a) b

EJERCICIOS

Cálculo de integrales definidas

Cálculo de áreas
CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
Se incluyen aquí los ejercicios para calcular integrales definidas y sus
respuestas
Ejercicio 1
Calcule las siguientes integrales definidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Respuesta a)
s:
2
b)
c)
d)
e)
f)
g) 24,
2
h)
i)
1
j)
k)
Ejercicio 2
Sabiendo que:
halle:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
l)
m)
0
Respuestas:
a) 4,6
b) 10,8
c) 21,9
d) 11,95
e) 3,45
f) 7
Ejercicio 3
a) Calcule
siendo
.
b) Encuentre el valor de b tal que
.
c) Calcule
Respuestas:
b)
a)
b 1, b  2
c)
Ejercicio 4
En la función definida gráficamente por:
8 y
se sabe que
6. Halle:
a)
b)
e indique qué representa.
Respuestas: a) 6
b) 2,
representa el área de la región entre la gráfica de f, el eje x, las
rectas xa, x c.
Ejercicio 5
En la función definida gráficamente por:
se sabe que
a)
. Halle:
e indique qué representa
b)
CÁLCULO DE ÁREAS
Se incluyen aquí los ejercicios para calcular áreas y sus respuestas
Ejercicio 6
Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la
región sombreada.
a)
b)
c)
d)
Respuestas:
Ejercicio 7
En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada:
a)
Respuestas:
b)
a)
b)
c)
c)
Ejercicio 8
Dada la siguiente gráfica
halle:
a) las ecuaciones de las curvas,
b) el área de la zona sombreada.
Respuestas:
b) 10
Ejercicio 9
Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada
por ambas.
a) y  x2 con la recta y  2x + 3
b) el eje de abscisas, la recta y  x + 1 y la recta x  4
c) el eje de abscisas, la curva y  x2  1 y la recta x  2
d) y  x2 + 2x  1 con la recta y   x  1
e) y2  4x con la recta y  2x  4
f) y  lnx, el eje de abscisas y las rectas x  2, x  10
g) y  x2 con la recta y  3  2x
h)
con y  x2
i) y  4  x2 con la recta y  x + 2
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e) 9
f) 13,64
g)
h)
i)
Ejercicio 10
Halle el área limitada por la parábola y  6 + 4x  x2 y el segmento
determinado por los puntos A( 2,  6) y B(4, 6).
Respuesta: 36
Ejercicio 11
Determine el área sombreada en las siguientes gráficas:
a)
Respuestas:
b)
a)
b)
Ejercicio 12
Halle el área encerrada por las curvas y  x2  4x
Grafique.
e
y  6x  x2 .
Respuesta:
el área vale
Ejercicio 13
Dada la siguiente gráfica
halle:
a) las ecuaciones de las rectas
b) el área de las zonas I y II indicadas en el gráfico.
Respuesta:
b)
AI6 AII 

Ejercicio 14
a) Calcule
b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y  sen x, el
eje x y las rectas x  
yx
. Grafique.
c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b).
a) 0 b) el área
c) No se puede calcular el área como la integral
planteada en (a) ya que da 0 pues las dos tienen el
mismo valor absoluto pero distinto
signo,geométricamente la región consta de dos partes
simétricas respecto del eje x.
Respuesta:
vale 2
Ejercicio 15
Calcule el área bajo la curva f(x)
gráficamente.
desde 0 hasta 3. Interprete
Respuesta:
el área vale
Ejercicio 16
Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no
calcule el valor del área)
Respuesta:
Ejercicio 17
Halle el área limitada por la parábola y  x2  x y la recta que une los puntos P(1,
2) y Q( 3,  6). Grafique.
Respuesta:
Ejercicio 18
Halle, utilizando integrales, el área del triángulo limitado por las rectas de
ecuación y  3x  0; x  3y  0 y x + y  4.
Respuesta: el área vale 4
Ejercicio 19
Calcule el área de la zona limitada por la curva y  x3  3x2  x + 3 y el eje
de abscisas.
Respuesta: el área vale 8
Ejercicio 20
Halle el valor de las áreas sombreadas.
Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de
las dos regiones coincide con el área del cuadrado de medida de lado
una unidad.
1. Calcula el área de las siguientes regiones planas:
1. Círculo de radio r.
2. Elipse de semiejes a y b.
3. Región limitada por la parábola y = 6 – x2 y la recta y = −2x + 3.
4. Región limitada por la parábola cúbica y = x3 y las rectas y = −x/2, y = x + 6.
5. Región limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = 2x − 4.
6. Región limitada por la curva y = −log x y las rectas x = 0, y = 0.
7. Región limitada por las curvas y = −x2 + x + 3, y = −x3 + 3x3 − 2x + 3.
8. Región limitada por la recta que pasa por los puntos (1, e), (e, 1) y las curvas y
= ex, y = log x, y y = 1 − x.
9. Región limitada por la curva y = 1/(1 + x2) y su asíntota.
10. Región definida por las desigualdades x2 + y2 ≤ 36, 9x ≤ y2 .
2. Calcula los volúmenes de los siguientes sólidos:
1. Cilindro circular de radio r y altura h.
2. Cono de radio r y altura h.
3. Esfera de radio r.
4. Sólido generado al girar la región acotada por la parábola y = x2 + 2x y el eje de
abscisas en torno de la recta y = 2.
5. Toro generado al girar el círculo x22+ y2 ≤ 9 en torno de la recta x = 4.
7. Sólido obtenido al quitarle a la esfera x2 +y2 +z2 _≤ 1 el cilindro x2 +y2 ≤ r2,
siendo r (0, 1).
8. Sólido obtenido al girar la región limitada por la curva y = 1/(1 + x2) y su
asíntota.
3. Calcula las longitudes de las siguientes curvas planas:
1. Longitud de la circunferencia de radio r.
2. Longitud de un arco de la parábola y = x2.
3. Longitud de un arco de la catenaria y =(ex +e-x)/2
4. Calcula las áreas de las siguientes superficies de revolución:
1. Cilindro circular de radio r y altura h.
2. Cono de radio r y altura h.
3. Esfera de radio r.
4. Toro generado al girar la circunferencia (x−a)2+y2 = R2 en torno de la recta x =
0, con a > R
7. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = 1 – x2, y = |x| − 1.
Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen del cuerpo de
revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje de abscisas; (b) del eje
de ordenadas; (c) del eje y = 2.
8. Calcula la longitud de la curva y = ln(sen x) en el intervalo x  [a, _/2], siendo
a  [0, _/4].
9. Calcula el área de la región plana acotada por las curvas y = |x2 + x − 2|,
y = 2x2 + x − 11, dibujándola previamente. Plantea las integrales que habría que
hacer para calcular el volumen de revolución generado al girar esa figura en torno
del eje y = 15.
10. Calcula el área de la región plana limitada por las curvas y =2sen x, y = sen 2x
en el intervalo [0, π/2]. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el
volumen de revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje y = 5; (b)
del eje x = −1.
11. Calcula el área de la región plana acotada por las curvas y = x2 − 4x + 3, y =
2x. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen de
revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje x = 0; (b) del eje x = −5.
12. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = sen3 x, y = sen2 x en el
intervalo [0, 2_], dibujándolas previamente. Plantea las integrales que habría que
hacer para calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución generado al
girar esa figura en torno al eje y = b según los valores de b ≤ −1.
13. Calcula la longitud del arco de la curva y = (x − 1)3/2 que va desde el punto
(1, 0) al (2, 1).
14. Calcula el área de la región limitada por las curvas
y =ln x / ln 2, y = 1 − x, y =2/(1 + (x − 1)2)
Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen del cuerpo
obtenido al girar esa región alrededor del eje de abscisas. Idem para el cuerpo
obtenido al girar alrededor del eje de ordenadas.
15. Calcula el área de la región plana acotada en el primer cuadrante por la curva
(y −1)2 = 1− x y las rectas y = 1 + √2x, y = 1 − √6x, de dos maneras: (a)
integrando en x; (b) integrando en y.