas.
Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido
correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La
definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser
constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes
mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio.
Así, por ejemplo, la definición de amperio como unidad de intensidad de corriente ha evolucionado sobre
la base de este criterio. Debido a que las fuerzas se saben medir con bastante precisión y facilidad, en la
actualidad se define el amperio a partir de un fenómeno electromagnético en el que aparecen fuerzas
entre conductores cuya magnitud depende de la intensidad de corriente.
El Sistema Internacional de Unidades (SI)
Las condiciones de definición de un sistema de unidades permitiría el establecimiento de una
considerable variedad de ellos. Así, es posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o
incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro. Desde
un punto de vista formal, cada científico o cada país podría operar con su propio sistema de unidades, sin
embargo, y aunque en el pasado tal situación se ha dado con cierta frecuencia (recuérdense los países
anglosajones con sus millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una tendencia generalizada a
adoptar un mismo sistema de unidades con el fin de facilitar la cooperación y comunicación en el terreno
científico y técnico.
En esta línea de acción, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en 1960, tomó
la resolución de adoptar el llamado con anterioridad Sistema Práctico de Unidades, como Sistema
Internacional, que es, precisamente, como se le conoce a partir de entonces. El Sistema Internacional de
Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes básicas y de las
magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los
dos anteriores, son denominadas magnitudes suplementarias.
El SI toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente
eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las
correspondientes unidades para cada una de ellas. A estas siete magnitudes fundamentales hay que
añadir dos suplementarias asociadas a medidas angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. La
definición de las diferentes unidades fundamentales ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las
propias ciencias físicas. Así ,el segundo se definió inicialmente como 1/86 400 la duración del día solar
medio, esto es, promediado a lo largo de un año.
Un día normal tiene 24 h aproximadamente, es decir 24 h.60 min = 1400 min y 1400 min.60 s = 86 400 s ;
no obstante, esto tan sólo es aproximado, pues la duración del día varía a lo largo del año en algunos
segundos, de ahí que se tome como referencia la duración promediada del día solar. Pero debido a que el
periodo de rotación de la Tierra puede variar, y de hecho varía, se ha acudido al átomo para buscar en él
un periodo de tiempo fijo al cual referir la definición de su unidad fundamental.
El sistema internacional
A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. Estos
están íntimamente relacionados con la condición histórica de los pueblos que las crearon, las adaptaron o
las impusieron a otras culturas. Su permanencia y extensión en el tiempo lógicamente también ha
quedado ligada al destino de esos pueblos y a la aparición de otros sistemas más coherentes y
generalizados. El sistema anglosajón de medidas -millas, pies, libras, Grados Fahrenheit - todavía en
vigor en determinadas áreas geográficas, es, no obstante, un ejemplo evidente de un sistema de unidades
en recesión. Otros sistemas son el cegesimal - centímetro, gramo, segundo -, el terrestre o técnico -metrokilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema métrico decimal,
muy extendido en ciencia, industria y comercio ,y que constituyó la base de elaboración del Sistema
Internacional.
El SI es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y
Medidas celebrada en octubre de 1960 en París. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud,
masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de
sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo,
segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb,
joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), además de otras suplementarias de estas últimas.
Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:
MAGNITUD BASE
NOMBRE
longitud
SIMBOLO
metro
m
masa
kilogramo
kg
tiempo
segundo
s
corriente eléctrica
Ampere
A
Kelvin
K
mol
mol
candela
cd
temperatura termodinámica
cantidad de sustancia
intensidad luminosa
MAGNITUD DERIVADA
NOMBRE
EXPRESADAS EXPRESADAS
EN TERMINOS EN TERMINOS
SIMBOLO DE OTRAS
DE LAS
UNIDADES
UNIDADES
DEL SI
BASE DEL SI
ángulo plano
radián
rad
m.m-1=1
ángulo sólido
estereorradián
sr
m ².m-2=1
hertz
Hz
s-1
fuerza
newton
N
m.kg.s-2
presión, esfuerzo
pascal
Pa
N/m ²
m-1.kg.s-2
energía, trabajo, calor
joule
J
N.m
m ².kg.s-2
potencia, flujo de energía
watt
W
J/s
m ².kg.s-3
coulomb
C
volt
V
W/A
m ².kg.s-3.A-1
capacitancia
farad
F
C/V
m-2.kg-1.s4.A ²
resistencia eléctrica
ohm
W
V/A
m ².kg.s-3.A-2
siemens
S
A/V
m-2.kg-1.s³.A ²
flujo magnético
weber
Wb
V.s
m ².kg.s-2.A-1
densidad de flujo magnético
tesla
T
Wb/m ²
kg.s-1.A-1
inductancia
henry
H
Wb/A
m ².kg.s-2.A-2
temperatura Celsius
Celsius
°C
flujo luminoso
lumen
lm
cd.sr
m ².m ².cd=cd
lux
lx
lm/m ²
m ².m-4.cd=m2
.cd
becquerel
Bq
gray
Gy
J/kg
m ².s-2
sievert
Sv
J/kg
m ².s-2
frecuencia
carga eléctrica, cantidad de electricidad
diferencia de potencial eléctrico, fuerza electromotriz
conductancia eléctrica
radiación luminosa
actividad (radiación ionizante)
dosis absorbida, energía específica (transmitida)
dosis equivalente
s.A
K
s-1
Longitud
1 pica [computadora 1/6 in] = 4,233 333x10-3 m
15
1 ángstrom (Å) = 1x10-10 m
1 año luz (1.y.) = 9,460 73x10 m
1 pica [impresoras] = 4,217 518x10-3 m
1 cadena (ch) = 22 yd = 66 ft = 792 in = 20,116 8 m
1 pie (ft) = 12 in = 0,304 8 m
1 milla (mi) = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in = 1 609,344 m
1 pulgada (in) = 0,025 4 m
1 fathom = 2 yd = 6 ft = 72 in = 1,828 8 m
1 Fermi = 1x10-15 m
-4
1 punto [computadora 1/72 in] = 3,527 778x10 m
1 punto [impresora] = 3,514 598x10-4 m
1 rod (rd) = 5,5 yd = 16,5 ft = 198 in = 5,029 2 m
1 micrón (µ) = 1x10-6 m
-6
-8
1 pársec (pe) = 3,085 678x1016 m
1 micro pulgada = 1x10 in = 2,54x10 m
-3
-5
1 milésima (0.001 in) = 1x10 in = 2,54x10 m
1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 0,914 4 m
1 unidad astronómica (au) = 1,495 979x1011 m
1 milla, náutica = 1,852 km = 1 852 m
Masa
1 carat, métrico = 2x10-4 kg
-5
1 ton, assay (AT) = 2,916 667x10-2 kg
1 grano = 6,479 891x10 kg
1 ton, corta = 2 000 lb = 32 000 oz = 907,184 7 kg
1 slug (slug) = 14,593 9 kg
1 ton, larga = 2 240 lb = 35 840 oz = 1 016,047 kg
1 libra (lb) = 16 oz = 0,453 592 4 kg
1 tonne [llamada "ton métrica "] (t) = 1 000 kg
1 libra [troy] (lb) = 0,373 241 7 kg
1 pennyweight (dwt) = 1,555 174x10-3 kg
-2
1 onza (oz) = 2,834 952x10 kg
1 cien peso, corto = 100 lb = 1 600 oz = 45,359 24
kg
1 onza [troy] (oz) = 3,110 348x10-2 kg
1 cien peso, largo = 112 lb = 1 792 oz = 50,802 35
kg
1 ton, métrica (t) = 1 000 kg
.
1 kilogramo-fuerza segundo cuadrado por metro (kgf.s ²/m) = 9,806 65 kg
Tiempo
1 año = 365 d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s
1 año [sideral] = 3,155 815x107 s
1 hora (h) = 60 min = 3 600 s
1 año [tropical] = 3,155 693x107 s
1 minuto (min) = 60 s
1 día (d) = 24 h = 1 440 min = 86 400 s
1 minuto [sideral] = 59,836 17 s
1 día [sideral] = 8 616,409 s
1 segundo [sideral] = 0,997 269 6 s
Corriente eléctrica
1 E.S.U. de corriente (statampere) = 3,335
641x10-10 A
1 abampere = 10 A
1 biot (Bi) = 10 A
1 gilbert (Gi) = 0,795 774 7 A
1 E.M.U. de corriente (abampere) = 10 A
1 statampere = 3,335 641x10-10 A
Temperatura termodinámica
T/K = T/°C + 273.15
T/K=(T/°R)/ 1.8
T/°C = (T/°F - 32) / 1.8
T/°C=T/K - 273.15
T/K = (T/°F + 459.67) / 1.8
.
Energía y trabajo
1 British thermal unit IT (Btu) = 1,055 056x10³ J
1 erg (erg) = 1x10-7 J
1 British thermal unit Th (Btu) = 1,054 350x10³ J
1 kilocaloría IT (cal) = 4,186 8x10³ J
1 British thermal unit [media] (Btu) = 1,055 87x10³ J
1 kilocaloría Th (cal) = 4,184x10³ J
1 British thermal unit [39 °F] (Btu) = 1,059 67x10³ J
1 kilocaloría [mean] (cal) = 4,190 02x10³ J
1 British thermal unit [59 °F] (Btu) = 1,054 80x10³ J
1 kilovatio hora (kW.h) = 3,6x106 J
1 British thermal unit [60 °F] (Btu) = 1,054 68x10³ J
1 pie poundal = 4,214 011x10-2 J
1 caloría IT (cal) = 4,186 8 J
1 pie libra-fuerza (ft.lbf) = 1,355 818 J
1 caloría Th (cal) = 4,184 J
1 therm (EC) = 1,055 06x108 J
1 caloría [media] (cal) = 4,190 02 J
1 therm (U.S.) = 1,054 804 x108 J
1 caloría [15 °C] (cal) = 4,185 80 J
1 tonelada de TNT = 4,184x109 J
1 caloría [20 °C] (cal) = 4,181 90 J
1 vatio hora (W.h) = 3 600 J
1 electrón voltio (eV) = 1,602 177x10-19 J
1 vatio segundo (W.s) = 1 J
Conversión de unidades.
Prefijos de unidades
Ya definidas las unidades fundamentales, es fácil introducir unidades más grandes y pequeñas para las
mismas cantidades física. El SI es un sistema decimal, en el que se utilizan prefijos para indicar fracciones y
múltiplos de diez. Con todas las unidades de medida se usan los mismos prefijos
Prefijos utilizados con unidades SI
Prefijo
Símbolo
Significado
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
Kilo
k
103
deci
d
10-1
centi
c
10-2
mili
m
10-3
micro

10-6
nano
n
10-9
pico
p
10-12
A veces resulta conveniente expresar las cantidades físicas en unidades más comunes como el minuto
(min), hora (h), día (d), año (a), centímetro (cm), kilómetro (km) y gramo (g) que son unidades usadas por
conveniencia, pero no son unidades del SI. Sucede que es más práctico decir que tenemos una masa de 1
-3
gramo (1g), en vez de decir que tenemos una masa de diez a la menos tres kilogramos (10 kg). Asimismo
4
resulta más conveniente decir que un viaje dura tres horas (3,00 h) que 1,08.10 s.
abreviatura
Unidades del
SI
mg
10-6 kg
gramo
g
10-3 kg
kilogramo
tonelada
kg
t
Unidad SI
103 kg
Masa
miligramo
abreviatu Unidades del
ra
SI
Longitud
milímetros
centímetro
s
metro
kilómetro
mm
cm
10-3m
10-2m
m
km
Unidad SI
103m
abreviatura
Unidades del
SI
Tiempo
minuto
hora
min
h
60 s
3,6.103 s
segundo
día
año
s
d
a
Unidad SI
86400 s
3,16.107 s
Existen otras unidades que no pertenecen a ninguno de los dos sistemas como por ejemplo la atmósfera
(atm) (1 atm = 101,325 kPa), mmHg (760 mmHg = 1 atm = 101,325 kPa), caloria (cal) (1 cal. = 4,18 J),
-19
electrón-voltio (e.V) ( 1 e.V = 1,6022 x 10 J), que se usan por cuestiones de comodidad de cálculo o en
correspondecia con el instrumento de medición.
Aunque parezca un tema en desuso, en muchos libros de especialidad encontrarán magnitudes expresadas
en el Sistema Inglés ade ahí que resulta útil practicar algunos cambios de unidades
Relación entre el sistema inglés y el SI
Longitud 1 pie 0,3048 m
fuerza
1 lb 4,448221615260 N (exactamente)
En este sistema la masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de un
2
material acelerado a 1 pie/s por una fuerza de una lb. La conversión a kilogramo viene dada por:
1slug = 14,59 kg
Conversión de unidades
La conversión de unidades implica el cambio de medida de una cantidad de un sistema de unidades a
otro.
Todas las cantidades físicas contienen un número y una unidad. Cuando estas cantidades se suma, se
restan, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica las unidades pueden tratarse como
cantidades algebraicas. Por tanto es incorrecto sumar o restar términos con distintas unidades y las
unidades se pueden multiplicar o simplificar en los productos y cocientes.
Como las unidades se multiplican y dividen igual que los símbolos algebraicos, la forma de encontrar la
equivalencia en otras unidades es utilizar los factores de conversión. Los factores de conversión están
dados por las relaciones entre las unidades entre los distintos sistemas. Por ejemplo, al decir 1 min = 60 s,
no estamos diciendo que 1 es igual a 60, sino que 1 min representa el mismo intervalo de tiempo que 60 s.
Por eso el cociente (1 min) / (60s) es igual a 1-igual su recíproco-. Entonces podemos multiplicar una
cantidad cualquiera por estos factores sin alterar el significado físico de la cantidad. Para averiguar cuántos
segundos hay en 3 min, por ejemplo:
 60 s 
3 min = (3 min)
 = 180 s
 1 min 
si realizamos correctamente la conversión, las unidades que queremos eliminar se simplificarán.
Otro ejemplo: convertir 90 km/h en metros por segundos y en millas por hora.
90
km 90km 1000m 1h
1 min
=
= 25 m / s
h
h
1km 60 min 60s
90km 1mi
= 55,9 mi / h
h 1,16km
y
¿Cuántos cerossssss, podremos simplificar la notación? La respuesta en el
archivo POTENCIAS DE 10 (haciendo click aquí se abre el misma)
POTENCIAS DE 10 (NOTACIÓN CIENTÍFICA).
En el estudio de la física encontraremos, a menudo, magnitudes que están expresadas por números muy
grandes o muy pequeños. Por ejemplo, se sabe que la longitud de onda de la luz violeta es 0,00000038 m y
que una célula tiene cerca de 2000000000000 átomos. Estos números distan mucho de los valores que
nuestros sentidos están acostumbrados a percibir y se encuentran fuera de nuestras referencias habituales.
El enunciado oral y escrito de tales números, es bastante incómodo. Para facilitar el problema, lo usual es
presentar estos números empleando potencias de 10. Este nuevo tipo de notación, además de ser más
compacto, permite una comparación rápida de tales números y facilita la realización de las operaciones
matemáticas.
Cómo escribir los números con la notación de potencias de 10.
Consideremos un número cualquiera, por ejemplo, el número 842. Nuestros conocimientos de álgebra
elemental nos permiten comprender que este número se puede expresar de la siguiente manera:
2
842 = 8,42 . 100 = 8,42 . 10
observemos que el número 842 se expresó como el producto de 8,42 por una potencia de 10 (en este caso,
2
10 ).
Tomemos otro número; por ejemplo: 0,0037 que puede ser escrito como:
0,0037 =
3,7
3,7
= 3 = 3,7.10 −3
1000 10
una vez más, tenemos el número expresado por el producto de un número comprendido entre 1 y 10 (en
-3
este caso 3,7) por una potencia de 10 (en este caso 10 ).
Si nos basamos en estos ejemplos, llegamos a la siguiente conclusión:
Cualquier número siempre puede expresarse como el producto de un número comprendido entre 1 y 10,
y una adecuada potencia de 10.
Trataremos de ejercitarnos en la técnica de escribir los números empleando potencias de 10, analizando
más ejemplos:
4
62300 = 6,23 .10000 = 6,23.10
0,00002 =
2
2
= 5 = 2.10 −5
100000 10
Debe notarse, que podemos extraer una regla práctica para obtener la potencia de 10 adecuada para
cada número:
a) se cuenta el número de lugares que debe correrse el punto decimal para colocarlo a la izquierda;
este número nos proporciona el exponente positivo de 10. Así:
4
6 2 3 0 0 = 6 , 2 3. 104
4
lugares.
b) Se cuenta el número de lugares que debe correrse el punto decimal hacia la derecha; este número
nos proporciona el exponente negativo de 10. Así:
-5
0 , 0 0 0 0 2 = 2 . 10-5
5
lugares.
En esta representación con potencias de 10 los datos mencionados al principio, se podrían escribir, más
breve y cómodamente, de la siguiente manera:
-7
Longitud de onda de luz violeta = 3,8 .10 m
12
Número aproximado de átomos en una célula = 2 .10 átomos
Operaciones con potencias de 10.
Cuando los números se expresan con notación científica, las operaciones se vuelven mucho más
simples, siguiendo las propiedades establecidas por el álgebra para las operaciones con potencias. Los
siguientes ejemplos nos ayudarán a recordar dichas propiedades.
•
Multiplicación
0,0021 . 30000000 =
-3
7
= (2,1 . 10 ). (3 . 10 ) =
-3
7
4
= (2,1 . 3 ) .( 10 . 10 ) = 6,3.10
•
División
7,28.10 5
•
4.10 8
=
7,28 10 5
= 1,82.10 −3
4 10 8
Potenciación
-3 3
-3 3
-9
(5. 10 ) = 53 . (10 ) = 125.10
como 125 = 1,25.102, entonces
-9
2
-9
-7
125.10 = 1,25.10 .10 =1,25.10
•
Radicación
2,5.10 5 = 25.10 4 = 25
10 4 = 5.10 2
•
Adición – sustracción
Cuando operemos con sumas y restas se debe tener el cuidado de que, antes de efectuar la operación
del caso considerado, expresemos en la misma potencia de 10 los números con los cuales se trabajará.
3
3
a) 6,5.10 – 3,2.10
en este caso, como los números ya están expresados en la misma potencia de 10,
podemos efectuar directamente la operación,
3
3
3
3
6,5.10 – 3,2.10 = (6,5 – 3,2).10 = 3,3.10
7
6
b) 4,23.10 + 1,3.10
Inicialmente debemos expresar las cantidades en una misma potencia de 10, lo cual se
puede hacer escribiendo la primera en función de 106:
7
6
6
6
6
6
7
4,23.10 + 1,3.10 = 42,3.10 + 1,3.10 = (42,3 + 1,3 ).10 = 43,6.10 = 4,36.10
7
O expresando la segunda cantidad en función de 10 :
7
6
7
7
7
7
4,23.10 + 1,3.10 = 4,23.10 + 0,13.10 = (4,23 + 0,13 ).10 = 4,36.10
Orden de magnitud.
Con frecuencia, al trabajar con magnitudes físicas no hay necesidad o interés en conocer, con precisión,
el valor de la magnitud. En estos casos, basta conocer la potencia de 10 que más se aproxime a su valor.
Es decir,
El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más próxima a este número.
Entonces, por ejemplo, el orden de magnitud del número 92 es 102 porque 92 está comprendido entre
-4
10 y 100, pero está más próximo a 102. De la misma manera, el orden de magnitud de 0,00022 = 2,2.10 es
-4
10 .
Por tanto, si se conocen los órdenes de magnitud de diversas medidas, es fácil compararlas y podemos
rápidamente distinguir la menor o la mayor entre ellas y las que son aproximadamente iguales. Así, dadas
las medidas de longitud:
-3
2
3.10 m ,
4.10 m
y
-6
7.10 m
-3
-2
-3
-3
2
2
3
2
-6
-5
-6
3.10 está comprendida entre 10 y 10 pero está más próxima a 10 . Por tanto, el orden de magnitud es
-3.
10
4.10 está comprendida entre 10 y 10 pero está más próxima a 10 . Por tanto, el orden de magnitud es
2
10 .
7.10 está comprendida entre 10 y 10 pero está más próxima a 10-5. Por tanto, el orden de magnitud es
-5
10 .
-3
2
-5
Los ordenes de magnitud son respectivamente 10 , 10 y 10 , y nos permiten comparar dichas medidas. Es
evidente, si se observa el orden de magnitud de cada una de las medidas que, en orden creciente
-6
-3
2
10 < 10 < 10
Entonces resulta,
6
7.10- < 3.10-3 < 4.102
Además, con frecuencia estamos en condición de obtener el orden de magnitud sin cálculos laboriosos,
inclusive si no tenemos el valor de la magnitud medida. Por ejemplo: queremos determinar el orden de
magnitud de gotas de agua que caben en una bañera.
Debemos inicialmente, determinar el orden de magnitud del volumen de una bañera común. Evidentemente,
la longitud de una bañera estará comprendida entre 1 m y 10 m, es decir entre las siguientes potencias de
10: 100 m y 101 m. Es fácil percibir también que esa longitud está más próxima a 1 m. Por tanto, el orden
de magnitud de la bañera es 1 m o 100 m. Con un razonamiento análogo llegamos a la conclusión de que
las medidas, tanto de ancho como de profundidad están más próximas a 1 m, es decir, el orden de
magnitud de ambas es de 1 m o 100m. Así el orden de magnitud del volumen de la bañera es:
1m . 1m . 1m = 1m
3
Para determinar el tamaño del volumen de la gota se puede imaginar que tiene forma cúbica – recordar que
-3
-2
estamos estimando órdenes de magnitud- cuya arista está comprendida entre 1 mm (10 m) y 1 cm (10
m). Pero es evidente que para una gota común, dicha arista será más próxima a 1 mm. Por tanto el orden
de magnitud del volumen de la gota es:
-3
-3
-3
-9
10 m . 10 m . 10 m = 10 m
3
El orden de magnitud del número de gotas que caben en la bañera es, entonces
1m 3
−9
10 m
3
= 10 9 gotas
es decir ¡ mil millones de gotas!
En realidad, nadie se preocupa por el número de gotas en una bañera; pero por ejemplo, cabe preguntar
¿cuántos ladrillos hay en determinado edificio? Alguien tuvo que calcular la cantidad de ladrillos necesarios
para ese edificio con el fin de calcular el costo e incluirlo en el presupuesto...
Ahora a trabajar!!!
Recordatorio no olvides subir los problemas resueltos al campus.
Problema 1
Un terreno de forma rectangular de 5 Km de largo por 2310 mm de ancho se quiere lotear en 120
parcelas de igual superficie para venderla a $ 37,50 el m2. Calcular a cuánto ascenderá la
recaudación.
Problema 2
Un auto marcha a una velocidad constante de 108 Km/h, si una moto lo hace a 32 m/s. Indicar cuál
móvil tiene mayor velocidad?
Problema 3
Una empresa química utiliza 0,05 ml de ácido por cada pastilla. Si dispone de 3 tanque cilíndricos
de 160 cm de radio y 5 m de altura completo de ácido. Calcular cuántas tabletas de 12 unidades
puede fabricar.
Problema 4
Una pileta de natación tiene las siguientes dimensiones: 2 dam de largo, 0,008 Km de ancho y 4000
cm de profundidad. Se llena mediante una bomba cuyo caudal es de 7000 litros/hora. Calcular el
tiempo que tarda en llenarse.
Problema 5
La masa de la Tierra es de 5,98 x 1024 kg, y su radio de 6,38 x 106 m. Calcular la densidad de la
Tierra (masa/volumen) usando la notación en potencias de diez y el número correcto de cifras
significativas.
Problema 6
Una barra prismática de acero cuya densidad es de 7,8 Kg/dm3 tiene 9 cm x 9 cm de sección y 12 m
de longitud. Calcular su masa.
Problema 7
Calcular el número de kilómetros en 20 millas, usando solamente los siguientes factores de
conversión:
1 mi = 5280 ft
1 ft = 12 in
1 in = 2,54 cm
1 m = 100 cm
1 km = 1000 m
Problema 8
Expresar las dimensiones de las expresiones siguientes en el sistema internacional.
a. ML3
b. ML-1
c. ML3T-4
d. M-1L.
(T: dimensiones de tiempo, L: dimensiones de longitud, M: dimensiones de masa)
Problema 9
Los trenes bala comenzaron a correr entre Tokyo y Osaka en 1964. Si un tren bala viaja a 240 km/h,
Calcular es su velocidad en mi/h con tres cifras significativas.
Problema 10
El área de la sección transversal de una viga es igual a 480 in2. Calcular es el área de su sección
transversal en m2.
Problema 11
Proporcione la relación entre:
a. 1 in2 y 1 cm2;
b. 1 mi2 y 1 km2;
c. 1 m3 y 1 cm3.
Problema 12
Un atleta corre 100 m en 10 segundos, su velocidad media es de 10 m/s. Calcular su velocidad
media en km/h.
Problema 13
Un geofísico mide el movimiento de un glacial y descubre que se está moviendo 80mm/año.
Calcular su velocidad en m/s.
Problema 14
Transformar:
a. 20 km/h a m/s
b. 9,8 m/s2 a ft/s2
c. 34,56 mm2 a m2
d. 50,7 cm3 a in3
Problema 15
Suponiendo que la densidad del agua (masa/volumen) es de 1 g/cm3. Expresar la densidad del agua
en kg/m3.
Problema 16
Calcular el número de segundos que hay en una hora, en un día y en un año (365 días).
Problema 17
Se mide el área de una tira de estaño. El ancho es de 1,15 cm y su largo es de 2,002 m. Calcular su
área e indicar a partir de que cifra significativa el valor del área puede ser erróneo.
Problema 18
El pistón de un motor ocupa un volumen de 2,0 litros durante su desplazamiento. Sabiendo que 1
litro = 1000 cm3 y 1 pulgada = 2,54 cm, expresar este volumen en pulgadas cúbicas.
Problema 14
Dos estudiantes miden las longitudes de los lados adyacentes de su dormitorio. Uno mide 15 pies 8
pulgadas, y el otro mide 4,25 m. Calcular el área del cuarto en m2.
Problema 15
Un cantero con flores tiene la forma de un triángulo (ver figura).Calcular la longitud del lado que
corre a lo largo del camino.
camino
jardín
40º
x = 0,54 m
Problema 16
Suponga que ha comprado un juego de llaves en unidades del sistema inglés. Usted tiene llaves con
anchos de: ¼ in, ½ in, ¾ in y 1 in, y las quiere usar con tuercas de dimensiones n = 5 mm, 10 mm,
15 mm, 20 mm y 25 mm. Si definimos que una llave ajusta si el ancho es 2% mayor que n, ¿cuál de
sus llaves puede usar?.
Problema 17
Un vaso cilíndrico de vidrio tiene un diámetro interno de 8,0 cm y una profundidad de 12 cm. Si
una persona bebe el vaso completamente lleno de agua, ¿cuánto habrá consumido en litros?.
(Volumen cilindro = π.r2.h).
Problema 18
Una esfera hueca de metal tiene un diámetro interno de 18,5 cm y un diámetro externo de 24,6 cm.
Calcular el volumen ocupado por el metal mismo.
área de una esfera = 4.π.r2
Recordar:
volumen de una esfera = 4/3.π.r3
¿Cuál es la naturaleza de las magnitudes Físicas? MAGNITUDES ESCALARES Y
VECTORIALES (haciendo click aquí se abre el archivo)
Magnitudes escalares y vectoriales.
Algunas magnitudes físicas, como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctrica se
pueden describir correctamente con un número y una unidad, pero muchas otras magnitudes
importantes tienen asociadas una dirección y no pueden describirse sólo por un número. Tales
magnitudes tienen un papel esencial en muchas áreas importantes en la física, como por ejemplo
el movimiento y sus causas.
Si una magnitud física queda definida por un número decimos que es una magnitud escalar. En
cambio una magnitud vectorial tiene un módulo, una dirección en el espacio y un sentido.
Analicemos la cantidad vectorial más simple: el desplazamiento, que es el cambio de posición de
un cuerpo. El desplazamiento es vectorial porque debemos decir no sólo cuanto de ha movido el
cuerpo, sino en qué dirección y sentido. Caminar desde su casa a 3 km al norte no nos lleva al
mismo sitio que caminar 3 km al sur ni 3 km al noreste; comparando los dos primeros casos los
desplazamientos tienen la misma magnitud, misma dirección pero distinto sentido y, en relación al
último caso, los desplazamientos tienen la misma magnitud pero distinta dirección. El
desplazamiento siempre es un segmento recto dirigido desde el punto inicial al final, aunque el
camino real del cuerpo sea curvo – no debe pensarse en la distancia recorrida-. Se observa
entonces, que quedará perfectamente definido si se da el módulo del segmento, su dirección y
sentido desde un sistema de referencia.
Los cálculos con cantidades escalares usan operaciones aritméticas comunes. Por ejemplo,
6 kg + 3 kg = 9 kg, o 4 s . 2 s = 8 s2. Combinar vectores requiere un juego de operaciones distinto.
Una técnica muy importante para analizar muchas situaciones físicas es la suma (y resta) de
vectores. Sumando o restando vectores podemos obtener el efecto total o neto: la resultante.
Formas de expresar un vector.
Los vectores se representan gráficamente por segmentos de línea recta que tienen la misma
dirección que el vector (indicada por una flecha) y una longitud proporcional a su magnitud.
En la escritura se indican con una letra en negrita o con una letra y una flecha arriba: A o A
mientras que A se refiere a la magnitud solamente (o también se indica por |A| ).
A
Un vector unitario es una vector cuya magnitud es uno.
Un vector A paralelo al vector unitario u se puede expresar en la forma: A = A u
|A|=3
u
A
El negativo de un vector es otro vector que tiene la misma magnitud pero dirección opuesta. A
continuación vemos un ejemplo gráfico.
A
−A
Si dos vectores B y B' son paralelos entre sí, se pueden escribir como B = B u y B' = B’ u ,
donde el vector unitario u es el mismo. De esta manera, si λ = B/B’ podemos escribir
B = λ B'
Recíprocamente, siempre que tengamos una ecuación vectorial como la anterior, podremos
afirmar que dichos vectores son paralelos.
B
B'
Componentes de un vector
Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema de ejes rectangulares
(cartesiano) y dibujamos el vector en cuestión desde el origen O.
Descomposición de un vector en componentes rectangulares: dado un vector C , puede
descomponerse en componentes rectangulares xy, encontrando la proyección de dicho vector
sobre los ejes x e y. Como muestra la figura, las magnitudes de estas componentes están dadas
Cx = C cos θ
Cy = C sen θ
Es decir, podemos conocer las componentes del vector C si conocemos el módulo C, su
dirección (describimos la dirección de un vector por su ángulo relativo a una dirección de
referencia que en general es el ángulo entre el vector y el eje x positivo) y sentido (indicado por la
punta de la flecha). Con ayuda de los siguientes gráficos podemos interpretar mejor la explicación
anterior:
y
y
O
θ
C
Cy
C
j
Cx
θ
x
Cy
Cx
x
i
La notación con vectores unitarios permite escribir las proyecciones como magnitudes vectoriales
y podemos utilizar esta notación para expresar explícitamente las componentes rectangulares de
un vector, donde i y j son los vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente. Por
definición podemos escribir al vector C como suma de las componentes:
C = Cx i + C y j
O indicando sus componentes rectangulares
C = (Cx , Cy )
Teniendo en cuenta el triángulo vectorial (rectángulo) formado por el vector y sus componentes,
por trigonometría sabemos que:
C = C 2x + C 2y
 Cy
θ = tg −1 
 Cx




donde la notación tg-1( ) significa arcotangente de ( ) o ángulo cuya tangente es ( ).
Nota: las componentes de un vector son números positivos o negativos. Por ejemplo si el vector
apunta en el sentido negativo del eje x, la componente x de dicho vector es negativa. Para
determinar el signo de las componentes rectangulares de vectores es conveniente analizar el
signo en los cuadrantes que forma el sistema de ejes ortogonales.
y
y
y
Cx (-)
Cy (+)
C
x
x
Cy (-)
C
Cx (-)
x
C
Cx (+)
Cy (-)
Suma y resta de vectores.
Suma de dos vectores – métodos geométricos
•
Método del triángulo
Para sumar dos vectores A y B , es decir, para obtener A + B , primero dibujamos A usando
una escala conveniente. Luego dibujamos B , con su origen en el extremo de A . El vector que va
desde el origen de A al extremo de B será entonces el vector suma R , o la resultante de los
dos vectores R = A + B .Si los vectores se dibujaron a escala, se podrá obtener la magnitud de
A
B
B
A
R
A
B
A
R midiendo su longitud y aplicando la conversión de escala. Con un enfoque gráfico así, el ángulo
θR se mide con transportador.
Si conocemos las magnitudes y direcciones (ángulos θ) de A y B , también podemos calcular
la magnitud y dirección de R analíticamente utilizando métodos trigonométricos – teorema del
seno y coseno-.
y
B
R
θB
A
θR
θA
x
Caso especial:
En el caso que A y B sean perpendiculares, el triángulo vectorial es rectángulo y puede
obtenerse R con el teorema de Pitágoras y el ángulo de dirección θR está dado por una función
trigonométrica inversa.
y
R
B
θR
A
•
x
•
Método del paralelogramo
Otro método gráfico para sumar vectores, similar al del triángulo, es el método del
paralelogramo. A y B se dibujan con el origen en común, y se forma un paralelogramo como
muestra la figura. El vector resultante es la diagonal del paralelogramo. Podemos medir la
magnitud y la dirección de R , igual que en el método del triángulo.
B
B
B
A
A
R
A
Podríamos mover B al otro lado del paralelogramo, formando el triángulo A + B y
demostrando porqué los dos métodos del triángulo y del paralelogramo son equivalentes. En
general, los vectores se pueden desplazar en los métodos de sumas de vectores, en tanto no
alteremos su longitud (magnitud), dirección ni sentido no estaremos modificando el vector. Este
desplazamiento de vectores muestra que A + B = B + A es decir que los vectores se pueden
sumar en cualquier orden.
•
Resta de vectores
La diferencia de vectores se obtiene sumando al primero el negativo (u opuesto) del segundo.
A – B = A + (- B )
y
A+B
B
A
A−B
•
−B
x
Suma de tres o más vectores Método de la poligonal
El método del triángulo se puede extender para incluir la suma de cualquier número de vectores.
En tal caso el método se llama método de la poligonal. Ilustraremos el método con cuatro
vectores, A , B , C y D , donde R = A + B + C + D
Los vectores a sumar se colocan uno a continuación de otro. La resultante R es el vector que va
del origen del primero A al extremo del último D .
C
A
D
B
C
C
B
B
A
B
D
R
A
A
La longitud y dirección de la resultante se podrían obtener analíticamente mediante aplicaciones
sucesivas de los teoremas del seno y coseno, pero a continuación describiremos un método
analítico más cómodo – método de componentes -. En el método de la poligonal los vectores se
pueden sumar en cualquier orden.
•
Suma de vectores empleando componentes.
El método analítico de componentes para sumar vectores implica descomponer los vectores
en componentes rectangulares y sumar las componentes en cada eje de manera independiente.
La suma de las componentes x e y de los vectores que se están sumando son entonces las
componentes correspondientes del vector resultante.
y
y
Cx
Ay
A
Ay
By
Ax
Bx
Cy
C
B
By
x
Ax
Bx
x
Procedimiento para sumar vectores por medio de componentes:
Descomponer los vectores a sumar en sus componentes x e y; usar los ángulos agudos
entre los vectores y el eje x, e indicar las direcciones de las componentes con signos más
y menos.
Sumar todas las componentes x e independientemente todas las componentes y para
obtener las componentes x e y de la resultante, es decir, de la suma de los vectores.
Expresar el vector resultante, empleando:
a) La forma de componentes, por ejemplo, C = Cx i + Cy j
b) La forma de magnitud-ángulo, donde la magnitud resultante se obtiene
empleando el teorema de Pitágoras
C = C 2x + C 2y
θ = tg −1
Cy
Cx
Calculando el ángulo de dirección a través de la tangente inversa (tg ) del valor absoluto del
cociente de las componentes y y x.
Ejemplo: Consideremos un vector de módulo A = 4,5 m tal que forma un ángulo de 45° con el eje
x+ y otro vector B cuyo módulo es de 9,0 m tal que forma un ángulo de 30° con el eje x-.
A
C
3
0
B
Las componentes de cada uno de los vectores son:
Ax = 4,5 m cos 45° = 3,2 m
Ay = 4,5 m sen 45° = 3,2 m
Bx = – 9,0 m cos 30° = – 7,8 m
By = – 9,0 m sen 30° = – 4,5 m
Sumando las componentes x e y independientemente obtenemos
Cx = Ax + Bx = 3,2 m – 7,8 m = – 4,6 m
Cy = Ay + By = 3,2 m – 4,5 m = – 1,3 m
Luego el vector resultante se expresa como: C = – 4,6 i – 1,3 j (m)
C = (– 4,6 , – 1,3 ) (m)
C = C 2x + C 2y = (−4,6 m) 2 + (−1,3 m) 2 = 4,8 m
θ = tg −1
Cy
Cx
= tg −1
1,3
= tg −1 0,28 = 15° y las componentes negativas indican que está en el
4,6
tercer cuadrante.
Probemos ahora resolviendo los siguientes problemas! PROBLEMAS SOBRE
VECTORES
Problema 1
Dados los vectores a = (6,0) m/s y b = (0,-8) m/s. Calcular gráfica y analíticamente los resultados
siguientes:
a) a + b,
b) a – b
c) el ángulo que forma el vector a y la resultante.
Problema 2
Existen 3 puntos de diferencia en un plano: el a se encuentra a 400 m del punto c y el punto b se
encuentra a 520 m del punto c. Las rectas que unen c con a y c con b forman entre sí un ángulo de
73º. Calcular la distancia ab y los ángulos restantes.
Problema 3
Dadas las siguientes fuerzas concurrentes, respecto al origen de un par de ejes cartesianos, F1 de
100 N y 30º sobre el eje X, F2 de 200 N y 160º sobre el eje X y F3 de 80º N y 250º sobre el eje X.
Calcular la fuerza resultante gráfica y analíticamente expresando el resulta en forma canónica.
Problema 4
Un avión vuela con velocidad constante de 400 km/h en dirección 30º al norte del este. Si el viento
tiene una velocidad de 80 km/h en dirección E 40º S. Calcular la velocidad resultante.
Problema 5
Los vectores representativos de las fuerzas actuantes sobre una partícula se expresan: F1 = (7,-4) N,
F2 = (x, y) N y la fuerza resultante Fr = (3, 2) N. Calcular los valores de x e y.
Problema 6
Calcular la distancia entre los puntos de coordenadas: p1 = (6,8,10) y p2 = (-4,4,10). Graficar dicho
vector.
Problema 7
Un bloque se desliza 13 m sobre un plano inclinado 22° con respecto a la horizontal. Calcular:
a) la altura final que alcanza el cuerpo y
b) el desplazamiento en sentido horizontal.
Problema 8
Dado el vector A de 6 unidades, desplazado un ángulo de 36° con respecto al eje x positivo y el
vector B de 7 unidades en dirección del eje x hacia los valores negativos. Calcular:
a) La suma de los dos vectores.
b) La diferencia entre ambos.
Problema 9
Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B es 400 m, y que la distancia
horizontal del punto A al C es 600 m. Determinar la magnitud del vector horizontal rBC (de B a C) y
el ángulo α.
Problema 10
Se mide la posición del punto A y se determina que rOA = 400i + 800j (m). Se quiere
determinar la posición de un punto B de manera que rAB = 400 m y rOA + rAB = 1200 m.
Determinar las coordenadas cartesianas del punto B.
Problema 11
La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 106 km, la distancia del Sol a Venus (V) es de
108 x 106 km y la distancia del Sol a la Tierra (T) es de 150 x 106 km. Suponga que los planetas
están localizados en el plano x-y.
(a) Determine las componentes del vector de posición rM del Sol a Mercurio, del vector de posición
rV del Sol a Venus y del vector de posición rT del Sol a la Tierra.
(b) Use los resultados anteriores para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la distancia
de la Tierra a Venus.
y
T
20°
S
M
x
40°
V